数学5.1.2 数据的数字特征教课ppt课件

这是一份数学5.1.2 数据的数字特征教课ppt课件，共43页。PPT课件主要包含了学习目标，讲授新课，情境与问题，平均数，尝试与发现，百分位数，规律方法，典例精析，2可将数据整理为，练习A等内容，欢迎下载使用。

1.会求一组数据的最值、平均数、中位数、百分位数、众数、方差．(重点)2．理解上述数字特征的意义，并能解决与之相关的实际问题．(难点)
如下是某学校高一 (1) 班和高一 (2) 班某一次期中考试的语文成绩，试从不同的角度对两班成绩进行对比.
在日常生活中，当面对一组数据时，相比每一个观测值，有时我们更关心的是能反映这组数据特征的一些值.例如，上述情境中的两个班的成绩，我们可以从最值、平均数、中位数、方差等角度进行比较.
一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况.一般地，最大值用 max 表示，最小值用 min 表示. 日常生活中，有时我们只关心数据的最值，比如，高考部分科目实行“一年多考”，最终取的是多次考试成绩中的最大值;举重比赛中，选手有三次“试举”机会，其中成绩的最大值将计入总成绩;末位淘汰的比赛中，积分最小值对应的团体或个人将被淘汰出局;等等.
某武术比赛中，共有 7 个评委，计分的规则是:去掉一个最高分，去掉一个最低分，然后把其他分数的平均数作为选手的最后得分. 按照这样的规则，根据以下数据，计算三位选手的最后得分:
(1) 从数学的角度，讨论为什么要去掉一个最高分与最低分后再计算平均数，以及平均数具有什么特点; (2) 有人认为，应该把最高分与最低分之外的分数总分作为选手的最后得分，讨论这样的计分规则与前面的规则是否有本质上的区别.
平均数会受每一个数的影响，尤其是最大值、最小值，很多情况下，为了避免过于极端的值影响结果太大等，会去掉最低分与最高分后再计算平均数.但是，计算总分与计算平均分不会有本质区别，请读者自行说明理由. 当计算上述甲选手的最后得分时，在把 88 与 96 去掉之后，可以先把其余数都减去 92，得到新的数为-2，1，1，0，0，因为这一组数的平均数为0，所以可知甲的最后得分为 92. 其余选手的得分可以用类似的方法得到.
我们知道，一组数的平均数与这组数中的每一个数都有关，特别地，平均数容易受到最值的影响，因此有时平均数并不能很好地表示这组数的中心位置.
有甲、乙两个组，每组有 6 名成员，他们暑假读书的本数分别如下: 甲组:1，2，3，3，4，5; 乙组:0，0，1，2，3，12.分别求出两组数的平均数;平均数是否很好地表示了每一组数的中心位置?如果没有，可以选择什么数来表示?
指出甲、乙两组数的中位数，并思考:中位数是否能比较全面地体现数据的分布特点?如果不能，有什么补救的办法?
当数据个数较多时，如果仅仅知道中位数，是不足以了解这组数的分布特点的.例如，上述甲、乙两组数的中位数都是 5.5，但是甲组数中，小于5.5 的数普遍比乙组的大，而大于 5.5 的数普遍比乙组的小. 更具体地，将甲、乙两组数小于 5.5 的前 10 个数分别看成一组数，则它们的中位数分别是 2.5，4____，这两个数能够反映甲、乙两组数小于5.5 的数的分布特点，因为这两个数是通过找小于或等于中位数的所有数的中位数得到的，所以它们分别称为甲、乙两组数的 25%分位数.
一般地，当数据个数较多时，可以借助多个百分位数来了解数据的分布特点. 一组数的力p %(p∈(0，100)) 分位数指的是满足下列条件的一个数值；至少有 p%的数据不大于该值，且至少有 (100-p)%的数据不小于该值. 直观来说，一组数的 p%分位数指的是，将这组数按照从小到大的顺序排列后，处于p%位置的数. 例如，中位数就是一个 50%分位数.
实际应用中，除了中位数外，经常使用的是 25%分位数 (简称为第四分位数) 与 75%分位数(简称为第三四分位数).
求中位数的一般步骤(1)把数据按大小顺序排列．(2)找出排列后位于中间位置的数据，即为中位数．若中间位置有两个数据，则求出这两个数据的平均数作为中位数．
计算上述尝试与发现中甲、乙两组数的 75%分位数.
因为数据个数为 20，而且20×75%=15,所以，甲组数的 75%分位数为乙组数的 75%分位数为5 ____________. 由此可知，如果尝试与发现中的甲组数用 2.5，5.5，9.5 来刻画，乙组数用 1，5.5，12 来刻画，则大致可以看出它们的数的分布特点.
求百分位数的一般步骤(1)排序：按照从小到大排列：x1，x2，…，xn.(2)计算：求i＝np%的值．(3)求值：
一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数最多的数据称为这组数据的众数.有些情形中，我们用众数来描述一组数据的中心位置.
某班级准备利用暑假去进行研学旅行，为了便于识别，他们准备定做一批容量一致的双肩包，为此，活动负责人征求了班内同学的意向，得到了如下数据:你认为应该定做什么容量的双肩包?为什么?
为了照顾到绝大多数人的需求，此时应该定做容量为 29 L 的双肩包这里的 29 就是上述数据的众数.
1．最值和众数的求法在样本数据中出现次数最多的数据即为众数，最大的数是最大值，最小的数是最小值．2．求平均数的步骤(1)求和：数据x1，x2，…，xn的和为x1＋x2＋…＋xn.(2)求平均数：和除以数据的个数n，即x1，x2，…，xn的平均数为(x1＋x2＋…＋xn)．
5.极差、方差与标准差
方差的算术平方根称为标准差.由此可知，如果一组数中，各数据值都相等，则标准差为 0，表明数据没有波动，数据没有离散性;若各数据的值与平均数的差的绝对值较大，则标准差也较大，表明数据的波动幅度也较大，数据的离散程度较高. 因此标准差描述了数据相对于平均数的离散程度.
计算下列各组数的平均数与方差:18.9，19.5，19.5，19.2，19，18.8，19.5;2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，5，5，5，5，5，5，6，6.
每一个数都减去 4 可得这组数的平均数与方差分别为
计算标准差的五个步骤(1)算出样本数据的平均数.(2)算出每个样本数据与样本数据平均数的差：xi－(i＝1,2,3，…，n)．(3)算出(2)中xi－(i＝1,2,3，…，n)的平方．(4)算出(3)中n个平方数的平均数，即为样本方差．(5)算出(4)中方差的算术平方根，即为样本标准差．
用计算机软件可以方便快捷地求得一组数的各种数字特征.例如，为了求出例2(1) 中数据的数字特征，可以将它们输入 Excel的表格中，然后使用相应的函数即可，如图 5-1-5 所示.
6.用信息技术求数据的数字特征
其中，求第一四分位数输人的是“=QUARTILE.EXC(A2:A8，1)”求第三四分位数输入的是“=QUARTILE.EXC(A2:A8，3)” 用 GeGebra 软件的表格区也可实现类似的功能，但是函数的名称不-致，如图 5-1-6 所示. 其中，求第一四分位数输入的是“=Percentile[A2:A8，0.25]”，求第三四分位数输入的是“=Percentile[A2:A8，0.75]”
1．平均数、众数、中位数的应用因为平均数与每一个样本数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数不具有的性质，也正因为这个原因，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于全体样本数据的信息．但平均数受数据的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低．
2．标准差(方差)的两个作用(1)标准差(方差)较大，数据的离散程度较大；标准差(方差)较小，数据的离散程度较小．(2)在实际应用中，常常把平均数与标准差结合起来进行决策．在平均值相等的情况下，比较方差或标准差来确定稳定性．
一、知识总结1．众数、中位数、平均数的意义(1)样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息，平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大．(2)当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其中心位置．
2．在计算方差或标准差时，当数据的重复数据较多时，要先把数据整理为频数表再用公式或性质计算．3．在实际问题中，平均值和方差(或标准差)是评定优劣的两个依据．二、常见误区1．计算标准差和方差时公式记错致误．2．数据同时增加或减少相同的数，平均数变化，方差不变．