高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)2.5指数和指数函数(精练)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)2.5指数和指数函数(精练)(原卷版+解析)，共17页。


【题型一 指数的运算】
1. (2023·全国高三专题练习）计算=__________
2.(2023·广东深圳·高三期末）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3. （2023·全国高三专题练习）化简下列各式：
（1）；
（2）.
4. (2023·全国·高三专题练习）化简的结果为（ ）
A．－B．－
C．－D．－6ab
【题型二 指数函数的图像】
1. (2023·上海市复兴高级中学高三阶段练习）函数的大致图像是（ ）
A．B．C．D．
2. (2023·全国·高三专题练习）函数的图象如图所示，其中，为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3. (2023·浙江高三期末）函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
4. (2023·河南焦作·高三期末）已知函数（且）的图象过定点，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
5. (2023·全国·高三课时练习）若，，则函数的图像一定经过（ ）
A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限D．第一、二、四象限
【题型三 指数函数的性质】
1. (2023·全国高三专题练习）已知函数的定义域和值域都是，则_____．
2. (2023·全国·高三专题练习）函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
3. (2023·江苏高三专题练习）函数y＝的值域为（ ）
A．(0，1)B．(1，＋∞)
C．(2，＋∞)D．(0，1)∪(1，＋∞)
4. (2023·开原市第二高级中学高三月考）已知函数，则该函数的值域是______.
5. (2023·全国·高三专题练习）函数的值域是___________.
6. (2023·陕西省黄陵县中学高三月考）若函数的值域是，则的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
7. (2023·安徽安庆市·高三二模）设函数，则使得不等式成立的实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8. (2023·河北张家口·高三期末）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______.
9. (2023·全国高三专题练习）已知函数（且），若有最小值，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
10. (2023·云南高三月考）已知函数，若实数满足，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11. (2023·海南·模拟预测）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【题型四 指数函数综合问题】
1. (2023·北京·高三专题练习）已知函数．
(1)利用函数单调性的定义证明是单调递增函数；
(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
2. (2023·宁夏吴忠区青铜峡市教育局高三开学考试）已知函数．
（1）当时，求函数的零点；
（2）若，求在区间上的最大值．
3. (2023·全国·高三专题练习）已知函数．
（1）若函数在，上有最大值，求实数的值；
（2）若方程在，上有解，求实数的取值范围．
2.5 指数和指数函数
【题型解读】
【题型一 指数的运算】
1. (2023·全国高三专题练习）计算=__________
答案：18
【解析】原式
故答案为：18
2.(2023·广东深圳·高三期末）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】对A：，故选项A错误；
对B：，故选项B正确；
对C：，不能化简为，故选项C错误；
对D：因为，所以，故选项D错误.
故选：B.
3. （2023·全国高三专题练习）化简下列各式：
（1）；
（2）.
答案：（1）；（2）.
【解析】（1）原式
（2）原式
4. (2023·全国·高三专题练习）化简的结果为（ ）
A．－B．－
C．－D．－6ab
答案：C
【解析】原式＝.
故选：C.
【题型二 指数函数的图像】
1. (2023·上海市复兴高级中学高三阶段练习）函数的大致图像是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由函数，
得，所以函数为偶函数，故排除AB，
当时，，
所以函数在上是减函数，故排除D.
故选：C.
2. (2023·全国·高三专题练习）函数的图象如图所示，其中，为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
答案：A
【解析】由，可得，
因为由图像可知函数是减函数，所以，所以，
因为，
所以，所以，
故选：A
3. (2023·浙江高三期末）函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】因为，所以的图象关于对称，
又，故选：B
4. (2023·河南焦作·高三期末）已知函数（且）的图象过定点，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】当时，，故，所以不等式为，解得，所以不等式的解集为.
故选：D
5. (2023·全国·高三课时练习）若，，则函数的图像一定经过（ ）
A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限D．第一、二、四象限
答案：A
【解析】由可得函数的图像单调递增，且过第一、二象限，由可得把的图像向下平移个单位可得的图像，结合可知，图像过第一、二、三象限．
故答案为A
【题型三 指数函数的性质】
1. (2023·全国高三专题练习）已知函数的定义域和值域都是，则_____．
答案：4
【解析】单调递增，所以函数过点(-1,-1)和点(0,0)，所以无解；
当时，函数单调递减，所以函数过点(-1,0)和点(0,-1)，所以，解得.
所以
2. (2023·全国·高三专题练习）函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由题意得：，
故，故，
解得：，
故函数的定义域是，
故选：B．
3. (2023·江苏高三专题练习）函数y＝的值域为（ ）
A．(0，1)B．(1，＋∞)
C．(2，＋∞)D．(0，1)∪(1，＋∞)
答案：D
【解析】因为，所以y＝,且y>0，所以y＝值域为(0，1)∪(1，＋∞)，
故选：D.
4. (2023·开原市第二高级中学高三月考）已知函数，则该函数的值域是______.
答案：
【解析】由题知函数的定义域为，
因为，函数是单调递减函数，
所以的值域为.
故答案为：
5. (2023·全国·高三专题练习）函数的值域是___________.
答案：
【解析】因为，设,
,
在上单调递增,
所以
故答案为：.
6. (2023·陕西省黄陵县中学高三月考）若函数的值域是，则的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】令
由于的值域是，所以的值域是
因此有，解得
这时，
由于的单调递减区间是，在R上递减；
所以的单调递增区间是
答案：A
7. (2023·安徽安庆市·高三二模）设函数，则使得不等式成立的实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】函数的定义域为，，所以函数是奇函数，并由解析式可知函数是增函数原不等式可化为，
∴，解得，
∴的取值范围是．故选：A．
8. (2023·河北张家口·高三期末）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______.
答案：
【解析】因为分段函数在上单调递减，所以每段都单调递减，即，并且在分界点处需满足，即，解得：.
故答案为：
9. (2023·全国高三专题练习）已知函数（且），若有最小值，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由于函数有最小值，则函数在区间上不为增函数，可得.
当时，，，此时函数无最小值；
当时，即当时，函数在区间上为减函数，
①若函数在上为增函数，则，
且有，即，解得，此时；
②若函数在上为减函数，则，
且，所以，，即，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
10. (2023·云南高三月考）已知函数，若实数满足，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】因为函数的定义域为R，且，
所以为奇函数，又为上的增函数，
所以，
即，所以，解得，
所以实数的取值范围是.故选：D.
11. (2023·海南·模拟预测）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】设，可得，令，解得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，即，
则，，所以最小，
又由，因为，所以，所以，
综上可得：.
故选：D.
【题型四 指数函数综合问题】
1. (2023·北京·高三专题练习）已知函数．
(1)利用函数单调性的定义证明是单调递增函数；
(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
答案：(1)证明见解析
(2)
【解析】(1)由已知可得的定义域为，
任取，且，
则，
因为，，，
所以，即，
所以在上是单调递增函数．
(2)
，
令，则当时，，
所以．
令，，
则只需．
当，即时，在上单调递增，
所以，解得，与矛盾，舍去；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得；
当即时，在上单调递减，
所以，解得，与矛盾，舍去．
综上，实数的取值范围是．
2. (2023·宁夏吴忠区青铜峡市教育局高三开学考试）已知函数．
（1）当时，求函数的零点；
（2）若，求在区间上的最大值．
答案：（1）；（2）.
【解析】（1）当时，，
，由，可得，解得，
即当时，函数的零点为；
（2）令，即求在区间上的最大值．
当时，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.
①当时，即当时，函数在区间上单调递增，则；
②当时，即当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
因为，，，则；
③当时，即当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
此时，，则；
④当时，即当时，函数在区间上单调递减，
所以，.
综上所述，.
3. (2023·全国·高三专题练习）已知函数．
（1）若函数在，上有最大值，求实数的值；
（2）若方程在，上有解，求实数的取值范围．
答案：（1）；（2）.
【解析】（1），，，，，
①时，，解得（舍
②时，，解得，
；
（2），，令，
在有解，
当且仅当，即时等号成立，此时函数的图象如图，
时，取得最大值，
综上，．
【点睛】
本题考查复合函数的单调性，在特定区间的最值问题；以及复合函数在特定区间的上有解，转化为对勾函数的图象求解，属于中档题．