人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理第2课时学案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理第2课时学案，共16页。学案主要包含了证明平行，求夹角，求距离问题等内容，欢迎下载使用。

第2课时　空间向量基本定理的初步应用
学习目标　1.会用基底法表示空间向量. 2.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的思想．

知识点一　证明平行、共线、共面问题
(1) 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2) 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
思考　怎样利用向量共线、向量共面解决几何中的证明平行、共线、共面问题？
答案　平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题．
知识点二　求夹角、证明垂直问题
(1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝.
(2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0.
思考　怎样利用向量的数量积解决几何中的求夹角、证明垂直问题？
答案　几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围．
知识点三　求距离(长度)问题
＝( ＝ )．
思考　怎样利用向量的数量积解决几何中的求距离(长度)问题？
答案　几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用数量积可以求得．

1．四点A，B，C，D构成平行四边形ABCD的充要条件是＝.(　×　)
2．若＝，则A，B，C，D四点共线．(　×　)
3．已知两个向量 ， 的夹角为 60°，则 ∠NMP＝60°.(　×　)
4．如果＝＋，则四点O，P，M，N一定共面．(　√　)

一、证明平行、共面问题
例1　如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′，E，F分别为AA′和CC′的中点．

求证：BF∥ED′.
证明　＝＋＝＋＝＋，
＝＋＝＋＝＋，
∴＝，
∴∥，
∵直线BF与ED′没有公共点，∴BF∥ED′.
反思感悟　证明平行、共面问题的思路
(1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行．
(2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行．
跟踪训练1　如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.

求证：A，E，C1，F四点共面．
证明　因为＝＋＋
＝＋＋＋
＝＋
＝＋＋＋＝＋，
所以，，共面，
所以A，E，C1，F四点共面．
二、求夹角、证明垂直问题
例2　如图所示，在三棱锥 A－BCD 中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC＝DA＝2，E为BC的中点．

(1)证明：AE⊥BC ；
(2)求直线AE与DC的夹角的余弦值．
(1)证明　因为＝－＝(＋)－，＝－，
所以·＝·(－)
＝2－2－·＋·，
又DA，DB，DC两两垂直， 且DB＝DC＝DA＝2，
所以·＝0，
故 AE⊥BC.
(2)解　·＝·
＝·＋2－·＝2＝2，
由2＝2＝2＋2＋2＝6，得＝.
所以cos〈，〉＝＝＝ .
故直线AE与DC的夹角的余弦值为.
反思感悟　求夹角、证明线线垂直的方法
利用数量积定义可得cos〈a，b〉＝，求〈a，b〉的大小，进而求得线线角，两直线垂直可作为求夹角的特殊情况．
跟踪训练2　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝B1B＝1，M，N分别是AD，DC的中点．求异面直线MN与BC1所成角的余弦值．

解　＝－＝(－)，
＝＋＝－＋ ，
所以·＝·＝2＝，
又＝＝， ＝，
所以 cos〈，〉＝＝＝，
故异面直线MN与BC1所成角的余弦值为.
三、求距离(长度)问题
例3　已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l ，在l上有两点A，B，线段AC⊂α ，线段BD⊂β ，并且AC⊥l ，BD⊥l，AB＝6，BD＝24，AC＝8，则 CD＝ ________.

答案　26
解析　∵平面α⊥平面β，且α∩β＝l，在l上有两点A，B，线段AC⊂α，线段BD⊂β，
AC⊥ l ，BD⊥ l ，AB＝6，BD＝24，AC＝8，
∴＝＋＋ ，
∴2 ＝(＋＋ )2
＝2＋2＋2 ＝64＋36＋576＝676，
∴CD＝26.
反思感悟　求距离(长度)问题的思路
选择已知长度和夹角的三个向量作为基向量，利用基底表示向量，将距离(长度)问题转化为向量的模的问题．
跟踪训练3　正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，＝，点N为B1B的中点，则
||等于(　　)

A.a B.a
C.a D.a
答案　A
解析　∵＝－＝－
＝＋－(＋＋)
＝＋－，
∴||＝
＝a.

1．(多选)已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A，B，C共面”的充分条件是(　　)
A.＝2－－
B.＝＋－
C.＝＋＋
D.＝＋＋
答案　BD
解析　根据“＝x＋y＋z ，若 x＋y＋z＝1，则点M与点A，B，C 共面”，
因为2＋(－1)＋(－1)＝0≠1,1＋1＋(－1)＝1,1＋＋＝≠1，＋＋＝1，
由上可知，BD满足要求．
2．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是(　　)
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．不确定
答案　B
解析　在△BCD中，·＝(－)·(－)＝2＞0，∴B为锐角，
同理，C，D均为锐角．
3．如图，三棱锥S－ABC中，SA⊥底面 ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，SA＝2，则SC与AB所成角的大小为(　　)

A．90° B．60°
C．45° D．30°
答案　B
解析　因为SA⊥底面ABC，所以SA⊥AC，SA⊥AB，所以·＝0，
又AB⊥BC，AB＝BC＝2，
所以 ∠BAC＝45° ，AC＝2 .
因此·＝cos 45°＝2×2×＝4，
所以·＝·－·＝4，
又SA＝2，所以 SC＝＝4 ，
因此cos〈，〉＝＝＝ ，
所以SC与AB所成角的大小为60° .
4．如图，已知▱ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6，则PC的长为________．

答案　7
解析　∵＝＋＋，
∴||2＝·＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·
＝62＋42＋32＋2||||cos 120°＝61－12＝49.
∴PC＝7.
5．已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝，则cos〈a，b〉＝________.
答案　
解析　将|a－b|＝化为(a－b)2＝7，求得a·b＝，
再由a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求得cos〈a，b〉＝.

1．知识清单：
(1)空间向量基本定理．
(2)空间向量共线、共面的充要条件．
(3)向量的数量积及应用．
2．方法归纳：转化化归．
3．常见误区：
(1)向量夹角和线线角的范围不同，不要混淆．
(2)转化目标不清：表示向量时没有转化目标，不理解空间向量基本定理的意义．


1．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则等于(　　)
A．2－ B．－＋2
C.－ D．－＋
答案　A
解析　由已知得2(－)＋(－)＝0，
∴＝2－.
2．如图，已知空间四边形ABCD中，AC＝BD，顺次连接各边中点P，Q，R，S，所得图形是(　　)

A．长方形
B．正方形
C．梯形
D．菱形
答案　D
解析　因为＝－＝－＝.
同理＝，所以＝，
所以四边形PQRS为平行四边形．
又＝－＝－＝，
所以||＝||，即PS＝BD.
又||＝||，
故PQ＝AC，而AC＝BD，
所以PS＝PQ，故四边形ABCD为菱形．
3．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F，G分别是DC，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是(　　)

A．0 B.
C. D.
答案　A
解析　根据题意可得，
·＝(＋＋)·(＋＋)
＝(－＋＋)·(－－－)
＝2 －2 －2＝×4－1－×4＝0，
从而得到和垂直，故其所成角的余弦值为0.
4．在正三棱柱ABC－A1B1C1 中，若AB＝BB1，则 CA1 与 C1B 所成的角的大小是(　　)
A．60° B．75°
C．90° D．105°
答案　C
解析　设||＝m，＝a，＝b，＝c，
则＝a＋c，＝b－c，
·
＝(a＋c)·(b－c)
＝a·b＋b·c－a·c－c2
＝m·mcos ＋0－0－m2＝0，
∴⊥，
∴ CA1 与 C1B 所成的角的大小是 90°.
5．如图，二面角α－l－β等于，A，B是棱l上两点， BD, AC 分别在平面α，β内，AC⊥l ，BD⊥l ，且 2AB＝AC＝BD＝2，则CD的长等于(　　)

A．2 B.
C．4 D．5
答案　B
解析　∵二面角α－l－β等于，AC⊥l,BD⊥l，所以〈，〉＝π－＝，
∵＝＋＋，
∴2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·
＝22＋12＋22＋0＋0＋2×2×2×cos ＝13.即CD＝.
6．已知向量a，b满足条件|a|＝3，|b|＝4，若m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，则实数λ＝________.
答案　－
解析　因为m·n＝0，所以(a＋b)·(a＋λb)＝0，
所以a2＋(1＋λ)a·b＋λb2＝0，
所以18＋(1＋λ)×3×4×＋16λ＝0，
解得λ＝－.
7．如图，在空间四边形ABCD 中，∠ABD＝∠CBD＝ ，∠ABC＝，BC＝BD＝1，AB＝，则异面直线 AB 与 CD 所成角的大小是________．

答案　
解析　依题意可知CD＝＝，·＝·(－)
＝·－·＝0＋·＝··cos 45°＝1.
设直线AB与CD所成角为α，则cos α＝＝＝，故α＝.
8．如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝|AA1|＝1，∠BAD＝∠BAA1＝120°，∠DAA1＝60°，则线段AC1的长度是________．

答案　
解析　∵ ＝＋＋，
∴ 2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·
＝1＋1＋1＋2×1×1×＋2×1×1×＋2×1×1×＝2，
∴AC1＝.
9．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．
(1)用向量a，b，c表示，；
(2)若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值．
解　(1)如图，连接AC，EF，D1F，BD1，

＝＋
＝－＋－＝a－b－c，
＝＋＝＋
＝－(＋)＋(＋)＝(a－c)．
(2)＝(＋)
＝(－＋)
＝(－c＋a－b－c)
＝a－b－c，
∴x＝，y＝－，z＝－1.
10.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点，正方体的棱长为1.

(1)求〈，〉的余弦值；
(2)求证：⊥.
(1)解　＝＋＝＋，＝＋＝＋＝－.
因为·＝0，·＝0，·＝0，
所以·＝·＝.
又||＝||＝，所以cos〈，〉＝.
(2)证明　＝＋＝－＋，
＝＋＝－(＋)，
所以·＝0，所以⊥.

11．在四面体O－ABC中，G是底面△ABC的重心，且＝x＋y＋z，则log3|xyz|等于(　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．3
答案　A
解析　连接AG(图略)，
＝＋＝＋(＋)＝＋(－＋－)
＝＋＋＝x＋y＋z，
∴x＝y＝z＝，则log3|xyz|＝log3＝－3.
12．在三棱柱ABC－ A1B1C1中， AA1⊥底面ABC, AB＝BC＝AA1, ∠ABC＝90°， 点E，F分别是棱AB，BB1的中点， 则直线EF和BC1所成的角是(　　)
A．30° B．45°
C．90° D．60°
答案　D
解析　因为点E，F分别是棱AB，BB1的中点，
所以 ＝－＝(－)，＝＋，
所以·＝(－)(＋)＝2 ，
设所求异面直线的夹角为 θ，则
cos θ＝＝，所以θ＝60° .
13．如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．

答案　90°
解析　不妨设棱长为2，则＝－，＝＋，
cos〈，〉＝＝＝0，
则〈，〉＝90°.
14．如图，一个结晶体的形状为平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 ，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是________．(填序号)

① (＋＋)2＝2()2 ；
②·(－)＝0 ；
③向量与的夹角是60°；
④BD1与AC所成角的余弦值为.
答案　①②
解析　以顶点A为端点的三条棱长都相等， 它们彼此的夹角都是60°，
可设棱长为1，则·＝·＝·＝1×1×cos 60°＝，
(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·
＝1＋1＋1＋3×2×＝6，
而 2()2＝2(＋)2＝2(2＋2＋2·)
＝2＝2×3＝6，所以①正确．
·(－)＝(＋＋)·(－)
＝·－·＋2－·＋·－2＝0，所以②正确．
向量＝ ，
显然△AA1D为等边三角形，则∠AA1D＝60° .
所以向量与的夹角是 120°，向量与的夹角是 120° ，则③不正确．
又＝＋－，＝＋，
则||＝＝，
||＝＝，
·＝·(＋)＝1，
所以cos〈，〉＝＝＝ ，
所以④不正确，故①②正确．

15．(多选)在四面体P－ABC 中，以上说法正确的有(　　)
A．若＝＋，则可知 ＝3
B．若Q为△ABC 的重心，则＝＋＋
C．若·＝0，·＝0，则 ·＝0
D．若四面体P－ABC各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则||＝1
答案　ABC
解析　对于A, ∵＝＋，
∴3＝＋2，
∴2－2＝－，
∴2＝，
∴3＝＋，
即3＝，故A正确；
对于B，若Q为△ABC 的重心，则＋＋＝0，
∴3＋＋＋＝3，
∴3＝＋＋，即＝＋＋，故B正确；
对于C，∵·＝0，·＝0，
∴·＋·＋·＝0，
∴(－)·＋·＝0，
∴·＋·＝0，
∴·＝0，
∴·＝0，故C正确；
对于D，∵＝－
＝(＋)－
＝(＋ －),
∴||＝|－－|，
∵|－－|
＝2.
∴||＝，故D错误，故选ABC .
16．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O是底面ABCD的中心．求证：B1O⊥平面PAC.

证明　如图，连接BD，则BD过点O，令＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，

且＝＋＝a＋b，
＝＋＝＋＝(－)＋＝a－b＋c .
∴·＝(a＋b)·
＝|a|2＋a·b－a·b－|b|2＋a·c＋b·c＝－＝0.
∴⊥，即AC⊥OB1.
又＝＋＝b＋c，
∴·＝·
＝a·b－|b|2＋c·b＋a·c－b·c＋|c|2
＝－＋＝0，
∴⊥，
即OB1⊥AP.又AC∩AP＝A，AC，AP⊂平面PAC，
∴OB1⊥平面PAC.