初中数学人教版八年级上册15.1.1 从分数到分式教案设计

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解题大招一 根据分式有意义求字母的值
(1)分式是否有意义，只与分式中分母的值是否为0有关，而与分子的值是否为0无关．
(2)讨论分式有无意义，一定要针对原分式讨论，不能将分式化简后再讨论．如例1(3)，不能只讨论x＋4≠0.
(3)分式有意义的条件是指表示分母的整式的值不能为0，并不是说分母中字母的取值不能为0.
例1 x满足什么条件时下列分式有意义？
(1)eq \f(2,|x|－1)；(2)eq \f(x＋1,x2＋3)；(3)eq \f(x－2,（x－2）（x＋4）).
解：(1)当|x|－1≠0，即x≠±1时，分式eq \f(2,|x|－1)有意义．
(2)因为不论x取什么值，都有x2＋3>0，
所以x取任何实数，分式eq \f(x＋1,x2＋3)都有意义．
(3)当(x－2)(x＋4)≠0，即x≠2且x≠－4时，分式eq \f(x－2,（x－2）（x＋4）)有意义．
解题大招二 根据分式值为 0 求字母值的方法
例2 当x取什么值时，下列分式的值为0?
(1)eq \f(|x|－4,x＋4)；(2)eq \f(x－3,x2－9).
解：(1)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|x|－4＝0，,x＋4≠0，))得x＝4，
所以当x＝4时，分式eq \f(|x|－4,x＋4)的值为0.
(2)因为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－3＝0，,x2－9≠0))无解，
所以没有使分式eq \f(x－3,x2－9)的值为0的x的值．
解题大招三 根据分式值的正、负确定字母取值范围的方法
(1)若eq \f(A,B)的值为正数，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A＞0，,B＞0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A＜0，,B＜0；))
(2)若eq \f(A,B)的值为负数，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A＞0，,B＜0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A＜0，,B＞0.))
例3 (1)[教材P158T6(2)]当x(x≠0)为x＞－eq \f(1,2)时，分式eq \f(2x＋1,x2)的值为正；
(2)[教材P158T6(3)]当x(x≠0)为x＜2时，分式eq \f(x－2,x2)的值为负；
(3)当x为－1＜x＜3时，分式eq \f(2x＋2,x－3)的值为负．
解析：(1)分式eq \f(2x＋1,x2)的值为正，且x≠0，得x2＞0，2x＋1＞0，即x＞－eq \f(1,2).
(2)分式eq \f(x－2,x2)的值为负，且x≠0，得x2＞0，x－2＜0，即x＜2.
(3)由分式的值为负，得①eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋2＞0，,x－3＜0))或②eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋2＜0，,x－3＞0)).
解不等式组①，得－1解不等式组②，无解．
所以当－1培优点 分式有、无意义及值为0的综合应用
例 已知分式eq \f(x＋a,x＋b)，当x＝－2时，分式的值为0；当x＝－1时，分式无意义．试求ab的值．
分析：
解：将x＝－2代入eq \f(x＋a,x＋b)，得eq \f(x＋a,x＋b)＝eq \f(－2＋a,－2＋b).
因为当x＝－2时，分式的值为0，所以－2＋a＝0且－2＋b≠0，所以a＝2，b≠2.
将x＝－1代入eq \f(x＋a,x＋b)，得eq \f(x＋a,x＋b)＝eq \f(－1＋a,－1＋b).
因为当x＝－1时，分式无意义，所以－1＋b＝0，所以b＝1.所以ab＝2×1＝2.Ｋ
教学目标
课题
15.1.1 从分数到分式
授课人
素养目标
1.以描述实际问题中的数量关系为背景抽象出分式的概念，建立数学模型，并了解分式的概念.
2.能够通过分式的概念理解和掌握分式有意义的条件.
3.通过分数与分式的类比，使学生亲身经历探究整式扩充到分式的过程，初步学会运用类比、转化的思想方法研究数学问题.
教学重点
理解分式有意义的条件．
教学难点
熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.
教学活动
教学步骤
师生活动
活动一：知识回顾，导入新课
设计意图
引导学生回忆已学的分数和整式的内容，为引入分式这个新概念做准备.
【问题导入】
1.什么是单项式？什么是多项式？单项式和多项式统称为整式
2.“12÷11＝”表示为分数形式是eq \f(12,11)，同样地，整式的除法是否能类似地表示？比如90÷(30＋v)和60÷(30－v)可以分别用式子eq \f(90,30＋v)，eq \f(60,30－v)表示.
思考下列问题并填空：
1.(1)若长方形的面积为10 cm2，长为7 cm，则宽应为eq \f(10,7)cm；
(2)若长方形的面积为S，长为a，则宽应为eq \f(S,a).
2.(1)把体积为200 cm3的水倒入底面积为33 cm2的圆柱形容器中，则水面高度为eq \f(200,33)cm；
(2)把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中，则水面高度为eq \f(V,S).
【教学建议】
注意引导学生回顾整式和分数的相关知识，并通过填空初步感知分式．通过这一系列提问，激活学生原有的知识，体现学生的学习是在原有知识上自我生成的过程，为学习新知识做好铺垫.
活动二：问题引入，合作探究
设计意图
通过让学生在回答问题的过程中，尝试提炼出共性，明确区别，从而加深对概念的理解.
探究点1 分式的概念
问题1 活动一中的式子eq \f(S,a)，eq \f(V,S)，eq \f(90,30＋v)，eq \f(60,30－v)有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？
从整体上看，它们都是eq \f(A,B)的形式；从分子、分母单独看，分子、分母都是整式，并且分母中都含有字母.
【教学建议】
一般地，学生往往只注意到分母B中含有字母，而忽略分子、分母都是整式的形式．教学中可提醒学生考虑分数的分子、分母都是什么样的数，再由此联系到分式的分子、分母是什么样的式子．教师需跟学生明确一点，即分式的分母中必须含字母，分子中不一定含字母.
教学步骤
师生活动
设计意图
问题4揭示图形语言与文字语言之间的联系，使学生经历从现实世界抽象出几何模型的过程，认识三角形的各个基本要素.
概念引入：
一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子eq \f(A,B)叫做分式. 分式eq \f(A,B)中，A 叫做分子，B 叫做分母.
问题2 下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
【对应训练】教材P128～129练习第1，2题.
【教学建议】
教师需强调π表示的是常数，因此分母只含π而不含其他字母的式子不是分式，而是整式.
设计意图
在明确分式有(无)意义的条件的基础上，通过例题教学和对应训练加深对分式有(无)意义的条件的理解，并能正确求出分式有(无)意义的条件.
探究点2 分式有意义、无意义的条件
思考 我们知道，要使分数有意义，分数中的分母不能为0.要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？
分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0.即当B≠0时，分式eq \f(A,B)才有意义；当B＝0时，分式eq \f(A,B)无意义．
例 (教材P128例1)下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
(1) eq \f(2,3x)； (2) eq \f(x,x－1)； (3) eq \f(1,5－3b)； (4) eq \f(x＋y,x－y).
解：(1)要使分式eq \f(2,3x)有意义，则分母3x≠0，即x≠0；
(2)要使分式eq \f(x,x－1)有意义，则分母x－1≠0，即x≠1；
(3)要使分式eq \f(1,5－3b)有意义，则分母5－3b≠0，即b≠eq \f(5,3)；
(4)要使分式eq \f(x＋y,x－y)有意义，则分母x－y≠0，即x≠y.
【对应训练】
1．教材P129练习第3题．
2．(1)当a＝－2时，分式eq \f(2a,a＋2)无意义；
(2)当x＝eq \f(3,2)时，分式eq \f(x＋2,2x－3)无意义．
【教学建议】
教学中引导学生思考：当分母中含有一个字母时，结果是这个字母不等于某个数值(如x≠0)的形式；当分母中含有多个字母时，结果是这些字母之间不能有某种关系(如x≠y)的形式，即对字母之间关系的限制而不是对每个字母的值进行限制．
教师还需提示学生如无特别声明，本章出现的分式都有意义，因此无需逐一对以后出现的每个分式中的字母进行讨论．
活动三：知识延伸，巩固升华
设计意图
经历对分式值为0的例题的学习，完善知识点，达到巩固提升的目的．
例 当x为何值时，分式eq \f(3x－6,2x＋1)的值为0?
解：3x－6＝0且2x＋1≠0，即x＝2时，分式eq \f(3x－6,2x＋1)的值为0.
【对应训练】
对于下列分式，当a为何值时，分式的值为0?
【教学建议】
教师引导学生完成例题后需强调分式的值为0时，对分式有两方面的约束条件：①分子为0；②分母不为0.
教学步骤
师生活动
(1)eq \f(a＋7,5a)； (2)eq \f(7a,21－3a).
解：(1)a＋7＝0且5a≠0，即a＝－7.
(2)7a＝0且21－3a≠0，即a＝0.
活动四：随堂训练，课堂总结
【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
1.分式和整式有何区别？
2.分式有意义的条件是什么？
3.分式值为0的条件是什么？
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P133习题15.1第1，2，3题．
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练．
板书设计
15.1.1 从分数到分式
1.分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子eq \f(A,B)叫做分式.
2.分式eq \f(A,B)有(无)意义的条件：当B≠0时，分式有意义；当B＝0时，分式无意义.
3.分式eq \f(A,B)值为0的条件：当A＝0且B≠0时，分式的值为0.
教学反思
本节课采用教师类比引导、提问，学生思考回答的方式完成对分式概念及分式有无意义的自主探索．通过“活动三”这一环节又发展了学生思维，巩固了课堂知识．教师提出问题让学生解决，问题由易到难，层层深入，既复习了旧知识又在类比过程中获得了新知识，使学生感受到数学知识的一体性.