【暑假衔接】人教A版新高二数学 新课预习-2.1.2 两条直线平行和垂直的判定(教师版+学生版)
展开1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件
2.会运用条件判定两直线是否平行或垂直
3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题.
【知识梳理】
知识点一 两条直线(不重合)平行的判定
知识点二 两条直线垂直的判定
【例题详解】
一、两条直线平行的判定
例1 (1)(多选)若为两条不重合的直线,他们的倾斜角分别为,斜率分别为,则下列命题正确的是( )
A.若,则斜率B.若斜率,则
C.若,则倾斜角D.若倾斜角,则
【答案】ABCD
【分析】根据直线平行、斜率、倾斜角之间关系,可直接判断出结果.
【详解】因为为两条不重合的直线,他们的倾斜角分别为,斜率分别为,
若,则斜率相等,即;又斜率是倾斜角的正切值,所以,故AC正确;
若,则,所以,故BD正确;
故选:ABCD
(2)(多选)下列直线l1与直线l2平行的有( )
A.直线l1经过点A(2,1),B(-3,5),直线l2过点C(3,-3),D(8,-7)
B.直线l1经过点A(0,1),B(-2,-1),直线l2过点C(3,4),D(5,2)
C.直线l1经过点A(1,),B(2,2),直线l2的倾斜角为60°且过原点
D.直线l1经过点A(0,2),B(0,1),直线l2的斜率为0
【答案】AC
【分析】直接利用两直线平行的条件进行判断.
【详解】A选项中,,且两直线不重合,故l1l2;
B选项中,,∵∴两直线不平行;
C选项中,,且两直线不重合,故l1l2;
D选项中,l1斜率不存在,l2的斜率为0,∴两直线不平行.
故选:AC
【点睛】解析几何中判断直接利用两直线平行的方法:
(1)若两直线斜率都不存在, 两直线平行;
(2)两直线的斜率都存在,且k1=k2,b1≠b2,则两直线平行;
(3)若用一般式表示的直线,不用讨论斜率是否存在,只要A1B2=A1,B1C2≠B2C1
(3)试确定m的值,使过点A(m+1,0),B(-5,m)的直线与过点C(-4,3),D(0,5)的直线平行.
【详解】由题意直线CD的斜率存在,则与其平行的直线AB的斜率也存在.
kAB=eq \f(m-0,-5-m+1)=eq \f(m,-6-m),kCD=eq \f(5-3,0--4)=eq \f(1,2),
由于AB∥CD,所以kAB=kCD,即eq \f(m,-6-m)=eq \f(1,2),得m=-2.
经验证m=-2时直线AB的斜率存在,所以m=-2.
跟踪训练1 (1)已知、是平面直角坐标系上的直线,“与的斜率相等”是“与平行”的( )
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.既非充分条件也非必要条件
【答案】D
【分析】根据直线平行与直线斜率的关系,即可求解.
【详解】解:与的斜率相等”,“与可能重合,故前者不可以推出后者,
若与平行,与的斜率可能都不存在,故后者不可以推出前者,
故前者是后者的既非充分条件也非必要条件,
故选:D.
(2)判断三点是否共线,并说明理由.
【答案】共线,理由见解析.
【分析】根据直线斜率公式进行求解即可.
【详解】这三点共线,理由如下:
由直线斜率公式可得:,
直线的斜率相同,所以这两直线平行,但这两直线都通过同一点,
所以这三点共线.
(3)根据下列给定的条件,判断直线与直线是否平行.
( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)的倾斜角为60°,经过点,;
( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)平行于y轴,经过点,.
【答案】( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)或与重合;( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)
【分析】( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)根据两直线的斜率关系即可判断位置关系,
( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)根据两直线均无斜率即可判断位置关系.
【详解】( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)由题意,知直线的斜率,
直线的斜率,
所以,所以或与重合.
( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)由题意,知是y轴所在的直线,所以.
二、两条直线垂直的判定
例2 (1)已知经过点和点的直线与经过点和点的直线互相垂直,则实数的值为( )
A.B.C.或D.或
【答案】C
【分析】求出直线的斜率为,分、两种情况讨论,在时,由两直线斜率之积为可求得实数的值;在时,直接验证.综合可得结果.
【详解】直线的斜率.
①当时,直线的斜率.
因为,所以,即,解得.
②当时,、,此时直线为轴,
又、,则直线为轴,显然.
综上可知,或.
故选:C.
(2)(多选)下列直线互相垂直的是( )
A.的斜率为,经过点,
B.的倾斜角为,经过点
C.经过点,经过点
D.的斜率为2,经过点
【答案】ABC
【分析】由倾斜角与斜率的关系求出直线斜率,由两点坐标求出直线斜率,分别判断两直线斜率之积是否为,从而可选出正确答案.
【详解】的斜率为,因为,所以成立,故A正确;
的斜率为,的斜率为,由,
则成立,故B正确;
的斜率为,的斜率为,由
则成立,故C正确;
的斜率为,由,所以不成立,故D错误.
故选:ABC.
跟踪训练2 (1)若直线和直线垂直,则实数的值为______.
【答案】
【分析】根据两直线垂直可得出关于实数的等式,解之即可.
【详解】因为直线和直线垂直,则,解得.
故答案为:.
(2)直线过点和点,直线过点和点,则直线与的位置关系是______.
【答案】垂直
【分析】分,,三种情况讨论即可.
【详解】①当时,直线过点和点,
直线过点和点,
此时直线的斜率,直线的斜率不存在,因此;
②当时,直线过点和点,直线过点
和点.此时直线的斜率不存在,直线的斜率,因此;
③当时,直线的斜率,直线的斜率,
此时,∴.
故答案为:垂直.
(3)设直线l1、l2的斜率分别为k1、k2,倾斜角分别为α、β,若k1k2=﹣1,则|α﹣β|=__.
【答案】
【分析】利用直线的倾斜角和斜率、两条直线互相垂直的性质,得出结论.
【详解】
如图,因为直线l1、l2的斜率分别为k1、k2,倾斜角分别为α、β,
若k1k2=﹣1,则直线l1与l2的相互垂直,它们的倾斜角相差,
故|α﹣β|,
故答案为:.
三、垂直与平行的综合应用
例3 (1)已知的顶点,,其垂心为,则其顶点的坐标为( )
A.B.C.D.
【答案】A
【分析】由垂心的定义可知,;根据垂直时斜率乘积为可知,,利用两点连线斜率公式可构造出方程组求得结果.
【详解】为的垂心 ,
又,
直线斜率存在且,
设,则,解得:
本题正确选项:
【点睛】本题考查根据直线与直线垂直的位置关系求解参数的问题;关键是能够利用垂心的性质得到直线与直线的垂直关系.
(2)设两直线,与轴构成三角形,则的取值范围为______.
【答案】且
【分析】当直线,及轴两两不平行,且不共点时,必围成三角形,分别讨论直线与直线平行;直线与轴平行;直线,及轴过公共点的情况,根据题意即可得出的取值范围.
【详解】当直线,及轴两两不平行,且不共点时,必围成三角形
当时,直线与直线平行;
当时,直线与轴平行;
当时,直线,及轴都过原点;
要使得两直线,与轴构成三角形,则的取值范围为且
故答案为:且
【点睛】本题主要考查了直线平行在几何中的应用,属于基础题.
跟踪训练3 (1)已知四边形的顶点,则四边形的形状为___________.
【答案】矩形
【分析】分别求出直线的斜率,根据斜率判断对应直线得位置关系,即可得出结论.
【详解】解:,且不在直线上,.
又,且不在直线上,,四边形为平行四边形.又.
平行四边形为矩形.
故答案为:矩形.
(2)若,,,则的外接圆面积为______.
【答案】
【分析】由斜率得,从而可得是直角三角形的斜边,也是的外接圆的直径,求得长后得圆半径,从而得圆面积.
【详解】,,,∴,是直角三角形的斜边,也是的外接圆的直径,
,外接圆半径为,
圆表面积为.
故答案为:.
【课堂巩固】
1.若直线l1的倾斜角为135°,直线l2经过点P(-2,-1),Q(3,-6),则直线l1与l2的位置关系是( )
A.垂直B.平行C.重合D.平行或重合
【答案】D
【分析】由倾斜角可得直线l1的斜率,由斜率公式可得直线l2的斜率,可判断平行或重合关系.
【详解】直线l1的倾斜角为135°,其斜率,
直线l2经过点P(-2,-1),Q(3,-6),其斜率,
显然满足,
l1与l2平行或重合.
故选D.
【点睛】本题考查两条直线的位置关系的判断,注意斜率公式的合理应用.
2.已知直线经过,两点,直线倾斜角为,那么与( )
A.平行B.垂直C.重合D.相交但不垂直
【答案】B
【分析】根据两点求出直线的斜率,根据倾斜角求出直线的斜率,可知斜率乘积为,从而得到垂直关系.
【详解】由题意可得:直线的斜率,直线的斜率,
∵,则与垂直.
故选:B.
3.已知直线,若,则( )
A.B.0C.1D.2
【答案】B
【分析】根据给定的条件,利用两直线的垂直关系列式计算作答.
【详解】因为直线,且,则,
所以.
故选:B
4.在平面直角坐标系中,以,,为顶点构造平行四边形,下列各项中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是( )
A.B.C.D.
【答案】A
【分析】依次代入四个选项的坐标,求出每种情况下四边的长度,结合对边是否平行即可选出正确答案.
【详解】设第四个顶点为.当点的坐标为时,,,,
.∵,,∴四边形不是平行四边形.A不正确;
当点坐标为时,因为,即且,
故是平行四边形,B正确;
当点坐标为时,因为,即且,
故是平行四边形,C正确;
当点坐标为时,因为,即且,
故是平行四边形,D正确;
故选:A.
【点睛】本题考查了两点间的距离公式,考查了判断两直线是否平行,属于基础题.
5.与直线垂直的直线l的倾斜角为( )
A.30°B.60°C.120°D.150°
【答案】D
【分析】由直线垂直的斜率关系求出直线l的斜率,再根据斜率与倾斜角关系可直接求解.
【详解】由题知直线的斜率为,故直线l的斜率为,
根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为150°.
故选:D
6.直线,的斜率是方程的两个根,则( )
A.B.
C.与相交但不垂直D.与的位置关系不确定
【答案】B
【分析】结合根与系数关系、两直线的位置关系求得正确答案.
【详解】设直线的斜率分别是,
依题意,所以.
故选:B
7.已知倾斜角为的直线与直线垂直,则( )
A.B.2C.D.
【答案】B
【分析】设直线的斜率为,直线的斜率为,由条件得出,求出的值,再根据诱导公式即可得出答案.
【详解】设直线的斜率为,直线的斜率为,
由直线得出斜率,
因为直线与直线垂直,
所以,即,解得,即,
所以,
故选:B.
8.已知三角形三个顶点的坐标分别为,,,则边上的高的斜率为( )
A.2B.C.D.
【答案】C
【分析】根据已知求出的斜率,再根据两直线垂直的斜率关系即可求解.
【详解】,,
设边上的高的斜率为,则,
故选:C
9.(多选)已知点,那么下面四个结论正确的是( )
A.B.
C.D.
【答案】AD
【分析】分别计算,,,的斜率,根据斜率的关系判断.
【详解】因为,,即不在直线上,所以,故A正确,B错误;
又,,∴,∴,故D正确,C错误.
故选:AD.
10.已知直线的倾斜角为,直线经过点,,则直线与的位置关系是______.
【答案】平行或重合
【分析】分别求出直线与的斜率,由此可得两直线的位置关系.
【详解】由已知,得,,
,但直线在y轴上的截距不确定,
直线与的位置关系是平行或重合.
故答案为:平行或重合.
11.已知的三个顶点分别是,,,点在边的高所在的直线上,则实数______.
【答案】3
【分析】根据可知,则,利用两点连线斜率公式可构造方程求得结果.
【详解】由题意得:
又 ,解得:
本题正确结果:
【点睛】本题考查利用直线与直线垂直关系求解参数值的问题,属于基础题.
12.当两条直线中有一条直线没有斜率,另一条直线的斜率为0时,即一条直线的倾斜角为_____,另一条直线的倾斜角为____时,两条直线互相垂直.
【答案】
【分析】根据直线垂直的性质与斜率公式进行填空即可.
【详解】当一条直线没有斜率时,其倾斜角为;
当另一条直线的斜率为0时,由可得其倾斜角为;
此时,这两条直线互相垂直.
13.根据下列给定的条件,判断两直线的位置关系.
(1)l1经过点A(2,1),B(-3,5),l2经过点C(3,-3),D(8,-7);
(2)l1的斜率为-10,l2经过点A(10,2),B(20,3).
【答案】(1)平行;(2)垂直
【分析】计算出两直线的斜率,通过斜率可得答案.
【详解】(1)
则
两直线斜率相同,轴上截距不同
故与平行;
(2),则,
故与垂直.
14.已知,,.
(1)若,,,可以构成平行四边形,求点的坐标;
(2)在(1)的条件下,判断,,,构成的平行四边形是否为菱形.
【答案】(1)(-1,6)或(7,2)或(3,-2);(2)平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形.
【分析】(1)分四边形、、是平行四边形三种情况讨论,分别利用对边的斜率相等求解,即可;
(2)分别验证对角线是否垂直,即对角线斜率乘积是否为,即可.
【详解】(1)由题意得,
,,设.
若四边形是平行四边形,则,,
即,解得,即.
若四边形是平行四边形,
则,,
即,解得,即.
若四边形是平行四边形,
则,,
即,解得,即.
综上,点的坐标为(-1,6)或(7,2)或(3,-2).
(2)若的坐标为(-1,6),
因为,,
所以,所以,
所以平行四边形为菱形.
若的坐标为(7,2),
因为,,
所以,所以平行四边形不是菱形.
若的坐标为(3,-2),因为,直线的斜率不存在,所以平行四边形不是菱形.
因此,平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形.
【课时作业】
1.已知直线的斜率是方程的两个根,则( )
A.B.
C.与相交但不垂直D.与的位置关系不确定
【答案】C
【分析】由可知两直线不垂直,且知两直线不平行,由此可得结论.
【详解】设直线的斜率为,则,
,不垂直,A错误;
若,则,与矛盾,,不平行,B错误;
不平行,也不垂直,相交但不垂直,C正确,D错误.
故选:C.
2.下列各组直线中,互相垂直的一组是( )
A.与B.与
C.与D.与
【答案】D
【分析】分别求出两直线的斜率,根据斜率之积为两直线垂直,即可判断.
【详解】对于A:直线的斜率为,直线的斜率为,
故两直线平行,故A错误;
对于B:直线的斜率为,直线的斜率为,
斜率之积不为,即两直线不垂直,故B错误;
对于C:直线的斜率为,直线的斜率为,
斜率之积不为,即两直线不垂直,故C错误;
对于D:直线的斜率为,直线的斜率为,
斜率之积为,即两直线垂直,故D正确;
故选:D
3.已知直线与直线垂直,则的值为( )
A.B.C.-1D.1
【答案】A
【分析】根据,则运算求解.
【详解】由题意可得:直线的斜率,直线的斜率,
若直线与直线垂直,则,解得.
故选:A.
4.若直线的倾斜角为45°,直线经过点P(-2,-1),Q(3,-6),则直线与的位置关系是( )
A.垂直B.平行C.重合D.平行或重合
【答案】A
【分析】由倾斜角可得直线的斜率,由斜率公式可得直线的斜率,可判断垂直关系.
【详解】由题可知直线的斜率为,直线的斜率为,所以直线与垂直
故选:A
5.以点,,为顶点的三角形是( ).
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.等边三角形
【答案】B
【分析】求出三边所在直线的斜率,由斜率判断.
【详解】由题意,同理,,,,
三角形是直角三角形.
故选:B.
6.直线的斜率是方程的两根,则与的位置关系是( )
A.平行B.重合
C.相交但不垂直D.垂直
【答案】C
【分析】由韦达定理可得方程的两根之积为,从而可知直线、的斜率之积为,进而可判断两直线的位置关系
【详解】设方程的两根为、,则.
直线、的斜率,故与相交但不垂直.
故选:C.
7.已知点和,点在轴上,且为直角,则点坐标为( )
A.B.或C.或D.
【答案】B
【分析】设点,由为直角,得,然后由列式计算即可.
【详解】由题意,设点,
为直角,,
由,
,解得或,所以点的坐标为或
故选:B
8.设,则“”是“直线与直线相交”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充他条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】求出两直线相交的充要条件是,再判断即可.
【详解】解:直线与直线相交的充分条件是,即,
由于是的充分不必要条件,
故选:A.
【点睛】利用判断充分必要性,考查了直线相交的判断,基础题.
9.已知直线l的倾斜角为10°,直线l1l,直线l2⊥l,则l1与l2的倾斜角分别为( )
A.10°,10°B.80°,80°
C.10°,100°D.100°,10°
【答案】C
【分析】由两线的位置关系,结合已知条件及直线平行、垂直的判定,即可求倾斜角大小.
【详解】∵l1l,
∴它们的倾斜角相等,即l1的倾斜角为10°,
∵l2⊥l,若l2的倾斜角为,则,
∴,即,
∴.
故选:C.
10.已知倾斜角为的直线与直线垂直,则( )
A.B.C.D.
【答案】D
【分析】倾斜角为的直线与直线垂直,利用相互垂直的直线斜率之间的关系,同角三角函数基本关系式即可得出结果.
【详解】解:因为直线与直线垂直,所以,.
又为直线倾斜角,解得.
故选:D.
【点睛】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系,同角三角函数基本关系式,考查计算能力,属于基础题.
11.(多选)已知两条不重合的直线,,下列结论正确的是( )
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若,则
【答案】ABD
【分析】根据直线的位置关系与斜率关系即可判断.
【详解】对A,若,则,故A正确;
对B,若,又两直线不重合,则,故B正确;
对C,若,则与不垂直,故C错误;
对D,若,则,故D正确.
故选:ABD.
12.(多选)下列结论中正确的有( )
A.直线倾斜角的范围是
B.若两条相交直线所成的角为,其方向向量的夹角为,则或
C.若两条直线相互垂直,则其斜率之积为
D.每条直线有且只有一个倾斜角与之相对应
【答案】BD
【分析】根据直线的倾斜角、直线的夹角、方向向量的夹角、直线垂直等知识确定正确答案.
【详解】直线倾斜角的取值范围是,A选项错误.
B选项,根据直线的夹角和方向向量的夹角的知识可知,或,B选项正确.
C选项,两条直线相互垂直,可能一条斜率为,另一条斜率不存在,所以C选项错误.
D选项,每条直线有且只有一个倾斜角与之相对应,这个结论是正确的,D选项正确.
故选:BD
13.(多选)若,,,,下面结论中正确的是( )
A.B.C.D.
【答案】ABC
【分析】通过点的坐标得到相应直线的斜率,通过直线斜率判断直线的位置关系即可.
【详解】,,且C不在直线AB上,∴,故A正确;
又∵,∴,∴,故B正确;
∵,,
∴,,∴,故C正确;
又∵,,∴
∴,故D错误.
故选:ABC.
14.(多选)已知等腰直角三角形的直角顶点为,点的坐标为,则点的坐标可能为( )
A.B.C.D.
【答案】AC
【分析】根据三角形为等腰直角三角形列方程组,即可求解.
【详解】设,由题意可得
,可化为,
解得:或,即或.
故选:AC
15.已知直线l1:x+my-2m-2=0,直线l2:mx+y-1-m=0,当时,m=_________
【答案】1
【分析】根据两直线平行的判定方法即可求得结果
【详解】因为,且斜率一定存在,所以,即,
又因为,为两条不同的直线,所以,所以
故答案为:1
16.已知直线:,:,则“”是“”的____条件
【答案】充分不必要
【分析】解出所需条件,再结合充分不必要条件的定义判断即可.
【详解】直线的一个法向量是,直线的一个法向量是,
,则有,得,解得或.
当时,成立;当时,不能得到,
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为:充分不必要
17.已知直线.当轴,且相距为5时,实数的取值分别为________.
【答案】,或10
【分析】根据直线.当轴,且相距为5,可得且,解方程即可得结果.
【详解】解:轴,
,得,
又直线与轴相距为5,
,得或10
故答案为,或10
【点睛】本题考查直线与坐标轴平行时的系数关系,是基础题.
18.判断下列直线与是否垂直:
(1)的倾斜角为,经过,两点;
(2)的斜率为,经过,两点;
(3)的斜率为,的倾斜角为,为锐角,且.
【答案】(1); (2)与不垂直; (3)
【分析】(1)的斜率为,根据过两点的斜率公式可求的斜率,判断斜率的乘积是否为即可;
(2)根据过两点的斜率公式可求的斜率,判断斜率的乘积是否为即可;
(3)根据二倍角的正切公式求出的值,判断斜率的乘积是否为即可.
【详解】(1)因为的倾斜角为,所以的斜率为.
因为经过,两点,
所以的斜率为.
因为,所以.
(2)因为经过,两点,
所以的斜率为.
因为的斜率为,且,
所以与不垂直.
(3)记的斜率为,因为,
所以,解得或.
因为为锐角,所以.
因为的斜率为,且,
所以.
19.已知,,,四点,若顺次连接四点,试判断图形的形状.
【答案】直角梯形
【分析】计算四条边所在直线的斜率,判断边之间的位置关系,即可判断图形的形状 .
【详解】由斜率公式,得,,,,
所以,又因为 ,说明与不重合,
所以.
因为,所以与不平行.
又因为,所以.
故四边形为直角梯形.
20.已知A(m,4),B(-2,m),C(1,1),D(m+2,3)四点.
(1)若直线AB与直线CD平行,求m的值;
(2)求证:无论m取何值,总有∠ACB=90°.
【答案】(1)m=0或m=1;(2)证明见解析
【分析】(1)由直线的位置关系列式求解
(2)转化为向量垂直,由数量积运算列式证明
【详解】(1)①当直线AB的斜率不存在时,m=-2,此时C(1,1),D(0,3),则直线CD的斜率存在,故直线AB与直线CD不平行,故;
同理可得,所以直线AB与直线CD的斜率都存在.
②直线AB的斜率为,直线CD的斜率为.
因为直线AB与直线CD平行,所以,即,
整理可得,解得m=0或m=1,
检验可知,当m=0或m=1时,直线AB与直线CD平行,故m=0或m=1.
(2),,则,
所以无论m取何值,总有∠ACB=90°.
类型
斜率存在
斜率不存在
前提条件
α1=α2≠90°
α1=α2=90°
对应关系
l1∥l2⇔k1=k2
l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在
图示
图示
对应关系
l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2=-1
l1的斜率不存在,l2的斜率为0⇔l1⊥l2
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【暑假衔接】人教A版新高二数学 新课预习-2.5.1 直线与圆的位置关系(教师版+学生版): 这是一份【暑假衔接】人教A版新高二数学 新课预习-2.5.1 直线与圆的位置关系(教师版+学生版),文件包含暑假衔接人教A版新高二数学新课预习-251直线与圆的位置关系教师版docx、暑假衔接人教A版新高二数学新课预习-251直线与圆的位置关系学生版docx等2份学案配套教学资源,其中学案共31页, 欢迎下载使用。
【暑假衔接】人教A版新高二数学 新课预习-2.3 直线的交点坐标与距离公式(教师版+学生版): 这是一份【暑假衔接】人教A版新高二数学 新课预习-2.3 直线的交点坐标与距离公式(教师版+学生版),文件包含暑假衔接人教A版新高二数学新课预习-23直线的交点坐标与距离公式教师版docx、暑假衔接人教A版新高二数学新课预习-23直线的交点坐标与距离公式学生版docx等2份学案配套教学资源,其中学案共36页, 欢迎下载使用。