高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)2.6对数和对数函数(精练)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)2.6对数和对数函数(精练)(原卷版+解析)，共22页。


【题型一 对数的运算】
1.(2023·浙江·杭州市富阳区第二中学高三阶段练习）计算______.
2. (2023·全国高三模拟）已知，，则（ ）
A．B．C．6D．5
3. (2023·山西临汾市·高三月考）已知，且，则（ ）
A．2B．4C．6D．9
4. (2023·湖南·高三课时练习）计算：
(1)；(2)；(3)．
5. (2023·全国课时练习）若是方程的两个实根，求的值．
6. (2023·全国高三月考）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
7. (2023·江苏南通市·海门市第一中学月考）计算：___________.
【题型二 对数函数的图象】
1. (2023·广东汕尾·高三期末）当时，在同一平面直角坐标系中，与的图象是（ ）
A．B．
C． D．
2. (2023·吉林长春市·高三月考）如图，①②③④中不属于函数，，的一个是（ ）
A．①B．②C．③D．④
3. (2023·全国高三测试）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
4. (2023·湖南师大附中高三期末）已知函数的图象如图所示，则满足的关系是（ ）
A．B．
C．D．
5. (2023·全国高三模拟）函数在上的大致图像是（ ）
A．B．
C．D．
6. (2023·湖北·江夏一中高三阶段练习）函数y＝lga(2x－3)＋8的图象恒过定点A，且点A在幂函数f(x)的图象上，则f（3）＝________.
【题型三 对数函数的性质】
1. (2023·甘肃·甘南藏族自治州合作第一中学高三期末）函数f（x）= 的定义域为（ ）
A．（2，+∞）B．（0，2）C．（-∞，2）D．（0， ）
2. (2023·广西玉林市高三月考）若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3. (2023·全国高三月考）已知函数，若有最小值，则实数的范围是______．
4. (2023·贵州·毕节市第一中学高三阶段练习）函数y＝2＋lg2(x2＋3)(x≥1)的值域为（ ）
A．(2，＋∞)B．(－∞，2)
C．[4，＋∞)D．[3，＋∞)
5. (2023·全国高三专题练习）已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6. （多选）(2023·历城二中高三月考）已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则实数的取值范围是
B．若函数的值域为，则实数
C．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是
D．若，则不等式的解集为
7. (2023·河南焦作·高三期末）已知函数（a>0且a≠1）的图象过点.
(1)求a的值及的定义域；
(2)求在上的最小值.
8. (2023·黑龙江·双鸭山一中高三期末）已知函数在[2，3]上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9. (2023·全国高三月考）已知定义在R上的偶函数在上单调递增，实数a满足，则实数a的取值范围是___________.
【题型四 对数比较大小】
1. (2023·江西·南昌十五中高三阶段练习）设，则（ ）
A．B．C．D．
2. (2023·江西高三二模）已知，则的大小关系（ ）
A．B．C．D．
3. (2023·千阳县中学月考）设，则（ ）
A．B．
C．D．
4. (2023·江西·九江一中高三阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
5. (2023·江西上饶市·高三期末）已知，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a>b>cB．a>c>bC．c>a>bD．c>b>a
6. (2023·天津高三模拟）已知是定义在上的偶函数且在区间上单调递增，则（ ）
A．B．
C．D．
【题型五 对数函数综合问题】
1. (2023·吉林·长春市第二中学高三测试）已知函数.
(1)当时，求该函数的值域；
(2)若，对于恒成立，求实数m的取值范围.
2. （多选）(2023·湖北高三月考）已知函数，则（ ）
A．是偶函数B．在区间上是增函数
C．的最大值为0D．在内有2个零点
3. (2023·江苏·无锡市第一中学高三期中）设函数，其中为常数.
（1）当时，求的定义域；
（2）若对任意，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
4. (2023·全国高三二模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上为增函数B．函数的值域为
C．函数是奇函数D．函数是偶函数
2.6 对数和对数函数
【题型解读】
【题型一 对数的运算】
1.(2023·浙江·杭州市富阳区第二中学高三阶段练习）计算______.
答案：7
【解析】
.
故答案为：7.
2. (2023·全国高三模拟）已知，，则（ ）
A．B．C．6D．5
答案：A
【解析】因为，，所以，因此．
故选A．
3. (2023·山西临汾市·高三月考）已知，且，则（ ）
A．2B．4C．6D．9
答案：C
【解析】由题知，，，
则，则故选：C
4. (2023·湖南·高三课时练习）计算：
(1)；(2)；(3)．
答案：(1)7；(2)；(3)0.
【解析】(1)由.
(2)由.
(3)由.
5. (2023·全国课时练习）若是方程的两个实根，求的值．
答案：
【解析】原方程可转化为，令，则，
设方程的两根为，可设，，
.
6. (2023·全国高三月考）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由得，，，
则，，
所以，，，，所以，故选：B.
7. (2023·江苏南通市·海门市第一中学月考）计算：___________.
答案：
【解析】
故答案为：
【题型二 对数函数的图象】
1. (2023·广东汕尾·高三期末）当时，在同一平面直角坐标系中，与的图象是（ ）
A．B．
C． D．
答案：B
【解析】的定义域为，故AD错误；BC中，又因为，所以，故C错误，B正确.
故选：B
2. (2023·吉林长春市·高三月考）如图，①②③④中不属于函数，，的一个是（ ）
A．①B．②C．③D．④
答案：B
【解析】由对数函数图象特征及与的图象关于轴对称，
可确定②不是已知函数图象.故选：B.
3. (2023·全国高三测试）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.故选：D
4. (2023·湖南师大附中高三期末）已知函数的图象如图所示，则满足的关系是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】由图易得，；取特殊点，
，．选A．
5. (2023·全国高三模拟）函数在上的大致图像是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】由题可知函数的定义域关于原点对称，
且当时，，，
当时，，，故为偶函数，排除，；
而，排除C.
故选：D.
6. (2023·湖北·江夏一中高三阶段练习）函数y＝lga(2x－3)＋8的图象恒过定点A，且点A在幂函数f(x)的图象上，则f（3）＝________.
答案：27
【解析】由题意，，则，定点A为(2,8)，
设f(x)＝xα，则2α＝8，α＝3，∴f(x)＝x3，∴f（3）＝33＝27.
故答案为：27
【题型三 对数函数的性质】
1. (2023·甘肃·甘南藏族自治州合作第一中学高三期末）函数f（x）= 的定义域为（ ）
A．（2，+∞）B．（0，2）C．（-∞，2）D．（0， ）
答案：B
【解析】，解得
故选：B
2. (2023·广西玉林市高三月考）若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由题可知，函数的值域包含，当时，符合题意；
当时，则，解得；
当时，显然不符合题意，故实数的取值范围是．故选：A.
3. (2023·全国高三月考）已知函数，若有最小值，则实数的范围是______．
答案：
【解析】因为时，，若有最小值，则单调递减，并且满足，解得，所以实数的范围是．
故答案为：
4. (2023·贵州·毕节市第一中学高三阶段练习）函数y＝2＋lg2(x2＋3)(x≥1)的值域为（ ）
A．(2，＋∞)B．(－∞，2)
C．[4，＋∞)D．[3，＋∞)
答案：C
【解析】令，
又因为在上递增，
所以，
所以y＝2＋lg2(x2＋3)(x≥1)的值域为 [4，＋∞)，
故选：C
5. (2023·全国高三专题练习）已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】，当时，；
当时，.
所以，.
若对任意的，不等式恒成立，则，
所以，，解得.因此，实数的取值范围是.故选：B.
6. （多选）(2023·历城二中高三月考）已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则实数的取值范围是
B．若函数的值域为，则实数
C．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是
D．若，则不等式的解集为
答案：AC
【解析】对于A，由题意知对恒成立，
由于当时，不等式不恒成立，所以．
当时，由解得，所以A正确；
对于B，若函数的值域为，则，显然不为0，
则函数的最小值为4，则当时，
，解得，所以B错误；
对于C，若函数在区间上为增函数，则在上为增函数，且在内的函数值为正，所以解得，所以C正确；
对于D，若，则不等式等价于，
则，解得，所以D不正确．
故选：AC．
7. (2023·河南焦作·高三期末）已知函数（a>0且a≠1）的图象过点.
(1)求a的值及的定义域；
(2)求在上的最小值.
答案：(1)，定义域(2)
【解析】(1)的图象过点，可得：
解得：
则有：
定义域满足：
解得：
故的定义域为
(2)令，
故当x=3时，
可得：
8. (2023·黑龙江·双鸭山一中高三期末）已知函数在[2，3]上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由于函数在上单调递减，在定义域内是增函数，
所以根据复合函数的单调性法则“同增异减”得：
在上单调递减，且，
所以且，解得：.
故的取值范围是
故选：C.
9. (2023·全国高三月考）已知定义在R上的偶函数在上单调递增，实数a满足，则实数a的取值范围是___________.
答案：
【解析】因为定义在R上的偶函数在区间单调递增，
所以在单调递减；
又，
于是由，
得，
从而有，
则得，即，且，
解得：.
故a的取值范围是.
故答案为：.
【题型四 对数比较大小】
1. (2023·江西·南昌十五中高三阶段练习）设，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为，所以，A错误；
因为函数为增函数，所以，所以，D错误；
因为，所以，B错误；
因为，所以，所以，C正确．
故选：C.
2. (2023·江西高三二模）已知，则的大小关系（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为，，所以故选：C
3. (2023·千阳县中学月考）设，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】因为，
，，
所以，即
所以
故选：A
4. (2023·江西·九江一中高三阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为，，所以
故选：C.
5. (2023·江西上饶市·高三期末）已知，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a>b>cB．a>c>bC．c>a>bD．c>b>a
答案：D
【解析】，所以，
，所以.故选：D
6. (2023·天津高三模拟）已知是定义在上的偶函数且在区间上单调递增，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】由题意，函数是定义在上的偶函数且在区间上单调递增，
可得函数在上单调递减，
因为，，
因为是定义在上的偶函数，可得，
所以.
故选：B.
【题型五 对数函数综合问题】
1. (2023·吉林·长春市第二中学高三测试）已知函数.
(1)当时，求该函数的值域；
(2)若，对于恒成立，求实数m的取值范围.
答案：(1)(2)
【解析】(1)
令，，则，
函数转化为，，
则二次函数，，
当时，，当时，，
故当时，函数的值域为．
(2)
由于对于上恒成立，
令，，则
即在上恒成立，所以在上恒成立，
由对勾函数的性质知在上单调递增，
所以当时，，
故时，原不等式对于恒成立．
2. （多选）(2023·湖北高三月考）已知函数，则（ ）
A．是偶函数B．在区间上是增函数
C．的最大值为0D．在内有2个零点
答案：AC
【解析】的定义域为，关于原点对称，
，所以为偶函数，故正确；
因为在上是增函数，在上是减函数，
所以时，取得最大值，故不正确，正确；
由得，得，得，即在内只有一个零点，故不正确.
故选：AC
3. (2023·江苏·无锡市第一中学高三期中）设函数，其中为常数.
（1）当时，求的定义域；
（2）若对任意，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
答案：（1）（2）
【解析】（1）当时，函数，要使函数有意义，只需要或
，，解得，即函数的定义域为；
（2），，
的取值范围是，
又恒成立，可得恒成立，
，，即，
故实数的取值范围是.
4. (2023·全国高三二模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上为增函数B．函数的值域为
C．函数是奇函数D．函数是偶函数
答案：D
【解析】根据题意，函数，其定义域为，
有，所以函数是偶函数，则正确，错误，
对于，，不是增函数，错误，
对于，，
设，当且仅当时等号成立，则的最小值为2，故，即函数的值域为，，错误，
故选：D