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所属成套资源：全国通用人教A版（2019）高中数学选择性必修一全册讲义
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数学选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置学案
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这是一份数学选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置学案，文件包含直线与圆-讲义教师版docx、直线与圆-讲义学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共60页， 欢迎下载使用。
直线与圆
学习目标
（１）直线与方程
①理解直线的倾斜角和斜率的概念并掌握过两点的直线斜率的计算公式．
②掌握直线的五种形式并能够判断两直线的位置关系．
③掌握平面内两点间的距离公式、点到线的距离公式和两条平行线间的距离公式．
（２）圆与方程
①掌握圆的标准方程与一般方程．
②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置 关系．③能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
考试数据
知识模块考点新高考卷模考频次（频率）
直线与方程22(62.9%)
直线与圆山东&海南2020-9,15
圆与方程16(45.7%)
注：模考数据来自于2021年搜集自济南、南京、苏州、广州、深圳、重庆、武汉七所分校的35套优质试卷．
一、 直线与方程
1. 直线的倾斜角与斜率
（一）直线的倾斜角
定义： 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．我们规定，与 轴平行或重合的
直线的倾斜角为零度角．倾斜角的取值范围是．
（二）直线的斜率
斜率的绝对值 越大，反映直线相对于 轴越陡；反之， 越小，反映直线相对于 轴越缓．除去垂直于 轴的直线外，只要知道直线上两个不同点的坐标，由
就可以算出这条直线的斜率．特别的，方程的图象是通过点且斜率为 的直线．
（三）斜率与倾斜角的关系：，．
① 当时，直线平行于 轴或与 轴重合．
② 当时，直线的倾斜角为锐角； 值越大，直线的倾斜角也随着增大．
③ 当时，直线的倾斜角为钝角； 值越大，直线的倾斜角也随着增大．
特别的： 垂直于 轴 的直线的倾斜角等于 ，此时直线斜率不存在．
经典例题
1. 如图所示，直线的斜率分别为，则（ ）．
A.B.
C.D.
【备注】直线相对于 轴越陡，斜率的绝对值 越大．【答案】D
【解析】首先有，
其次，，
∴有．
【标注】【知识点】斜率计算
2. 直线的倾斜角的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】1.学生容易混淆直线方程当中的参数 和直线的倾斜角．
2.引导学生按照①确定 的范围②做出正切函数的图象③有 进而确定倾斜角的范围这三步进行答题．
3.另外，的图象和特殊角三角函数值学生容易遗忘，需要强调．
【答案】D
【解析】直线
的斜率
，
∵，
∴．
当时，倾斜角的取值范围是，
当时，倾斜角的取值范围是，
综上，倾斜角的取值范围是．
故选 ．
【标注】【知识点】直线的一般式方程；斜率随倾斜角的变化规律
3. 已知，，直线上存在点 ，满足，则 的
倾斜角的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】关注到，因此题意等价于直线和线段 有交点．
已知点，直线．
直线 与线段 有交点时有，直线 与线段 无交点时
有．
【答案】D
【解析】将点 ， 代入直线 的方程，可知点 ， 均不在直线 上，
设，则，
又，
且，
所以点 的轨迹为线段 ，
因为线段 的方程为，
即，，
联立方程组，
解得，
直线 的斜率为，
设 的倾斜角为 ，则
，
因为，
所以，
即，，
解得．
故选 ．
【标注】【知识点】斜率随倾斜角的变化规律；斜率计算；直线的一般式方程
巩固练习
4. 已知直线 经过点和，则直线 的倾斜角 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
因为直线 的斜率是
，所以直线 的倾斜角 的取
值范围是或．故选 ．
【标注】【知识点】倾斜角计算
【素养】数学运算
5. 直线，的倾斜角 的取值范围是．
【答案】
【解析】∵直线的斜率
，
，
∴，
∴倾斜角．
【标注】【知识点】倾斜角计算
6. 若直线 经过点，且在 轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：在平面直角坐标系中画出点
，
，
，过点 ， 作直线 ，过
点 ， 作直线 ，如图所示，则直线 在 轴上的截距为 ，直线 在 轴上的截距
为 ．因为，，所以直线 的斜率的取值范围为
．
故选：D．
【标注】【知识点】斜率计算
2. 直线的方程
名称方程的形式常数的几何意义适用范围
点斜式
是直线上一定
点， 是斜率
不垂直于 轴
斜截式
是斜率， 是直线在
轴上的截距
不垂直于 轴
两点式
是直线
上两定点
不垂直于 轴和 轴
截距式
是直线在 轴上的非零
截距， 是直线在 轴上
的非零截距
不垂直于 轴和 轴，且
不过原点
一般式） （任意位置的直线
经典例题
7. 已知，，则过 的中点且倾斜角为的直线方程是（ ）．
A.B.
C.D.
【备注】，（ 为倾斜角），特殊角的三角函数值可以带着学生复习一遍．
【答案】C
【解析】设 中点
，
∴，，
倾斜角为，∴，
∴ 方程为，
故选 ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】求直线的方程
8. 经过两点、的直线在 轴上的截距为（ ）．
A.B.C.D.
【备注】向学生强调直线当中的截距可正可负可为零．得到直线方程后，令即可得到直线在
轴上的截距，令即可得到直线在 轴上的截距.
【答案】A
【解析】
，
，
时，．
故选 ．
【标注】【知识点】直线的两点式方程
巩固练习
9. 斜率为 ，且在 轴上的截距为 的直线方程为（ ）．
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】由题意，直线方程为
，
整理即为．
【标注】【知识点】直线的点斜式方程
3. 两条直线的位置关系
；；
直线方程
重合平行相交
垂直
与 平行的直线与 垂直的直线
经典例题
10. 已知直线 ：
， ：
，若 与 平行，求 ．
【备注】若两直线；平行，则
．
【答案】．
【解析】∵，∴且，
∴或且且，
∴当时，．
【标注】【知识点】判定两条直线的位置关系；直线的平行
11. 设，则“”是“直线与直线
垂直”的（ ）．
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【备注】若两直线；垂直，则.
【答案】A
【解析】∵，
∴
，
，
∴，
∴，
，
当时，，
当时，
，
∴，
∴“”是“直线 直线 ”的充分不必要条件．
【标注】【知识点】充要条件与解析几何结合
巩固练习
12. 已知直线，若，则 的值是（ ）．
A.B.或
C. 或D.
【答案】C
【解析】由题意有
，
解得或，
经检验，均符合题意．
故选 ．
【标注】【知识点】直线的平行
13. 直线 经过与的交点，且与 垂直，则直线 的方程
为．
【答案】
【解析】联解
，得
，所以直线 和 交于点
，
∵直线 经过点 ，且与垂直，
∴直线 的斜率为，得 的方程为，
化简整理，得，
故答案为：．
【标注】【知识点】直线的点斜式方程
4. 距离公式
（一）两点之间的距离公式
已知，，则
．
（二）点到直线的距离公式
点到直线 ：的距离
（三）平行线之间的距离公式
：
， ：
之间的距离为 ，则
．
（或者转化为直线上一点到另一直线的距离）
经典例题
14. 点到直线的距离为（ ）．
A.B.C.D.
【备注】已知点
和直线
，则点 到直线 的距离：
.
【答案】A
【解析】由点到直线的距离公式可得：
．
【标注】【知识点】点到直线的距离公式
15. 两直线与平行，则它们之间的距离为（ ）．
A.B.
C.D.
【备注】求两平行线的距离间的距离时，一定要保证两条直线 的系数一样，然后再代入公式，这
是学生的易错点．
【答案】D
【解析】∵直线与平行，
∴，解得．
因此，两条直线分别为与
即与．
∴两条直线之间的距离为
．
【标注】【知识点】直线的平行；两平行直线之间的距离
16. 设直线 ：与直线 ：的交点为 ，则 到直线 ：
的距离最大值为()
A.B.C.D.
【备注】关注到直线 恒过定点．点
到过定点
的直线 的距离的最大值为
，
此时．
【答案】A
【解析】解：联立
，解得
，
故，
直线 的方程可整理为
，
故直线 过定点，
因为 到直线 的距离，当且仅当直线时等号成立，
故，
故选 ．
【标注】【知识点】利用距离的几何意义求最值
17.是分别经过两点的两条平行直线，当 间的距离最大时，直线 的方程
是．
【备注】时，之间的距离最大，显然最大距离为.
【答案】
【解析】当两条平行直线与
两点连线垂直时两条平行直线的距离最大．
因为，所以，所以两平行线的斜率为，所
以直线 的方程是，即．
故答案为．
【标注】【知识点】根据直线的位置关系求直线的方程
巩固练习
18. 若直线与平行，则 与 间的距离为（ ）．
A.B.
C.D.
【答案】B【解析】
，
（舍），
．
故选 ．
【标注】【知识点】两平行直线之间的距离
【思想】方程思想【素养】数学运算
19. 若三条直线，，相交于同一点，则点（ ， ）到原点的距离的
最小值为（ ）．
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】联立
，解得
，
．
把（ ， ）代入可得：．
∴．
∴点（ ， ）到原点的距离，
当，时，取等号．
∴
点（ ， ）到原点的距离的最小值为 ．故选 ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】两直线交点坐标；点到直线的距离公式
20. 若 ， 分别为直线与上任意一点，则的最小值为（ ）．
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】因为
，所以两直线平行，将直线
化为
，
由题意可知
的最小值为这两条平行直线间的距离，即
，
所以的最小值为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】两平行直线之间的距离
5. 对称问题
（一）中点坐标问题
已知，，则中点坐标为：，．
（二）求点关于直线的对称点
设，，设 关于 的对称点的坐标，则 是 的
垂直平分线，即且 的中点在 上，解方程组可得 点坐标．
（三）直线关于点的对称直线
方法一：求一条直线关于点的对称直线方程时可在该直线上取某个两个特殊点，再求它们关
于点 的对称点坐标，然后利用两点式求其直线方程；
方法二：（一般性方法）可设所求的直线上任一点坐标为
，再求它关于
的对称点坐
标，而它的对称点在已知直线上，将其代入已知直线方程，便可得到关于 的方程，即为所求的直线方程．
（四）直线关于直线的对称直线
此类问题一般转化为关于直线的对称问题来解决，若已知直线 与对称轴 相交，则交点必在与 对称的直线 上，然后在求出 上任一个已知点 关于对称轴 对称的点 ，那么经过交点及点 的直线就是 ；若已知直线 与对称轴 平行，则与 对称的直线和 到直线 的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离，即可求出 的对称直线．
经典例题
21. 若点和点关于直线对称，则（ ）．
A.，B.，
C.，D.，
【备注】若点关于直线的对称点 ，则根据
，且线段 的中点在直线 上，即可列出两个方程求出 点坐标．
【答案】D
【解析】由，
解得．
故选 ．
【标注】【素养】逻辑推理；数学运算
【知识点】点关于直线的对称点
22. 已知点，，在 轴上找一点 ，使得最大，则 点坐标为（ ）．
A.B.
C.D.
【备注】点是定点，点 在直线 运动，当在直线 两侧时，有最小值，此时点
为线段 与 的交点；当在直线 同侧时，有最大值，此时点 为
延长线与 的交点．此题中要求差最大，因此要通过对称，把定点转换到定直线的同侧．
【答案】D
【解析】作点 关于 轴的对称点，连接 并延长与 轴的交点即为所求．
直线 的斜率为，直线 的方程为．
当时，，所以点．
【标注】【知识点】利用距离的几何意义求最值
23.的顶点坐标分别为，，，则角 的平分线所在的直线方程
为．
【备注】本题事实上就是求的对称直线，还可以按照如下方法求解：
相交于点 ，则求解 的对称直线 时，可先根据夹角公式：求出直
线 的斜率，再根据直线 经过点 ，即可求出直线 的方程．此题注意舍去一个解．
【答案】
【解析】设 的平分线与 交于点 ，
则
，
所以，，
所以，
所求直线方程为
，即
．
【标注】【知识点】直线的点斜式方程
24. 设入射线光线沿直线射向直线，则被反射后，反射光线所在的直线方程是（
）．
A.B.C.D.
【备注】直线关于的对称直线为.
【答案】A
【解析】联立
，得
．
故交点为．
设反射直线斜率为 ，则有
，
得．
故反射直线为
，
即．
故选 ．
【标注】【素养】数学运算；数学抽象
【知识点】反射问题
巩固练习
25. 如图所示，已知，，从点射出的光线经直线 反射后再射到直线 上，最
后经直线 反射后又回到点 ，则光线所经过的路程是（ ）．
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】由题意知，直线 的方程为
，
点 关于直线 的对称点为，关于 的对称点为，
则光线所经过的路程为．
故选 ．
【标注】【知识点】点或直线的对称问题；直线的垂直；两点间距离公式
26. 已知点，点，点 是直线上动点，当的值最小时，点 的坐标
是．
【答案】
【解析】连结 与直线
交于点 ，
则当 点移动到 点位置时，
的值最小．
直线 的方程为
，即
．
解方程组，得．
于是当的值最小时，点 的坐标为．
【标注】【知识点】直线的两点式方程；直线方程的五种形式的联系和使用范围的区别；两直线交
点坐标
27. 已知直线，直线．若直线 关于直线 的对称直线为 ，则直线
的方程是．
【答案】
【解析】由题意知，直线 和 平行，可知直线 的斜率为 ．
分别在直线 和 上任取一点和，
则点 关于点 对称的点在直线 上，
故直线 的方程为．
【标注】【知识点】直线关于直线的对称直线
28. 直线关于点对称的直线方程为．
【答案】
【解析】设直线 与直线
，
关于点对称，
∴，
∴ 方程可设为
，
，
则有点到 和 距离相等，
即，解得或（舍去），
∴ 方程为．
【标注】【知识点】直线关于点的对称直线
6. 直线系
定义：具有某一个共同性质的直线称为直线系，它的方程称为直线系方程．
（一）平行直线系
①斜率为 （常数）：（ 为参数）
②平行于已知直线（是不全为零的常数）的直线系：
（）
（二）垂直直线系
①与斜率 （
）的直线垂直的直线系：
（ 为参数）
②垂直于已知直线（是不全为零的常数）的直线系：
（ 为参数）
（三）过定点的直线系
①以斜率 作为参数的直线系：，直线过定点；
，直线过定点，其中过定点且与 轴重合的直线不在直线系内．
②过两条直线 ：， ：的交点的直线系：
（ 为参数），其中直线 不在直线系内．
经典例题
29. 过点且垂直于直线的直线方程为（ ）．
A.B.C.D.
【备注】与直线垂直的直线可直接设为.
【答案】A
【解析】根据题意，易得直线
的斜率为 ，
由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为 ，
又知其过点，
由点斜式得所求直线方程为
．
【标注】【知识点】根据直线的位置关系求直线的方程
30. 若直线 经过点且与直线平行，则直线 的方程为．
【备注】与直线平行的直线可直接设为．
【答案】
【解析】方法一：设直线 的斜率为 ，因为 与直线
平行，
所以．
又 经过点，所以所求直线 的方程为，
即．
方法二：与直线平行的直线方程可设为（
），
因为点在这条直线上，所以，即．
故所求直线 的方程为．
【标注】【知识点】根据直线的位置关系求直线的方程；直线的平行
【素养】逻辑推理；数学运算
31. 对于任意实数 ，直线必经过的定点坐标是（ ）．
A.B.
C.D. 无法确定
【备注】求含参直线方程的恒过点坐标时有两种方法：一是重新整理原式，合并含参项并让参数系数为 即可求出恒过定点坐标．二是对参数赋两个不同的值进而得到两条不同的直线，两条直线的交点即为所求恒过点坐标.
【答案】A
【解析】解：直线化为：，
令，解得，．
直线恒过定点．
故选： ．
【标注】【知识点】直线的一般式方程；直线过定点问题
巩固练习
32. 已知 ，，若直线与直线互相垂直，则 的最大值等
于．
【答案】
【解析】方法一：直线
，
变形为，
斜率为 ，
∵ ，，
直线，
变形为，
由直线与直线垂直，
则，
即，
由基本不等式得
，
则（当且仅当，时等号成立），
∴ 的最大值为 ．
方法二：法向量之积为 ，即
，
∴，即（当且仅当，时等号成立），
∴ 的最大值为 ．
【标注】【知识点】直线的垂直；判定两条直线的位置关系；利用基本不等式求最值；基本不等式
的概念
33. 已知直线，，若，则直线 恒过定点；
若，则实数．
【答案】; 或
【解析】当时，，即直线 恒过定点，
当时，两直线方程分别为，和，则两直线不平行，不满
足条件，
当时，若，
则等价为，
由得，
得或，
故答案为：； 或 ．
【标注】【知识点】直线的平行
二、 圆与方程
1. 圆与方程
（一）圆的标准方程：
以点为圆心， 为半径的圆的方程：， 圆心在原点的圆的标准方
程：．
（二） 圆的一般方程：
，（），此时，圆心为，半径为
．对于圆的一般方程，我们需要注意：
（1） 和 项的系数相等且都不为零；
（2）没有 这样的二次项；
（3）表示以为圆心，为半径的圆；
（4）当时，方程①只有实根，，方程①表示一个点
；
（5）当
时，方程①没有实根，因而它不表示任何图形．
（三）圆的直径式：
以
为直径的圆的方程为
，其中圆心
为，半径.
（四）圆的参数方程
圆心为，半径为 .转化为标准方程为．
经典例题
34. 已知圆 经过点
，
，且圆心坐标为
，则圆 的标准方程为
．
【备注】根据圆心到两个点的距离相等且等于半径即可求解．【答案】
【解析】圆心到两个点的距离相等且等于半径，即
，解得，即圆心为，半径为 ，所以圆的方程为：
．
【标注】【知识点】圆的标准方程问题
35. 已知点,，则以 为直径的圆的方程是 （ ）.
A. B. C. D.
【备注】可根据圆方程的直径式进行求解，然后再整理为标准式即可．【答案】C
【解析】易知圆的圆心为线段 的中点，
半径,
∴圆的方程为．
【标注】【知识点】圆的标准方程问题
巩固练习
36. 已知两点，，以线段 为直径的圆的方程是（ ）．
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】由题可知，圆心为线段 的中点
，
半径为，所以圆的方程为．
故选D．
【标注】【知识点】圆的标准方程问题
【素养】数学运算
37. 方程表示的曲线是圆，则 的取值范围是（ ）．
A.
B. C. D.
【答案】D
【解析】若方程
表示的曲线是圆，
则，
化简得，
解得，故选 ．
【标注】【知识点】圆的方程的判定
三、 点、线、圆与圆位置关系
1. 判断点与圆的位置关系的方法
（一）圆的标准方程，圆心，半径
①若点在圆上，则；
②若点在圆外，则；
③若点在圆内，则．
反之，也成立．
（二）圆的一般方程为
，
①若点②若点③若点
反之，也成立．
在圆上，则在圆外，则在圆内，则
＝＞＜
；
；
．
事实上，将圆的方程为关于 的二元二次方程且最高次项系数为正，
，点在圆外（点在圆上和点在圆内）．
（三）点与圆的位置关系应用之最值：
已知点， 是圆 ：上一个动点，设
．
若，则点在圆 内，此时的最大值为，最小值为；
若，则点在圆 上，此时的最大值为 ，最小值为 ；
若，则点在圆 外，此时的最大值为，最小值为．
经典例题
38. 已知半径为 的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】解：由半径为 的圆经过点
，可得该圆的圆心轨迹为以
为圆心， 为半径的圆，
如图所示．
由，得，
即圆心到原点的距离的最小值是 ，故选：A．
【标注】【知识点】点与圆的位置关系问题
39. 已知点在圆的外部，则 的取值范围是（ ）．
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】将点
的坐标代入圆方程左边，
有，∴，
∴或．故选D．
【标注】【知识点】点与圆的位置关系问题
巩固练习
40. 已知圆 以点为圆心，半径等于 ，则点与圆 的位置关系是（ ）．
A. 点在圆内B. 点在圆上C. 点在圆外D. 无法判断
【答案】B
【解析】由题意可知，圆
，
∴把点代入圆 ，
则，
故点在圆上．
故选 ．
【标注】【知识点】点与圆的位置关系问题
41. 已知点，，，若 点在以 为直径的圆外，则 的取值范围是．
【答案】或
【解析】∵ 为直线，
∴
，
∴半径为，
中点，
∵ 在以 为直径的圆外，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴或．
故答案为：或．
【标注】【知识点】点与圆的位置关系问题
2. 直线与圆的位置关系
（一）直线与圆的三种位置关系
位置关系
几何方法
圆心到直线的距离为 ，圆的半
径为 .
代数方法
将直线方程代入圆方程得到
相离相切相交
（二）直线和圆相交的弦长问题
（1）几何法（垂径定理）：结合弦心距、弦长的一半及半径构成的直角三角形利用勾股定理来计算．
（2）代数法（弦长公式）：结合韦达定理利用弦长公式
．
特别注意：
① 计算圆的弦长时通常情况下采用几何法．
② 弦长的最值问题：过圆内一定点的弦长最大值为直径，最短弦为垂直于过该点的直径的线段. ③ 设直线时注意直线斜率不存在情况！
（三）圆的切线问题
（1） 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径．切线的几何性质为：圆心与切线的连线垂直于切线．
（2）过圆上一点的切线方程为：
.（备注：或者利用圆心和切点的连线垂直于切线从而求解切线
斜率）
（3） 过圆
外一点
可作两条切线：设切线斜率，用圆心到直线的
距离等于半径求解，但一定要注意斜率不存在的情况．无论使用哪种方法，结果一定是两条直线．
（4） 切线长：在经过圆外一点的切线，这一点和切点之间的线段叫做这点到圆的切线长．
切线最小问题：当直线与圆相离时，过直线上的动点向圆作切线，求切线长的最小值可利用直线与圆相切构成的直角三角形，将切线长最小问题转化为圆心到直线上的点距离最小问题，结合图形可知圆心到直线上的点距离最小值为圆心到直线的距离．
经典例题
42. 若圆心在的圆与 轴相切，则该圆与直线3的位置关系是（ ）．
A. 相离B. 相切C. 相交D. 不确定
【备注】根据圆心到直线的距离与半径的关系进行求解．【答案】B
【解析】该圆为，
圆心到直线的距离，
故相切．
故选 ．
【标注】【知识点】圆的切线的相关问题
43. 已知圆截直线所得弦的长度小于 ，则实数 的取值范围为
（ ）．
A.B.
C.D.
【备注】
直线与圆相交时，等式
非常重要．本题根据题目要求将等式转化为不等
式即可求解．学生的一个易错点是忽略圆方程成立得到的 的范围．
【答案】D
【解析】由圆，得，
圆心为，半径为，则，即，
圆心到直线的距离为，
∵弦的长度小于 ，
∴
，
解得，
∴，
故选 ．
【标注】【知识点】圆的弦长的相关问题
44. 已知点 为直线上一点，且 位于第一象限，点，以 为直径的圆与 交于点
（异于 ），若，则点 的横坐标的取值范围为．
【备注】由直径所对圆周角为 ，可得，进而可求，又即可求
解．
【答案】
【解析】设点 的坐标为
，
，
则，
如图所示，过点 作
轴，
由面积相等可得：
，
即，
所以，
所以在直角三角形中，
，
因为，
所以，
即化简可得，
即，
所以或（舍去），
所以实数 的取值范围为，
故答案为：．
【标注】【知识点】设点法解决直线与圆的相关问题
45. 过点与圆所引的切线方程为．
【备注】先判断点与圆的位置关系可得到点在圆外．过圆外一点做圆的切线，可以做两条．
一般求法（一般不用代数法）：设切线方程为根据求解，注意：
此时如果 有两个解，那么这两个解即为所求切线方程斜率；此时如果 只有一个解，则
必为另外一个切线．
【答案】，
【解析】点 在圆外，当切线的斜率不存在时，易知切线的方程为
，符合题意；
当切线的斜率存在时，可设过点的切线方程为，
圆心到切线的距离等于半径 ，可得，
解得，从而切线为．
【标注】【知识点】圆的切线的相关问题；直线的点斜式方程；斜率计算
46. 过抛物线上一点 作圆的切线，切点为 ， ，则当四边形的
面积最小时， 点的坐标是（ ）．
A.B.
C.D.
【备注】此题本质是求切线长最小，又，故最小时，切线长最小.
【答案】C
【解析】设点，，
令，，
则当时，，
所以，
此时点 坐标为．
故选 ．
【标注】【知识点】圆的切线的相关问题；抛物线与圆结合；面积问题；直接求函数的最值（不含
参）
巩固练习
47. 已知直线 过点，圆 ：，则()
A. 与 相交B. 与 相切
C. 与 相离D. 与 的位置关系不确定
【答案】A
【解析】解：圆 ：
即
，
圆心与点 的距离，小于半径 ，
故点在圆的内部，故 与 的位置关系是相交，
故选：A．
【标注】【知识点】直线与圆的位置判断
48. 若圆上至少有三个不同的点到直线 ：的距离为 ，则直
线 的倾斜角的取值范围是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】圆
整理为
，
∴圆心坐标为，半径为，
要求圆上至少有三个不同的点到直线 ：
的距离为
，
则圆心到直线的距离应小于等于 ，
∴，
∴，
∴，又直线 的斜率为，
∴，
直线 的倾斜角的取值范围是，
故选 ．
【标注】【知识点】圆的弦长的相关问题
【素养】数学运算
49. 已知直线 ：与圆交于 ， 两点，过 ， 分别作 的垂线与
轴交于 ， 两点，若，则．
【答案】4
【解析】解：由题意知，
， 圆心到直线的距离
，
，
，
直线 的倾斜角为 ．
过 ， 分别作 的垂线与 轴交于 ， 两点，
．
故答案为： ．
【标注】【知识点】圆的弦长的相关问题
50. 已知圆，从点观察点，要使视线不被圆 挡住，则 的取值范围是(
)
A.
B. C. D.
【答案】D
【解析】解：设过点
与圆
相切的直线为
，
则，解得，
切线方程为，
如图，由 点向圆 引 条切线，只要点 在切线之外，那么就不会被遮挡，
在直线上，
在中，取，得，
从 点观察 点，要使视线不被圆 挡住，
需，或．
的取值范围是．
故选：D．
【标注】【知识点】直线与圆的位置判断
51. 已知直线是圆的对称轴．过点作
圆 的一条切线，切点为 ，则（ ）．
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】由题意知，直线 过圆心
，求得
．
点到圆心距离为，圆的半径为 ，
故．
故选 ．
【标注】【知识点】圆的切线的相关问题
52. 过点作圆的切线，则切线的方程为（ ）．
A.或B.或
C.或D.或
【答案】C
【解析】由圆的一般方程可得圆的圆心为，半径为 ，
当切线的斜率存在，设切线的斜率为 ，则切线方程为：
，
由点到直线的距离公式可得：，
解得，
∴切线方程为：；
当切线的斜率不存在时，直线为：
，
满足圆心到直线的距离为圆的半径 ，
也是切线方程；
故选 ．
【标注】【知识点】圆的切线的相关问题
53. 已知圆 的半径为 ，为该圆的两条切线，为两切点，那么的最小值为（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】方法一：如图所示：设
,
，则，，
，
，
令，则，令，，
则当且仅当，即
时成立．故，此时，选择答案D
方法二：
如图所示，设，
在中，由得，
，
当且仅当，时等号成立，故选 ．
方法三：设，
由圆的对称性可知点 的坐标为
，直线 的方程为
，
令得，所以点 坐标为．
所以，
又因为点 在圆 上，所以，
所以，故选 ．
【标注】【知识点】圆的切线的相关问题；数量积的最值问题
【素养】数学运算；逻辑推理
3. 圆与圆的位置关系
（一）圆与圆的位置关系
关系圆心距和半径的关系图形示意公切线条数
外离条
外切条
相交条
内切条
内含条
（二）公共弦问题：两圆相交时，必有两个交点，则过这两个交点的弦称为两圆的公共弦．
设两圆的方程分别为：和，两式相
减得到公共弦所在直线的方程：．
（三）圆系
过两已知圆
的交点的圆系方程为
即．
特别的，当时，方程变为，表示一条直线（当两
圆是同心圆时，此直线不存在），当两圆相交时，此直线为公共弦所在直线；当两圆相切时，此直线为过两圆切点的公切线；当两圆相离时，此直线为与两圆连心线垂直的直线．
经典例题
54. 若两圆与有公共点，则实数所的取值范围是（ ）．
A.B.
C.D.
【备注】两圆有公共点即两圆可以有三种关系：内切，相交和外切．除了向学生强调这三种关系对
应的代数式为．还可以给学生强调一个易错点：保证圆方程成
立，本题是；再强调一个做题技巧：内切和外切这两种临界状态都可以取到即答案
中两边等号都可以取到，即可根据选项选出正确答案．
【答案】B
【解析】的圆心为，半径 ；
的圆心为，半径 ，
所以，两圆心的距离，
所以，解得．
【标注】【知识点】圆与圆的位置判断
【素养】数学运算
55. 两个圆 ：与 ：的公切线有且仅有（
）．
A. 条B. 条C. 条D. 条
【备注】求两个圆的公切线只需判断出两圆的位置关系即可．【答案】B
【解析】两圆的圆心分别是
，半径分别是 ， ． 两圆圆心距离：
，说明两圆相交， 因而公切线只有两条． 故选 ．
【标注】【素养】数学运算；直观想象
【知识点】两圆的公切线条数及方程
56. 以相交两圆 ：及 ：的公共弦为直径的圆的方
程为（ ）．
A.
B.
C.
D.
【备注】首先两圆方程做差可得公共弦方程，然后即为
过公共弦的圆系方程，再根据圆心横纵坐标相等即可求解．
【答案】B
【解析】圆与圆，
方程相减得圆 与圆 的公共弦所在直线的方程为，
联立可得，
设圆 和 交点分别为，，
则，，
则以 为直径的圆圆心坐标为，
半径
．
故选 ．
【标注】【知识点】相交弦所在直线方程
巩固练习
57. 已知圆 ：（）截直线所得线段的长度是 ，则圆 与圆 ：
的位置关系是（ ）．
A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离
【答案】B
【解析】由
（
），得
（
），
所以圆 的圆心为，半径为，
因为圆 截直线所得线段的长度是 ，
所以，
解得，
圆 的圆心为
，半径为
，
所以，
，，
因为，
所以圆 与圆 相交．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】点到直线的距离公式【知识点】圆与圆的位置关系
【知识点】圆的标准方程与一般方程
58. 圆与圆相交于 、 两点，则直线 的方程
为．
【答案】
【解析】两个圆的方程两端相减，可得
．
即．
【标注】【知识点】相交弦所在直线方程
出门测
59. 直线，，若，则 （ ）．
A.B.C.或D. 或
【答案】A
【解析】易知
，
，
由得，
即，
解得或 ．
当时，两直线重合，舍去，
故选 ．
【标注】【知识点】直线的平行
60. 已知点是圆外的一点，则直线与圆的位置关系是 ()
A. 相离B. 相切C. 相交且不过圆心D. 相交且过圆心
【答案】C
【解析】解： 点
是圆
外的一点，
，
圆心到直线的距离：
，且，
直线与圆相交且不过圆心．
故选：C．
【标注】【知识点】直线与圆的位置判断
61. 已知圆截直线所得弦的长度为 ，则实数 的值是()
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】解：圆
,即
，
故弦心距，
再由勾股定理可得，解得．
故选：B．
【标注】【知识点】圆的切线的相关问题
62. 已知三角形的三个顶点，，，求 边上中线和高线所在的直线方程．
【答案】．
【解析】设 边中点为，
因为，，
所以，
．
所以．
又，
．
所以 边上中线所在的直线方程为
，
整理得．
设 边上的高线为 ，
因为，
所以．
所以 边上高线所在的直线方程为
，
整理得．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】直线的两点式方程；根据直线的位置关系求直线的方程
42
直线与圆
学习目标
（１）直线与方程
①理解直线的倾斜角和斜率的概念并掌握过两点的直线斜率的计算公式．
②掌握直线的五种形式并能够判断两直线的位置关系．
③掌握平面内两点间的距离公式、点到线的距离公式和两条平行线间的距离公式．
（２）圆与方程
①掌握圆的标准方程与一般方程．
②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置 关系．③能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
考试数据
知识模块考点新高考卷模考频次（频率）
直线与方程22(62.9%)
直线与圆山东&海南2020-9,15
圆与方程16(45.7%)
注：模考数据来自于2021年搜集自济南、南京、苏州、广州、深圳、重庆、武汉七所分校的35套优质试卷．
一、 直线与方程
1. 直线的倾斜角与斜率
（一）直线的倾斜角
定义： 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．我们规定，与 轴平行或重合的
直线的倾斜角为零度角．倾斜角的取值范围是．
（二）直线的斜率
斜率的绝对值 越大，反映直线相对于 轴越陡；反之， 越小，反映直线相对于 轴越缓．除去垂直于 轴的直线外，只要知道直线上两个不同点的坐标，由
就可以算出这条直线的斜率．特别的，方程的图象是通过点且斜率为 的直线．
（三）斜率与倾斜角的关系：，．
① 当时，直线平行于 轴或与 轴重合．
② 当时，直线的倾斜角为锐角； 值越大，直线的倾斜角也随着增大．
③ 当时，直线的倾斜角为钝角； 值越大，直线的倾斜角也随着增大．
特别的： 垂直于 轴 的直线的倾斜角等于 ，此时直线斜率不存在．
经典例题
1. 如图所示，直线的斜率分别为，则（ ）．
A.B.
C.D.
【备注】直线相对于 轴越陡，斜率的绝对值 越大．【答案】D
【解析】首先有，
其次，，
∴有．
【标注】【知识点】斜率计算
2. 直线的倾斜角的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】1.学生容易混淆直线方程当中的参数 和直线的倾斜角．
2.引导学生按照①确定 的范围②做出正切函数的图象③有 进而确定倾斜角的范围这三步进行答题．
3.另外，的图象和特殊角三角函数值学生容易遗忘，需要强调．
【答案】D
【解析】直线
的斜率
，
∵，
∴．
当时，倾斜角的取值范围是，
当时，倾斜角的取值范围是，
综上，倾斜角的取值范围是．
故选 ．
【标注】【知识点】直线的一般式方程；斜率随倾斜角的变化规律
3. 已知，，直线上存在点 ，满足，则 的
倾斜角的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】关注到，因此题意等价于直线和线段 有交点．
已知点，直线．
直线 与线段 有交点时有，直线 与线段 无交点时
有．
【答案】D
【解析】将点 ， 代入直线 的方程，可知点 ， 均不在直线 上，
设，则，
又，
且，
所以点 的轨迹为线段 ，
因为线段 的方程为，
即，，
联立方程组，
解得，
直线 的斜率为，
设 的倾斜角为 ，则
，
因为，
所以，
即，，
解得．
故选 ．
【标注】【知识点】斜率随倾斜角的变化规律；斜率计算；直线的一般式方程
巩固练习
4. 已知直线 经过点和，则直线 的倾斜角 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
因为直线 的斜率是
，所以直线 的倾斜角 的取
值范围是或．故选 ．
【标注】【知识点】倾斜角计算
【素养】数学运算
5. 直线，的倾斜角 的取值范围是．
【答案】
【解析】∵直线的斜率
，
，
∴，
∴倾斜角．
【标注】【知识点】倾斜角计算
6. 若直线 经过点，且在 轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：在平面直角坐标系中画出点
，
，
，过点 ， 作直线 ，过
点 ， 作直线 ，如图所示，则直线 在 轴上的截距为 ，直线 在 轴上的截距
为 ．因为，，所以直线 的斜率的取值范围为
．
故选：D．
【标注】【知识点】斜率计算
2. 直线的方程
名称方程的形式常数的几何意义适用范围
点斜式
是直线上一定
点， 是斜率
不垂直于 轴
斜截式
是斜率， 是直线在
轴上的截距
不垂直于 轴
两点式
是直线
上两定点
不垂直于 轴和 轴
截距式
是直线在 轴上的非零
截距， 是直线在 轴上
的非零截距
不垂直于 轴和 轴，且
不过原点
一般式） （任意位置的直线
经典例题
7. 已知，，则过 的中点且倾斜角为的直线方程是（ ）．
A.B.
C.D.
【备注】，（ 为倾斜角），特殊角的三角函数值可以带着学生复习一遍．
【答案】C
【解析】设 中点
，
∴，，
倾斜角为，∴，
∴ 方程为，
故选 ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】求直线的方程
8. 经过两点、的直线在 轴上的截距为（ ）．
A.B.C.D.
【备注】向学生强调直线当中的截距可正可负可为零．得到直线方程后，令即可得到直线在
轴上的截距，令即可得到直线在 轴上的截距.
【答案】A
【解析】
，
，
时，．
故选 ．
【标注】【知识点】直线的两点式方程
巩固练习
9. 斜率为 ，且在 轴上的截距为 的直线方程为（ ）．
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】由题意，直线方程为
，
整理即为．
【标注】【知识点】直线的点斜式方程
3. 两条直线的位置关系
；；
直线方程
重合平行相交
垂直
与 平行的直线与 垂直的直线
经典例题
10. 已知直线 ：
， ：
，若 与 平行，求 ．
【备注】若两直线；平行，则
．
【答案】．
【解析】∵，∴且，
∴或且且，
∴当时，．
【标注】【知识点】判定两条直线的位置关系；直线的平行
11. 设，则“”是“直线与直线
垂直”的（ ）．
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【备注】若两直线；垂直，则.
【答案】A
【解析】∵，
∴
，
，
∴，
∴，
，
当时，，
当时，
，
∴，
∴“”是“直线 直线 ”的充分不必要条件．
【标注】【知识点】充要条件与解析几何结合
巩固练习
12. 已知直线，若，则 的值是（ ）．
A.B.或
C. 或D.
【答案】C
【解析】由题意有
，
解得或，
经检验，均符合题意．
故选 ．
【标注】【知识点】直线的平行
13. 直线 经过与的交点，且与 垂直，则直线 的方程
为．
【答案】
【解析】联解
，得
，所以直线 和 交于点
，
∵直线 经过点 ，且与垂直，
∴直线 的斜率为，得 的方程为，
化简整理，得，
故答案为：．
【标注】【知识点】直线的点斜式方程
4. 距离公式
（一）两点之间的距离公式
已知，，则
．
（二）点到直线的距离公式
点到直线 ：的距离
（三）平行线之间的距离公式
：
， ：
之间的距离为 ，则
．
（或者转化为直线上一点到另一直线的距离）
经典例题
14. 点到直线的距离为（ ）．
A.B.C.D.
【备注】已知点
和直线
，则点 到直线 的距离：
.
【答案】A
【解析】由点到直线的距离公式可得：
．
【标注】【知识点】点到直线的距离公式
15. 两直线与平行，则它们之间的距离为（ ）．
A.B.
C.D.
【备注】求两平行线的距离间的距离时，一定要保证两条直线 的系数一样，然后再代入公式，这
是学生的易错点．
【答案】D
【解析】∵直线与平行，
∴，解得．
因此，两条直线分别为与
即与．
∴两条直线之间的距离为
．
【标注】【知识点】直线的平行；两平行直线之间的距离
16. 设直线 ：与直线 ：的交点为 ，则 到直线 ：
的距离最大值为()
A.B.C.D.
【备注】关注到直线 恒过定点．点
到过定点
的直线 的距离的最大值为
，
此时．
【答案】A
【解析】解：联立
，解得
，
故，
直线 的方程可整理为
，
故直线 过定点，
因为 到直线 的距离，当且仅当直线时等号成立，
故，
故选 ．
【标注】【知识点】利用距离的几何意义求最值
17.是分别经过两点的两条平行直线，当 间的距离最大时，直线 的方程
是．
【备注】时，之间的距离最大，显然最大距离为.
【答案】
【解析】当两条平行直线与
两点连线垂直时两条平行直线的距离最大．
因为，所以，所以两平行线的斜率为，所
以直线 的方程是，即．
故答案为．
【标注】【知识点】根据直线的位置关系求直线的方程
巩固练习
18. 若直线与平行，则 与 间的距离为（ ）．
A.B.
C.D.
【答案】B【解析】
，
（舍），
．
故选 ．
【标注】【知识点】两平行直线之间的距离
【思想】方程思想【素养】数学运算
19. 若三条直线，，相交于同一点，则点（ ， ）到原点的距离的
最小值为（ ）．
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】联立
，解得
，
．
把（ ， ）代入可得：．
∴．
∴点（ ， ）到原点的距离，
当，时，取等号．
∴
点（ ， ）到原点的距离的最小值为 ．故选 ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】两直线交点坐标；点到直线的距离公式
20. 若 ， 分别为直线与上任意一点，则的最小值为（ ）．
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】因为
，所以两直线平行，将直线
化为
，
由题意可知
的最小值为这两条平行直线间的距离，即
，
所以的最小值为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】两平行直线之间的距离
5. 对称问题
（一）中点坐标问题
已知，，则中点坐标为：，．
（二）求点关于直线的对称点
设，，设 关于 的对称点的坐标，则 是 的
垂直平分线，即且 的中点在 上，解方程组可得 点坐标．
（三）直线关于点的对称直线
方法一：求一条直线关于点的对称直线方程时可在该直线上取某个两个特殊点，再求它们关
于点 的对称点坐标，然后利用两点式求其直线方程；
方法二：（一般性方法）可设所求的直线上任一点坐标为
，再求它关于
的对称点坐
标，而它的对称点在已知直线上，将其代入已知直线方程，便可得到关于 的方程，即为所求的直线方程．
（四）直线关于直线的对称直线
此类问题一般转化为关于直线的对称问题来解决，若已知直线 与对称轴 相交，则交点必在与 对称的直线 上，然后在求出 上任一个已知点 关于对称轴 对称的点 ，那么经过交点及点 的直线就是 ；若已知直线 与对称轴 平行，则与 对称的直线和 到直线 的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离，即可求出 的对称直线．
经典例题
21. 若点和点关于直线对称，则（ ）．
A.，B.，
C.，D.，
【备注】若点关于直线的对称点 ，则根据
，且线段 的中点在直线 上，即可列出两个方程求出 点坐标．
【答案】D
【解析】由，
解得．
故选 ．
【标注】【素养】逻辑推理；数学运算
【知识点】点关于直线的对称点
22. 已知点，，在 轴上找一点 ，使得最大，则 点坐标为（ ）．
A.B.
C.D.
【备注】点是定点，点 在直线 运动，当在直线 两侧时，有最小值，此时点
为线段 与 的交点；当在直线 同侧时，有最大值，此时点 为
延长线与 的交点．此题中要求差最大，因此要通过对称，把定点转换到定直线的同侧．
【答案】D
【解析】作点 关于 轴的对称点，连接 并延长与 轴的交点即为所求．
直线 的斜率为，直线 的方程为．
当时，，所以点．
【标注】【知识点】利用距离的几何意义求最值
23.的顶点坐标分别为，，，则角 的平分线所在的直线方程
为．
【备注】本题事实上就是求的对称直线，还可以按照如下方法求解：
相交于点 ，则求解 的对称直线 时，可先根据夹角公式：求出直
线 的斜率，再根据直线 经过点 ，即可求出直线 的方程．此题注意舍去一个解．
【答案】
【解析】设 的平分线与 交于点 ，
则
，
所以，，
所以，
所求直线方程为
，即
．
【标注】【知识点】直线的点斜式方程
24. 设入射线光线沿直线射向直线，则被反射后，反射光线所在的直线方程是（
）．
A.B.C.D.
【备注】直线关于的对称直线为.
【答案】A
【解析】联立
，得
．
故交点为．
设反射直线斜率为 ，则有
，
得．
故反射直线为
，
即．
故选 ．
【标注】【素养】数学运算；数学抽象
【知识点】反射问题
巩固练习
25. 如图所示，已知，，从点射出的光线经直线 反射后再射到直线 上，最
后经直线 反射后又回到点 ，则光线所经过的路程是（ ）．
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】由题意知，直线 的方程为
，
点 关于直线 的对称点为，关于 的对称点为，
则光线所经过的路程为．
故选 ．
【标注】【知识点】点或直线的对称问题；直线的垂直；两点间距离公式
26. 已知点，点，点 是直线上动点，当的值最小时，点 的坐标
是．
【答案】
【解析】连结 与直线
交于点 ，
则当 点移动到 点位置时，
的值最小．
直线 的方程为
，即
．
解方程组，得．
于是当的值最小时，点 的坐标为．
【标注】【知识点】直线的两点式方程；直线方程的五种形式的联系和使用范围的区别；两直线交
点坐标
27. 已知直线，直线．若直线 关于直线 的对称直线为 ，则直线
的方程是．
【答案】
【解析】由题意知，直线 和 平行，可知直线 的斜率为 ．
分别在直线 和 上任取一点和，
则点 关于点 对称的点在直线 上，
故直线 的方程为．
【标注】【知识点】直线关于直线的对称直线
28. 直线关于点对称的直线方程为．
【答案】
【解析】设直线 与直线
，
关于点对称，
∴，
∴ 方程可设为
，
，
则有点到 和 距离相等，
即，解得或（舍去），
∴ 方程为．
【标注】【知识点】直线关于点的对称直线
6. 直线系
定义：具有某一个共同性质的直线称为直线系，它的方程称为直线系方程．
（一）平行直线系
①斜率为 （常数）：（ 为参数）
②平行于已知直线（是不全为零的常数）的直线系：
（）
（二）垂直直线系
①与斜率 （
）的直线垂直的直线系：
（ 为参数）
②垂直于已知直线（是不全为零的常数）的直线系：
（ 为参数）
（三）过定点的直线系
①以斜率 作为参数的直线系：，直线过定点；
，直线过定点，其中过定点且与 轴重合的直线不在直线系内．
②过两条直线 ：， ：的交点的直线系：
（ 为参数），其中直线 不在直线系内．
经典例题
29. 过点且垂直于直线的直线方程为（ ）．
A.B.C.D.
【备注】与直线垂直的直线可直接设为.
【答案】A
【解析】根据题意，易得直线
的斜率为 ，
由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为 ，
又知其过点，
由点斜式得所求直线方程为
．
【标注】【知识点】根据直线的位置关系求直线的方程
30. 若直线 经过点且与直线平行，则直线 的方程为．
【备注】与直线平行的直线可直接设为．
【答案】
【解析】方法一：设直线 的斜率为 ，因为 与直线
平行，
所以．
又 经过点，所以所求直线 的方程为，
即．
方法二：与直线平行的直线方程可设为（
），
因为点在这条直线上，所以，即．
故所求直线 的方程为．
【标注】【知识点】根据直线的位置关系求直线的方程；直线的平行
【素养】逻辑推理；数学运算
31. 对于任意实数 ，直线必经过的定点坐标是（ ）．
A.B.
C.D. 无法确定
【备注】求含参直线方程的恒过点坐标时有两种方法：一是重新整理原式，合并含参项并让参数系数为 即可求出恒过定点坐标．二是对参数赋两个不同的值进而得到两条不同的直线，两条直线的交点即为所求恒过点坐标.
【答案】A
【解析】解：直线化为：，
令，解得，．
直线恒过定点．
故选： ．
【标注】【知识点】直线的一般式方程；直线过定点问题
巩固练习
32. 已知 ，，若直线与直线互相垂直，则 的最大值等
于．
【答案】
【解析】方法一：直线
，
变形为，
斜率为 ，
∵ ，，
直线，
变形为，
由直线与直线垂直，
则，
即，
由基本不等式得
，
则（当且仅当，时等号成立），
∴ 的最大值为 ．
方法二：法向量之积为 ，即
，
∴，即（当且仅当，时等号成立），
∴ 的最大值为 ．
【标注】【知识点】直线的垂直；判定两条直线的位置关系；利用基本不等式求最值；基本不等式
的概念
33. 已知直线，，若，则直线 恒过定点；
若，则实数．
【答案】; 或
【解析】当时，，即直线 恒过定点，
当时，两直线方程分别为，和，则两直线不平行，不满
足条件，
当时，若，
则等价为，
由得，
得或，
故答案为：； 或 ．
【标注】【知识点】直线的平行
二、 圆与方程
1. 圆与方程
（一）圆的标准方程：
以点为圆心， 为半径的圆的方程：， 圆心在原点的圆的标准方
程：．
（二） 圆的一般方程：
，（），此时，圆心为，半径为
．对于圆的一般方程，我们需要注意：
（1） 和 项的系数相等且都不为零；
（2）没有 这样的二次项；
（3）表示以为圆心，为半径的圆；
（4）当时，方程①只有实根，，方程①表示一个点
；
（5）当
时，方程①没有实根，因而它不表示任何图形．
（三）圆的直径式：
以
为直径的圆的方程为
，其中圆心
为，半径.
（四）圆的参数方程
圆心为，半径为 .转化为标准方程为．
经典例题
34. 已知圆 经过点
，
，且圆心坐标为
，则圆 的标准方程为
．
【备注】根据圆心到两个点的距离相等且等于半径即可求解．【答案】
【解析】圆心到两个点的距离相等且等于半径，即
，解得，即圆心为，半径为 ，所以圆的方程为：
．
【标注】【知识点】圆的标准方程问题
35. 已知点,，则以 为直径的圆的方程是 （ ）.
A. B. C. D.
【备注】可根据圆方程的直径式进行求解，然后再整理为标准式即可．【答案】C
【解析】易知圆的圆心为线段 的中点，
半径,
∴圆的方程为．
【标注】【知识点】圆的标准方程问题
巩固练习
36. 已知两点，，以线段 为直径的圆的方程是（ ）．
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】由题可知，圆心为线段 的中点
，
半径为，所以圆的方程为．
故选D．
【标注】【知识点】圆的标准方程问题
【素养】数学运算
37. 方程表示的曲线是圆，则 的取值范围是（ ）．
A.
B. C. D.
【答案】D
【解析】若方程
表示的曲线是圆，
则，
化简得，
解得，故选 ．
【标注】【知识点】圆的方程的判定
三、 点、线、圆与圆位置关系
1. 判断点与圆的位置关系的方法
（一）圆的标准方程，圆心，半径
①若点在圆上，则；
②若点在圆外，则；
③若点在圆内，则．
反之，也成立．
（二）圆的一般方程为
，
①若点②若点③若点
反之，也成立．
在圆上，则在圆外，则在圆内，则
＝＞＜
；
；
．
事实上，将圆的方程为关于 的二元二次方程且最高次项系数为正，
，点在圆外（点在圆上和点在圆内）．
（三）点与圆的位置关系应用之最值：
已知点， 是圆 ：上一个动点，设
．
若，则点在圆 内，此时的最大值为，最小值为；
若，则点在圆 上，此时的最大值为 ，最小值为 ；
若，则点在圆 外，此时的最大值为，最小值为．
经典例题
38. 已知半径为 的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】解：由半径为 的圆经过点
，可得该圆的圆心轨迹为以
为圆心， 为半径的圆，
如图所示．
由，得，
即圆心到原点的距离的最小值是 ，故选：A．
【标注】【知识点】点与圆的位置关系问题
39. 已知点在圆的外部，则 的取值范围是（ ）．
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】将点
的坐标代入圆方程左边，
有，∴，
∴或．故选D．
【标注】【知识点】点与圆的位置关系问题
巩固练习
40. 已知圆 以点为圆心，半径等于 ，则点与圆 的位置关系是（ ）．
A. 点在圆内B. 点在圆上C. 点在圆外D. 无法判断
【答案】B
【解析】由题意可知，圆
，
∴把点代入圆 ，
则，
故点在圆上．
故选 ．
【标注】【知识点】点与圆的位置关系问题
41. 已知点，，，若 点在以 为直径的圆外，则 的取值范围是．
【答案】或
【解析】∵ 为直线，
∴
，
∴半径为，
中点，
∵ 在以 为直径的圆外，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴或．
故答案为：或．
【标注】【知识点】点与圆的位置关系问题
2. 直线与圆的位置关系
（一）直线与圆的三种位置关系
位置关系
几何方法
圆心到直线的距离为 ，圆的半
径为 .
代数方法
将直线方程代入圆方程得到
相离相切相交
（二）直线和圆相交的弦长问题
（1）几何法（垂径定理）：结合弦心距、弦长的一半及半径构成的直角三角形利用勾股定理来计算．
（2）代数法（弦长公式）：结合韦达定理利用弦长公式
．
特别注意：
① 计算圆的弦长时通常情况下采用几何法．
② 弦长的最值问题：过圆内一定点的弦长最大值为直径，最短弦为垂直于过该点的直径的线段. ③ 设直线时注意直线斜率不存在情况！
（三）圆的切线问题
（1） 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径．切线的几何性质为：圆心与切线的连线垂直于切线．
（2）过圆上一点的切线方程为：
.（备注：或者利用圆心和切点的连线垂直于切线从而求解切线
斜率）
（3） 过圆
外一点
可作两条切线：设切线斜率，用圆心到直线的
距离等于半径求解，但一定要注意斜率不存在的情况．无论使用哪种方法，结果一定是两条直线．
（4） 切线长：在经过圆外一点的切线，这一点和切点之间的线段叫做这点到圆的切线长．
切线最小问题：当直线与圆相离时，过直线上的动点向圆作切线，求切线长的最小值可利用直线与圆相切构成的直角三角形，将切线长最小问题转化为圆心到直线上的点距离最小问题，结合图形可知圆心到直线上的点距离最小值为圆心到直线的距离．
经典例题
42. 若圆心在的圆与 轴相切，则该圆与直线3的位置关系是（ ）．
A. 相离B. 相切C. 相交D. 不确定
【备注】根据圆心到直线的距离与半径的关系进行求解．【答案】B
【解析】该圆为，
圆心到直线的距离，
故相切．
故选 ．
【标注】【知识点】圆的切线的相关问题
43. 已知圆截直线所得弦的长度小于 ，则实数 的取值范围为
（ ）．
A.B.
C.D.
【备注】
直线与圆相交时，等式
非常重要．本题根据题目要求将等式转化为不等
式即可求解．学生的一个易错点是忽略圆方程成立得到的 的范围．
【答案】D
【解析】由圆，得，
圆心为，半径为，则，即，
圆心到直线的距离为，
∵弦的长度小于 ，
∴
，
解得，
∴，
故选 ．
【标注】【知识点】圆的弦长的相关问题
44. 已知点 为直线上一点，且 位于第一象限，点，以 为直径的圆与 交于点
（异于 ），若，则点 的横坐标的取值范围为．
【备注】由直径所对圆周角为 ，可得，进而可求，又即可求
解．
【答案】
【解析】设点 的坐标为
，
，
则，
如图所示，过点 作
轴，
由面积相等可得：
，
即，
所以，
所以在直角三角形中，
，
因为，
所以，
即化简可得，
即，
所以或（舍去），
所以实数 的取值范围为，
故答案为：．
【标注】【知识点】设点法解决直线与圆的相关问题
45. 过点与圆所引的切线方程为．
【备注】先判断点与圆的位置关系可得到点在圆外．过圆外一点做圆的切线，可以做两条．
一般求法（一般不用代数法）：设切线方程为根据求解，注意：
此时如果 有两个解，那么这两个解即为所求切线方程斜率；此时如果 只有一个解，则
必为另外一个切线．
【答案】，
【解析】点 在圆外，当切线的斜率不存在时，易知切线的方程为
，符合题意；
当切线的斜率存在时，可设过点的切线方程为，
圆心到切线的距离等于半径 ，可得，
解得，从而切线为．
【标注】【知识点】圆的切线的相关问题；直线的点斜式方程；斜率计算
46. 过抛物线上一点 作圆的切线，切点为 ， ，则当四边形的
面积最小时， 点的坐标是（ ）．
A.B.
C.D.
【备注】此题本质是求切线长最小，又，故最小时，切线长最小.
【答案】C
【解析】设点，，
令，，
则当时，，
所以，
此时点 坐标为．
故选 ．
【标注】【知识点】圆的切线的相关问题；抛物线与圆结合；面积问题；直接求函数的最值（不含
参）
巩固练习
47. 已知直线 过点，圆 ：，则()
A. 与 相交B. 与 相切
C. 与 相离D. 与 的位置关系不确定
【答案】A
【解析】解：圆 ：
即
，
圆心与点 的距离，小于半径 ，
故点在圆的内部，故 与 的位置关系是相交，
故选：A．
【标注】【知识点】直线与圆的位置判断
48. 若圆上至少有三个不同的点到直线 ：的距离为 ，则直
线 的倾斜角的取值范围是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】圆
整理为
，
∴圆心坐标为，半径为，
要求圆上至少有三个不同的点到直线 ：
的距离为
，
则圆心到直线的距离应小于等于 ，
∴，
∴，
∴，又直线 的斜率为，
∴，
直线 的倾斜角的取值范围是，
故选 ．
【标注】【知识点】圆的弦长的相关问题
【素养】数学运算
49. 已知直线 ：与圆交于 ， 两点，过 ， 分别作 的垂线与
轴交于 ， 两点，若，则．
【答案】4
【解析】解：由题意知，
， 圆心到直线的距离
，
，
，
直线 的倾斜角为 ．
过 ， 分别作 的垂线与 轴交于 ， 两点，
．
故答案为： ．
【标注】【知识点】圆的弦长的相关问题
50. 已知圆，从点观察点，要使视线不被圆 挡住，则 的取值范围是(
)
A.
B. C. D.
【答案】D
【解析】解：设过点
与圆
相切的直线为
，
则，解得，
切线方程为，
如图，由 点向圆 引 条切线，只要点 在切线之外，那么就不会被遮挡，
在直线上，
在中，取，得，
从 点观察 点，要使视线不被圆 挡住，
需，或．
的取值范围是．
故选：D．
【标注】【知识点】直线与圆的位置判断
51. 已知直线是圆的对称轴．过点作
圆 的一条切线，切点为 ，则（ ）．
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】由题意知，直线 过圆心
，求得
．
点到圆心距离为，圆的半径为 ，
故．
故选 ．
【标注】【知识点】圆的切线的相关问题
52. 过点作圆的切线，则切线的方程为（ ）．
A.或B.或
C.或D.或
【答案】C
【解析】由圆的一般方程可得圆的圆心为，半径为 ，
当切线的斜率存在，设切线的斜率为 ，则切线方程为：
，
由点到直线的距离公式可得：，
解得，
∴切线方程为：；
当切线的斜率不存在时，直线为：
，
满足圆心到直线的距离为圆的半径 ，
也是切线方程；
故选 ．
【标注】【知识点】圆的切线的相关问题
53. 已知圆 的半径为 ，为该圆的两条切线，为两切点，那么的最小值为（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】方法一：如图所示：设
,
，则，，
，
，
令，则，令，，
则当且仅当，即
时成立．故，此时，选择答案D
方法二：
如图所示，设，
在中，由得，
，
当且仅当，时等号成立，故选 ．
方法三：设，
由圆的对称性可知点 的坐标为
，直线 的方程为
，
令得，所以点 坐标为．
所以，
又因为点 在圆 上，所以，
所以，故选 ．
【标注】【知识点】圆的切线的相关问题；数量积的最值问题
【素养】数学运算；逻辑推理
3. 圆与圆的位置关系
（一）圆与圆的位置关系
关系圆心距和半径的关系图形示意公切线条数
外离条
外切条
相交条
内切条
内含条
（二）公共弦问题：两圆相交时，必有两个交点，则过这两个交点的弦称为两圆的公共弦．
设两圆的方程分别为：和，两式相
减得到公共弦所在直线的方程：．
（三）圆系
过两已知圆
的交点的圆系方程为
即．
特别的，当时，方程变为，表示一条直线（当两
圆是同心圆时，此直线不存在），当两圆相交时，此直线为公共弦所在直线；当两圆相切时，此直线为过两圆切点的公切线；当两圆相离时，此直线为与两圆连心线垂直的直线．
经典例题
54. 若两圆与有公共点，则实数所的取值范围是（ ）．
A.B.
C.D.
【备注】两圆有公共点即两圆可以有三种关系：内切，相交和外切．除了向学生强调这三种关系对
应的代数式为．还可以给学生强调一个易错点：保证圆方程成
立，本题是；再强调一个做题技巧：内切和外切这两种临界状态都可以取到即答案
中两边等号都可以取到，即可根据选项选出正确答案．
【答案】B
【解析】的圆心为，半径 ；
的圆心为，半径 ，
所以，两圆心的距离，
所以，解得．
【标注】【知识点】圆与圆的位置判断
【素养】数学运算
55. 两个圆 ：与 ：的公切线有且仅有（
）．
A. 条B. 条C. 条D. 条
【备注】求两个圆的公切线只需判断出两圆的位置关系即可．【答案】B
【解析】两圆的圆心分别是
，半径分别是 ， ． 两圆圆心距离：
，说明两圆相交， 因而公切线只有两条． 故选 ．
【标注】【素养】数学运算；直观想象
【知识点】两圆的公切线条数及方程
56. 以相交两圆 ：及 ：的公共弦为直径的圆的方
程为（ ）．
A.
B.
C.
D.
【备注】首先两圆方程做差可得公共弦方程，然后即为
过公共弦的圆系方程，再根据圆心横纵坐标相等即可求解．
【答案】B
【解析】圆与圆，
方程相减得圆 与圆 的公共弦所在直线的方程为，
联立可得，
设圆 和 交点分别为，，
则，，
则以 为直径的圆圆心坐标为，
半径
．
故选 ．
【标注】【知识点】相交弦所在直线方程
巩固练习
57. 已知圆 ：（）截直线所得线段的长度是 ，则圆 与圆 ：
的位置关系是（ ）．
A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离
【答案】B
【解析】由
（
），得
（
），
所以圆 的圆心为，半径为，
因为圆 截直线所得线段的长度是 ，
所以，
解得，
圆 的圆心为
，半径为
，
所以，
，，
因为，
所以圆 与圆 相交．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】点到直线的距离公式【知识点】圆与圆的位置关系
【知识点】圆的标准方程与一般方程
58. 圆与圆相交于 、 两点，则直线 的方程
为．
【答案】
【解析】两个圆的方程两端相减，可得
．
即．
【标注】【知识点】相交弦所在直线方程
出门测
59. 直线，，若，则 （ ）．
A.B.C.或D. 或
【答案】A
【解析】易知
，
，
由得，
即，
解得或 ．
当时，两直线重合，舍去，
故选 ．
【标注】【知识点】直线的平行
60. 已知点是圆外的一点，则直线与圆的位置关系是 ()
A. 相离B. 相切C. 相交且不过圆心D. 相交且过圆心
【答案】C
【解析】解： 点
是圆
外的一点，
，
圆心到直线的距离：
，且，
直线与圆相交且不过圆心．
故选：C．
【标注】【知识点】直线与圆的位置判断
61. 已知圆截直线所得弦的长度为 ，则实数 的值是()
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】解：圆
,即
，
故弦心距，
再由勾股定理可得，解得．
故选：B．
【标注】【知识点】圆的切线的相关问题
62. 已知三角形的三个顶点，，，求 边上中线和高线所在的直线方程．
【答案】．
【解析】设 边中点为，
因为，，
所以，
．
所以．
又，
．
所以 边上中线所在的直线方程为
，
整理得．
设 边上的高线为 ，
因为，
所以．
所以 边上高线所在的直线方程为
，
整理得．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】直线的两点式方程；根据直线的位置关系求直线的方程
42
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