人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理优秀巩固练习

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理优秀巩固练习，共8页。试卷主要包含了以下四个命题中正确的是，下列说法正确的是，给出下列两个命题等内容，欢迎下载使用。

1.2　空间向量基本定理
基 础 练
巩固新知 夯实基础
1.以下四个命题中正确的是(　　)
A．空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示
B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则a，b，c全不是零向量
C．△ABC为直角三角形的充要条件是·＝0
D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底
2.长方体ABCD－A1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，则(　　)
A．i＋j＋k　　　 B.i＋j＋k C．3i＋2j＋5k D．3i＋2j－5k
3.设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:
①{a,b,x};②{x,y,z};③{b,c,z};④{x,y,a+b+c},则其中可以作为空间的基底的向量组有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是 (　　)
A．a B．b C．a＋2b D．a＋2c
5.(多选)下列说法正确的是( )
A．若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线
B．空间的基底有且仅有一个
C．两两垂直的三个非零向量可以构成空间的一个基底
D．基底{a，b，c}中基向量与基底{e，f，g}中基向量对应相等
6.已知M、N分别是四面体OABC的棱OA,BC的中点,点P在线段MN上,且MP=2PN,设向量OA=a,OB=b,OC=c,则OP= (　　)
A.16a+16b+16c B.13a+13b+13c
C.16a+13b+13c D.13a+16b+16c
7.如图，在空间四边形中，已知是线段的中点，在上，且．
(1)试用，，表示向量；
(2)若，，，，，求的值．

8.若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为空间的一个基底．

能 力 练
综合应用 核心素养
9.给出下列两个命题：
①如果向量a，b与任何向量不能构成空间的一个基底，那么a，b的关系是不共线；
②O，A，B，C为空间四点，且向量， ，不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面．
其中正确的命题是(　　)
A．仅① B．仅② C．①② D．都不正确
10. (多选)已知a，b，c是不共面的三个向量，则下列向量组中，不能构成一个基底的一组向量是( )
A．2a，a－b，a＋2b B．2b，b－a，b＋2a C．a,2b，b－c D．c，a＋c，a－c
11. (多选)如图，在长方体中，、、分别是棱、、上的点，且满足，，，则（       ）
A． B．
C． D．
12.化学中,将构成粒子(原子、离子或分子)在空间按一定规律呈周期性重复排列构成的固体物质称为晶体.在结构化学中,可将晶体结构截分为一个个包含等同内容的基本单位,这个基本单位叫做晶胞.已知钙、钛、氧可以形成如图所示的立方体晶胞(其中Ti原子位于晶胞的中心,Ca原子均在顶点位置,O原子位于棱的中点).则图中原子连线BF与B1E所成角的余弦值为　　　　. 

13.已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ＋m＋n＝0，那么λ＋m＋n的值为________．
14.在正四面体ABCD中，M，N分别为棱BC、AB的中点，设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示向量＝________，异面直线DM与CN所成角的余弦值为______.
15.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,点E在棱BB1上,EB1=1,D、F、G分别为CC1、B1C1、A1C1的中点,EF与B1D相交于点H.
(1)求证:B1D⊥平面ABD;
(2)求证:平面EFG∥平面ABD.






【参考答案】
1.B 解析：使用排除法．因为空间中的任何一个向量都可用其它三个不共面的向量来表示，故A不正确；△ABC为直角三角形并不一定是·＝0，可能是·＝0，也可能是·＝0，故C不正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故D不正确，故选B.
2.C
3.C解析：借助长方体进行判断,如图,可知向量a,b,x共面,x,y,z不共面,b,c,z不共面,x,y,a+b+c也不共面,故选C.

4.D 解析　能与p，q构成基底，则与p，q不共面．∵a＝，b＝，a＋2b＝p－q.
∴A、B、C都不合题意．因为{a，b，c}为基底，∴a＋2c与p，q不共面，可构成基底．
5. AC解析　A项中若a，b不共线，则任意与a，b不共面的向量就可以和a，b构成空间的一个基底，A对；B项中空间基底有无数个，B错；C项显然正确；D项中因为基底不唯一，所以D错．
6.C 解析：OP=23ON+13OM=23×12(OB+OC)+13×12OA=13b+13c +16a,故选C.
7.(1)解：，
，
又

(2)解：由（1）可得知




8.解：假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，即a＋b＝μa＋λb＋(λ＋μ)c．
∵{a，b，c}是空间的一个基底，∴a，b，c不共面．
∴此方程组无解．
即不存在实数λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，
∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．
故{a＋b，b＋c，c＋a}能作为空间的一个基底．
9.B 解析　①对空间任意向量c，都有c与a、b共面，则必有a与b共线，∴①错；②∵、、不能构成空间的基底，∴、、必共面，故存在实数λ，μ，使＝λ＋μ，∴O、A、B、C四点共面，∴②正确．
10.ABD解析　对于A，因为2a＝(a－b)＋(a＋2b)，得2a、a－b、a＋2b三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于B，因为2b＝(b－a)＋(b＋2a)，得2b、b－a、b＋2a三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于C，因为找不到实数λ、μ，使a＝λ·2b＋μ(b－c)成立，故a、2b、b－c三个向量不共面，它们能构成一个基底；对于D，因为c＝(a＋c)－(a－c)，得c、a＋c、a－c三个向量共面，故它们不能构成一个基底，故选ABD.
11.AB 解析：对于A选项，，A对；
对于B选项，，B对；
对于C选项，由图可知、不共线，则，C错；
对于D选项，，D错.
故选：AB.
12. 15 解析：设该立方体的棱长为a,取{A1B1,A1D1,A1A}为空间向量的一个基底,
其中=90°,=90°,=90°.
∵BF=AF-AB=12AD-AB=12A1D1-A1B1,B1E=B1B+BE=A1A+12A1D1,
设BF与B1E所成角为θ,
则cos θ=|cos|=|BF·B1E||BF||B1E|=14A1D1214A1D12+A1B12×14A1D12+A1A2=14a254a2=15,
∴BF与B1E所成角的余弦值为15.
13.0 解析　∵A，B，C三点共线，∴存在唯一实数k使＝k，即－＝k(－)，
∴(k－1)＋－k＝0.又λ＋m－n＝0，令λ＝k－1，m＝1，n＝－k，则λ＋m＋n＝0.
14. (a＋b－2c)；　解析：画出对应的正四面体，设棱长均为1，
则＝＋＝－c＋(a＋b)＝(a＋b－2c).
由＝(a＋b－2c)，又＝－＝a－b＝(a－2b).
又a·b＝a·c＝b·c＝.设异面直线DM与CN所成角为θ，
则cos θ＝＝＝
＝＝.

15.证明：(1)易得B1D=B1C1+C1D=B1C1+12B1B,BD=BC+CD=B1C1-12B1B,
∵B1D·BA=B1C1+12B1B·B1A1=0,
B1D·BD=B1C1+12B1B·B1C1-12B1B=B1C12-14B1B2=0,
∴B1D⊥BA,B1D⊥BD,又BA∩BD=B,
∴B1D⊥平面ABD.
(2)连接B1G.∵EG=B1G-B1E=12(B1C1+B1A1)-14B1B,
FG=B1G-B1F=12(B1A1+B1C1)-12B1C1=12B1A1,
∴B1D·EG=(B1C1+12B1B)·12B1C1+12B1A1-14B1B=12B1C12-18B1B2=0,
B1D·FG=B1C1+12B1B·12B1A1=0,
∴B1D⊥EG,B1D⊥FG,又EG∩FG=G,
∴B1D⊥平面EFG,又B1D⊥平面ABD,平面ABD与平面EFG不重合,
∴平面EFG∥平面ABD.