【暑假衔接】人教A版新高二数学 新课预习-2.1.2 两条直线平行和垂直的判定（教师版+学生版）

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1．理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件
2．会运用条件判定两直线是否平行或垂直
3．运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题．
【知识梳理】
知识点一 两条直线(不重合)平行的判定
知识点二 两条直线垂直的判定
【例题详解】
一、两条直线平行的判定
例1 (1)（多选）若为两条不重合的直线，他们的倾斜角分别为，斜率分别为，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则斜率B．若斜率，则
C．若，则倾斜角D．若倾斜角，则
【答案】ABCD
【分析】根据直线平行、斜率、倾斜角之间关系，可直接判断出结果.
【详解】因为为两条不重合的直线，他们的倾斜角分别为，斜率分别为，
若，则斜率相等，即；又斜率是倾斜角的正切值，所以，故AC正确；
若，则，所以，故BD正确；
故选：ABCD
(2)（多选）下列直线l1与直线l2平行的有（ ）
A．直线l1经过点A(2，1)，B(-3，5)，直线l2过点C(3，-3)，D(8，-7)
B．直线l1经过点A(0，1)，B(-2，-1)，直线l2过点C(3，4)，D(5，2)
C．直线l1经过点A(1，)，B(2，2)，直线l2的倾斜角为60°且过原点
D．直线l1经过点A(0，2)，B(0，1)，直线l2的斜率为0
【答案】AC
【分析】直接利用两直线平行的条件进行判断.
【详解】A选项中，，且两直线不重合，故l1l2；
B选项中，，∵∴两直线不平行；
C选项中，，且两直线不重合，故l1l2；
D选项中，l1斜率不存在，l2的斜率为0，∴两直线不平行.
故选：AC
【点睛】解析几何中判断直接利用两直线平行的方法:
(1)若两直线斜率都不存在, 两直线平行;
(2)两直线的斜率都存在,且k1=k2,b1≠b2,则两直线平行;
(3)若用一般式表示的直线,不用讨论斜率是否存在,只要A1B2=A1,B1C2≠B2C1
(3)试确定m的值，使过点A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4,3)，D(0,5)的直线平行．
【详解】由题意直线CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在．
kAB＝eq \f(m－0,－5－m＋1)＝eq \f(m,－6－m)，kCD＝eq \f(5－3,0－－4)＝eq \f(1,2)，
由于AB∥CD，所以kAB＝kCD，即eq \f(m,－6－m)＝eq \f(1,2)，得m＝－2.
经验证m＝－2时直线AB的斜率存在，所以m＝－2.
跟踪训练1 (1)已知、是平面直角坐标系上的直线，“与的斜率相等”是“与平行”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分条件也非必要条件
【答案】D
【分析】根据直线平行与直线斜率的关系，即可求解.
【详解】解：与的斜率相等”，“与可能重合，故前者不可以推出后者，
若与平行，与的斜率可能都不存在，故后者不可以推出前者，
故前者是后者的既非充分条件也非必要条件，
故选：D.
(2)判断三点是否共线，并说明理由．
【答案】共线，理由见解析.
【分析】根据直线斜率公式进行求解即可.
【详解】这三点共线，理由如下：
由直线斜率公式可得：，
直线的斜率相同，所以这两直线平行，但这两直线都通过同一点，
所以这三点共线.
(3)根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行．
( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)的倾斜角为60°，经过点，；
( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)平行于y轴，经过点，．
【答案】( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)或与重合；( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)
【分析】( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)根据两直线的斜率关系即可判断位置关系，
( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)根据两直线均无斜率即可判断位置关系.
【详解】( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)由题意，知直线的斜率，
直线的斜率，
所以，所以或与重合．
( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)由题意，知是y轴所在的直线，所以．
二、两条直线垂直的判定
例2 (1)已知经过点和点的直线与经过点和点的直线互相垂直，则实数的值为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】求出直线的斜率为，分、两种情况讨论，在时，由两直线斜率之积为可求得实数的值；在时，直接验证.综合可得结果.
【详解】直线的斜率．
①当时，直线的斜率．
因为，所以，即，解得．
②当时，、，此时直线为轴，
又、，则直线为轴，显然．
综上可知，或.
故选：C.
(2)（多选）下列直线互相垂直的是（ ）
A．的斜率为，经过点，
B．的倾斜角为，经过点
C．经过点，经过点
D．的斜率为2，经过点
【答案】ABC
【分析】由倾斜角与斜率的关系求出直线斜率，由两点坐标求出直线斜率，分别判断两直线斜率之积是否为，从而可选出正确答案.
【详解】的斜率为，因为，所以成立，故A正确；
的斜率为，的斜率为，由，
则成立，故B正确；
的斜率为，的斜率为，由
则成立，故C正确；
的斜率为，由，所以不成立，故D错误.
故选：ABC．
跟踪训练2 (1)若直线和直线垂直，则实数的值为______.
【答案】
【分析】根据两直线垂直可得出关于实数的等式，解之即可.
【详解】因为直线和直线垂直，则，解得.
故答案为：.
(2)直线过点和点，直线过点和点，则直线与的位置关系是______．
【答案】垂直
【分析】分，，三种情况讨论即可.
【详解】①当时，直线过点和点，
直线过点和点，
此时直线的斜率，直线的斜率不存在，因此；
②当时，直线过点和点，直线过点
和点．此时直线的斜率不存在，直线的斜率，因此；
③当时，直线的斜率，直线的斜率，
此时，∴．
故答案为：垂直.
(3)设直线l1、l2的斜率分别为k1、k2，倾斜角分别为α、β，若k1k2＝﹣1，则|α﹣β|＝__．
【答案】
【分析】利用直线的倾斜角和斜率、两条直线互相垂直的性质，得出结论．
【详解】
如图，因为直线l1、l2的斜率分别为k1、k2，倾斜角分别为α、β，
若k1k2＝﹣1，则直线l1与l2的相互垂直，它们的倾斜角相差，
故|α﹣β|，
故答案为：．
三、垂直与平行的综合应用
例3 (1)已知的顶点，，其垂心为，则其顶点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由垂心的定义可知，；根据垂直时斜率乘积为可知，，利用两点连线斜率公式可构造出方程组求得结果.
【详解】为的垂心 ，
又，
直线斜率存在且，
设，则，解得：
本题正确选项：
【点睛】本题考查根据直线与直线垂直的位置关系求解参数的问题；关键是能够利用垂心的性质得到直线与直线的垂直关系.
(2)设两直线，与轴构成三角形，则的取值范围为______.
【答案】且
【分析】当直线，及轴两两不平行，且不共点时，必围成三角形，分别讨论直线与直线平行；直线与轴平行；直线，及轴过公共点的情况，根据题意即可得出的取值范围.
【详解】当直线，及轴两两不平行，且不共点时，必围成三角形
当时，直线与直线平行；
当时，直线与轴平行；
当时，直线，及轴都过原点；
要使得两直线，与轴构成三角形，则的取值范围为且
故答案为：且
【点睛】本题主要考查了直线平行在几何中的应用，属于基础题.
跟踪训练3 (1)已知四边形的顶点，则四边形的形状为___________.
【答案】矩形
【分析】分别求出直线的斜率，根据斜率判断对应直线得位置关系，即可得出结论.
【详解】解：，且不在直线上，.
又，且不在直线上，，四边形为平行四边形.又.
平行四边形为矩形.
故答案为：矩形.
(2)若，，，则的外接圆面积为______．
【答案】
【分析】由斜率得，从而可得是直角三角形的斜边，也是的外接圆的直径，求得长后得圆半径，从而得圆面积．
【详解】，，，∴，是直角三角形的斜边，也是的外接圆的直径，
，外接圆半径为，
圆表面积为．
故答案为：．
【课堂巩固】
1．若直线l1的倾斜角为135°，直线l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，则直线l1与l2的位置关系是( )
A．垂直B．平行C．重合D．平行或重合
【答案】D
【分析】由倾斜角可得直线l1的斜率，由斜率公式可得直线l2的斜率，可判断平行或重合关系.
【详解】直线l1的倾斜角为135°，其斜率，
直线l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，其斜率，
显然满足，
l1与l2平行或重合.
故选D.
【点睛】本题考查两条直线的位置关系的判断，注意斜率公式的合理应用.
2．已知直线经过，两点，直线倾斜角为，那么与（ ）
A．平行B．垂直C．重合D．相交但不垂直
【答案】B
【分析】根据两点求出直线的斜率，根据倾斜角求出直线的斜率，可知斜率乘积为，从而得到垂直关系.
【详解】由题意可得：直线的斜率，直线的斜率，
∵，则与垂直.
故选：B.
3．已知直线，若，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】B
【分析】根据给定的条件，利用两直线的垂直关系列式计算作答.
【详解】因为直线，且，则，
所以.
故选：B
4．在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各项中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】依次代入四个选项的坐标，求出每种情况下四边的长度，结合对边是否平行即可选出正确答案.
【详解】设第四个顶点为．当点的坐标为时，，，，
．∵，，∴四边形不是平行四边形．A不正确；
当点坐标为时，因为，即且，
故是平行四边形，B正确；
当点坐标为时，因为，即且，
故是平行四边形，C正确；
当点坐标为时，因为，即且，
故是平行四边形，D正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了两点间的距离公式，考查了判断两直线是否平行，属于基础题.
5．与直线垂直的直线l的倾斜角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】D
【分析】由直线垂直的斜率关系求出直线l的斜率，再根据斜率与倾斜角关系可直接求解.
【详解】由题知直线的斜率为，故直线l的斜率为，
根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为150°.
故选：D
6．直线，的斜率是方程的两个根，则（ ）
A．B．
C．与相交但不垂直D．与的位置关系不确定
【答案】B
【分析】结合根与系数关系、两直线的位置关系求得正确答案.
【详解】设直线的斜率分别是，
依题意，所以.
故选：B
7．已知倾斜角为的直线与直线垂直，则（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【分析】设直线的斜率为，直线的斜率为，由条件得出，求出的值，再根据诱导公式即可得出答案．
【详解】设直线的斜率为，直线的斜率为，
由直线得出斜率，
因为直线与直线垂直，
所以，即，解得，即，
所以，
故选：B．
8．已知三角形三个顶点的坐标分别为，，，则边上的高的斜率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【分析】根据已知求出的斜率，再根据两直线垂直的斜率关系即可求解.
【详解】，，
设边上的高的斜率为，则，
故选：C
9．（多选）已知点，那么下面四个结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】分别计算,,,的斜率，根据斜率的关系判断．
【详解】因为，，即不在直线上，所以，故A正确，B错误；
又，，∴，∴，故D正确，C错误．
故选：AD．
10．已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是______．
【答案】平行或重合
【分析】分别求出直线与的斜率，由此可得两直线的位置关系．
【详解】由已知，得，，
，但直线在y轴上的截距不确定，
直线与的位置关系是平行或重合．
故答案为：平行或重合．
11．已知的三个顶点分别是，，，点在边的高所在的直线上，则实数______.
【答案】3
【分析】根据可知，则，利用两点连线斜率公式可构造方程求得结果.
【详解】由题意得：
又 ，解得：
本题正确结果：
【点睛】本题考查利用直线与直线垂直关系求解参数值的问题，属于基础题.
12．当两条直线中有一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0时，即一条直线的倾斜角为_____，另一条直线的倾斜角为____时，两条直线互相垂直.
【答案】
【分析】根据直线垂直的性质与斜率公式进行填空即可.
【详解】当一条直线没有斜率时，其倾斜角为；
当另一条直线的斜率为0时，由可得其倾斜角为；
此时，这两条直线互相垂直.
13．根据下列给定的条件，判断两直线的位置关系.
(1)l1经过点A(2，1)，B(－3，5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；
(2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10，2)，B(20，3).
【答案】(1)平行；(2)垂直
【分析】计算出两直线的斜率，通过斜率可得答案.
【详解】（1）
则
两直线斜率相同，轴上截距不同
故与平行；
（2），则，
故与垂直.
14．已知，，.
（1）若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标；
（2）在（1）的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形.
【答案】（1）（-1，6）或（7，2）或（3，-2）；（2）平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形.
【分析】（1）分四边形、、是平行四边形三种情况讨论，分别利用对边的斜率相等求解，即可；
（2）分别验证对角线是否垂直，即对角线斜率乘积是否为，即可.
【详解】（1）由题意得，
，，设.
若四边形是平行四边形，则，，
即，解得，即.
若四边形是平行四边形，
则，，
即，解得，即.
若四边形是平行四边形，
则，，
即，解得，即.
综上，点的坐标为（-1，6）或（7，2）或（3，-2）.
（2）若的坐标为（-1，6），
因为，，
所以，所以，
所以平行四边形为菱形.
若的坐标为（7，2），
因为，，
所以，所以平行四边形不是菱形.
若的坐标为（3，-2），因为，直线的斜率不存在，所以平行四边形不是菱形.
因此，平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形.
【课时作业】
1．已知直线的斜率是方程的两个根，则（ ）
A．B．
C．与相交但不垂直D．与的位置关系不确定
【答案】C
【分析】由可知两直线不垂直，且知两直线不平行，由此可得结论.
【详解】设直线的斜率为，则，
，不垂直，A错误；
若，则，与矛盾，，不平行，B错误；
不平行，也不垂直，相交但不垂直，C正确，D错误.
故选：C.
2．下列各组直线中，互相垂直的一组是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】D
【分析】分别求出两直线的斜率，根据斜率之积为两直线垂直，即可判断.
【详解】对于A：直线的斜率为，直线的斜率为，
故两直线平行，故A错误；
对于B：直线的斜率为，直线的斜率为，
斜率之积不为，即两直线不垂直，故B错误；
对于C：直线的斜率为，直线的斜率为，
斜率之积不为，即两直线不垂直，故C错误；
对于D：直线的斜率为，直线的斜率为，
斜率之积为，即两直线垂直，故D正确；
故选：D
3．已知直线与直线垂直，则的值为（ ）
A．B．C．-1D．1
【答案】A
【分析】根据，则运算求解.
【详解】由题意可得：直线的斜率，直线的斜率，
若直线与直线垂直，则，解得.
故选：A.
4．若直线的倾斜角为45°，直线经过点P（-2，-1），Q（3，-6），则直线与的位置关系是（ ）
A．垂直B．平行C．重合D．平行或重合
【答案】A
【分析】由倾斜角可得直线的斜率，由斜率公式可得直线的斜率，可判断垂直关系.
【详解】由题可知直线的斜率为，直线的斜率为，所以直线与垂直
故选：A
5．以点，，为顶点的三角形是（ ）．
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等边三角形
【答案】B
【分析】求出三边所在直线的斜率，由斜率判断．
【详解】由题意，同理，，，，
三角形是直角三角形．
故选：B．
6．直线的斜率是方程的两根，则与的位置关系是（ ）
A．平行B．重合
C．相交但不垂直D．垂直
【答案】C
【分析】由韦达定理可得方程的两根之积为，从而可知直线、的斜率之积为，进而可判断两直线的位置关系
【详解】设方程的两根为、，则．
直线、的斜率，故与相交但不垂直．
故选：C．
7．已知点和，点在轴上，且为直角，则点坐标为（ ）
A．B．或C．或D．
【答案】B
【分析】设点，由为直角，得，然后由列式计算即可.
【详解】由题意，设点，
为直角，，
由，
，解得或，所以点的坐标为或
故选：B
8．设，则“”是“直线与直线相交”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充他条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】求出两直线相交的充要条件是，再判断即可.
【详解】解：直线与直线相交的充分条件是，即，
由于是的充分不必要条件，
故选：A.
【点睛】利用判断充分必要性，考查了直线相交的判断，基础题.
9．已知直线l的倾斜角为10°，直线l1l，直线l2⊥l，则l1与l2的倾斜角分别为（ ）
A．10°，10°B．80°，80°
C．10°，100°D．100°，10°
【答案】C
【分析】由两线的位置关系，结合已知条件及直线平行、垂直的判定，即可求倾斜角大小.
【详解】∵l1l，
∴它们的倾斜角相等，即l1的倾斜角为10°，
∵l2⊥l，若l2的倾斜角为，则，
∴，即，
∴.
故选：C.
10．已知倾斜角为的直线与直线垂直，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】倾斜角为的直线与直线垂直，利用相互垂直的直线斜率之间的关系，同角三角函数基本关系式即可得出结果.
【详解】解：因为直线与直线垂直，所以，.
又为直线倾斜角，解得.
故选：D.
【点睛】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，同角三角函数基本关系式，考查计算能力，属于基础题.
11．（多选）已知两条不重合的直线，，下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】ABD
【分析】根据直线的位置关系与斜率关系即可判断.
【详解】对A，若，则，故A正确；
对B，若，又两直线不重合，则，故B正确；
对C，若，则与不垂直，故C错误；
对D，若，则，故D正确.
故选：ABD.
12．（多选）下列结论中正确的有（ ）
A．直线倾斜角的范围是
B．若两条相交直线所成的角为，其方向向量的夹角为，则或
C．若两条直线相互垂直，则其斜率之积为
D．每条直线有且只有一个倾斜角与之相对应
【答案】BD
【分析】根据直线的倾斜角、直线的夹角、方向向量的夹角、直线垂直等知识确定正确答案.
【详解】直线倾斜角的取值范围是，A选项错误.
B选项，根据直线的夹角和方向向量的夹角的知识可知，或，B选项正确.
C选项，两条直线相互垂直，可能一条斜率为，另一条斜率不存在，所以C选项错误.
D选项，每条直线有且只有一个倾斜角与之相对应，这个结论是正确的，D选项正确.
故选：BD
13．（多选）若，，，，下面结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】通过点的坐标得到相应直线的斜率，通过直线斜率判断直线的位置关系即可.
【详解】，，且C不在直线AB上，∴，故A正确；
又∵，∴，∴，故B正确；
∵，，
∴，，∴，故C正确；
又∵，，∴
∴，故D错误．
故选:ABC．
14．（多选）已知等腰直角三角形的直角顶点为，点的坐标为，则点的坐标可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根据三角形为等腰直角三角形列方程组，即可求解.
【详解】设，由题意可得
，可化为，
解得:或，即或．
故选：AC
15．已知直线l1：x＋my－2m－2＝0，直线l2：mx＋y－1－m＝0，当时，m＝_________
【答案】1
【分析】根据两直线平行的判定方法即可求得结果
【详解】因为，且斜率一定存在，所以，即，
又因为，为两条不同的直线，所以，所以
故答案为：1
16．已知直线：，：，则“”是“”的____条件
【答案】充分不必要
【分析】解出所需条件，再结合充分不必要条件的定义判断即可．
【详解】直线的一个法向量是，直线的一个法向量是，
，则有，得，解得或．
当时，成立；当时，不能得到，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要
17．已知直线．当轴，且相距为5时，实数的取值分别为________．
【答案】，或10
【分析】根据直线．当轴，且相距为5，可得且，解方程即可得结果．
【详解】解：轴，
，得，
又直线与轴相距为5，
，得或10
故答案为，或10
【点睛】本题考查直线与坐标轴平行时的系数关系，是基础题．
18．判断下列直线与是否垂直：
(1)的倾斜角为，经过，两点；
(2)的斜率为，经过，两点；
(3)的斜率为，的倾斜角为，为锐角，且.
【答案】(1)； (2)与不垂直； (3)
【分析】（1）的斜率为，根据过两点的斜率公式可求的斜率，判断斜率的乘积是否为即可；
（2）根据过两点的斜率公式可求的斜率，判断斜率的乘积是否为即可；
（3）根据二倍角的正切公式求出的值，判断斜率的乘积是否为即可.
【详解】（1）因为的倾斜角为，所以的斜率为.
因为经过，两点，
所以的斜率为.
因为，所以.
（2）因为经过，两点，
所以的斜率为.
因为的斜率为，且，
所以与不垂直.
（3）记的斜率为，因为，
所以，解得或.
因为为锐角，所以.
因为的斜率为，且，
所以.
19．已知，，，四点，若顺次连接四点，试判断图形的形状．
【答案】直角梯形
【分析】计算四条边所在直线的斜率，判断边之间的位置关系，即可判断图形的形状 .
【详解】由斜率公式，得，，，,
所以，又因为 ,说明与不重合，
所以．
因为，所以与不平行．
又因为，所以．
故四边形为直角梯形．
20．已知A（m，4），B（－2，m），C（1，1），D（m＋2，3）四点．
(1)若直线AB与直线CD平行，求m的值；
(2)求证：无论m取何值，总有∠ACB＝90°．
【答案】(1)m＝0或m＝1；(2)证明见解析
【分析】（1）由直线的位置关系列式求解
（2）转化为向量垂直，由数量积运算列式证明
【详解】（1）①当直线AB的斜率不存在时，m＝－2，此时C（1，1），D（0，3），则直线CD的斜率存在，故直线AB与直线CD不平行，故；
同理可得，所以直线AB与直线CD的斜率都存在．
②直线AB的斜率为，直线CD的斜率为．
因为直线AB与直线CD平行，所以，即，
整理可得，解得m＝0或m＝1，
检验可知，当m＝0或m＝1时，直线AB与直线CD平行，故m＝0或m＝1．
（2），，则，
所以无论m取何值，总有∠ACB＝90°．
类型
斜率存在
斜率不存在
前提条件
α1＝α2≠90°
α1＝α2＝90°
对应关系
l1∥l2⇔k1＝k2
l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在
图示
图示
对应关系
l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1
l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2