北师大版九年级上册6 利用相似三角形测高精练

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第四章　图形的相似6　利用相似三角形测高基础过关全练知识点1　利用阳光下的影子测量高度1.【教材变式·P105T1】(2022浙江杭州中考)某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度,把标杆DE直立在同一水平地面上(如图).同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72 m,EF=2.18 m.已知B,C,E,F在同一直线上,AB⊥BC,DE⊥EF,DE=2.47 m,则AB=　　　　m. 2.【数学文化】(2022广西北部湾经济区中考)古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法,在金字塔影子的顶部直立一根木杆,借助太阳光测金字塔的高度.如图,木杆EF长2米,它的影长FD是4米,同一时刻测得OA是268米,则金字塔的高度BO是　　　　米.     知识点2　利用标杆测量高度3.(2021江苏南通中考)如图,利用标杆DE测量楼高,点A,D,B在同一直线上,DE⊥AC,BC⊥AC,垂足分别为E,C.若测得AE=1 m,DE=1.5 m,CE=5 m,求楼高BC是多少.   4.【项目式学习试题】(2023四川成都高新区一诊)某校同学参与“项目式学习”综合实践活动,小明所在的数学活动小组利用所学知识测量旗杆EF的高度,他在距离旗杆40米的D处立下一根3米高的竖直标杆CD,然后调整自己的位置,当他与标杆的距离BD为4米时,他的眼睛、标杆顶端和旗杆顶端位于同一直线上,若小明的眼睛离地面高度AB为1.6米,求旗杆EF的高度.   知识点3　利用镜子的反射测量高度5.【跨学科·物理】(2023四川成都武侯一诊)为了测量成都熊猫基地观光瞭望塔“竹笋”建筑物AB的高度,小军同学采取了如下方法:在地面上点C处平放一面镜子,并在镜子上做一个标记,然后人向后退,直至站在点D处恰好看到建筑物AB的顶端A在镜子中的像与镜子上的标记重合(如图所示).其中B,C,D三点在同一条直线上.已知小军的眼睛距离地面的高度ED约为1.75 m,BC和CD的长分别为40 m和1 m,求建筑物AB的高度.(说明:由物理知识,可知∠ECF=∠ACF)  能力提升全练6.(2023山东滕州西岗中学期末,4,★★☆)如图,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上,已知纸板的两条直角边DE=40 cm,EF=20 cm,测得边DF离地面的高度AC=1.5 m,CD=9 m,则树高AB为(　　)A.4 m　　　　B.4.5 m       C.5 m　　　　D.6 m7.【数学文化】(2022浙江衢州中考,16,★★★)古希腊数学家海伦给出了挖掘直线隧道的方法:如图,A,B是两侧山脚的入口,从B出发任作线段BC,过C作CD⊥BC,然后依次作垂线DE,EF,FG,GH,直到接近A点,作AJ⊥GH于点J.每条线段可测量,长度如图所示.分别在BC,AJ上任选点M,N,作MQ⊥BC,NP⊥AJ,使得=k,此时点P,A,B,Q共线.挖隧道时始终能看见P,Q处的标志即可.(1)CD-EF-GJ=　　　　km;(2)k=　　　　. 8.【项目式学习试题】(2023河南新乡十中期末,17,★★☆)周末,小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时,他们选择了河对岸岸边的一棵大树,将其底部作为点A,在他们所在的岸边选择了点B,使得AB与河岸垂直,并在点B处竖起标杆BC,再在AB的延长线上选择点D,竖起标杆DE,使得点E与点C,A共线.CB⊥AD,ED⊥AD,测得BC=1 m,DE=1.5 m,BD=9 m.测量示意图如图所示.请根据相关测量信息,求河宽AB. 9.(2023湖南益阳期末,22,★★☆)大雁塔是现存最早规模最大的唐代四方楼阁式砖塔,被国务院批准列入第一批全国重点文物保护单位,某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度,在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD,这时地面上的点E,标杆的顶端点D,大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上,测得EC=1.28米,将标杆向后平移到点G处,这时地面上的点F,标杆的顶端点H,大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上(点F,点G,点E,点C与大雁塔底处的点A在同一直线上),这时测得FG=1.92米,CG=20米,请你根据以上数据,计算大雁塔的高度AB.          10.【新课标例81变式】(2023吉林大安期末,21,★★☆)学习了相似三角形相关知识后,小明和他同学利用标杆测量大楼的高度.如图,小明站在地面点F处,他的同学在点B处竖立标杆AB,使得小明的头顶点E、标杆顶点A、楼顶点C在一条直线上(点F、B、D也在一条直线上).已知小明的身高EF=1.5米,标杆AB=2.5米,BD=23米,FB=2米.(1)求大楼的高度CD(CD垂直于地面BD).(2)小明站在原来的位置,他同学通过移动标杆,用同样的方法测得楼CD上点G的高度GD=11.5米,那么相对于第一次测量,标杆AB向大楼方向移动了多少米?     素养探究全练11.【应用意识】(2023河北邯郸大名期末)小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度.一天下午,他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前,由于有围栏保护,他们无法到达古树的底部B,如图所示.于是他们先在古树周围的空地上选择一点D,并在点D处安装了测角仪CD,测得∠ACD=135°;再在BD的延长线上确定一点G,使DG=5米,并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜,小明沿着BG方向移动,当移动到点F时,他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像,此时,测得FG=2米,小明眼睛与地面的距离EF=1.6米,测角仪的高度CD=0.5米.已知点F、G、D、B在同一水平直线上,且EF、CD、AB均垂直于FB,则这棵古树的高AB为多少米?(小平面镜的大小忽略不计)        答案全解全析基础过关全练1.9.88解析　由题意可得AC∥DF,又B,C,E,F在同一直线上,∴∠ACB=∠DFE,∵AB⊥BC,DE⊥EF,∴∠ABC=∠DEF=90°,∴Rt△ABC∽Rt△DEF,∴,即,解得AB=9.88 m.故答案为9.88.2.134解析　设金字塔的高度BO为x米,根据相同时刻的物高与影长成比例,可列比例式为,解得x=134,经检验,x=134是原方程的解且符合题意,∴BO=134米.故答案为134.3.解析　∵DE⊥AC,BC⊥AC,∴DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴,∴,∴BC=9 m.答:楼高BC是9 m.4.解析　过点A作AN⊥EF于点N,交CD于点M,由题意可得AM=BD=4米,NM=FD=40米,CM=3-1.6=1.4(米),易知CM∥EN,∴△ACM∽△AEN,∴,∴,解得EN=15.4米,则EF=15.4+1.6=17(米).答:旗杆EF的高度为17米.5.解析　由题意可得∠ABC=∠EDC,∠ACB=∠ECD,故△ABC∽△EDC,则,∵小军的眼睛距离地面的高度ED约为1.75 m,BC和CD的长分别为40 m和1 m,∴,解得AB=70 m.答:建筑物AB的高度为70 m.能力提升全练6.D　∵∠D=∠D,∠DEF=∠DCB,∴△DEF∽△DCB,∴,∵DE=40 cm=0.4 m,EF=20 cm=0.2 m,CD=9 m,∴,解得BC=4.5 m,∵AC=1.5 m,∴AB=AC+BC=1.5+4.5=6(m),即树高6 m.故选D.7.(1)1.8　(2)解析　(1)CD-EF-GJ=5.5-1-2.7=1.8(km).(2)连接AB,过点A作AZ⊥CB,交CB的延长线于点Z.易得AZ=CD-EF-GJ=1.8 km,BZ=DE+FG-CB-AJ=4.9+3.1-3-2.4=2.6(km),∵点P,A,B,Q共线,∴∠MBQ=∠ZBA,又∵∠BMQ=∠BZA=90°,∴△BMQ∽△BZA,∴.8.解析　∵CB⊥AD,ED⊥AD,∴BC∥DE,∠ABC=∠D=90°.∴∠ACB=∠E.∴△ABC∽△ADE.∴.∵BC=1 m,DE=1.5 m,BD=9 m,∴.解得AB=18 m.∴河宽AB为18 m.9.解析　根据题意得△EDC∽△EBA,△FGH∽△FAB,∴,,∵DC=HG,∴,∴,∴CA=40米,∵,∴,∴AB=64.5米.答:大雁塔的高度AB为64.5米.10.解析　(1)如图,过点E作EH⊥CD于点H,交AB于点J,则四边形EFBJ,四边形EFDH都是矩形.∴EF=BJ=DH=1.5米,BF=EJ=2米,DB=JH=23米,∴EH=EJ+JH=25米,∵AB=2.5米,∴AJ=AB-BJ=2.5-1.5=1(米),∵AJ∥CH,∴△EAJ∽△ECH,∴,∴,∴CH=12.5米,∴CD=CH+DH=12.5+1.5=14(米),即大楼的高度CD为14米.(2)如图,过点E作ET⊥CD于点T,交AB于点R.设BF=x米,∵AR∥GT,∴△AER∽△GET,∴,∴,∴x=2.5,2.5-2=0.5(米),即标杆AB向大楼方向移动了0.5米.素养探究全练11.解析　如图,过点C作CH⊥AB于点H,则CH=BD,BH=CD=0.5米,∠DCH=90°,∵∠ACD=135°,∴∠ACH=45°,∴∠CAH=45°,∴AH=CH=BD,∴AB=AH+BH=BD+BH.∵EF⊥FB,AB⊥FB,∴∠EFG=∠ABG=90°.由反射角等于入射角易得∠EGF=∠AGB,∴△EFG∽△ABG,∴,即,解得BD=17.5米,∴AB=17.5+0.5=18(米).∴这棵古树的高AB为18米.