初中数学人教版八年级上册14.1.4 整式的乘法第4课时教学设计

这是一份初中数学人教版八年级上册14.1.4 整式的乘法第4课时教学设计，共5页。教案主要包含了情境引入，教学建议，对应训练，随堂训练，课堂总结，知识结构，作业布置等内容，欢迎下载使用。


解题大招一 同底数幂的除法性质的逆用
例1 若3x＝15，3y＝5，求3x－y的值．
解：3x－y＝3x÷3y＝15÷5＝3.
解题大招二 零指数幂有意义的条件
零指数幂有意义的条件是底数不为0，据此求解．
例2 若(x－1)0＝1成立，则x的取值范围是（ D ）
A．x>1 B．x<1 C．x＝1 D．x≠1
解析：由题意可知x－1≠0，所以x≠1.故选D.
解题大招三 幂的混合运算
例3 计算：
(1)(－y2)4÷y4·(－y)0; (2)(m－n)9·(n－m)8÷(m－n)2；
(3)x2－x6－(x4)2＋x9÷x; (4)(－a2)2·a5＋a10÷a－(－2a3)3.
解：(1)原式＝y8÷y4·1＝y4；
(2)原式＝(m－n)9·(m－n)8÷(m－n)2＝(m－n)9＋8－2＝(m－n)15；
(3)原式＝x2－x6－x8＋x8＝x2－x6；
(4)原式＝a4·a5＋a10÷a＋8a9＝a9＋a9＋8a9＝10a9.
培优点一 利用方程思想和同底数幂的除法求值
例1 如果x2m－1÷x2＝xm＋1，求m的值．
分析：将等式左边化为底数为x的幂的形式，底数相同，指数就相等了，依此列出方程，解方程即可．
解：x2m－1÷x2＝x2m－3＝xm＋1，所以2m－3＝m＋1，解得m＝4.
培优点二 逆用同底数幂的除法的性质求值或证明
例2 已知xa＝4，xb＝6，xc＝9.
(1)求x2a＋b的值；(2)求xb－2c的值；(3)求证：2b＝a＋c.
分析：若指数为和的形式，则考虑逆用同底数幂的乘法的性质；若指数为差的形式，则考虑逆用同底数幂的除法的性质；若指数为乘积的形式，则考虑逆用幂的乘方的性质．
(1)解：x2a＋b＝x2a·xb＝(xa)2·xb＝42×6＝96.
(2)解：xb－2c＝xb÷(xc)2＝6÷92＝eq \f(2,27).
(3)证明：x2b＝(xb)2＝62＝36，xa＋c＝xa·xc＝4×9＝36，因此x2b＝xa＋c，所以2b＝a＋c.
教学目标
课题
14.1.4 第4课时 同底数幂的除法
授课人
素养目标
1.掌握同底数幂的除法的运算性质，会用同底数幂的除法的性质进行计算.
2.经历探究同底数幂的除法的运算性质的推导过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力.
3.理解并掌握零指数幂的性质，并能将其应用到相关的计算中.
教学重点
同底数幂的除法的性质及应用，零指数幂的计算及应用.
教学难点
教学难点熟练运用同底数幂的除法的性质进行计算.
教学活动
教学步骤
师生活动
活动一：创设情境，导入新课
设计意图
从生活实际问题出发，体现研究同底数幂的除法的必要性，并培养学生的应用意识.
【情境引入】
人们以分贝为单位来表示声音的强弱.通常说话的声音是50分贝,它表示声音的强度是105；摩托车发出的声音是110分贝,它表示声音的强度是1011.则摩托车发出的声音强度是说话声音强度的多少倍?根据题意，请同学们列出算式.
我们得到了1011÷105,它是两个同底数幂相除,那么如何进行计算呢?让我们一起进入今天这节课的学习！
【教学建议】
教师可引导学生厘清题干中的数据，再让学生解决问题.
活动二：实践探究，获取新知
设计意图
通过提出问题，让学生积极参与到课堂中来，并且引导学生自主探索，发现规律，从而掌握同底数幂的除法的运算性质.探究过程由特殊到一般，符合学生的认知规律，同时培养学生分析问题以及归纳概括的能力.
探究点1同底数幂的除法的性质
我们知道106×105=1011，根据乘法与除法互为逆运算，所以1011÷105=106.
经观察，我们发现1011÷105=1011-5=106.
问题1接下来请大家思考，指数换成字母，10m÷10n=？
仿照上面的计算，我们可以得到10m÷10n=10m-n.
问题2如果把10换成字母，即am÷an，大家猜想一下结论是否成立呢？
我们来计算am÷an(a≠0,m,n都是正整数，并且m>n).
根据除法是乘法的逆运算，计算被除数除以除数所得的商，就是求一个数，使它与除数的积等于被除数.由于式中的字母表示数，所以可以用类似的方法来计算am÷an.
因为am-n·an=a(m-n)+n=am,所以am÷an=am-n.
教师归纳一般地，我们有
am÷an=am-n(a≠0，m,n都是正整数，并且m＞n).
即同底数幂相除,底数不变,指数相减.
例（教材P103例7）计算：(1)x8÷x2；(2)(ab)5÷(ab)2.
解：(1)x8÷x2=x8-2=x6；
(2)(ab)5÷(ab)2=(ab)5-2=(ab)3=a3b3.
【对应训练】教材P104练习第1题.
【教学建议】
教学时要提醒学生注意性质中的一些条件.其中要让学生知道，底数a是不等于零的，这是因为，若a为零，则除数为零，除法就没有意义了.另外，由于还没有零指数与负指数的概念，因此性质中必须规定指数m,n都是正整数，并且m>n.
【教学建议】
教师注意提醒学生：(1)底数a可以是单项式,也可以是多项式,但不可以是0;(2)同底数幂相除,底数不变,指数是相减而不是相除.
【教学建议】
例题（2）中教师需提醒学生将ab看作一个整体，再运用同底数幂的除法性质.
教学步骤
师生活动
设计意图
从计算练习开始，既巩固了前面探究点1所学的知识点，又引出了新的知识点，由一般情况又过渡到特殊的m=n的情况，培养学生探究问题的能力.
探究点2零指数幂
问题根据除法的意义填空,你有什么发现?
(1)55÷52=53;
(2)107÷107=1;
(3)a6÷a6=1(a≠0).
同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如am÷am，根据实数中不等于零的一个数除以其本身，商为1，可知am÷am=1.
另一方面，如果依照同底数幂的除法来计算，那么有：
am÷am=am-m=a0.
所以可得a0=1.
于是规定
a0=1(a≠0).
这就是说，任何不等于0的数的0次幂都等于1.
例计算：（1）（-2）0；(2) ;（3）（π-5）0.
解：（1）（-2）0=1;(2) ;（3）（π-5）0=1.
【对应训练】
计算：20-1.
解：20-1=1-1=0.
【教学建议】
教学中需提醒学生注意:(1)零指数幂中的底数可以是单项式,也可以是多项式,但不可以是0;
(2)因为a=0时,a0无意义,所以a0有意义的条件是a≠0,常据此确定底数中所含字母的取值范围.
活动三：补充新知，巩固提高
设计意图
安排此例题是为了补充当底数互为相反数情况下该怎么处理，强化学生的运算能力.
例 计算：（1）a10÷(-a2)3;（2）(3x-y)6÷(y-3x)2.
解：（1）a10÷(-a2)3 (2)(3x-y)6÷(y-3x)2
=a10÷(-a6） =(3x-y)6÷(3x-y)2
=-a10÷a6 =(3x-y)4.
=-a4；
【对应训练】
计算：（1）(-x3)2÷x6；（2）(2a3)3÷(-2a3).
解：（1）(-x3)2÷x6 （2）(2a3)3÷(-2a3)
=x6÷x6 =-(2a3)3÷(2a3)
=1； =-(2a3)3-1
=-(2a3)2
=-4a6.
【教学建议】
教师提醒学生处理这样的问题可以参考同底数幂的乘法里面使用的方法，将其化为同底数幂的除法来计算.
活动四：随堂训练，课堂总结
【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
同底数幂的除法的性质是什么？零指数幂的性质是什么？
【知识结构】
【作业布置】
1.计算：①214÷28；②b12÷b4；③(－a)9÷(－a)4；④(mn)4÷mn；⑤(p3)2÷p2；⑥(－3a)4÷(3a)3；⑦(a－6)3÷(a－6)3.
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练．
教学步骤
师生活动
板书设计
第4课时 同底数幂的除法
1.同底数幂的除法的性质：am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n).
2.零指数幂的性质：a0＝1(a≠0)．
教学反思
从实际问题导入，让学生感受数学与生活的密切联系，并由此建立数学模型．从计算具体的同底数幂的除法，逐步归纳出同底数幂除法的一般性质．对新知识的研究过程逐层递进，环环相扣，体现了知识的产生、延伸与拓展．配以适量适度的习题训练，强化对知识的理解与吸收.