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高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)9.3计数原理(精练)(原卷版+解析)
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这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)9.3计数原理(精练)(原卷版+解析)，共15页。
【题型一 分类加法计数原理】
1.(2023·甘肃省会宁县第二中学高三期中）将编号1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3的盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的号不能相同，则不同的放球方法有（ ）
A．16种B．12种C．9种D．6种
2.(2023·全国高三课时练习）算盘是中国古代的一项重要发明．现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字，梁下五珠，上拨一珠记作数字（如图2中算盘表示整数）．如果拨动图1算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·博兴县第三中学高三月考）若一位三位数的自然数各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们就把这样的三位数定义为“单重数”.例如：232，114等，则不超过200的“单重数”中，从小到大排列第22个“单重数”是（ ）
A．166B．171C．181D．188
4．(2023·四川乐山高三期末）从甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2条公路可走，从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走.则从甲地到丙地的走法种数（ ）
A．8B．6C．5D．2
5. (2023·山东济南高三期末）如图所示，在，间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通．今发现，之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有（ ）
A．9种B．11种C．13种D．15种
【题型二 分步乘法计数原理】
1.(2023·全国高三课时练习）一植物园的参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有（ ）
A．6种B．8种
C．36种D．48种
2.(2023·湖南省长沙县第九中学高三期末）从集合中任取两个互不相等的数a，b组成复数，其中虚数有（ ）
A．10个B．12个C．16个D．20个
3.(2023·陕西高三模拟）有6位同学报名参加三个数学课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法共有（ ）
A．B．C．D．
4.(2023·浙江高三模拟）现有6名选手参加才艺比赛，其中男、女选手各3名，且3名男选手分别表演歌唱、舞蹈和魔术，3名女选手分别表演歌唱、舞蹈和魔术，若要求相邻出场的选手性别不同且表演的节目不同，则不同的出场方式的种数为（ ）
A．6B．12C．18D．24
【题型三 数字问题】
1.(2023·江西横峰中学月考）由数字1，2，3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为（ ）
A．15B．12C．10D．5
2.(2023·广东高三模拟）用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的
（1）密码箱的四位密码；
（2）比2000大的四位偶数.
3.(2023·青岛二中高三课时练习）用0,1,2,3,4五个数字．
（1）可以排成多少个三位数字的电话号码？
（2）可以排成多少个三位数？
（3）可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？
【题型四 涂色问题】
1．(2023·南宁市银海三美学校高三月考）如图，用五种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有多少种（ ）
A．280B．180C．96D．60
2.(2023·湖北车城高中高三期中）现有5种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（ ）
A．150种B．180种C．240种D．120种
3. (2023·广东高三期中）如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为( )
A．24 B．48
C．72 D．96
4.(2023·全国高三课时练习）如图，将一个四棱锥的每一个顶点染一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法有________种.
5．(2023·浙江高三模拟）现用4种不同的颜色对如图所示的正方形的6个区域进行涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方案有______种.
6．(2023·全国高二课时练习）如图所示，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有________种．(用数字作答)
【题型五 几何体问题】
1.已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为( )
A．40 B．16
C．13 D．10
2．(2023·济南中学高三月考）过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有多少对？
9.3 计数原理
【题型解读】
【题型一 分类加法计数原理】
1.(2023·甘肃省会宁县第二中学高三期中）将编号1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3的盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的号不能相同，则不同的放球方法有（ ）
A．16种B．12种C．9种D．6种
答案：B
【解析】由题意可知，这四个小球有两个小球放在一个盒子中，当四个小球分组为如下情况时，放球方法有：
当1与2号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
当1与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法； ^
当1与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
当2与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
当2与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
当3与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
因此，不同的放球方法有12种，故选B.
2.(2023·全国高三课时练习）算盘是中国古代的一项重要发明．现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字，梁下五珠，上拨一珠记作数字（如图2中算盘表示整数）．如果拨动图1算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由题意，拨动三枚算珠，有种拨法：
①个位拨动三枚，有种结果：、；
②十位拨动一枚，个位拨动两枚，有种结果：、、、；
③十位拨动两枚，个位拨动一枚，有种结果：、、、；
④十位拨动三枚，有种结果：、．
综上，拨动题图1算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为．
故选：C.
3．(2023·博兴县第三中学高三月考）若一位三位数的自然数各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们就把这样的三位数定义为“单重数”.例如：232，114等，则不超过200的“单重数”中，从小到大排列第22个“单重数”是（ ）
A．166B．171C．181D．188
答案：B
【解析】由题意可得：不超过200的数，
两个数字一样同为0时，有100，200有2个，
两个数字一样同为1时，有110，101，112，121，113，131，一直到191，119，共18个，
两个数字一样同为2时，有122，有1个
同理，两个数字一样同为3，4，5，6，7，8，9时各1个，
综上，不超过200的“单重数”共有，
其中最大的是200，较小的依次为199，191，188，181，177，171，
故第22个“单重数”为171，
故选：B.
4．(2023·四川乐山高三期末）从甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2条公路可走，从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走.则从甲地到丙地的走法种数（ ）
A．8B．6C．5D．2
答案：A
【解析】由题意分两种情况讨论：一是从甲地经过乙地到丙地，
因为从甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2条公路可走，
所以从甲地到丙地的走法有种，
二是从甲地不经过乙地到丙地，
因为从甲地不经过乙地到丙地有2条
所以从甲地到丙地的走法有2种，
故从甲地到丙地的走法共有种，
故选：A
5. (2023·山东济南高三期末）如图所示，在，间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通．今发现，之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有（ ）
A．9种B．11种C．13种D．15种
答案：C
【解析】按焊接点脱落的个数分成4类：
脱落1个，有1，4，共2种；
脱落2个，有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6种；
脱落3个，有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，3，4)，(2，3，4)，共4种；
脱落4个，有(1，2，3，4)，共1种，
由分类加法计数原理，焊接点脱落的情况共有种．
故选：C
【题型二 分步乘法计数原理】
1.(2023·全国高三课时练习）一植物园的参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有（ ）
A．6种B．8种
C．36种D．48种
答案：D
【解析】如图所示，由题意知在A点可先参观区域1，也可先参观区域2或3，选定一个区域后可以按逆时针参观，也可以按顺时针参观，所以第一步可以从6个路口任选一个，有6种结果，参观完第一个区域后，选择下一步走法，有4种结果，参观完第二个区域，只剩下最后一个区域，有2种走法，根据分步乘法计数原理，共有6×4×2＝48(种)不同的参观路线．
故选：D
2.(2023·湖南省长沙县第九中学高三期末）从集合中任取两个互不相等的数a，b组成复数，其中虚数有（ ）
A．10个B．12个C．16个D．20个
答案：C
【解析】∵a，b互不相等且为虚数，∴所有b只能从{1，2，3，4}中选一个有4种，
a从剩余的4个选一个有4种，∴根据分步计数原理知虚数有4×4＝16（个）．
故选：C．
3.(2023·陕西高三模拟）有6位同学报名参加三个数学课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法共有（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由题意知本题是一个分步计数问题，
第一个同学有3种报法，第二个同学有3种报法，
后面的四个同学都有三种报法，
根据分步计数原理知共有种结果，
故选：．
4.(2023·浙江高三模拟）现有6名选手参加才艺比赛，其中男、女选手各3名，且3名男选手分别表演歌唱、舞蹈和魔术，3名女选手分别表演歌唱、舞蹈和魔术，若要求相邻出场的选手性别不同且表演的节目不同，则不同的出场方式的种数为（ ）
A．6B．12C．18D．24
答案：B
【解析】设3名男选手分别为,,,他们分别表演歌唱,舞蹈和魔术,3名女选手分别为,,,她们分别表演歌唱,舞蹈和魔术,
若第一个出场的是,则第二个出场的只能是或,若第二个出场的是,则接下来的出场顺序只能是,,,,
同理,若第二个出场的是,则接下来的出场顺序只能是,,,,
所以若第一个出场,则不同的出场方式有2种,故不同的出场方式共有（种）,
故选:B
【题型三 数字问题】
1.(2023·江西横峰中学月考）由数字1，2，3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为（ ）
A．15B．12C．10D．5
答案：D
【解析】分三类，第一类组成一位整数，偶数有2，共1个；
第二类组成两位整数，其中偶数有12和32，共2个；
第三类组成三位整数，其中偶数有132和312，共2个．
由分类加法计数原理知共有偶数5个．故选：D
2.(2023·广东高三模拟）用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的
（1）密码箱的四位密码；
（2）比2000大的四位偶数.
答案：（1）360；（2）120
【解析】解：（1）分步解决.
第一步：选取第一个位置上的数字，有6种选取方法；
第二步：选取第二个位置上的数字，有5种选取方法；
第三步：选取第三个位置上的数字，有4种选取方法；
第四步：选取第四个位置上的数字，有3种选取方法.
由分步乘法计数原理知，可组成无重复数字的四位密码共有.
（2）按个位是0，2，4分为三类.
第一类：个位是0的有个；第二类：个位是2的有个；第三类：个位是4的有个.故由分类加法计数原理得比2000大的四位偶数有个.
3.(2023·青岛二中高三课时练习）用0,1,2,3,4五个数字．
（1）可以排成多少个三位数字的电话号码？
（2）可以排成多少个三位数？
（3）可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？
答案：（1）125个；（2）100个；（3）30个.
【解析】（1）三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125(个)．
（2）三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(个)．
（3）被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12(种)排法；
一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，
所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18(种)排法．
因而有12＋18＝30(种)排法．即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数．
【题型四 涂色问题】
1．(2023·南宁市银海三美学校高三月考）如图，用五种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有多少种（ ）
A．280B．180C．96D．60
答案：B
【解析】按区域分四步：第1步，A区域有5种颜色可选；
第2步，B区域有4种颜色可选；
第3步，C区域有3种颜色可选；
第4步，D区域也有3种颜色可选.
由分步乘法计数原理，共有5×4×3×3=180种不同的涂色方案.
选选：B.
2.(2023·湖北车城高中高三期中）现有5种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（ ）
A．150种B．180种C．240种D．120种
答案：B
【解析】分步涂色，第一步对涂色有5种方法，第二步对涂色有4种方法，第三步对涂色有3种方法，第四步对涂色有3种方法，
∴总的方法数为．
故选：B．
3. (2023·广东高三期中）如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为( )
A．24 B．48
C．72 D．96
答案：C
【解析】 分两种情况：
①A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D各有1种，有4×3×2＝24种涂法．
②A，C同色，先涂A有4种，E有3种，C有1种，B，D各有2种，有4×3×2×2＝48种涂色．
故共有24＋48＝72种涂色方法．
4.(2023·全国高三课时练习）如图，将一个四棱锥的每一个顶点染一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法有________种.
答案：72
【解析】下面分两种情况，即C，A同色与C，A不同色来讨论.
（1）P的着色方法有4种，A的着色方法有3种，B的着色方法有2种，
C，A同色时，C的着色方法为1种，D的着色方法有2种.
（2）P的着色方法有4种，A的着色方法有3种，B的着色方法有2种.
C与A不同色时C的着色方法有1种，D的着色方法有1种，
综上，两类共有4×3×2×1×2＋4×3×2×1×1＝48＋24＝72(种).
5．(2023·浙江高三模拟）现用4种不同的颜色对如图所示的正方形的6个区域进行涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方案有______种.
答案：144
【解析】第一步，对区域1进行涂色，有4种颜色可供选择，即有4种不同的涂色方法；
第二步，对区域2进行涂色，区域2与区域1相邻，有3种颜色可供选择，即有3种不同的涂色方法；
第三步，对区域3进行涂色，区域3与区域1、区域2相邻，有2种颜色可供选择，即有2种不同的涂色方法；
第四步，对于区域4进行涂色，区域4与区域2、区域3相邻，有2种颜色可供选择，即有2种不同的涂色方法；
第五步，对区域5进行涂色，若其颜色与区域4相同，则区域6有2种涂色方法，若其颜色与区域4不同，则区域6只有1种涂色方法，故区域5，6共有种涂色方法，
由分步乘法计数原理知，不同的涂色方案的种数为.
故答案为：144
6．(2023·全国高二课时练习）如图所示，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有________种．(用数字作答)
答案：750
【解析】首先给最左边的一个格子涂色，有6种选择，左边第二个格子有5种选择，第三个格子有5种选择，第四个格子也有5种选择，根据分步乘法计数原理得，共有6×5×5×5＝750(种)涂色方法．
故答案为：750
【题型五 几何体问题】
1.已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为( )
A．40 B．16
C．13 D．10
答案：C
【解析】分两类情况讨论：
第1类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；
第2类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面．
根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13个不同的平面．
2．(2023·济南中学高三月考）过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有多少对？
答案：36
【解析】如图，在三棱柱中，分四类进行计数：
与上底面异面的直线有对；
与下底面的异面的直线有9对(除去与上底面的)；
与侧棱异面的直线有6对(除去与下底面的)；
侧面对角线之间成异面直线的有6对.
由分类加法计数原理，知共有异面直线共有对.
【题型一 分类加法计数原理】
1.(2023·甘肃省会宁县第二中学高三期中）将编号1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3的盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的号不能相同，则不同的放球方法有（ ）
A．16种B．12种C．9种D．6种
2.(2023·全国高三课时练习）算盘是中国古代的一项重要发明．现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字，梁下五珠，上拨一珠记作数字（如图2中算盘表示整数）．如果拨动图1算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·博兴县第三中学高三月考）若一位三位数的自然数各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们就把这样的三位数定义为“单重数”.例如：232，114等，则不超过200的“单重数”中，从小到大排列第22个“单重数”是（ ）
A．166B．171C．181D．188
4．(2023·四川乐山高三期末）从甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2条公路可走，从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走.则从甲地到丙地的走法种数（ ）
A．8B．6C．5D．2
5. (2023·山东济南高三期末）如图所示，在，间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通．今发现，之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有（ ）
A．9种B．11种C．13种D．15种
【题型二 分步乘法计数原理】
1.(2023·全国高三课时练习）一植物园的参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有（ ）
A．6种B．8种
C．36种D．48种
2.(2023·湖南省长沙县第九中学高三期末）从集合中任取两个互不相等的数a，b组成复数，其中虚数有（ ）
A．10个B．12个C．16个D．20个
3.(2023·陕西高三模拟）有6位同学报名参加三个数学课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法共有（ ）
A．B．C．D．
4.(2023·浙江高三模拟）现有6名选手参加才艺比赛，其中男、女选手各3名，且3名男选手分别表演歌唱、舞蹈和魔术，3名女选手分别表演歌唱、舞蹈和魔术，若要求相邻出场的选手性别不同且表演的节目不同，则不同的出场方式的种数为（ ）
A．6B．12C．18D．24
【题型三 数字问题】
1.(2023·江西横峰中学月考）由数字1，2，3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为（ ）
A．15B．12C．10D．5
2.(2023·广东高三模拟）用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的
（1）密码箱的四位密码；
（2）比2000大的四位偶数.
3.(2023·青岛二中高三课时练习）用0,1,2,3,4五个数字．
（1）可以排成多少个三位数字的电话号码？
（2）可以排成多少个三位数？
（3）可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？
【题型四 涂色问题】
1．(2023·南宁市银海三美学校高三月考）如图，用五种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有多少种（ ）
A．280B．180C．96D．60
2.(2023·湖北车城高中高三期中）现有5种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（ ）
A．150种B．180种C．240种D．120种
3. (2023·广东高三期中）如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为( )
A．24 B．48
C．72 D．96
4.(2023·全国高三课时练习）如图，将一个四棱锥的每一个顶点染一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法有________种.
5．(2023·浙江高三模拟）现用4种不同的颜色对如图所示的正方形的6个区域进行涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方案有______种.
6．(2023·全国高二课时练习）如图所示，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有________种．(用数字作答)
【题型五 几何体问题】
1.已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为( )
A．40 B．16
C．13 D．10
2．(2023·济南中学高三月考）过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有多少对？
9.3 计数原理
【题型解读】
【题型一 分类加法计数原理】
1.(2023·甘肃省会宁县第二中学高三期中）将编号1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3的盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的号不能相同，则不同的放球方法有（ ）
A．16种B．12种C．9种D．6种
答案：B
【解析】由题意可知，这四个小球有两个小球放在一个盒子中，当四个小球分组为如下情况时，放球方法有：
当1与2号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
当1与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法； ^
当1与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
当2与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
当2与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
当3与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
因此，不同的放球方法有12种，故选B.
2.(2023·全国高三课时练习）算盘是中国古代的一项重要发明．现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字，梁下五珠，上拨一珠记作数字（如图2中算盘表示整数）．如果拨动图1算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由题意，拨动三枚算珠，有种拨法：
①个位拨动三枚，有种结果：、；
②十位拨动一枚，个位拨动两枚，有种结果：、、、；
③十位拨动两枚，个位拨动一枚，有种结果：、、、；
④十位拨动三枚，有种结果：、．
综上，拨动题图1算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为．
故选：C.
3．(2023·博兴县第三中学高三月考）若一位三位数的自然数各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们就把这样的三位数定义为“单重数”.例如：232，114等，则不超过200的“单重数”中，从小到大排列第22个“单重数”是（ ）
A．166B．171C．181D．188
答案：B
【解析】由题意可得：不超过200的数，
两个数字一样同为0时，有100，200有2个，
两个数字一样同为1时，有110，101，112，121，113，131，一直到191，119，共18个，
两个数字一样同为2时，有122，有1个
同理，两个数字一样同为3，4，5，6，7，8，9时各1个，
综上，不超过200的“单重数”共有，
其中最大的是200，较小的依次为199，191，188，181，177，171，
故第22个“单重数”为171，
故选：B.
4．(2023·四川乐山高三期末）从甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2条公路可走，从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走.则从甲地到丙地的走法种数（ ）
A．8B．6C．5D．2
答案：A
【解析】由题意分两种情况讨论：一是从甲地经过乙地到丙地，
因为从甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2条公路可走，
所以从甲地到丙地的走法有种，
二是从甲地不经过乙地到丙地，
因为从甲地不经过乙地到丙地有2条
所以从甲地到丙地的走法有2种，
故从甲地到丙地的走法共有种，
故选：A
5. (2023·山东济南高三期末）如图所示，在，间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通．今发现，之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有（ ）
A．9种B．11种C．13种D．15种
答案：C
【解析】按焊接点脱落的个数分成4类：
脱落1个，有1，4，共2种；
脱落2个，有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6种；
脱落3个，有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，3，4)，(2，3，4)，共4种；
脱落4个，有(1，2，3，4)，共1种，
由分类加法计数原理，焊接点脱落的情况共有种．
故选：C
【题型二 分步乘法计数原理】
1.(2023·全国高三课时练习）一植物园的参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有（ ）
A．6种B．8种
C．36种D．48种
答案：D
【解析】如图所示，由题意知在A点可先参观区域1，也可先参观区域2或3，选定一个区域后可以按逆时针参观，也可以按顺时针参观，所以第一步可以从6个路口任选一个，有6种结果，参观完第一个区域后，选择下一步走法，有4种结果，参观完第二个区域，只剩下最后一个区域，有2种走法，根据分步乘法计数原理，共有6×4×2＝48(种)不同的参观路线．
故选：D
2.(2023·湖南省长沙县第九中学高三期末）从集合中任取两个互不相等的数a，b组成复数，其中虚数有（ ）
A．10个B．12个C．16个D．20个
答案：C
【解析】∵a，b互不相等且为虚数，∴所有b只能从{1，2，3，4}中选一个有4种，
a从剩余的4个选一个有4种，∴根据分步计数原理知虚数有4×4＝16（个）．
故选：C．
3.(2023·陕西高三模拟）有6位同学报名参加三个数学课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法共有（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由题意知本题是一个分步计数问题，
第一个同学有3种报法，第二个同学有3种报法，
后面的四个同学都有三种报法，
根据分步计数原理知共有种结果，
故选：．
4.(2023·浙江高三模拟）现有6名选手参加才艺比赛，其中男、女选手各3名，且3名男选手分别表演歌唱、舞蹈和魔术，3名女选手分别表演歌唱、舞蹈和魔术，若要求相邻出场的选手性别不同且表演的节目不同，则不同的出场方式的种数为（ ）
A．6B．12C．18D．24
答案：B
【解析】设3名男选手分别为,,,他们分别表演歌唱,舞蹈和魔术,3名女选手分别为,,,她们分别表演歌唱,舞蹈和魔术,
若第一个出场的是,则第二个出场的只能是或,若第二个出场的是,则接下来的出场顺序只能是,,,,
同理,若第二个出场的是,则接下来的出场顺序只能是,,,,
所以若第一个出场,则不同的出场方式有2种,故不同的出场方式共有（种）,
故选:B
【题型三 数字问题】
1.(2023·江西横峰中学月考）由数字1，2，3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为（ ）
A．15B．12C．10D．5
答案：D
【解析】分三类，第一类组成一位整数，偶数有2，共1个；
第二类组成两位整数，其中偶数有12和32，共2个；
第三类组成三位整数，其中偶数有132和312，共2个．
由分类加法计数原理知共有偶数5个．故选：D
2.(2023·广东高三模拟）用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的
（1）密码箱的四位密码；
（2）比2000大的四位偶数.
答案：（1）360；（2）120
【解析】解：（1）分步解决.
第一步：选取第一个位置上的数字，有6种选取方法；
第二步：选取第二个位置上的数字，有5种选取方法；
第三步：选取第三个位置上的数字，有4种选取方法；
第四步：选取第四个位置上的数字，有3种选取方法.
由分步乘法计数原理知，可组成无重复数字的四位密码共有.
（2）按个位是0，2，4分为三类.
第一类：个位是0的有个；第二类：个位是2的有个；第三类：个位是4的有个.故由分类加法计数原理得比2000大的四位偶数有个.
3.(2023·青岛二中高三课时练习）用0,1,2,3,4五个数字．
（1）可以排成多少个三位数字的电话号码？
（2）可以排成多少个三位数？
（3）可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？
答案：（1）125个；（2）100个；（3）30个.
【解析】（1）三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125(个)．
（2）三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(个)．
（3）被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12(种)排法；
一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，
所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18(种)排法．
因而有12＋18＝30(种)排法．即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数．
【题型四 涂色问题】
1．(2023·南宁市银海三美学校高三月考）如图，用五种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有多少种（ ）
A．280B．180C．96D．60
答案：B
【解析】按区域分四步：第1步，A区域有5种颜色可选；
第2步，B区域有4种颜色可选；
第3步，C区域有3种颜色可选；
第4步，D区域也有3种颜色可选.
由分步乘法计数原理，共有5×4×3×3=180种不同的涂色方案.
选选：B.
2.(2023·湖北车城高中高三期中）现有5种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（ ）
A．150种B．180种C．240种D．120种
答案：B
【解析】分步涂色，第一步对涂色有5种方法，第二步对涂色有4种方法，第三步对涂色有3种方法，第四步对涂色有3种方法，
∴总的方法数为．
故选：B．
3. (2023·广东高三期中）如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为( )
A．24 B．48
C．72 D．96
答案：C
【解析】 分两种情况：
①A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D各有1种，有4×3×2＝24种涂法．
②A，C同色，先涂A有4种，E有3种，C有1种，B，D各有2种，有4×3×2×2＝48种涂色．
故共有24＋48＝72种涂色方法．
4.(2023·全国高三课时练习）如图，将一个四棱锥的每一个顶点染一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法有________种.
答案：72
【解析】下面分两种情况，即C，A同色与C，A不同色来讨论.
（1）P的着色方法有4种，A的着色方法有3种，B的着色方法有2种，
C，A同色时，C的着色方法为1种，D的着色方法有2种.
（2）P的着色方法有4种，A的着色方法有3种，B的着色方法有2种.
C与A不同色时C的着色方法有1种，D的着色方法有1种，
综上，两类共有4×3×2×1×2＋4×3×2×1×1＝48＋24＝72(种).
5．(2023·浙江高三模拟）现用4种不同的颜色对如图所示的正方形的6个区域进行涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方案有______种.
答案：144
【解析】第一步，对区域1进行涂色，有4种颜色可供选择，即有4种不同的涂色方法；
第二步，对区域2进行涂色，区域2与区域1相邻，有3种颜色可供选择，即有3种不同的涂色方法；
第三步，对区域3进行涂色，区域3与区域1、区域2相邻，有2种颜色可供选择，即有2种不同的涂色方法；
第四步，对于区域4进行涂色，区域4与区域2、区域3相邻，有2种颜色可供选择，即有2种不同的涂色方法；
第五步，对区域5进行涂色，若其颜色与区域4相同，则区域6有2种涂色方法，若其颜色与区域4不同，则区域6只有1种涂色方法，故区域5，6共有种涂色方法，
由分步乘法计数原理知，不同的涂色方案的种数为.
故答案为：144
6．(2023·全国高二课时练习）如图所示，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有________种．(用数字作答)
答案：750
【解析】首先给最左边的一个格子涂色，有6种选择，左边第二个格子有5种选择，第三个格子有5种选择，第四个格子也有5种选择，根据分步乘法计数原理得，共有6×5×5×5＝750(种)涂色方法．
故答案为：750
【题型五 几何体问题】
1.已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为( )
A．40 B．16
C．13 D．10
答案：C
【解析】分两类情况讨论：
第1类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；
第2类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面．
根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13个不同的平面．
2．(2023·济南中学高三月考）过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有多少对？
答案：36
【解析】如图，在三棱柱中，分四类进行计数：
与上底面异面的直线有对；
与下底面的异面的直线有9对(除去与上底面的)；
与侧棱异面的直线有6对(除去与下底面的)；
侧面对角线之间成异面直线的有6对.
由分类加法计数原理，知共有异面直线共有对.
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