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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用优秀同步练习题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用优秀同步练习题，文件包含142用空间向量研究距离夹角问题-2023-2024学年高二数学同步精品讲义人教A版2019选择性必修第一册解析版docx、142用空间向量研究距离夹角问题-2023-2024学年高二数学同步精品讲义人教A版2019选择性必修第一册原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共73页， 欢迎下载使用。
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
课程标准
课标解读
1. 会用向量法求线线、线面、面面的夹角及与其有关的角的三角函数值；会用向量法求点点、点线、点面、线线、线面、面面之间的距离及与其有关的面积与体积.
1. 能根据所给的条件利用空间向量这一重要工具进行空间中的距离与夹角（三角函数值）的求解.
2. 通过本节课的学习，提升平面向量、空间向量的知识相结合的综合能力，准确将平面向量、空间向量的概念，定理等内容与平面几何、空间立体几何有机的隔合在一起，提升解决问题的能力，将形与数，数与量有机的结合起来，为提升数学能力奠定基础.
知识点1 空间距离及向量求法
分类
点到直线的距离
点到平面的距离
图形语言
文字语言
设u为直线l的单位方向向量，A∈l，Pl，＝a，向量在直线l上的投影向量为
（＝(a·u)u.），
则PQ＝＝
设已知平面α的法向量为n，A∈α，Pα，向量是向量在平面上的投影向量，
PQ＝＝
注：实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度．
注意点：
(1)两条平行直线之间的距离：在其中一条直线上取定一点，则该点到另一条直线的距离即为两条平行直线之间的距离．
(2)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解．
(3)如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解．
【即学即练1】已知A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0) ，则点A到直线BC的距离为( )
A. B．1 C. D．2
【即学即练2】在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，求O1到直线AC的距离．
【即学即练3】若三棱锥P－ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是( )
A. B. C. D.
【即学即练4】在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M为BB1的中点，N为BC的中点．
(1)求点M到直线AC1的距离；
(2)求点N到平面MA1C1的距离．
【即学即练5】两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是( )
A. B. C. D．3
知识点2 空间角及向量求法
角的分类
向量求法
范围
异面直线所成的角
设两异面直线所成的角为θ，两直线的方向向量分别为u，v，则
cos θ＝|cos〈u，v〉|＝
（1） 两异面直线所成角的范围是
（2） 两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系．
直线与平面所成的角
设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则
sin θ＝|cos〈u，n〉|＝
(1)线面角的范围为.
(2)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角．
两平面的夹角
平面α与平面β相交，形成四个二面角，把不大于的二面角称为这两个平面的夹角．设平面α与平面β的夹角为θ，两平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝
(1)两个平面的夹角的范围是
(2)两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角．
思考：（1）两个平面的夹角与二面角的平面角的区别？
平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角．二面角的平面角范围是[0，π]，而两个平面的夹角的范围是.
（2） 平面与平面所成的夹角与两平面的法向量所成夹角有何关系？
两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角．
【即学即练6】若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2所成的角为( )
A. B.
C.或 D．以上均不对
【即学即练7】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【即学即练8】设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝，则l与α所成的角为( )
A. B. C. D.
【即学即练9】正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为________．
【即学即练10】如图所示，点A，B，C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上，＝(0,0,2)，平面ABC的一个法向量为n＝(2,1,2)，平面ABC与平面ABO的夹角为θ，则cos θ＝________.
【即学即练11】正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
【即学即练12】在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1,3)，(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为( )
A. B．－
C. D.或－
考点一 用向量法求空间距离
解题方略：
1、用向量法求点到直线的距离的一般步骤
(1)求直线的方向向量．
(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度．
(3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化．
2、求点到平面的距离的四步骤
注：线面距、面面距实质上都是求点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行．
【例1-1】已知直线l经过点A(2,3,1)，且向量n＝(1,0，－1)所在直线与l垂直，则点P(4,3,2)到l的距离为________．
变式1：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝a，AA1＝2a，则点D1到直线AC的距离为( )
A.a B.a C. D.
变式2：如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BC的中点，则点C1到平面B1EF的距离等于( )
A. B. C. D.
变式3：如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，求点P到BD的距离．
变式4：如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足＝＋＋，则P到AB的距离为( )
A. B. C. D.
【例1-2】若平面α的一个法向量为n＝(1,2,1)，A(1,0，－1)，B(0，－1,1)，A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为( )
A．1 B.
C. D.
变式1：已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．求点D到平面PEF的距离．
变式2：正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，E，F分别是BB1，CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为________．
变式3：如图所示，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱．若点C到平面AB1D1的距离为，求正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高．
变式4：在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，M为棱A1B1上的一点，且A1M＝λ(0<λ<2)，设点N为ME的中点，则点N到平面D1EF的距离为( )
A.λ B. C.λ D.
【例1-3】如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．
(1)求点D到平面PEF的距离；
(2)求直线AC到平面PEF的距离．
变式1：棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN到平面ACD1的距离为__________．
【例1-4】已知棱长为1的正方体 ABCD－A1B1C1D1，则平面 AB1C 与平面 A1C1D 之间的距离为( )
A. B. C. D.
考点二 异面直线所成的角
解题方略：
1、基向量法求异面直线的夹角的一般步骤
(1)找基底．
(2)用同一组基底表示两异面直线的方向向量．
(3)利用向量夹角公式求出两条直线的方向向量夹角的余弦值．
(4)结合异面直线的夹角范围得到异面直线的夹角．
2、用空间向量法求异面直线夹角的步骤
(1)确定两条异面直线的方向向量．
(2)确定两个向量夹角的余弦值的绝对值．
(3)得出两条异面直线所成的角．
【例2-1】直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
变式1：在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝2，CC1＝，则异面直线AB1与BC1所成角的正弦值为( )
A．1 B.
C. D.
变式2：在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和BB1的中点，则sin〈， 〉＝________.
变式3：已知A(1，－1,2)，B(2,3，－1)，C(－1,0,0)，则△ABC的面积是( )
A. B.
C. D.
考点三 直线与平面所成的角
解题方略：
求直线与平面所成角的思路与步骤
思路一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)．
思路二：用向量法求直线与平面所成角可利用向量夹角公式或法向量．利用法向量求直线与平面所成角的基本步骤：
①建立空间直角坐标系；
②求直线的方向向量；
③求平面的法向量n；
④计算：设线面角为θ，则sin θ＝.
【例3-1】在正方体ABCDA1B1C1D1中，求直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值．
变式1：已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )
A. B.
C. D.
变式2：如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F依次为C1C，BC的中点．求A1B与平面AEF所成角的正弦值．
变式3：如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝，AB＝AC＝2，AA1＝，则直线AA1与平面AB1C1所成的角为( )
A. B.
C. D.
变式4：如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．
(1)证明：CM⊥SN；
(2)求SN与平面CMN所成角的大小．
考点四 两平面的夹角（二面角）
解题方略：
向量法求两平面的夹角(或其某个三角函数值)的三个步骤
求两平面夹角的两种方法
(1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角．也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同．
(2)法向量法：
①建立适当的坐标系，写出相应点的坐标；
②求出两个半平面的法向量n1，n2；
③设两平面的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|.
或π－〈n1，n2〉
[注意] 若要求的是二面角，则根据图形判断该二面角是钝角还是锐角，从而用法向量求解．
【例4-1】如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．
(1)证明：O1O⊥底面ABCD.
(2)若∠CBA＝60°，求平面OC1B1与平面BDD1B1夹角的余弦值．
变式1：如图所示，在几何体S－ABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD＝DC＝2，BC＝1，又SD＝2，∠SDC＝120°，求平面SAD与平面SAB夹角的余弦值．
变式2：在空间中，已知平面α过A(3,0,0)和B(0,4,0)及z轴上一点P(0,0，a)(a>0)，如果平面α与平面Oxy的夹角为45°，则a＝________.
考点五 立体几何中的探索性问题
解题方略：
立体几何中的探索性问题，在命题中多以解答题的一步出现，试题有一定的难度．
这类题型常以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，若导致合理的结论，则存在性也随之解决；若导致矛盾，则否定了存在性．
【例5-1】如图，在底面是菱形的四棱锥PABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.问：在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．
变式1：在正三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱的长度都是2，M是BC的中点，问：在侧棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°？
变式2：已知几何体EFG－ABCD，如图所示，其中四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长均为1，点M在棱DG上．
(1)求证：BM⊥EF；
(2)是否存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．
题组A 基础过关练
1、已知三棱锥O－ABC中，OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，且OA＝1，OB＝2，OC＝2，则点A到直线BC的距离为( )
A. B. C. D．3
2、Rt△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝，则点P到斜边AB的距离是________．
3、如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为________．
4、两异面直线l1，l2的方向向量分别是v1，v2，若v1与v2所成的角为θ，直线l1，l2所成的角为α，则( )
A．α＝θ B．α＝π－θ
C．cos θ＝|cos α| D．cos α＝|cos θ|
5、在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，DD1＝3，则AC与BD1所成角的余弦值为( )
A．0 B.
C．－ D.
6、在长方体ABCDA1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
7、已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成角的大小是________．
8、平面α的斜线l与它在这个平面上射影l′的方向向量分别为a＝(1,0,1)，b＝(0,1,1)，则斜线l与平面α所成的角为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
9、如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为( )
A. B.
C. D.
10、如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是( )
A．5 B．8
C. D.
题组B 能力提升练
11、在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑(bie nao)，如图．已知在鳖臑P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝BC＝2，M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为________．
12、如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC的中点，则二面角CBFD的正切值为( )
A. B.
C. D.
13、在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2AB＝4，且PD与底面ABCD所成的角为45°.求点B到直线PD的距离．
14、正三角形ABC与正三角形BCD所在的平面互相垂直，则直线CD与平面ABD所成角的正弦值为________．
15、正方形ABCD所在平面外有一点P，PA⊥平面ABCD.若PA＝AB，求平面PAB与平面PCD的夹角的大小．
16、如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，且AC⊥BD，AC与BD交于点O，PO⊥底面ABCD，PO＝2，AB＝2，E，F分别是AB，AP的中点．则平面FOE与平面OEA夹角的余弦值为( )
A．－ B. C．－ D.
题组C 培优拔尖练
17、如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，且PD＝AB＝1，G为△ABC的重心，则PG与底面ABCD所成的角θ的余弦值为________．
18、如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°.
(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；
(2)求平面A1BD与平面A1AD所成角的正弦值．
19、如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD＝CD＝1，∠BAD＝120°，∠ACB＝90°.
(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)若平面PCD与平面PAC所成角的余弦值为，求点A到平面PBC的距离．
20、如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝2，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.
(1)证明：PC⊥平面BED；
(2)设二面角APBC为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．
21、如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，CA＝2，侧棱AA1＝2，D是CC1的中点，则在线段A1B上是否存在一点E(异于A1，B两点)，使得点A1到平面AED的距离为.
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
课程标准
课标解读
1. 会用向量法求线线、线面、面面的夹角及与其有关的角的三角函数值；会用向量法求点点、点线、点面、线线、线面、面面之间的距离及与其有关的面积与体积.
1. 能根据所给的条件利用空间向量这一重要工具进行空间中的距离与夹角（三角函数值）的求解.
2. 通过本节课的学习，提升平面向量、空间向量的知识相结合的综合能力，准确将平面向量、空间向量的概念，定理等内容与平面几何、空间立体几何有机的隔合在一起，提升解决问题的能力，将形与数，数与量有机的结合起来，为提升数学能力奠定基础.
知识点1 空间距离及向量求法
分类
点到直线的距离
点到平面的距离
图形语言
文字语言
设u为直线l的单位方向向量，A∈l，Pl，＝a，向量在直线l上的投影向量为
（＝(a·u)u.），
则PQ＝＝
设已知平面α的法向量为n，A∈α，Pα，向量是向量在平面上的投影向量，
PQ＝＝
注：实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度．
注意点：
(1)两条平行直线之间的距离：在其中一条直线上取定一点，则该点到另一条直线的距离即为两条平行直线之间的距离．
(2)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解．
(3)如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解．
【即学即练1】已知A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0) ，则点A到直线BC的距离为( )
A. B．1 C. D．2
【即学即练2】在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，求O1到直线AC的距离．
【即学即练3】若三棱锥P－ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是( )
A. B. C. D.
【即学即练4】在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M为BB1的中点，N为BC的中点．
(1)求点M到直线AC1的距离；
(2)求点N到平面MA1C1的距离．
【即学即练5】两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是( )
A. B. C. D．3
知识点2 空间角及向量求法
角的分类
向量求法
范围
异面直线所成的角
设两异面直线所成的角为θ，两直线的方向向量分别为u，v，则
cos θ＝|cos〈u，v〉|＝
（1） 两异面直线所成角的范围是
（2） 两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系．
直线与平面所成的角
设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则
sin θ＝|cos〈u，n〉|＝
(1)线面角的范围为.
(2)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角．
两平面的夹角
平面α与平面β相交，形成四个二面角，把不大于的二面角称为这两个平面的夹角．设平面α与平面β的夹角为θ，两平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝
(1)两个平面的夹角的范围是
(2)两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角．
思考：（1）两个平面的夹角与二面角的平面角的区别？
平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角．二面角的平面角范围是[0，π]，而两个平面的夹角的范围是.
（2） 平面与平面所成的夹角与两平面的法向量所成夹角有何关系？
两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角．
【即学即练6】若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2所成的角为( )
A. B.
C.或 D．以上均不对
【即学即练7】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【即学即练8】设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝，则l与α所成的角为( )
A. B. C. D.
【即学即练9】正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为________．
【即学即练10】如图所示，点A，B，C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上，＝(0,0,2)，平面ABC的一个法向量为n＝(2,1,2)，平面ABC与平面ABO的夹角为θ，则cos θ＝________.
【即学即练11】正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
【即学即练12】在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1,3)，(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为( )
A. B．－
C. D.或－
考点一 用向量法求空间距离
解题方略：
1、用向量法求点到直线的距离的一般步骤
(1)求直线的方向向量．
(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度．
(3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化．
2、求点到平面的距离的四步骤
注：线面距、面面距实质上都是求点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行．
【例1-1】已知直线l经过点A(2,3,1)，且向量n＝(1,0，－1)所在直线与l垂直，则点P(4,3,2)到l的距离为________．
变式1：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝a，AA1＝2a，则点D1到直线AC的距离为( )
A.a B.a C. D.
变式2：如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BC的中点，则点C1到平面B1EF的距离等于( )
A. B. C. D.
变式3：如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，求点P到BD的距离．
变式4：如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足＝＋＋，则P到AB的距离为( )
A. B. C. D.
【例1-2】若平面α的一个法向量为n＝(1,2,1)，A(1,0，－1)，B(0，－1,1)，A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为( )
A．1 B.
C. D.
变式1：已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．求点D到平面PEF的距离．
变式2：正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，E，F分别是BB1，CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为________．
变式3：如图所示，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱．若点C到平面AB1D1的距离为，求正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高．
变式4：在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，M为棱A1B1上的一点，且A1M＝λ(0<λ<2)，设点N为ME的中点，则点N到平面D1EF的距离为( )
A.λ B. C.λ D.
【例1-3】如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．
(1)求点D到平面PEF的距离；
(2)求直线AC到平面PEF的距离．
变式1：棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN到平面ACD1的距离为__________．
【例1-4】已知棱长为1的正方体 ABCD－A1B1C1D1，则平面 AB1C 与平面 A1C1D 之间的距离为( )
A. B. C. D.
考点二 异面直线所成的角
解题方略：
1、基向量法求异面直线的夹角的一般步骤
(1)找基底．
(2)用同一组基底表示两异面直线的方向向量．
(3)利用向量夹角公式求出两条直线的方向向量夹角的余弦值．
(4)结合异面直线的夹角范围得到异面直线的夹角．
2、用空间向量法求异面直线夹角的步骤
(1)确定两条异面直线的方向向量．
(2)确定两个向量夹角的余弦值的绝对值．
(3)得出两条异面直线所成的角．
【例2-1】直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
变式1：在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝2，CC1＝，则异面直线AB1与BC1所成角的正弦值为( )
A．1 B.
C. D.
变式2：在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和BB1的中点，则sin〈， 〉＝________.
变式3：已知A(1，－1,2)，B(2,3，－1)，C(－1,0,0)，则△ABC的面积是( )
A. B.
C. D.
考点三 直线与平面所成的角
解题方略：
求直线与平面所成角的思路与步骤
思路一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)．
思路二：用向量法求直线与平面所成角可利用向量夹角公式或法向量．利用法向量求直线与平面所成角的基本步骤：
①建立空间直角坐标系；
②求直线的方向向量；
③求平面的法向量n；
④计算：设线面角为θ，则sin θ＝.
【例3-1】在正方体ABCDA1B1C1D1中，求直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值．
变式1：已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )
A. B.
C. D.
变式2：如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F依次为C1C，BC的中点．求A1B与平面AEF所成角的正弦值．
变式3：如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝，AB＝AC＝2，AA1＝，则直线AA1与平面AB1C1所成的角为( )
A. B.
C. D.
变式4：如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．
(1)证明：CM⊥SN；
(2)求SN与平面CMN所成角的大小．
考点四 两平面的夹角（二面角）
解题方略：
向量法求两平面的夹角(或其某个三角函数值)的三个步骤
求两平面夹角的两种方法
(1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角．也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同．
(2)法向量法：
①建立适当的坐标系，写出相应点的坐标；
②求出两个半平面的法向量n1，n2；
③设两平面的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|.
或π－〈n1，n2〉
[注意] 若要求的是二面角，则根据图形判断该二面角是钝角还是锐角，从而用法向量求解．
【例4-1】如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．
(1)证明：O1O⊥底面ABCD.
(2)若∠CBA＝60°，求平面OC1B1与平面BDD1B1夹角的余弦值．
变式1：如图所示，在几何体S－ABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD＝DC＝2，BC＝1，又SD＝2，∠SDC＝120°，求平面SAD与平面SAB夹角的余弦值．
变式2：在空间中，已知平面α过A(3,0,0)和B(0,4,0)及z轴上一点P(0,0，a)(a>0)，如果平面α与平面Oxy的夹角为45°，则a＝________.
考点五 立体几何中的探索性问题
解题方略：
立体几何中的探索性问题，在命题中多以解答题的一步出现，试题有一定的难度．
这类题型常以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，若导致合理的结论，则存在性也随之解决；若导致矛盾，则否定了存在性．
【例5-1】如图，在底面是菱形的四棱锥PABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.问：在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．
变式1：在正三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱的长度都是2，M是BC的中点，问：在侧棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°？
变式2：已知几何体EFG－ABCD，如图所示，其中四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长均为1，点M在棱DG上．
(1)求证：BM⊥EF；
(2)是否存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．
题组A 基础过关练
1、已知三棱锥O－ABC中，OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，且OA＝1，OB＝2，OC＝2，则点A到直线BC的距离为( )
A. B. C. D．3
2、Rt△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝，则点P到斜边AB的距离是________．
3、如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为________．
4、两异面直线l1，l2的方向向量分别是v1，v2，若v1与v2所成的角为θ，直线l1，l2所成的角为α，则( )
A．α＝θ B．α＝π－θ
C．cos θ＝|cos α| D．cos α＝|cos θ|
5、在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，DD1＝3，则AC与BD1所成角的余弦值为( )
A．0 B.
C．－ D.
6、在长方体ABCDA1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
7、已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成角的大小是________．
8、平面α的斜线l与它在这个平面上射影l′的方向向量分别为a＝(1,0,1)，b＝(0,1,1)，则斜线l与平面α所成的角为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
9、如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为( )
A. B.
C. D.
10、如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是( )
A．5 B．8
C. D.
题组B 能力提升练
11、在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑(bie nao)，如图．已知在鳖臑P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝BC＝2，M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为________．
12、如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC的中点，则二面角CBFD的正切值为( )
A. B.
C. D.
13、在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2AB＝4，且PD与底面ABCD所成的角为45°.求点B到直线PD的距离．
14、正三角形ABC与正三角形BCD所在的平面互相垂直，则直线CD与平面ABD所成角的正弦值为________．
15、正方形ABCD所在平面外有一点P，PA⊥平面ABCD.若PA＝AB，求平面PAB与平面PCD的夹角的大小．
16、如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，且AC⊥BD，AC与BD交于点O，PO⊥底面ABCD，PO＝2，AB＝2，E，F分别是AB，AP的中点．则平面FOE与平面OEA夹角的余弦值为( )
A．－ B. C．－ D.
题组C 培优拔尖练
17、如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，且PD＝AB＝1，G为△ABC的重心，则PG与底面ABCD所成的角θ的余弦值为________．
18、如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°.
(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；
(2)求平面A1BD与平面A1AD所成角的正弦值．
19、如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD＝CD＝1，∠BAD＝120°，∠ACB＝90°.
(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)若平面PCD与平面PAC所成角的余弦值为，求点A到平面PBC的距离．
20、如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝2，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.
(1)证明：PC⊥平面BED；
(2)设二面角APBC为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．
21、如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，CA＝2，侧棱AA1＝2，D是CC1的中点，则在线段A1B上是否存在一点E(异于A1，B两点)，使得点A1到平面AED的距离为.
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