高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)2.6对数和对数函数(精讲)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)2.6对数和对数函数(精讲)(原卷版+解析)，共26页。


【知识储备】
1．对数的概念
如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中__a__叫做对数的底数，__N__叫做真数．
2．对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
③lgaMn＝nlgaM (n∈R)；④＝eq \f(n,m)lgaM.
(2)对数的性质
①＝__N__；②lgaaN＝__N__(a>0且a≠1)．
(3)对数的重要公式
①换底公式：lgbN＝eq \f(lgaN,lgab) (a，b均大于零且不等于1)；
②lgab＝eq \f(1,lgba)，推广lgab·lgbc·lgcd＝lgad.
3．对数函数的图象与性质
【题型精讲】
【题型一 对数的运算】
必备技巧 解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
(4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.
例1 (2023·济南市历城二中·月考）计算下列各式的值：
(1)eq \f(1,2)lgeq \f(32,49)－eq \f(4,3)lgeq \r(8)＋lgeq \r(245)；
(2)lg 25＋eq \f(2,3)lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2.
(3)3－2＋103lg3＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))).
例2 (2023·内蒙古包头市·高三月考）已知，则（ ）
A．B．C．D．
例3 (2023·贵州遵义·高三开学考试）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【题型精练】
1．(2023·浙江高三月考）化简求值：
（1）．
（2）；
（3）.
（4）
（5）．
2．(2023·安徽·安庆市高三期末）已知，，用，表示，则（ ）
A．B．C．D．
【题型二 对数函数的图象】
必备技巧 对数型函数的图象问题
对于有关对数型函数的图象问题，一般是从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
例4 (2023·四川高三开学考试）函数（，且）的图象一定经过的点是（ ）
A．B．C．D．
例5 (2023·浙江高三课时练习）如图所示，曲线是对数函数y＝lgax的图象，已知a取eq \r(3)，eq \f(4,3)，eq \f(3,5)，eq \f(1,10)，则相应于c1、c2、c3、c4的a值依次为( )
A.eq \r(3)、eq \f(4,3)、eq \f(3,5)、eq \f(1,10) B.eq \r(3)、eq \f(4,3)、eq \f(1,10)、eq \f(3,5) C.eq \f(4,3)、eq \r(3)、eq \f(3,5)、eq \f(1,10) D.eq \f(4,3)、eq \r(3)、eq \f(1,10)、eq \f(3,5)
例6 (2023·浙江高三专题练习）函数的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【题型精练】
1. (2023·四川高三三模）函数及，则及的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
2. (2023·江苏省高邮中学高三阶段练习）函数且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（ ）
A．B．C． D．
【题型三 对数函数的性质】
必备技巧 对数函数的性质
(1)利用对数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．
(2)求解与对数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．
例7 (2023·四川自贡高三月考）函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
例8 （1）(2023·上海高三课时练习）函数的值域为_________．
（2）(2023·重庆高三期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 。
例9 （1）(2023·新疆维吾尔自治区阿克苏地区第二中学高三期末）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
（2）(2023·全国高三专题练习）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A．35⩽a<34B．C．35⩽a<34或D．或
（3）(2023·运城市新康国际实验学校高三开学考试）设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【题型精练】
1. (2023·河北邯郸市高三月考）已知函数的定义域为A，函数的值域为B，又，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·陕西·榆林市第十中学高三期中）函数的一个单调增区间是（ ）
A．B．C．D．
3. (2023·四川成都市·高三月考）函数在上的值域为___________．
4. (2023·合肥市第六中学高三期中）已知函数则使得成立的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【题型四 对数比较大小】
例10 (2023·广东中山·高三期末）设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
例11 (2023·辽宁高三模拟）已知函数为上的偶函数，对任意，，均有成立，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【题型精练】
1．(2023·安徽高三月考）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
2. (2023·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
3. (2023·浙江高三模拟）若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【题型五 对数函数综合问题】
必备技巧 对数函数的综合问题
(1)有关对数复合函数的单调性、值域问题．
(2)有关对数型函数对应的不等式恒成立及能成立问题．
(3)有关对数型函数对应的方程有解问题．
例12 (2023·潍坊高三月考）已知函数（且）．
（1）当时，解不等式；
（2），，求实数的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在，使在区间上的值域是？若存在，求实数的取值范围；若不存在，试说明理由．
【题型精练】
1．(2023·淄博高三月考）函数的定义域为，若，满足，则称为的不动点．已知函数．
（1）试判断不动点的个数，并给予证明；
（2）若“”是真命题，求实数的取值范围．
a>1
0图象
性质
(1)定义域：(0，＋∞)
(2)值域：R
(3)过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
(4)当x>1时，y>0
当0(5)当x>1时，y<0
当00
(6)在(0，＋∞)上是增函数
(7)在(0，＋∞)上是减函数
2.6 对数和对数函数
【题型解读】
【知识储备】
1．对数的概念
如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中__a__叫做对数的底数，__N__叫做真数．
2．对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
③lgaMn＝nlgaM (n∈R)；④＝eq \f(n,m)lgaM.
(2)对数的性质
①＝__N__；②lgaaN＝__N__(a>0且a≠1)．
(3)对数的重要公式
①换底公式：lgbN＝eq \f(lgaN,lgab) (a，b均大于零且不等于1)；
②lgab＝eq \f(1,lgba)，推广lgab·lgbc·lgcd＝lgad.
3．对数函数的图象与性质
【题型精讲】
【题型一 对数的运算】
必备技巧 解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
(4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.
例1 (2023·济南市历城二中·月考）计算下列各式的值：
(1)eq \f(1,2)lgeq \f(32,49)－eq \f(4,3)lgeq \r(8)＋lgeq \r(245)；
(2)lg 25＋eq \f(2,3)lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2.
(3)3－2＋103lg3＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))).
【解析】(1)原式＝lgeq \f(4\r(2),7)－lg 4＋lg 7eq \r(5)＝lgeq \f(4\r(2)×7\r(5),7×4)＝lg(eq \r(2)·eq \r(5))＝lgeq \r(10)＝eq \f(1,2).
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
(3)3－2＋103lg3＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝3×3－24×2＋(10lg3)3＋(2)－1
＝3×5－16×3＋33＋5－1＝－eq \f(29,5).
例2 (2023·内蒙古包头市·高三月考）已知，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】，，，
，，
.
故选：B.
例3 (2023·贵州遵义·高三开学考试）已知，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】.
故选：C
【题型精练】
1．(2023·浙江高三月考）化简求值：
（1）．
（2）；
（3）.
（4）
（5）．
答案：（1） 5（2）3（3）0（4）3（5）
【解析】（1）．

（2）.
（3）
.
（4
（5）
．
2．(2023·安徽·安庆市高三期末）已知，，用，表示，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由题意知，
故选:D．
【题型二 对数函数的图象】
必备技巧 对数型函数的图象问题
对于有关对数型函数的图象问题，一般是从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
例4 (2023·四川高三开学考试）函数（，且）的图象一定经过的点是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】令，，则，即函数图象过定点．故选：B．
例5 (2023·浙江高三课时练习）如图所示，曲线是对数函数y＝lgax的图象，已知a取eq \r(3)，eq \f(4,3)，eq \f(3,5)，eq \f(1,10)，则相应于c1、c2、c3、c4的a值依次为( )
A.eq \r(3)、eq \f(4,3)、eq \f(3,5)、eq \f(1,10) B.eq \r(3)、eq \f(4,3)、eq \f(1,10)、eq \f(3,5) C.eq \f(4,3)、eq \r(3)、eq \f(3,5)、eq \f(1,10) D.eq \f(4,3)、eq \r(3)、eq \f(1,10)、eq \f(3,5)
答案： A
【解析】 方法一 观察在(1，＋∞)上的图象，先排c1、c2底的顺序，底都大于1，当x＞1时图象靠近x轴的底大，c1、c2对应的a分别为eq \r(3)、eq \f(4,3).然后考虑c3、c4底的顺序，底都小于1，当x＜1时图象靠近x轴的底小，c3、c4对应的a分别为eq \f(3,5)、eq \f(1,10).综合以上分析，可得c1、c2、c3、c4的a值依次为eq \r(3)、eq \f(4,3)、eq \f(3,5)、eq \f(1,10).故选A.
方法二 作直线y＝1与四条曲线交于四点，由y＝lgax＝1，得x＝a(即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以c1、c2、c3、c4对应的a值分别为eq \r(3)、eq \f(4,3)、eq \f(3,5)、eq \f(1,10)，故选A.
例6 (2023·浙江高三专题练习）函数的图象是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】将函数的图象先向右平移个单位长度，可得到函数的图象，
再将所得函数图象位于轴下方的图象关于轴翻折，位于轴上方图象不变，可得到函数的图象.故合乎条件的图象为选项C中的图象.故选：C.
【题型精练】
1. (2023·四川高三三模）函数及，则及的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】当时，单调递减，单调递减，所以单调递增且定义域为，此时与y轴的截距在上，排除C.
当时，单调递减，单调递增，所以单调递减且定义域为，此时与y轴的截距在上.
∴当时，单调递增；当时，单调递减，故只有B符合要求.
故选：B.
2. (2023·江苏省高邮中学高三阶段练习）函数且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（ ）
A．B．C． D．
答案：C
【解析】解：因为函数且的图象恒过定点，
所以，即，
所以，
又，所以
所以，当且仅当，即时取等号.
故选：C.
【题型三 对数函数的性质】
必备技巧 对数函数的性质
(1)利用对数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．
(2)求解与对数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．
例7 (2023·四川自贡高三月考）函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由已知得，解得，所以函数的定义域为，故选：D
例8 （1）(2023·上海高三课时练习）函数的值域为_________．
（2）(2023·重庆高三期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 。
答案：（1）（2）
【解析】（1）因为，所以，，
因此，，故函数的值域为.
故答案为：.
（2）当时，，则，
所以，函数在区间上的值域包含，
所以，存在，使得，即，
而函数在区间上为增函数，，.
例9 （1）(2023·新疆维吾尔自治区阿克苏地区第二中学高三期末）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
（2）(2023·全国高三专题练习）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A．35⩽a<34B．C．35⩽a<34或D．或
（3）(2023·运城市新康国际实验学校高三开学考试）设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：（1）D（2）C（3）A
【解析】（1）对于函数，有，解得或，
故函数的定义域为，
内层函数在上单调递减，在上单调递增，
外层函数为减函数，
由复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间为.故选：D.
（2）函数是由与复合而成，
①当时，因为为减函数，且函数在区间上单调递增，所以在上单调递减，结合的图像可得，解得
②当时，因为为增函数，且函数在区间上单调递增，所以在上单调递增，又因为此时，结合的图像可知此时符合题意
综上所述：实数a的取值范围为或.故选：C
（3）定义在上的函数满足，所以为偶函数，
当时，为增函数，
由结合偶函数图象的对称性可知，
两边平方并化简得，解得.
所以不等式的解集为.故选：A
【题型精练】
1. (2023·河北邯郸市高三月考）已知函数的定义域为A，函数的值域为B，又，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】根据题意得：，
，
则，，由，可得，故选：B.
2．(2023·陕西·榆林市第十中学高三期中）函数的一个单调增区间是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】函数的定义域为.
要求函数的一个单调增区间，
只需求的增区间，只需.
所以.
所以函数的一个单调增区间是.
故选：C
3. (2023·四川成都市·高三月考）函数在上的值域为___________．
答案：
【解析】函数在定义域上单调递增.
当时，;
当时，，
，
所以的值域为.
故答案为：
4. (2023·合肥市第六中学高三期中）已知函数则使得成立的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】∵可化为为偶函数，且在上单调递增，∴由得，即，解得或．
故选：A．
【题型四 对数比较大小】
例10 (2023·广东中山·高三期末）设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】因为，
则，所以，
又因为，所以，
又由，所以，
所以.
故选：D.
例11 (2023·辽宁高三模拟）已知函数为上的偶函数，对任意，，均有成立，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】∵对任意，，均有成立，
∴此时函数为减函数，
∵是偶函数，
∴当时，为增函数，
，
，，
∵，∴，
∵，
∴，
∴，
即，故选：D.
【题型精练】
1．(2023·安徽高三月考）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】，，
；
，，
，
，
故选：A.
2. (2023·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】∵，∴，∵，∴，∴，
又，，∵，∴，∴.
故选：C.
3. (2023·浙江高三模拟）若，，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】，，，由于，，∴．故选：B.
【题型五 对数函数综合问题】
必备技巧 对数函数的综合问题
(1)有关对数复合函数的单调性、值域问题．
(2)有关对数型函数对应的不等式恒成立及能成立问题．
(3)有关对数型函数对应的方程有解问题．
例12 (2023·潍坊高三月考）已知函数（且）．
（1）当时，解不等式；
（2），，求实数的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在，使在区间上的值域是？若存在，求实数的取值范围；若不存在，试说明理由．
【解析】（1）时，
函数定义域为，，即，所以，
即，解得或，又，所以不等式的解集为．
（2），，即成立，
又
函数在上为增函数，①若，则，
所以，即，则，
解得或．又，所以．
②若，则，所以，即，
则，解得，又，所以．综上的取值范围为．
（3）假设存在，满足题意，由（2）知，所以在上是减函数，则，
所以，即，是方程的大于的两个不等实根，
设，其对称轴为，
由题意得所以或，
又，所以．综上，不存在满足题意的实数，．
【题型精练】
1．(2023·淄博高三月考）函数的定义域为，若，满足，则称为的不动点．已知函数．
（1）试判断不动点的个数，并给予证明；
（2）若“”是真命题，求实数的取值范围．
【解析】（1），
若，则，所以，
，
因为函数在是单调递增的，
，
所以在内存在唯一零点；
若，则，所以，
，解得；
若，则，所以，
；在是单调递增的，
，
所以在内有唯一零点；
综上所述，有3个不动点．
（2）由（1）可知，当，
若“”是真命题
就是，使不等式成立
等价于成立，
即，不等式组成立，，
解得，
因为，保证，所以
因为，
，
所以
所以，解得：．
所以实数的取值范围是
解法2：由（1）可知，当，
若“”是真命题
就是，使不等式成立
等价于成立，
等价于，使成立，
且也成立
，设，
，使成立
只要即可，函数在上单调递减，
所以，所以，
，使在区间成立，只需要即可，即
所以实数的取值范围是
解法3：由（1）可知，当
若“”是真命题
就是，使不等式成立
等价于成立，
它的否定是：恒成立，
或，（原不等式不存在）注意：命题否定的意义
即在上恒成立，或者在上恒成立，
若在上恒成立
则在上恒成立，设，
只需要且即可，所以，
若在上恒成立，则，
所以，或，
所以当时，所以，使不等式成立
实数的取值范围是
a>1
0图象
性质
(1)定义域：(0，＋∞)
(2)值域：R
(3)过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
(4)当x>1时，y>0
当0(5)当x>1时，y<0
当00
(6)在(0，＋∞)上是增函数
(7)在(0，＋∞)上是减函数