高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)2.5指数和指数函数(精讲)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)2.5指数和指数函数(精讲)(原卷版+解析)，共19页。


【知识储备】
1、根式的概念及性质
（1）概念：式子叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数．
（2）性质：
①(且)；
②当为奇数时，；当为偶数时，
2、分数指数幂
①正数的正分数指数幂的意义是(，，且)；
②正数的负分数指数幂的意义是(，，且)；
③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
3、指数幂的运算性质
①；
②；
③.
4、指数函数及其性质
（1）指数函数的概念
函数(，且)叫做指数函数，其中指数是自变量，函数的定义域是．
（2）指数函数的图象和性质
【题型精讲】
【题型一 指数的运算】
必备技巧 指数运算
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
例1 (2023·济南市历城二中·月考）计算：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(27,8)))＋0.002－10(eq \r(5)－2)－1＋π0＝ .
例2 (2023·青岛市高三月考）化简：＝ (a>0)．
例3 (2023·济南市高三月考）已知，求下列各式的值．
（1）；（2）；（3）.
【题型精练】
1．(2023·全国高三专题练习）计算=__________
2．(2023·全国高三专题练习）化简＝________.
3. (2023·全国·高三专题练习）化简：
（1）
（2）(a>0，b>0).
（3）.
【题型二 指数函数的图像】
必备技巧 指数型函数的图象问题
对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
例4 (2023·安徽高三月考）如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是( )
A.a＜b＜1＜c＜d B.b＜a＜1＜d＜c
C.1＜a＜b＜c＜d D.a＜b＜1＜d＜c
例5 (2023·浙江高三课时练习）函数（，且）的图象过定点，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
例6 (2023·河南林州一中高三月考）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【题型精练】
1.(2023·高邮市临泽中学高三月考）已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中实数m，n满足，则的最小值为______．
2.(2023·辛集市第二中学高二期中）已知a＞1，则函数y=ax与y=（a-1）x2在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
3. (2023·全国·高三专题练习）函数恰有一个零点，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【题型三 指数函数的性质】
必备技巧 指数函数的性质
(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．
例7 (2023·全国高三课时练习）求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝；(2)y＝eq \r(1－2x)；(3)y＝.
例8 （1）(2023·贵溪市实验中学高三期末）若函数单调递增,则实数a的取值范围是( )
A．B．C．​D．
（2）(2023·湖南岳阳楼.岳阳一中高三期中）已知函数，则不等式的解集为( )
A．B．C．D．
（3）(2023·湖北襄阳高三月考）如果，那么（ ）
A．B．
C．D．
【题型精练】
1．(2023·河南高三期末）函数的最小值为（ ）
A．B．1C．2D．
2.(2023·浙江南湖.嘉兴一中高三月考）函数为增函数的区间是（ ）
A．B．C．D．
3.(2023·浙江高三课时练习）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【题型四 指数函数综合问题】
必备技巧 指数函数的综合问题
(1)有关指数复合函数的单调性、值域问题．
(2)有关指数型函数对应的不等式恒成立及能成立问题．
(3)有关指数型函数对应的方程有解问题．
例9 (2023·安徽贵池池州一中高三期中）已知函数，.
（1）当时，，求函数的值域；
（2）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围．
例10 (2023·永安市第三中学高三月考）若关于的方程有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【题型精练】
1．(2023·辽宁葫芦岛市·高三二模）已知函数，．
（1）若函数为奇函数，求实数的值．
（2）若对任意的都有成立，求实数的取值范围．
2.（2023·全国高三专题练习）已知函数是R上的奇函数.
（1）求的值；
（2）用定义证明在上为减函数；
（3）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
底数
图象
性质
定义域为，值域为
图象过定点
当时，恒有；
当时，恒有
当时，恒有；
当时，恒有
在定义域上为增函数
在定义域上为减函数
注意
指数函数(，且)的图象和性质与的取值有关，应分与来研究
2.5 指数和指数函数
【题型解读】
【知识储备】
1、根式的概念及性质
（1）概念：式子叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数．
（2）性质：
①(且)；
②当为奇数时，；当为偶数时，
2、分数指数幂
①正数的正分数指数幂的意义是(，，且)；
②正数的负分数指数幂的意义是(，，且)；
③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
3、指数幂的运算性质
①；
②；
③.
4、指数函数及其性质
（1）指数函数的概念
函数(，且)叫做指数函数，其中指数是自变量，函数的定义域是．
（2）指数函数的图象和性质
【题型精讲】
【题型一 指数的运算】
必备技巧 指数运算
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
例1 (2023·济南市历城二中·月考）计算：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(27,8)))＋0.002－10(eq \r(5)－2)－1＋π0＝ .
答案：－eq \f(167,9)
【解析】原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))－2＋－eq \f(10\r(5)＋2,\r(5)－2\r(5)＋2)＋1
＝eq \f(4,9)＋10eq \r(5)－10eq \r(5)－20＋1＝－eq \f(167,9).
例2 (2023·青岛市高三月考）化简：＝ (a>0)．
答案：a2
【解析】原式＝
例3 (2023·济南市高三月考）已知，求下列各式的值．
（1）；（2）；（3）.
答案：（1）7；（2）47；（3）6.
【解析】（1）将两边平方得，所以．
（2）将两边平方得，所以．
（3）由（1）（2）可得
【题型精练】
1．(2023·全国高三专题练习）计算=__________
答案：18
【解析】原式
故答案为：18
2．(2023·全国高三专题练习）化简＝________.
答案：
【解析】原式＝2×.故答案为：.
3. (2023·全国·高三专题练习）化简：
（1）
（2）(a>0，b>0).
（3）.
答案：（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）原式
（2）原式＝.
（3）原式.
【题型二 指数函数的图像】
必备技巧 指数型函数的图象问题
对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
例4 (2023·安徽高三月考）如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是( )
A.a＜b＜1＜c＜d B.b＜a＜1＜d＜c
C.1＜a＜b＜c＜d D.a＜b＜1＜d＜c
答案：B
【解析】方法一 在y轴的右侧，指数函数的图象由下到上，底数依次增大.
由指数函数图象的升降，知c＞d＞1，b＜a＜1.
∴b＜a＜1＜d＜c.
方法二 作直线x＝1，与四个图象分别交于A、B、C、D四点，由于x＝1代入各个函数可得函数值等于底数的大小，所以四个交点的纵坐标越大，则底数越大，由图可知b＜a＜1＜d＜c.故选B.
例5 (2023·浙江高三课时练习）函数（，且）的图象过定点，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为的图象恒过点，则的图象恒过点，所以恒过定点.故选.
例6 (2023·河南林州一中高三月考）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】作出函数的图象，如下图所示，
将的图象向左平移个单位得到图象.
故选：B
【题型精练】
1.(2023·高邮市临泽中学高三月考）已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中实数m，n满足，则的最小值为______．
答案：4
【解析】∵函数且的图象恒过定点，可得 ，∵点在一次函数的图象上，∴，∵，所以 ，当且仅当时取得等号；
2.(2023·辛集市第二中学高二期中）已知a＞1，则函数y=ax与y=（a-1）x2在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】∵a＞1，∴函数y=ax为增函数，
函数y=（a-1）x2在（-∞，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数．故选：A．
3. (2023·全国·高三专题练习）函数恰有一个零点，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由题设，与只有一个交点，
又的图象如下：
∴.
故选：C.
【题型三 指数函数的性质】
必备技巧 指数函数的性质
(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．
例7 (2023·全国高三课时练习）求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝；(2)y＝eq \r(1－2x)；(3)y＝.
【解析】(1)由x－4≠0，得x≠4，故y＝的定义域为{x|x≠4，x∈R}.
又eq \f(1,x－4)≠0，即2eq \f(1,x－4)≠1，故y＝的值域为{y|y＞0，且y≠1}.
(2)由1－2x≥0，得2x≤1，∴x≤0，∴y＝eq \r(1－2x)的定义域为(－∞，0].
由0＜2x≤1，得－1≤－2x＜0，∴0≤1－2x＜1，∴y＝eq \r(1－2x)的值域为[0,1).
(3)y＝的定义域为R.∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，∴≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－4＝16.
又∵＞0，故函数y＝的值域为(0,16].
例8 （1）(2023·贵溪市实验中学高三期末）若函数单调递增,则实数a的取值范围是( )
A．B．C．​D．
（2）(2023·湖南岳阳楼.岳阳一中高三期中）已知函数，则不等式的解集为( )
A．B．C．D．
（3）(2023·湖北襄阳高三月考）如果，那么（ ）
A．B．
C．D．
答案：（1）B（2）B(3)C
【解析】（1）函数单调递增，解得
所以实数的取值范围是．故选：．
（2）可知函数为减函数，由，可得，
整理得，解得，所以不等式的解集为．故选B.
(3) 根据函数在是减函数，且，
所以，所以，故选C.
【题型精练】
1．(2023·河南高三期末）函数的最小值为（ ）
A．B．1C．2D．
答案：D
【解析】令，则，
故原函数化为，
当时，可得最小值为．
故选：D．
2.(2023·浙江南湖.嘉兴一中高三月考）函数为增函数的区间是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】∵是减函数，在上递增，在上递减，
∴函数的增区间是．故选：C．
3.(2023·浙江高三课时练习）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】 ，
因为函数在定义域上为单调递增函数，所以．故选：D．
【题型四 指数函数综合问题】
必备技巧 指数函数的综合问题
(1)有关指数复合函数的单调性、值域问题．
(2)有关指数型函数对应的不等式恒成立及能成立问题．
(3)有关指数型函数对应的方程有解问题．
例9 (2023·安徽贵池池州一中高三期中）已知函数，.
（1）当时，，求函数的值域；
（2）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围．
答案：（1）；（2）
【解析】（1）当时，令，由，得，
，
当时，；当时，．
∴函数的值域为；
（2）设，则，在对任意的实数x恒成立，
等价于在上恒成立，
∴在上恒成立，
∴，
设，，函数在上单调递增，在上单调递减，
∴，
∴．
例10 (2023·永安市第三中学高三月考）若关于的方程有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】由，得（当且仅当时等号成立），解得故选D
【题型精练】
1．(2023·辽宁葫芦岛市·高三二模）已知函数，．
（1）若函数为奇函数，求实数的值．
（2）若对任意的都有成立，求实数的取值范围．
答案：（I）(II)
【解析】（1） 已知函数为奇函数，由，求得的值；（2）恒成立问题通常是求最值，将原不等式整理为对恒成立，进而求在上的最小值，得到结果.
试题解析：（1）因为是奇函数，所以，即所以对一切恒成立，
所以.
（2）因为，均有即成立，
所以对恒成立，
所以,
因为在上单调递增，所以，
所以.
2.（2023·全国高三专题练习）已知函数是R上的奇函数.
（1）求的值；
（2）用定义证明在上为减函数；
（3）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
答案：（1）；（2）证明见解析；（3）.
【解析】（1）由函数是R上的奇函数知，
即，解得.
（2）由（1）知.
任取，则
因为，所以，所以，
又因为，故，
所以，即
所以在上为减函数.
（3）不等式可化为
因为是奇函数，故
所以不等式可化为
由（2）知在上为减函数，故即
即对于任意，不等式恒成立.
设易知
因此所以实数的取值范围是.
底数
图象
性质
定义域为，值域为
图象过定点
当时，恒有；
当时，恒有
当时，恒有；
当时，恒有
在定义域上为增函数
在定义域上为减函数
注意
指数函数(，且)的图象和性质与的取值有关，应分与来研究