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高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)1.1集合(精讲)(原卷版+解析)
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这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)1.1集合(精讲)(原卷版+解析)，共17页。
【知识储备】
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
2.集合间的基本关系
3.集合的基本运算
(2)三种运算的常见性质
①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.②A∩A＝A，A∩∅＝∅.
③A∪A＝A，A∪∅＝A.④A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A.
⑤A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA ⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅.
【题型精讲】
【题型一 集合的基本概念】
必备技巧 解决集合概念问题的关键
一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．特别提醒：含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性．
例1 (2023·山东济南·二模）已知集合，， ，则C中元素的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
例2 (2023·武汉校级月考）已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
例3 【多选】(2023·全国·高三专题练习）已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（ ）
A．-2B．-1C．0D．1
【题型精练】
1. (2023·宁夏银川·一模）已知集合，，则B中所含元素的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．6
2．(2023·全国高三课时练习）设A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(2，3，a2－3a，a＋\f(2,a)＋7))，B＝{|a－2|,3}，已知4∈A且4∉B，则a的取值集合为________．
3．(2023·全国高三课时练习）已知集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0，x∈R，a∈R}只有一个元素，则a＝_____．
【题型二 集合的基本关系】
必备技巧 集合的基本关系
(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
例4 (2023·广东广州·一模）已知集合，，则的子集个数为（ ）
A．2B．3C．4D．6
例5 (2023·河南·灵宝市第一高级中学模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
例6 (2023·广西·模拟预测）已知集合，或.
（1）若，求；
（2）若，求a的取值范围.
【题型精练】
1．(2023·湖北武汉摸底）已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A．1 B．2
C．3 D．4
2. (2023·陕西陕西·二模）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3. (2023·全国·高三专题练习）集合，，则（ ）
A．B．C． D．
【题型三 集合的运算】
必备技巧 集合的运算
(1)对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．
(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，能简化运算．
例7 (2023·江苏·苏州中学高三开学考试）已知集合A＝，则A∩B＝（ ）
A．(0，2]B．(0，2)C．(1，2]D．(0，＋∞)
例8 (2023·山东·夏津第一中学高三阶段练习）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
例9 (2023·江苏·高三专题练习）已知集合，则_______________
例10 (2023·浙江·高三专题练习）已知全集，集合，，则下列Venn图中阴影部分的集合为___________．
例11 (2023·全国·高三专题练习）已知集合，，若，则实数的取值范围是___________.
【题型精练】
1．(2023·安徽·芜湖一中一模）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2. (2023·全国·高三专题练习（理））若集合，则（ ）
A．B．C．D．
3. (2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）如图，已知集合，，，，，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）
A．，B．，，C．，D．，，
4. (2023·浙江绍兴·高三期末）已知全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
5. (2023·全国·高三专题练习）已知集合，，若，则实数的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【题型四 集合的新定义问题】
必备技巧 解决集合新定义问题的关键
(1)准确转化：解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．
(2)方法选取：对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解．
(3)从新定义出发，结合集合的性质求解，提升逻辑推理核心素养．
例12 (2023·北京房山·一模）已知U是非实数集，若非空集合A1，A2满足以下三个条件，则称（A1，A2）为集合U的一种真分拆，并规定（A1，A2）与（A2，A1）为集合U的同一种真分拆
①A1∩A2=0
②A1A2=U
③的元素个数不是中的元素.
则集合U={1，2，3，4，5，6}的真分拆的种数是（ ）
A．5B．6C．10D．15
例13 (2023·全国·高三专题练习）设是两个非空集合，定义集合间的一种运算“”：
，如果，，则____________.
【题型精练】
1．(2023·全国·高三专题练习）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为_____.
2. (2023·全国·高三专题练习）用表示非空集合A中元素的个数，定义，已知集合，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（ ）
A．0B．1C．2D．3集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
关系
自然语言
符号语言
Venn图
子集
集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)
A⊆B(或B⊇A)
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中
A⫋B
(或B⫌A)
集合相等
集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集
A＝B
运算
自然语言
符号语言
Venn图
交集
由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合
A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
并集
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合
A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
补集
由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合
∁UA＝{x|x∈U且x∉A}
1.1 集合
【题型解读】
【知识储备】
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
2.集合间的基本关系
3.集合的基本运算
(2)三种运算的常见性质
①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.②A∩A＝A，A∩∅＝∅.
③A∪A＝A，A∪∅＝A.④A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A.
⑤A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA ⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅.
【题型精讲】
【题型一 集合的基本概念】
必备技巧 解决集合概念问题的关键
一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．特别提醒：含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性．
例1 (2023·山东济南·二模）已知集合，， ，则C中元素的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：C
【解析】由题意，当时， ，当，时， ，
当，时， ，
即C中有三个元素，
故选：C
例2 (2023·武汉校级月考）已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
答案：－eq \f(3,2)
【解析】由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，
则m＝1或m＝－eq \f(3,2).
当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m＝－eq \f(3,2)时，m＋2＝eq \f(1,2)，而2m2＋m＝3，符合题意，故m＝－eq \f(3,2).
例3 【多选】(2023·全国·高三专题练习）已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（ ）
A．-2B．-1C．0D．1
答案：BCD
【解析】因为集合仅有个子集，所以集合中仅有一个元素，
当时，，所以，所以，满足要求；
当时，因为集合中仅有一个元素，所以，所以，此时或，满足要求.
【题型精练】
1. (2023·宁夏银川·一模）已知集合，，则B中所含元素的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．6
答案：D
【解析】时，，3，4，
时，，3，
时，，
时，无满足条件的值；故共6个，
故选：D．
2．(2023·全国高三课时练习）设A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(2，3，a2－3a，a＋\f(2,a)＋7))，B＝{|a－2|,3}，已知4∈A且4∉B，则a的取值集合为________．
答案：{4}
【解析】因为4∈A，即4∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(2，3，a2－3a，a＋\f(2,a)＋7))，
所以a2－3a＝4或a＋eq \f(2,a)＋7＝4.
若a2－3a＝4，则a＝－1或a＝4；
若a＋eq \f(2,a)＋7＝4，即a2＋3a＋2＝0，则a＝－1或a＝－2.
由a2－3a与a＋eq \f(2,a)＋7互异，得a≠－1.
故a＝－2或a＝4.又4∉B，即4∉{|a－2|,3}，
所以|a－2|≠4，解得a≠－2且a≠6.
综上所述，a的取值集合为{4}．
3．(2023·全国高三课时练习）已知集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0，x∈R，a∈R}只有一个元素，则a＝_____．
答案：0或
【解析】因为集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0，x∈R，a∈R}有且只有一个元素，
当a＝0时，ax2﹣3x+2＝0只有一个解x＝，
当a≠0时，一元二次方程只有一个元素则方程有重根，
所以△＝9﹣8a＝0即a＝
所以实数a＝0或．
【题型二 集合的基本关系】
必备技巧 集合的基本关系
(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
例4 (2023·广东广州·一模）已知集合，，则的子集个数为（ ）
A．2B．3C．4D．6
答案：C
【解析】由题可知，所有，所有其子集分别是，所有共有4个子集，故选：C
例5 (2023·河南·灵宝市第一高级中学模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：
【解析】因为，，
当时，是奇数，是整数，所以．
例6 (2023·广西·模拟预测）已知集合，或.
（1）若，求；
（2）若，求a的取值范围.
答案：（1）；（2）或.
【解析】（1）当时，易得，
或，
.
（2）若，即时，，满足，
若，即时，
要使，只需或，
解得或，
综上所述a的取值范围为或.
【题型精练】
1．(2023·湖北武汉摸底）已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A．1 B．2
C．3 D．4
答案：D
【解析】求解一元二次方程，得A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}＝{x|(x－1)(x－2)＝0，x∈R}＝{1,2}，易知B＝{x|02. (2023·陕西陕西·二模）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】，当时，，满足.
当时，由于，所以.综上所述，的取值范围是.
3. (2023·全国·高三专题练习）集合，，则（ ）
A．B．C． D．
答案：B
【解析】由已知，，又表示整数，表示奇数，故.
【题型三 集合的运算】
必备技巧 集合的运算
(1)对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．
(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，能简化运算．
例7 (2023·江苏·苏州中学高三开学考试）已知集合A＝，则A∩B＝（ ）
A．(0，2]B．(0，2)C．(1，2]D．(0，＋∞)
答案：A
【解析】∵由，即，解得，所以集合，
由当时，，得，所以．故选：A.
例8 (2023·山东·夏津第一中学高三阶段练习）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】解 可得 ，
故，，
所以.
例9 (2023·江苏·高三专题练习）已知集合，则_______________
答案：
【解析】由得，又，所以或2，，
又，所以.
故答案为：.
例10 (2023·浙江·高三专题练习）已知全集，集合，，则下列Venn图中阴影部分的集合为___________．
答案：
【解析】由题意，集合，
则Venn图中阴影部分表示的集合是．
故答案为：.
例11 (2023·全国·高三专题练习）已知集合，，若，则实数的取值范围是___________.
答案：
【解析】因为，
，
由可得，所以，
所以实数的取值范围是，
【题型精练】
1．(2023·安徽·芜湖一中一模）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由，得或，所以，
由，得，所以，
所以.
2. (2023·全国·高三专题练习（理））若集合，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】因为集合，则，
3. (2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）如图，已知集合，，，，，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）
A．，B．，，C．，D．，，
答案：B
【解析】解不等式得，所以，
因为，，，，
所以
所以，图中的阴影部分表示的集合为.
故选：B
4. (2023·浙江绍兴·高三期末）已知全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由，可得，即，则
由，可得或，则或
则，故故选：D
5. (2023·全国·高三专题练习）已知集合，，若，则实数的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】，因为，所以，
当时，集合，满足；
当时，集合，
由，得或，解得或，
综上，实数的取值集合为.故选：D.
【题型四 集合的新定义问题】
必备技巧 解决集合新定义问题的关键
(1)准确转化：解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．
(2)方法选取：对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解．
(3)从新定义出发，结合集合的性质求解，提升逻辑推理核心素养．
例12 (2023·北京房山·一模）已知U是非实数集，若非空集合A1，A2满足以下三个条件，则称（A1，A2）为集合U的一种真分拆，并规定（A1，A2）与（A2，A1）为集合U的同一种真分拆
①A1∩A2=0
②A1A2=U
③的元素个数不是中的元素.
则集合U={1，2，3，4，5，6}的真分拆的种数是（ ）
A．5B．6C．10D．15
答案：A
【解析】由题意，集合U={1，2，3，4，5，6}的真分拆有；
；；；，共5种，
故选：A.
例13 (2023·全国·高三专题练习）设是两个非空集合，定义集合间的一种运算“”：
，如果，，则____________.
答案：
【解析】对于P集合，，，，即
对于Q集合，，，，即
，
则
【题型精练】
1．(2023·全国·高三专题练习）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为_____.
答案：
【解析】当时，，此时满足，
当时，，此时集合只能是“蚕食”关系，
所以当集合有公共元素时，解得，
当集合有公共元素时，解得，
故的取值集合为.
2. (2023·全国·高三专题练习）用表示非空集合A中元素的个数，定义，已知集合，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
答案：D
【解析】由，可得
因为等价于或，
且，所以集合要么是单元素集，要么是三元素集．
（1）若是单元素集，则方程有两个相等实数根，方程无实数根，故；
（2）若是三元素集，则方程有两个不相等实数根，方程有两个相等且异于方程的实数根，即且．
综上所求或，即，故，
故选：D．集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
关系
自然语言
符号语言
Venn图
子集
集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)
A⊆B(或B⊇A)
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中
A⫋B
(或B⫌A)
集合相等
集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集
A＝B
运算
自然语言
符号语言
Venn图
交集
由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合
A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
并集
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合
A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
补集
由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合
∁UA＝{x|x∈U且x∉A}
【知识储备】
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
2.集合间的基本关系
3.集合的基本运算
(2)三种运算的常见性质
①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.②A∩A＝A，A∩∅＝∅.
③A∪A＝A，A∪∅＝A.④A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A.
⑤A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA ⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅.
【题型精讲】
【题型一 集合的基本概念】
必备技巧 解决集合概念问题的关键
一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．特别提醒：含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性．
例1 (2023·山东济南·二模）已知集合，， ，则C中元素的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
例2 (2023·武汉校级月考）已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
例3 【多选】(2023·全国·高三专题练习）已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（ ）
A．-2B．-1C．0D．1
【题型精练】
1. (2023·宁夏银川·一模）已知集合，，则B中所含元素的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．6
2．(2023·全国高三课时练习）设A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(2，3，a2－3a，a＋\f(2,a)＋7))，B＝{|a－2|,3}，已知4∈A且4∉B，则a的取值集合为________．
3．(2023·全国高三课时练习）已知集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0，x∈R，a∈R}只有一个元素，则a＝_____．
【题型二 集合的基本关系】
必备技巧 集合的基本关系
(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
例4 (2023·广东广州·一模）已知集合，，则的子集个数为（ ）
A．2B．3C．4D．6
例5 (2023·河南·灵宝市第一高级中学模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
例6 (2023·广西·模拟预测）已知集合，或.
（1）若，求；
（2）若，求a的取值范围.
【题型精练】
1．(2023·湖北武汉摸底）已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0
C．3 D．4
2. (2023·陕西陕西·二模）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3. (2023·全国·高三专题练习）集合，，则（ ）
A．B．C． D．
【题型三 集合的运算】
必备技巧 集合的运算
(1)对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．
(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，能简化运算．
例7 (2023·江苏·苏州中学高三开学考试）已知集合A＝，则A∩B＝（ ）
A．(0，2]B．(0，2)C．(1，2]D．(0，＋∞)
例8 (2023·山东·夏津第一中学高三阶段练习）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
例9 (2023·江苏·高三专题练习）已知集合，则_______________
例10 (2023·浙江·高三专题练习）已知全集，集合，，则下列Venn图中阴影部分的集合为___________．
例11 (2023·全国·高三专题练习）已知集合，，若，则实数的取值范围是___________.
【题型精练】
1．(2023·安徽·芜湖一中一模）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2. (2023·全国·高三专题练习（理））若集合，则（ ）
A．B．C．D．
3. (2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）如图，已知集合，，，，，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）
A．，B．，，C．，D．，，
4. (2023·浙江绍兴·高三期末）已知全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
5. (2023·全国·高三专题练习）已知集合，，若，则实数的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【题型四 集合的新定义问题】
必备技巧 解决集合新定义问题的关键
(1)准确转化：解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．
(2)方法选取：对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解．
(3)从新定义出发，结合集合的性质求解，提升逻辑推理核心素养．
例12 (2023·北京房山·一模）已知U是非实数集，若非空集合A1，A2满足以下三个条件，则称（A1，A2）为集合U的一种真分拆，并规定（A1，A2）与（A2，A1）为集合U的同一种真分拆
①A1∩A2=0
②A1A2=U
③的元素个数不是中的元素.
则集合U={1，2，3，4，5，6}的真分拆的种数是（ ）
A．5B．6C．10D．15
例13 (2023·全国·高三专题练习）设是两个非空集合，定义集合间的一种运算“”：
，如果，，则____________.
【题型精练】
1．(2023·全国·高三专题练习）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为_____.
2. (2023·全国·高三专题练习）用表示非空集合A中元素的个数，定义，已知集合，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（ ）
A．0B．1C．2D．3集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
关系
自然语言
符号语言
Venn图
子集
集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)
A⊆B(或B⊇A)
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中
A⫋B
(或B⫌A)
集合相等
集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集
A＝B
运算
自然语言
符号语言
Venn图
交集
由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合
A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
并集
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合
A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
补集
由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合
∁UA＝{x|x∈U且x∉A}
1.1 集合
【题型解读】
【知识储备】
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
2.集合间的基本关系
3.集合的基本运算
(2)三种运算的常见性质
①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.②A∩A＝A，A∩∅＝∅.
③A∪A＝A，A∪∅＝A.④A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A.
⑤A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA ⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅.
【题型精讲】
【题型一 集合的基本概念】
必备技巧 解决集合概念问题的关键
一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．特别提醒：含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性．
例1 (2023·山东济南·二模）已知集合，， ，则C中元素的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：C
【解析】由题意，当时， ，当，时， ，
当，时， ，
即C中有三个元素，
故选：C
例2 (2023·武汉校级月考）已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
答案：－eq \f(3,2)
【解析】由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，
则m＝1或m＝－eq \f(3,2).
当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m＝－eq \f(3,2)时，m＋2＝eq \f(1,2)，而2m2＋m＝3，符合题意，故m＝－eq \f(3,2).
例3 【多选】(2023·全国·高三专题练习）已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（ ）
A．-2B．-1C．0D．1
答案：BCD
【解析】因为集合仅有个子集，所以集合中仅有一个元素，
当时，，所以，所以，满足要求；
当时，因为集合中仅有一个元素，所以，所以，此时或，满足要求.
【题型精练】
1. (2023·宁夏银川·一模）已知集合，，则B中所含元素的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．6
答案：D
【解析】时，，3，4，
时，，3，
时，，
时，无满足条件的值；故共6个，
故选：D．
2．(2023·全国高三课时练习）设A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(2，3，a2－3a，a＋\f(2,a)＋7))，B＝{|a－2|,3}，已知4∈A且4∉B，则a的取值集合为________．
答案：{4}
【解析】因为4∈A，即4∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(2，3，a2－3a，a＋\f(2,a)＋7))，
所以a2－3a＝4或a＋eq \f(2,a)＋7＝4.
若a2－3a＝4，则a＝－1或a＝4；
若a＋eq \f(2,a)＋7＝4，即a2＋3a＋2＝0，则a＝－1或a＝－2.
由a2－3a与a＋eq \f(2,a)＋7互异，得a≠－1.
故a＝－2或a＝4.又4∉B，即4∉{|a－2|,3}，
所以|a－2|≠4，解得a≠－2且a≠6.
综上所述，a的取值集合为{4}．
3．(2023·全国高三课时练习）已知集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0，x∈R，a∈R}只有一个元素，则a＝_____．
答案：0或
【解析】因为集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0，x∈R，a∈R}有且只有一个元素，
当a＝0时，ax2﹣3x+2＝0只有一个解x＝，
当a≠0时，一元二次方程只有一个元素则方程有重根，
所以△＝9﹣8a＝0即a＝
所以实数a＝0或．
【题型二 集合的基本关系】
必备技巧 集合的基本关系
(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
例4 (2023·广东广州·一模）已知集合，，则的子集个数为（ ）
A．2B．3C．4D．6
答案：C
【解析】由题可知，所有，所有其子集分别是，所有共有4个子集，故选：C
例5 (2023·河南·灵宝市第一高级中学模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：
【解析】因为，，
当时，是奇数，是整数，所以．
例6 (2023·广西·模拟预测）已知集合，或.
（1）若，求；
（2）若，求a的取值范围.
答案：（1）；（2）或.
【解析】（1）当时，易得，
或，
.
（2）若，即时，，满足，
若，即时，
要使，只需或，
解得或，
综上所述a的取值范围为或.
【题型精练】
1．(2023·湖北武汉摸底）已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0
C．3 D．4
答案：D
【解析】求解一元二次方程，得A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}＝{x|(x－1)(x－2)＝0，x∈R}＝{1,2}，易知B＝{x|0
A．B．C．D．
答案：C
【解析】，当时，，满足.
当时，由于，所以.综上所述，的取值范围是.
3. (2023·全国·高三专题练习）集合，，则（ ）
A．B．C． D．
答案：B
【解析】由已知，，又表示整数，表示奇数，故.
【题型三 集合的运算】
必备技巧 集合的运算
(1)对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．
(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，能简化运算．
例7 (2023·江苏·苏州中学高三开学考试）已知集合A＝，则A∩B＝（ ）
A．(0，2]B．(0，2)C．(1，2]D．(0，＋∞)
答案：A
【解析】∵由，即，解得，所以集合，
由当时，，得，所以．故选：A.
例8 (2023·山东·夏津第一中学高三阶段练习）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】解 可得 ，
故，，
所以.
例9 (2023·江苏·高三专题练习）已知集合，则_______________
答案：
【解析】由得，又，所以或2，，
又，所以.
故答案为：.
例10 (2023·浙江·高三专题练习）已知全集，集合，，则下列Venn图中阴影部分的集合为___________．
答案：
【解析】由题意，集合，
则Venn图中阴影部分表示的集合是．
故答案为：.
例11 (2023·全国·高三专题练习）已知集合，，若，则实数的取值范围是___________.
答案：
【解析】因为，
，
由可得，所以，
所以实数的取值范围是，
【题型精练】
1．(2023·安徽·芜湖一中一模）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由，得或，所以，
由，得，所以，
所以.
2. (2023·全国·高三专题练习（理））若集合，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】因为集合，则，
3. (2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）如图，已知集合，，，，，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）
A．，B．，，C．，D．，，
答案：B
【解析】解不等式得，所以，
因为，，，，
所以
所以，图中的阴影部分表示的集合为.
故选：B
4. (2023·浙江绍兴·高三期末）已知全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由，可得，即，则
由，可得或，则或
则，故故选：D
5. (2023·全国·高三专题练习）已知集合，，若，则实数的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】，因为，所以，
当时，集合，满足；
当时，集合，
由，得或，解得或，
综上，实数的取值集合为.故选：D.
【题型四 集合的新定义问题】
必备技巧 解决集合新定义问题的关键
(1)准确转化：解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．
(2)方法选取：对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解．
(3)从新定义出发，结合集合的性质求解，提升逻辑推理核心素养．
例12 (2023·北京房山·一模）已知U是非实数集，若非空集合A1，A2满足以下三个条件，则称（A1，A2）为集合U的一种真分拆，并规定（A1，A2）与（A2，A1）为集合U的同一种真分拆
①A1∩A2=0
②A1A2=U
③的元素个数不是中的元素.
则集合U={1，2，3，4，5，6}的真分拆的种数是（ ）
A．5B．6C．10D．15
答案：A
【解析】由题意，集合U={1，2，3，4，5，6}的真分拆有；
；；；，共5种，
故选：A.
例13 (2023·全国·高三专题练习）设是两个非空集合，定义集合间的一种运算“”：
，如果，，则____________.
答案：
【解析】对于P集合，，，，即
对于Q集合，，，，即
，
则
【题型精练】
1．(2023·全国·高三专题练习）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为_____.
答案：
【解析】当时，，此时满足，
当时，，此时集合只能是“蚕食”关系，
所以当集合有公共元素时，解得，
当集合有公共元素时，解得，
故的取值集合为.
2. (2023·全国·高三专题练习）用表示非空集合A中元素的个数，定义，已知集合，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
答案：D
【解析】由，可得
因为等价于或，
且，所以集合要么是单元素集，要么是三元素集．
（1）若是单元素集，则方程有两个相等实数根，方程无实数根，故；
（2）若是三元素集，则方程有两个不相等实数根，方程有两个相等且异于方程的实数根，即且．
综上所求或，即，故，
故选：D．集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
关系
自然语言
符号语言
Venn图
子集
集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)
A⊆B(或B⊇A)
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中
A⫋B
(或B⫌A)
集合相等
集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集
A＝B
运算
自然语言
符号语言
Venn图
交集
由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合
A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
并集
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合
A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
补集
由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合
∁UA＝{x|x∈U且x∉A}
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