初中数学北师大版九年级上册6 利用相似三角形测高练习题

这是一份初中数学北师大版九年级上册6 利用相似三角形测高练习题，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸(提示：1丈=10尺，1尺=10寸)，则竹竿的长为( )
A. 五丈B. 四丈五尺C. 一丈D. 五尺
2.延时课上，老师布置任务如下：让王林站在B点处去观测8m外的位于D点处的一棵大树(CD)，所用工具为一个平面镜P和必要的长度测量工具(B、P、D在一直线上).已知王林目高(AB)1.6m，大树高4.8m，将平面镜P放置在离王林( )m处才能观测到大树的顶端．
A. 1B. 2C. 3D. 4
3.如图，已知菱形ABCD与菱形AEFG全等，菱形AEFG可以看作是菱形ABCD经过怎样的图形变化得到？下列结论：①经过1次平移和1次旋转；②经过1次平移和1次翻折；③经过1次旋转，且平面内可以作为旋转中心的点共有3个．其中所有正确结论的序号是( )
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
4.某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5 m的标杆DF，如图所示，量出DF的影子EF的长度为1 m，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6 m，那么旗杆AC的高度为( )
A. 6 mB. 7 mC. 8.5 mD. 9 m
5.如图，在方格纸中，△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是( )
A. 把△ABC绕点C顺时针旋转90∘，再向下平移2格
B. 把△ABC绕点C顺时针旋转90∘，再向下平移5格
C. 把△ABC向下平移4格，再绕点C逆时针旋转180∘
D. 把△ABC向下平移5格，再绕点C顺时针旋转180∘
6.如图，有一块直角三角形余料ABC，∠BAC=90°，G，D分别是AB，AC边上的一点，现从中切出一条矩形纸条DEFG，其中E，F在BC上，若BF=4.5cm，CE=2cm，则GF的长为( )
A. 3cmB. 2 2cmC. 2.5cmD. 3.5cm
7.图1是《墨经》中记载的“小孔成像”实验图，图2是其示意图，其中物距BF=2m，像距CE=1m.若像的高度CD是0.9m，则物体的高度AB为( )
A. 1.2mB. 1.5mC. 1.8mD. 2.4m
8.9.生物小组要在温箱里培养A，B两种菌苗，A种菌苗的生长温度x的范围是35⩽x⩽38，B种菌苗的生长温度y的范围是34⩽x⩽36，那么温箱里的温度T应该设定的范围是( )
A. 35⩽T⩽38B. 35⩽T⩽36C. 34⩽T⩽36D. 36⩽T⩽38
9.如图是装了液体的高脚杯示意图(数据如图)用去一部分液体后如右图所示，此时液面直径AB=( )
A. 2cmB. 2.5cmC. 3cmD. 4cm
10.如图，小明利用标杆EC测量一棵大树BD的高度，如果标杆EC的高为2m，并测得BC=3m，CA=1m，那么树BD的高度是( )
A. 6m
B. 8m
C. 12m
D. 15m
11.如图，周末小新一家来到河北石家庄正定古城游玩，一座古塔AB塔高为84.2m，小新在距离古塔400m的位置观看古塔时，与观看到的手中的景点地图的古塔缩略图感觉相同(△OAB∽△OCD)，若缩略图中的古塔高CD为4.21cm，则缩略图距离眼睛的距离OD为( )
A. 20cmB. 40cmC. 60cmD. 80cm
12.如图一块三角形余料ABC，BC=120mm，高线AD=90mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P、M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ=2：1，则PQ的长为( )．
A. 36 mmB. 40 mmC. 50 mmD. 120 mm
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，线段CD是线段AB经过向右平行移动 格，再向下平行移动 格后得到的线段.线段BD向左平行移动 格，再向下平行移动 格后可得到线段AC．
14.如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AB=3米，AC=10米，则旗杆CD的高度是 米．
15.综合实践课上，小宇设计用光学原理来测量公园假山的高度，把一面镜子放在与假山AC距离为21米的B处，然后沿着射线CB退后到点E，这时恰好在镜子里看到山头A，利用皮尺测量BE=2.4米，若小宇的身高是1.6米，则假山AC的高度为______米.(结果保留整数)
16.如图，晚上小亮走在大街上．他发现：当他站在大街两边的两盏路灯之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3米，左边的影子长为1.5米，又知自己身高1.80米，两盏路灯的高相同，两盏路灯之间的距离为12米，则路灯的高为________米．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
5月10日上午，庆祝中国共产主义青年团成立100周年大会在北京人民大会堂隆重举行，习近平总书记重要讲话引发各界青年热烈反响．某校为庆祝共青团成立100周年升起了共青团旗帜，李优和贺基旭想用所学知识测量该旗帜的宽度MN，他们进行了如下操作：如图，首先，李优在C处竖立一根标杆BC，地面上的点A、标杆顶端B和点N在一条直线上，BC=1.5米，AC=1米，AG=8米；然后，贺基旭手持自制直角三角纸板DEF，使长直角边DF与水平地面平行，调整位置，恰好在P点时点D、E、M在一条直线上，DP=1.5米，PG=23.6米，DF=2EF，已知DP⊥PA，MG⊥PA，BC⊥PA，点P、G、C、A在同一水平直线上，点N在MG上，求旗帜的宽度MN．
18.(本小题8分)
如图，是由小正方形组成的5×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都是格点，点P是AC上一点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图.(画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示)．

(1)在图(1)中，以AC为边画平行四边形ACBD，再将线段PB平移到AM，使点P与点A对应，点B与点M对应，画出线段AM；
(2)在图(2)中，过点A画AQ⊥AC，且AQ=AC再在AQ上找点H，使∠APH=45°．
19.(本小题8分)
如图，将方格图中的图形向右平行移动3格，再向下平行移动4格，画出平行移动后的图形．
20.(本小题8分)
如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(−4,1)，B(−1,1)，C(−2,3)．
(1)将△ABC向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
(2)将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
(3)借助网格，利用无刻度的直尺画出△A1B1C1的中线A1D1(保留作图痕迹)．
21.(本小题8分)
在如图所示的正方形网格图中，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点.解决下列问题：
(1)已知△ABC的三个顶点都在格点上，将△ABC向右平移2个单位，得到△A1B1C1，请在网格图中画出△A1B1C1.若A1B1与AC相交于点P，则AP:PC= ;
(2)用无刻度的直尺画图：在A1C1上求作点M，使A1M:MC1=3:4.(保留作图痕迹)
22.(本小题8分)
已知△ABC三个顶点的坐标是A(−1,2)，B(−3,1)，C(0,−1)，将△ABC先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△A′B′C′．
(1)请画出平移后的图形△A′B′C′；
(2)请直接写出点A′，B′，C′的坐标．
23.(本小题8分)
△ABC下移2个单位，再左移4个单位后得到△A’B’C’，已知△A′B′C′的位置如图所示
(1)请画出平移之前的△ABC；
(2)求平移过程中线段AC扫过的面积．
24.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A(−2,−2)，B(3,1)，C(0,2).若三角形ABC内任意一点P(a,b)，平移后的对应点为P1(a−1,b+3)，将三角形ABC作同样的平移得到三角形A1B1C1，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1．
(1)在图中画出平移后的三角形A1B1C1；
(2)三角形A1B1C1的面积为 ；
(3)若Q为y轴上一动点，当三角形ACQ的面积是3时，求出点Q的坐标．
25.(本小题8分)
如图，在每个小正方形边长为1的方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′.根据下列条件，利用格点和三角尺画图：
(1)补全△A′B′C′；
(2)请在AC边上找一点D，使得线段BD平分△ABC的面积，在图上作出线段BD；
(3)找△ABP(要求各顶点在格点上，P不与点C重合)，使其面积等于△ABC的面积．满足这样条件的点P共____个．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了平行投影.设竹竿的长度为x尺，根据物体的高度与影长成正比即可得到x15=1.50.5，即可得到答案．
【解答】
解：设竹竿的长度为x尺，
∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，
∴x15=1.50.5，解得x=45，即竹竿的长为四丈五尺．
故选B．
2.【答案】B
【解析】解：由题意得：∠APB=∠CPD，AB⊥BD，CD⊥DB，
∴∠ABP=∠CDP=90°，
∴△ABP∽△CDP，
∴ABBP=CDDP，
∴1.6BP=4.88−BP，
解得：BP=2，
∴将平面镜P放置在离王林2m处才能观测到大树的顶端，
故选：B．
根据题意可得：∠APB=∠CPD，AB⊥BD，CD⊥DB，从而可得∠ABP=∠CDP=90°，然后证明△ABP∽△CDP，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了菱形的性质和几何变换，掌握相关性质是解题的关键．
依据旋转变换、平移变换以及轴对称变换，分别画图进行判断可得结论．
【解答】
解：①如图1，先将菱形ABCD向右平移，再绕着点E顺时针旋转得到菱形AEFG，故①正确；
②如图2，将菱形ABCD先平移，再沿直线l翻折可得菱形AEFG，故②正确；
③如图3，经过1次旋转，且平面内可以作为旋转中心的点有A和G′，共有2个，故③不正确；
故选：A．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．
【解答】
解：∵标杆的高标杆的影长=旗杆的高旗杆的影长
即1.51=AC6，
∴AC=6×1.5=9米．
故选D．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了作图−平移变换与旋转变换，属于基础题．
观察图形即可解答．
【解答】
解：根据图形，△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，再向下平移5格即可与△DEF重合．
故选B．
6.【答案】A
【解析】解：∵∠BAC=90°，
∴∠AGD+∠ADC=90°，
∵四边形GFDE是矩形，
∴∠GDE=90°，∠GFB=∠DEC=90°，GD/​/BC，GF=DE，
∴∠ADG+∠EDC=90°，∠AGD=∠B，
∴∠AGD=∠EDC，
∴∠B=∠EDC，
∴△BFG∽△DEC，
∴DE：BF=CE：GF，
∵BF=4.5cm，CE=2cm，
∴GF：4.5=2：GF，
∴GF=3cm，
故选：A．
根据题意推知△BFG∽△DEC，由该相似三角形的对应边成比例，求得GF的长度即可．
本题考查了相似三角形的应用和矩形的性质．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力.利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容.解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
直接利用相似三角形的对应边成比例解答．
【解答】
解：设蜡烛火焰的高度是xcm，
由相似三角形的性质得到：ABCD=BFCE
即：AB0.9=21
解得x=1.8．
即物体的高度AB是1.8cm．
8.【答案】B
【解析】解：温箱里的温度T应该设定在能使A，B两种菌苗同时满足的温度，即35≤x≤38与34≤y≤36的公共部分
由题意可列出不等式组35⩽x⩽3834⩽y⩽36，根据求不等式解集的方法可知温箱里的温度T应该设定在35⩽T⩽36。
因此本题选择B。
9.【答案】C
【解析】解：如图：过O作OM⊥CD，垂足为M，过O′作O′N⊥AB，垂足为N，
∵CD//AB，
∴△CDO∽ABO′，即相似比为CDAB，
∴CDAB=OMO′N，
∵OM=15−7=8cm，O′N=11−7=4cm，
∴6AB=84
∴AB=3cm，
故选：C．
高脚杯前后的两个三角形相似，根据相似三角形的判定和性质即可得出结果．
本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．
10.【答案】B
【解析】解：由题意可得，CE/​/BD，
在△ABD中，ACAB=CEBD，
即14=2BD，
解得BD=8m．
故选：B．
由CE/​/BD，可得ACAB=CEBD，进而可求解线段BD的长度．
此题考查的是平行线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解决此题的关键．
11.【答案】A
【解析】解：∵△OAB∽△OCD，
∴ABCD=OBOD，
∴，
解得：OD=20，
∴缩略图距离眼睛的距离OD为20cm，
故选：A．
利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
12.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．由题意可得△APM∽△ABC，利用相似三角形的性质构建方程即可求解．
【解答】
解：如图，设AD与PM交于点K，
∵PM：PQ=2：1，
∴可设PM=2ymm，则PQ=ymm，
∵四边形PQNM是矩形，
∴PM//BC，
∴△APM∽△ABC，
∵AD⊥BC，AK⊥PM，
∴PMBC=AKAD，
∴2y120=90−y90，
解得y=36，
∴PQ=36(mm)．
故选A．
13.【答案】3
4
3
1

【解析】【分析】
本题主要考查平移，解题的关键是掌握平移的变换的定义及其性质．
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．根据平移的定义求解可得．
【解答】
解：由图知线段CD是线段AB经过向右平移3格，再向下平移4格得到的；
线段BC向左平移3格，再向下平移1格得到线段AD．
故答案为：3，4，3，1．
14.【答案】6
【解析】【分析】由题意得∠ABE=∠ACD=90∘，则△ABE∽△ACD，根据相似三角形的性质得BECD=ABAC，即可得．
【详解】解：如图：
∵BE⊥AC，CD⊥AC，
∴∠ABE=∠ACD=90∘，
∴△ABE∽△ACD，
∴BECD=ABAC，
∴1.8CD=310，
解得：CD=6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了相似三角形，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
15.【答案】14
【解析】解：∵DE⊥CE，AC⊥CE，
∴∠C=∠E=90°，
根据平面镜反射原理，入射角等于反射角可得：∠ABC=∠DBE，
∴△ABC∽△DBE，
∴DEAC=BEBC，即1.6AC=2.421，
解得：AC=14，
故答案为：14．
根据题意可得△ABC∽△DBE，根据相似三角形对应边成比例，即可进行解答．
本题主要考查了利用相似三角形测高，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．
16.【答案】6.6
【解析】【分析】
本题考查相似三角形的应用.利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出路灯的高即可．
【解答】
解：设路灯的高为x米，
∵GH⊥BD，AB⊥BD，
∴GH // AB．
∴△EGH∽△EAB．
∴GHx=EHEB①;
同理△FGH∽△FCD，GHx=FHFD②.
∴EHEB=FHFD=EH+FHEB+FD，
∴3EB=3+1.512+3+1.5，
解得EB=11米，
∴ 1.8x=311，
解得x=6.6．
故答案为 6.6．
17.【答案】解：如图，延长DF交MG于Q，则DQ⊥MG，DQ=PG=23.6，

∵BC⊥AP，MG⊥AP，
∴BC//MG，
∴△ABC∽△ANG，
∴BCNG=ACAG，即1.5NG=18，
∴NG=12，
同理得：△DEF∽△DMQ，
∴EFDF=MQDQ，
∵DF=2EF，
∴MQ=12DQ=12×23.6=11.8，
∴MN=MQ+QG−GN=11.8+1.5−12=1.3(米)．
答：旗帜的宽度MN是1.3米．
【解析】如图，延长DF交MG于Q，则DQ⊥MG，DQ=PG=23.6，证明△ABC∽△ANG和△DEF∽△DMQ，可得MQ和GN的值，最后由线段的和差可得结论．
本题考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质和判定是解本题的关键．
18.【答案】解：(1)如图1中，平行四边形ABCD，线段AM即为所求；
(2)如图2中，线段AQ，点H即为所求．

【解析】(1)根据平行四边形的定义以及性质解决问题即可；
(2)利用旋转变换的性质作出线段AQ，再利用等腰直角三角形的性质作出AH=AP即可．
本题考查作图−旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19.【答案】解：如图所示

【解析】本题主要考查作图−平移变换，解题的关键是熟练掌握平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．
根据平移变换的定义和性质作图可得．
20.【答案】解：(1)△ABC的三个顶点坐标分别是A(−4,1)，B(−1.1)，C(−2,3)，将△ABC向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度得到△A1B1C1，
∴对应点A1(1,−1)，B1(4,−1)，C1(3,1)，在平面直角坐标系中找出各点并连接，如图所示，
∴△A1B1C1即为所求图形．
(2)将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，根据旋转的性质，如图所示，
∴△A2B2C2即为所求图形．
(3)如图所示，根据平面直角坐标系的特点，每个小正方形的边长都是一个单位长度，以CB为对角线，作矩形C1DB1F，连接DE与C1B1交于点D1，连接A1D1，
∴A1D1 即为△A1B1C1的中线．
【解析】本题考查的是作图−平移变换，作图−旋转变换有关知识
(1)根据图形平移的性质即可求解；
(2)根据图形旋转的性质即可求解；
(3)根据矩形的性质即可求解．
21.【答案】(1)2:3
解：(2)如图，点M为所求

【解析】【分析】
本题考查的是作图−平移变换，格点作图，相似三角形的判定与性质有关知识
(1)根据题意作出图形，然后再利用相似三角形的性质解答
(2)根据题意直接作图
【解答】
解：(1)如图，△A1B1C1即为所作图形，连接AA1
∵AA1//B1C
∴ΔAPA1∽ΔCPB1
∴AP：PC=AA1：B1C=2:3
(2)见答案
22.【答案】解：(1)如图，△A′B′C′为所作；

(2)A′(2,0)，B′(0,−1)，C′(3,−3)．
【解析】(1)利用点平移的坐标变换规律得到点A′，B′，C′的坐标，然后描点即可；
(2)由(1)得到点A′，B′，C′的坐标．
本题考查了作图−平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
23.【答案】解：(1)如图所示：
(2) 线段AC向下平移2个单位扫过的面积为2×2=4；
接着向左平移4个单位扫过的面积为4×2=8；
所以平移过程中AC扫过的面积一共为4+8=12．
【解析】本题主要考查作图−平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义和性质．
(1)将△A′B′C′三个顶点分别向上平移2个单位，再向右平移4个单位得到对应点，再顺次连接即可得；
(2)计算线段AC向下平移2个单位扫过的面积，向左平移4个单位扫过的面积相加即可．
24.【答案】【小题1】
如图，三角形A1B1C1即为所求作
【小题2】
7
【小题3】
设点Q的纵坐标为m，则12×2−m×2=3，解得m=−1或m=5．
∴点Q的坐标为(0,−1)或(0,5)

【解析】1. 本题考查了作图−平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
根据点P(a,b)的对应点为P1(a−1,b+3)，据此将各点的横坐标减1、纵坐标加3可得；
2. 【分析】本题考查坐标于图形的性质，三角形的面积，掌握割补法是关键。
利用三角形的面积等于长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可解答．
【解答】解：△A1B1C1的面积=4×5−12×2×4−12×3×1−12×5×3
=20−4−1.5−7.5
=7．
3. 本题考查坐标与图形的性质，三角形的面积．
设点Q的纵坐标为m，则12×|2−m|×2=3，求出m的值即可得出结果．
25.【答案】解：(1)如图，
△A′B′C′即为所求．
(2)如图，
线段BD即为所求．
(3)6．

【解析】【分析】
本题考查作图−平移变换，格点作图，中线，高，三角形的面积等知识，解题的关键是正确作出图形，学会利用等高模型解决问题．
(1)利用平移变换的性质分别作出A，C的对应点A′，C′，再依次连接即可；
(2)根据三角形中线的定义画出图形即可；
(3)利用等高模型，找到AB两侧与点C到AB距离相等的点即可．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)见答案；
(3)如图：
满足条件的点P有6个．