高中数学人教B版 (2019)必修 第二册第五章 统计与概率5.1 统计5.1.2 数据的数字特征学案

5.1.2　数据的数字特征

知识点1　数据的最值、平均数、中位数、百分位数、众数

1．最值

一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况．一般地，最大值用max表示，最小值用min表示．

2．平均数

(1)公式：指样本数据的平均数，

即＝(x1＋x2＋…＋xn)＝i.

一般地，利用平均数的计算公式可知，如果x1，x2，…，xn的平均数为，且a，b为常数，则

ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为a＋b.

(2)求和的性质

(xi＋yi)＝i＋i；(kxi)＝ki；＝nt.

3．中位数

一般地，有时也可以借助中位数来表示一组数的中心位置：如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n＋1，则称xn＋1为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n，则称为这组数的中位数．

4．百分位数

(1)定义

直观来说，一组数的p%分位数指的是，将这组数按照从小到大的顺序排列后，处于p%位置的数．中位数就是一个50%分位数．

(2)意义

一组数的p%(p∈(0,100))分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有p%的数据不大于该值，且至少有(100－p)%的数据不小于该值．

设一组数按照从小到大排列后为x1，x2，…，xn，计算i＝np%的值，如果i不是整数，设i0为大于i的最小整数，取xi0为p%分位数；如果i是整数，取为p%分位数．

规定：0分位数是x1(即最小值)，100%分位数是xn(即最大值)．

5．众数

一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数最多的数据称为这组数据的众数．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)描述一组数据极端情况的数字特征是最值． (　　)

(2)描述一组数据中心位置的数字特征可以是平均数、中位数和众数．                (　　)

(3)百分位数可用于了解数据的分布特点． (　　)

[答案]　(1)√　(2)√　(3)√

2.已知一组数据10,30,50,50,60,70,80.其中平均数、中位数和众数的大小关系是(　　)

A．平均数>中位数>众数

B．平均数<中位数<众数

C．中位数<众数<平均数

D．众数＝中位数＝平均数

D　[由所给数据可得平均数为50，中位数为50，众数为50，因此众数＝中位数＝平均数．]

知识点2　极差、方差、标准差

1．极差

一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差．

2．方差

如果x1，x2，…，xn的平均数为，则方差可用求和符号表示为s2＝(xi－)2.

此时，如果a，b为常数，则

ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.

3．标准差

方差的算术平方根称为标准差．

注：数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述．

方差与标准差的大小与样本数据有什么关系？

[提示]　标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．

3.下列各数字特征中，能反映一组数据离散程度的是(　　)

A．众数　　　　 B．平均数

C．标准差 D．中位数

C　[方差与标准差反映一组数据的离散程度．]

4.某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：

7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.

则：(1)平均命中环数为________；

(2)命中环数的标准差为________．

(1)7　(2)2　[(1)＝＝7.

(2)s2＝[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2.]

类型1　平均数、中位数、百分位数、众数的计算

【例1】　已知甲、乙两组数据：

甲：18.9,19.5,19.5,19.2,19,18.8,19.5；

乙：2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,6,6.

(1)求这两组数的众数、中位数、平均数；

(2)求这两组数的25%分位数、75%分位数及90%分位数．

[解]　(1)将甲按从小到大的顺序排列为：18.8,18.9,19,19.2,19.5,19.5,19.5.

则甲组数众数为19.5，中位数为19.2，平均数为

＝19.2.

乙组数众数为5，中位数为4，

平均数为＝4.

(2)∵7×25%＝1.75,7×75%＝5.25,7×90%＝6.3.

故甲的25%分位数、75%分位数、90%分位数分别为数据中的第2个，第6个和第7个数．

即25%分位数为18.9,75%分位数为19.5,90%分位数为19.5.

又∵20×25%＝5,20×75%＝15,20×90%＝18，

故乙的25%分位数为＝3,75%分位数为＝5,90%分位数为＝5.5.

1．求平均数时要注意数据的个数，不要重计或漏计．

2．求中位数时一定要先对数据按大小排序，若最中间有两个数据，则中位数是这两个数据的平均数．

3．若有两个或两个以上的数据出现得最多，且出现的次数一样，则这些数据都叫众数；若一组数据中每个数据出现的次数一样多，则没有众数．

1．十名工人某天生产同一零件，生产的件数是：15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有(　　)

A．a＞b＞c　　 B．c＞b＞a

C．c＞a＞b D．b＞c＞a

B　[从小到大排列此数据为：10,12,14,14,15,15,16,17,17,17.

平均数为(10＋12＋14×2＋15×2＋16＋17×3)＝14.7；

数据17出现了三次，17为众数；

在第5位、第6位均是15，故15为中位数．

所以这组数据的平均数是14.7，中位数是15，众数是17.]

类型2　方差和标准差的计算及应用

【例2】　(对接教材P66例2)甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，从中抽取6件测量数据为：

甲：99　100　98　100　100　103

乙：99　100　102　99　100　100

(1)分别计算两组数据的平均数及方差；

(2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定．

[思路探究]　

[解]　(1)甲＝×(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，

乙＝×(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100，

s＝×[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝，

s＝×[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1．

(2)由(1)知甲＝乙，比较它们的方差，∵s＞s，故乙机床加工零件的质量更稳定．

计算方差的4步骤是怎样的？

[提示]　(1)求出样本数据的平均数.

(2)求出每个样本数据与样本平均数的差xi－(i＝1,2，…，n)．

(3)求出xi－(i＝1,2，…，n)的平方值．

(4)求出上一步中n个平方值的平均数，即为样本方差．

2．为了了解市民的环保意识，某校高一(1)班50名学生在6月5日(世界环境日)这一天调查了各自家庭丢弃旧塑料袋的情况，有关数据如下表：

(1)求这50户居民每天丢弃旧塑料袋的平均数、众数和中位数；

(2)求这50户居民每天丢弃旧塑料袋的标准差．

[解]　(1)平均数＝×(2×6＋3×16＋4×15＋5×13)＝＝3.7.

众数是3，中位数是4.

(2)这50户居民每天丢弃旧塑料袋的方差为

s2＝×[6×(2－3.7)2＋16×(3－3.7)2＋15×(4－3.7)2＋13×(5－3.7)2]＝×48.5＝0.97.

所以标准差s≈0.985.

类型3　样本的数字特征的意义及综合应用

1．平均数、中位数、众数中，哪一个量与样本的每一个数据都有关，它的缺点是什么？

[提示]　平均数与样本的每一个数据有关，它可以反映出更多的关于样本数据总体的信息，但它的缺点是受数据中极端值的影响较大．

2．在电视大奖赛中，计算评委打分的平均值时，为什么要去掉一个最高分和一个最低分？

[提示]　为了避免平均值受数据中个别极端值的影响，增大它在估计总体时的可靠性．

【例3】　据了解，某公司的33名职工月工资(单位：元)如下：

该公司职工月工资的平均数与中位数分别为________，在这两个统计量中，________更能反映这个公司员工的工资水平．

[思路探究]　求出中位数与平均数，再根据其反映的数字特征进行判断．

5 333,4 000　中位数　[把工资数据由小到大排列，得到中位数为4 000元．

平均数＝

≈5 333元．

由数字知，中位数更能反映该公司员工的工资水平，平均数受少数人工资额的影响较大，不能反映这个公司员工的工资水平．]

因为平均数与每一个样本数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数不具有的性质，也正因为这个原因，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于全体样本数据的信息.但平均数受数据的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低.

3．设矩形的长为a，宽为b，其比满足b∶a＝≈0.618，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形．黄金矩形常应用于工艺品设计中，下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：

甲批次：0.598　0.625　0.628　0.595　0.639

乙批次：0.618　0.613　0.592　0.622　0.620

根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是   (　　)

A．甲批次的总体平均数与标准值更接近

B．乙批次的总体平均数与标准值更接近

C．两个批次的总体平均数与标准值接近程度相同

D．两个批次的总体平均数与标准值接近程度不能确定

A　[甲＝＝0.617，

乙＝＝0.613，

∴甲与0.618更接近．]

1．2020年某高一学生下学期政治考试成绩为

79　79　84　84　86　84　87　90　90　97

则该生政治考试成绩的平均数和众数依次为(　　)

A．85　84　　B．84　85　　C．86　84　　D．84　86

C　[由题意可知，平均数＝

＝86，

众数为84.]

2．(多选题)下列说法中，正确的是(　　)

A．数据2,4,6,8的中位数是4,6

B．数据1,2,2,3,4,4的众数是2,4

C．一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数据

D．8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是

BCD　[数据2,4,6,8的中位数为＝5，显然A是错误的，BCD都是正确的．故选BCD．]

3．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为(　　)

A．9.4,0.484　　　　 B．9.4,0.016

C．9.5,0.04 D．9.5,0.016

D　[＝＝9.5，

s2＝×(0.12×4＋0.22)＝0.016.]

4．900,920,920,930,930的20%分位数是________．

910　[因为5×20%＝1，所以该组数据的20%分位数是＝910.]

5．高一(18)班十位同学的数学测试成绩分别为：82,91,73,84,98,99,101,118,98,110，则该组数据的中位数是________．

98　[把这组数据由小到大排列为73,82,84,91,98,98,99,101,110,118，可知中位数为＝98.]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1．你是怎样理解平均数的？

[提示]　平均数会受每一个数的影响，尤其是最大值、最小值．很多情况下，为了避免过于极端的值影响结果太大，会去掉样本数据中的最低分与最高分后再计算平均数．但是，计算总分与计算平均分不会有本质区别．

2．众数、中位数、平均数有怎样的意义？

[提示]　(1)样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息，平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大．

(2)当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其中心位置．

3．如何理解方差、标准差？

[提示]　(1)标准差、方差描述了一组数据围绕着平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．

(2)标准差、方差为0时，表明样本数据全相等，数据没有波动幅度和离散性．

(3)标准差的大小不会超过极差．