数学八年级下册4.6 反证法精品达标测试

这是一份数学八年级下册4.6 反证法精品达标测试，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中( )
A. 有一个锐角大于45°B. 有一个锐角小于45°
C. 两锐角都大于45°D. 两锐角都小于45°
2.用反证法证明“在四边形中，至少有一个内角是钝角或直角”，第一步应假设( )
A. 一个四边形中至少有两个内角是钝角或直角
B. 一个四边形中至多有两个内角是钝角或直角
C. 一个四边形中没有一个内角是钝角或直角
D. 一个四边形中至多有一个内角是钝角或直角
3.用反证法证明命题“已知在△ABC中，AB=AC，则∠B<90°”时，首先应该假设
( )
A. ∠B≥90°B. ∠B>90°
C. AB≠ACD. AB≠AC且∠B≥90°
4.用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不大于45°”，应先假设( )
A. 直角三角形中两个锐角都大于45°B. 直角三角形中两个锐角都不大于45°
C. 直角三角形中有一个锐角大于45°D. 直角三角形中有一个锐角不大于45°
5.如图，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC.当用反证法证明时，第一步应假设( )
A. AB≠ACB. PB=PC
C. ∠APB=∠APCD. ∠ABC≠∠ACB
6.用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中( )
A. 两锐角都大于45°B. 有一个锐角小于45°
C. 有一个锐角大于45°D. 两锐角都小于45°
7.用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A>∠B，则a>b.”第一步应假设( )
A. a8.用反证法证明“若a>b>0，则a2>b2”，应假设
( )
A. a29.用反证法证明“在▵ABC中，若∠B≠∠C，则AB≠AC”时，我们应该先假设
( )
A. ∠B=∠CB. ∠A=∠BC. AB=ACD. AC=BC
10.下面是小华证明“ 2是无理数”的过程：“假设 2是有理数，那么它可以表示为两个整数的商，设 2=qp(p、q是互质的正整数)，则 2p=q，两边平方，得2p2=q2①，2p2是偶数，q2是一个偶数，因此q也是一个偶数，设q=2k(k是正整数)，由①式得，2p2=(2k)2，从而p2=2k2，p2是偶数，因而p也是一个偶数，这与p、q互质矛盾，所以 2不是有理数，因此 2是无理数.”则下列说法错误的是( )
A. 这种证明方法叫反证法
B. 反证法是一种间接的证明方法
C. 2是无理数，可以表示成两个正整数的商的形式
D. 2是无理数，不能表示成两个正整数的商的形式．
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.用反证法证明“等角对等边”，应先假设 ．
12.用反证法证明：“在△ABC中，若AB≠AC，则∠B≠∠C”，应先假设 ．
13.用反证法证明命题：“已知△ABC，AB=AC，求证：∠B<90°.”第一步应先假设 ．
14.用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A+∠B+∠C=90∘+90∘+∠C>180∘，这与三角形内角和为180∘相矛盾，则∠A =∠B=90∘不成立;
②所以一个三角形中不能有两个直角;
③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90∘．
正确顺序的序号排列为 ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
已知a，b，c，d四个数满足a+b=1，c+d=1，ac+bd>1.求证：这四个数中至少有一个负数．
16.(本小题8分)
已知任何一个有理数均可表示成ba的形式，且a，b互质.求证： 5是一个无理数(请用反证法证明)．
17.(本小题8分)
用反证法证明：三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°．
已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．
求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个内角小于或等于60°．
18.(本小题8分)
阅读下列文字，回答问题．
题目：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A≠45°，则AC≠BC．
证明：假设AC=BC，
∵∠A≠45°，∠C=90°，∴∠A≠∠B．
∴AC≠BC，这与假设矛盾，∴AC≠BC．
上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正．
19.(本小题8分)
用反证法证明下列问题：
如图，在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，BD，CE相交于点O.求证：BD和CE不可能互相平分．
20.(本小题8分)
已知a>2，b>2，试判断关于x的方程x2−(a+b)x+ab=0与x2−abx+(a+b)=0有没有公共根，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设两锐角都大于45°．
故选：C．
用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设结论的反面成立，再判断得出的结论是否成立即可．
此题考查反证法，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，会运用反证法证明命题的真假．
2.【答案】C
【解析】解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：一个四边形中没有一个内角是钝角或直角．
故选：C．
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行解答．
【解答】
解：用反证法证明命题“在△ABC中，若AB=AC，则∠B<90°”时，应假设若AB=AC，则∠B≥90°．
4.【答案】A
【解析】略
解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设两个锐角都大于45°．
故选：A．
根据反证法假设结论不成立解答即可．
本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
5.【答案】B
【解析】略
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
【解答】
解：反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中两锐角都大于45°，
故选：A．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查的是反证法，反证法的步骤是：(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．熟记反证法的步骤，直接填空即可．
【解答】
解：根据反证法的步骤，得第一步应假设a>b不成立，即a≤b．
故选C．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.反证法的步骤是：(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立.根据反证法的一般步骤：先假设结论不成立进行解答．
【解答】
解：用反证法证明“若a>b>0，则a2>b2”的第一步是假设a2≤b2．
故选D．
9.【答案】C
【解析】解：反证法证明“在△ABC中，若∠B≠∠C，则AB≠AC”时，先假设AB=AC，
故选：C．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
10.【答案】C
【解析】解：A.由反证法的一般步骤可以得出这种证明方法叫反证法，故本选项正确，不符合题意；
B.反证法是一种间接的证明方法，故本选项正确，不符合题意；
C. 2是无理数，但不能表示成两个正整数的商的形式，故本选项错误，符合题意；
D. 2是无理数，不能表示成两个正整数的商的形式，故本选项正确，不符合题意．
故选：C．
利用反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确，进而判断即可．
此题主要考查了反证法及无理数，正确把握反证法的一般步骤是解题关键．
11.【答案】一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边不相等
【解析】略
12.【答案】∠B=∠C
【解析】略
13.【答案】∠B≥90°
【解析】【分析】
本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
根据反证法的第一步是假设结论不成立，反面成立，即∠B<90°的反面是∠B≥90°解答．
【解答】
解：反证法证明命题：“已知△ABC，AB=AC，求证：∠B<90°.”第一步应先假设∠B≥90°．
14.【答案】 ③ ① ②
【解析】略
15.【答案】略
【解析】略
16.【答案】略
【解析】略
17.【答案】证明：假设求证的结论不成立，那么三角形中所有角都大于60°，
∴∠A+∠B+∠C>180°，
这与三角形的三内角和为180°相矛盾．
∴假设不成立，
∴三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度．
【解析】根据反证法证明方法，先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结论成立．
本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
18.【答案】解：有错误．
改正：
假设AC=BC，则∠A=∠B，
又∠C=90°，
所以∠B=∠A=45°，这与∠A≠45°矛盾，
所以AC=BC不成立，所以AC≠BC．
【解析】本题结合等腰直角三角形的性质考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
反证法的步骤是(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立，按照反证法的步骤逐步分析即可．
19.【答案】证明：连接DE，
假设BD和CE互相平分，
∴四边形EBCD是平行四边形，
∴BE/​/CD，
∵在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，
∴AB不可能平行于AC，与已知出现矛盾，
故假设不成立原命题正确，
即BD和CE不可能互相平分．
【解析】利用反证法证明的第一步假设BD和CE互相平分，进而利用平行四边形的判定与性质得出BE/​/CD，进而得出与已知出现矛盾，从而得出原命题正确．
此题主要考查了反证法的证明，根据反证法步骤得出假设BD和CE互相平分进而得出矛盾是解题关键．
20.【答案】没有公共根．理由如下：不妨设关于x的方程x2−(a+b)x+ab=0与x2−abx+(a+b)=0有公共根，且公共根为x0，则有x02−(a+b)x0+ab=0①,x02−abx0+(a+b)=0②,②−①得(x0+1)(a+b−ab)=0.∵a>2，b>2，∴a+b≠ab，∴x0=−1，将x0=−1代入①得1+a+b+ab=0，这是不可能的，∴关于x的方程x2−(a+b)x+ab=0与x2−abx+(a+b)=0没有公共根．
【解析】见答案