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高中数学人教B版 (2019)必修 第二册5.1.2 数据的数字特征第2课时导学案
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这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册5.1.2 数据的数字特征第2课时导学案，共15页。学案主要包含了极值，方差的性质，数字特征的应用等内容，欢迎下载使用。
导语
平均数、中位数和众数为我们提供了一组数据的集中趋势的信息，这是概括一组数据的特征的有效方法．但仅知道集中趋势的信息，很多时候还不能使我们做出有效决策．
这节课我们共同来研究总体离散趋势的有关知识．
一、极值、方差与标准差的计算
有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
如果你是教练，你应当如何对这次射击作出评价？
问题1 甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环？
提示 经计算得：eq \x\t(x)甲＝eq \f(1,10)×(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7，同理可得eq \x\t(x)乙＝7.
问题2 观察下图中两人成绩的频率分布条形图，你能说明其水平差异在哪里吗？
提示 直观上看，还是有差异的．如：甲成绩比较分散，乙成绩相对集中．
问题3 对于甲、乙两人的射击成绩除了画出频率分布条形图比较外，还有没有其他方法来说明两组数据的分散程度？
提示 还经常用甲、乙命中环数的极差与平均数一起比较说明数据的分散程度．甲的环数极差＝10－4＝6，乙的环数极差＝9－5＝4.它们在一定程度上表明了样本数据的分散程度，与平均数一起，可以给我们许多关于样本数据的信息．显然，极差对极端值非常敏感，注意到这一点，我们可以得到一种“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的统计策略．
知识梳理
1．极差
一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差．
2．方差
如果x1，x2，…，xn的平均数为eq \x\t(x)，则方差可用求和符号表示为s2＝eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n, )(xi－eq \x\t(x))2.
3．标准差
方差的算术平方根称为标准差．标准差描述了数据相对于平均数的离散程度，一般用s表示．
s＝eq \r(\f(1,n)[x1－\x\t(x)2＋x2－\x\t(x)2＋…＋xn－\x\t(x)2]).
注意点：
(1)数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述，极差反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值极为敏感，一般情况下，极差大，则数据波动性大；极差小，则数据波动性小．极差只需考虑两个极端值，便于计算，但没有考虑中间的数据，可靠性较差．
(2)标准差和方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小，方差、标准差的运算量较大．因为方差与原始数据单位不同，且平方后可能夸大了偏差程度，所以虽然标准差与方差在体现数据离散程度上是一样的，但解决问题时一般用标准差．
例1 甲、乙两机床同时加工直径为100 mm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为
甲：99 100 98 100 100 103
乙：99 100 102 99 100 100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．
解 (1)eq \x\t(x)甲＝eq \f(1,6)×(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，
eq \x\t(x)乙＝eq \f(1,6)×(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.
seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,6)×[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝eq \f(7,3)，
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,6)×[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.
(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，
又seq \\al(2,甲)>seq \\al(2,乙)，
所以乙机床加工零件的质量更稳定．
延伸探究
在本例中，若甲机床加工的6个零件的数据全都加10，那么所得新数据的平均数及方差分别是多少？
解 新数据为99＋10,100＋10,98＋10,100＋10,100＋10,103＋10，平均数为100＋10＝110，
方差为eq \f(1,6)×[(109－110)2＋(110－110)2＋(108－110)2＋(110－110)2＋(110－110)2＋(113－110)2]＝eq \f(7,3).
反思感悟 在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度．在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，稳定性越好．
跟踪训练1 某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成绩如下(单位：分)：
甲组：60,90,85,75,65,70,80,90,95,80；
乙组：85,95,75,70,85,80,85,65,90,85.
(1)试分别计算两组数据的极差、方差和标准差；
(2)哪一组的成绩较稳定？
解 (1)甲组：最高分为95分，最低分为60分，极差为95－60＝35(分)，
平均分为eq \x\t(x)甲＝eq \f(1,10)×(60＋90＋85＋75＋65＋70＋80＋90＋95＋80)＝79(分)，
方差为seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,10)×[(60－79)2＋(90－79)2＋(85－79)2＋(75－79)2＋(65－79)2＋(70－79)2＋(80－79)2＋(90－79)2＋(95－79)2＋(80－79)2]＝119，
标准差为s甲＝eq \r(s\\al(2,甲))＝eq \r(119)≈10.91(分)．
乙组：最高分为95分，最低分为65分，极差为95－65＝30(分)，
平均分为eq \x\t(x)乙＝eq \f(1,10)×(85＋95＋75＋70＋85＋80＋85＋65＋90＋85)＝81.5(分)，
方差为seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,10)×[(85－81.5)2＋(95－81.5)2＋(75－81.5)2＋(70－81.5)2＋(85－81.5)2＋(80－81.5)2＋(85－81.5)2＋(65－81.5)2＋(90－81.5)2＋(85－81.5)2]＝75.25，
标准差为s乙＝eq \r(s\\al(2,乙))＝eq \r(75.25)≈8.67(分)．
(2)由于乙组的方差(标准差)小于甲组的方差(标准差)，因此乙组的成绩较稳定．
从(1)中得到的极差也可得到乙组的成绩比较稳定．
二、方差的性质
知识梳理
方差的性质：如果a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.
例2 设样本数据x1，x2，…，x10的平均数和方差分别为1和4，若yi＝xi＋a(a为非零常数，i＝1,2，…，10)，则y1，y2，…，y10的平均数和方差分别为( )
A．1＋a,4 B．1＋a,4＋a
C．1,4 D．1,4＋a
答案 A
解析 ∵x1，x2，…，x10的平均数eq \x\t(x)＝1，方差seq \\al(2,1)＝4，
且yi＝xi＋a(i＝1,2，…，10)，
∴y1，y2，…，y10的平均数eq \x\t(y)＝eq \f(1,10)×(y1＋y2＋…＋y10)＝eq \f(1,10)×(x1＋x2＋…＋x10＋10a)＝eq \f(1,10)×(x1＋x2＋…＋x10)＋a＝eq \x\t(x)＋a＝1＋a，
其方差seq \\al(2,2)＝eq \f(1,10)×[(y1－eq \x\t(y))2＋(y2－eq \x\t(y))2＋…＋(y10－eq \x\t(y))2]＝eq \f(1,10)[(x1－1)2＋(x2－1)2＋…＋(x10－1)2]＝seq \\al(2,1)＝4.
反思感悟 若样本数据x1，x2，…，xn的平均数为eq \x\t(x)，方差为s2，则yi＝axi＋b，i＝1,2，…，n的平均数为aeq \x\t(x)＋b，方差为a2s2，标准差为|a|s.
跟踪训练2 若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为( )
A．8 B．15 C．16 D．32
答案 C
解析 样本数据x1，x2，…，x10的标准差s＝8，则样本数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差s′＝2×8＝16.
三、数字特征的应用
例3 在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表：
已经计算得到两个组成绩的平均数都是80.请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由．
解 (1)甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组的成绩好一些．
(2)seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,2＋5＋10＋13＋14＋6)×[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172，
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,4＋4＋16＋2＋12＋12)×[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256.
因为seq \\al(2,甲)所以甲组的成绩比乙组的成绩稳定，故甲组好些．
(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分．其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人，从这一角度来看，甲组的成绩总体较好．
(4)从成绩统计表来看，甲组的成绩大于等于90分的有20人，乙组的成绩大于等于90分的有24人，所以乙组成绩集中在高分段的人数比甲组多．同时乙组得满分的比甲组得满分的多6人．从这一角度来看，乙组的成绩较好．
反思感悟 用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似值，实际应用中，需先分析平均水平，再计算标准差(方差)分析稳定情况．
跟踪训练3 为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从甲、乙两种麦苗中各抽10株，测得它们的株高分别为(单位：cm)：
甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42
乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40
(1)哪种小麦的苗长得高？
(2)哪种小麦的苗长得齐？
解 (1)eq \x\t(x)甲＝eq \f(1,10)×(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝eq \f(1,10)×300＝30(cm)．
eq \x\t(x)乙＝eq \f(1,10)×(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝eq \f(1,10)×310＝31(cm)．
显然eq \x\t(x)甲(2)seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,10)×[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝eq \f(1,10)×(25＋121＋100＋49＋64＋256＋121＋81＋81＋144)＝eq \f(1,10)×1 042＝104.2.
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,10)×[(27－31)2＋(16－31)2＋(44－31)2＋(27－31)2＋(44－31)2＋(16－31)2＋(40－31)2＋(40－31)2＋(16－31)2＋(40－31)2]＝eq \f(1,10)×(16＋225＋169＋16＋169＋225＋81＋81＋225＋81)＝eq \f(1,10)×1 288＝128.8.
显然seq \\al(2,甲)1．知识清单：
(1)极差、标准差、方差的计算方法．
(2)方差的性质．
(3)数据的数字特征的应用．
2．方法归纳：数据分析．
3．常见误区：
(1)数据同时增加或减少相同的数，平均数变化，方差不变．
(2)方差、标准差的计算．
(3)在计算方差或标准差时，当数据的重复数据较多时，要先把数据整理为频数表再用公式或性质计算．
1．下列说法中正确的是( )
A．在两组数据中，平均数较大的一组方差较大
B．平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均数的波动大小
C．求出各个数据与平均数的差的平方后再相加，所得的和就是方差
D．众数能反映一组数据的离散程度
答案 B
解析 由平均数、众数、方差的定义及意义可知选B.
2．设甲、乙两名射击运动员，在一次连续10次的射击中，他们所射中环数的平均数一样，但方差不同，正确评价他们的水平是( )
A．因为他们所射中环数的平均数一样，所以他们水平相同
B．虽然射中环数的平均数一样，但方差较大的，潜力较大，更有发展前途
C．虽然射中环数的平均数一样，但方差较小的，发挥较稳定，更有发展前途
D．虽然射中环数的平均数一样，但方差较小的，发挥较不稳定，忽高忽低
答案 C
解析 主要考查了方差的实际意义．
3. 为庆祝中国共产党成立100周年，A，B，C，D四个兴趣小组举行党史知识竞赛，每个小组各派10名同学参赛，记录每名同学失分(均为整数)情况，若该组每名同学失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知A，B，C，D四个小组成员失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是( )
A．A组中位数为2，极差为8
B．B组平均数为2，众数为2
C．C组平均数为1，方差大于0
D．D组平均数为2，方差为3
答案 D
解析 对于A，因为中位数为2，极差为8，故最大值大于7，故A错误；
对于B，如失分数据分别为0,0,0,2,2,2,2,2,2,8，则满足平均数为2，众数为2，但不满足每名同学失分都不超过7分，故B错误；
对于C，如失分数据分别为0,0,0,0,0,0,0,0,1,9，则满足平均数为1，方差大于0，但不满足每名同学失分都不超过7分，故C错误；
对于D，利用反证法，假设有一同学失分超过7分，则方差大于eq \f(1,10)×(8－2)2＝3.6>3，与题设矛盾，故每名同学失分都不超过7分．故D正确．
4．国家射击队要从甲、乙、丙、丁四名队员中选出一名选手去参加射击比赛，四人的平均成绩和方差如下表：
则应派________参赛最为合适．
答案 丙
解析 由表可知，丙的平均成绩较高，且发挥比较稳定，应派丙去参赛最合适．
5．样本中共有5个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均数为1，则样本方差为________．
答案 2
解析 由题意知eq \f(1,5)(a＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a＝－1.
所以样本方差为s2＝eq \f(1,5)[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.
1．(多选)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，可能发生变化的数字特征是( )
A．中位数 B．平均数
C．方差 D．极差
答案 BCD
解析 由于去掉一个最高分与最低分后，评委所评的9个分数从小到大排序后，中间一个数字不会改变，故中位数不变．由于最高分和最低分是极端分数，因此会影响平均数、方差和极差．
2．下列命题中是真命题的是( )
A．A，B，C三种个体按3∶1∶2的比例分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为30
B．一组数据1,3,3,4,5的平均数、众数、中位数相同
C．若甲组数据的方差为5，乙组数据为5,6,9,10,5，则这两组数据中较稳定的是甲
D．一组数6,5,4,3,3,3,2,2,2,1的85%分位数为5
答案 D
解析 对于A项，B，C抽取的个体数分别为3,6，则样本容量为3＋6＋9＝18，故A错误；
对于B项，平均数为eq \f(1＋3＋3＋4＋5,5)＝3.2，中位数为3，众数为3，故B错误；
对于C项，乙的平均数为eq \f(5＋6＋9＋10＋5,5)＝7，方差为s2＝eq \f(1,5)(22＋12＋22＋32＋22)＝eq \f(22,5)<5，则这两组数据中较稳定的是乙，故C错误；
对于D项，将该组数据从小到大排列后为1,2,2,2,3,3,3,4,5,6，由10×85%＝8.5，则该组数据的85%分位数为5，故D正确．
3．某创业公司共有36名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了9位代表，得到的数据分别为36,36,37,37,40,43,43,44,44，若用样本估计总体，年龄在(eq \x\t(x)－s，eq \x\t(x)＋s)内的人数占公司人数的百分比是(其中eq \x\t(x)是平均数，s为标准差，结果精确到1%)( )
A．14% B．25% C．56% D．67%
答案 C
解析 因为eq \x\t(x)＝eq \f(36＋36＋37＋37＋40＋43＋43＋44＋44,9)
＝40，s2＝eq \f(1,9)×(16＋16＋9＋9＋0＋9＋9＋16＋16)＝eq \f(100,9)，即s＝eq \f(10,3).年龄在(eq \x\t(x)－s，eq \x\t(x)＋s)内，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(110,3)，\f(130,3)))内的人数有5人，所以百分比为eq \f(5,9)≈56%.
4．若一组数据a,3,5,7的平均数是b，且a，b是方程x2－5x＋4＝0的两根，则这组数据的方差是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 C
解析 x2－5x＋4＝0的两根是1,4.当a＝1时，a,3,5,7的平均数是4；当a＝4时，a,3,5,7的平均数不是1.所以a＝1，b＝4，则方差为s2＝eq \f(1,4)×[(1－4)2＋(3－4)2＋(5－4)2＋(7－4)2]＝5.
5．有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶7次，每次命中的环数如下：
甲：7 8 10 9 8 8 6
乙：9 10 7 8 7 7 8
则下列判断正确的是( )
A．甲射击的平均成绩比乙好
B．甲射击的成绩的众数小于乙射击的成绩的众数
C．乙射击的平均成绩比甲好
D．甲射击的成绩的极差大于乙射击的成绩的极差
答案 D
解析 甲命中的环数的平均数为
eq \x\t(x)甲＝eq \f(1,7)×(7＋8＋10＋9＋8＋8＋6)＝8，
乙命中的环数的平均数为
eq \x\t(x)乙＝eq \f(1,7)×(9＋10＋7＋8＋7＋7＋8)＝8，
所以甲、乙射击的平均成绩相等，故A，C均错误；甲射击的成绩的众数是8，乙射击的成绩的众数是7，所以甲射击的成绩的众数大于乙射击的成绩的众数，故B错误；甲射击的成绩的极差为10－6＝4，乙射击的成绩的极差为10－7＝3，所以甲射击的成绩的极差大于乙射击的成绩的极差，故D正确．
6．若五个数1,2,3,4，a的平均数是3，则a＝________，这五个数的标准差是________．
答案 5 eq \r(2)
解析 由eq \f(1＋2＋3＋4＋a,5)＝3，得a＝5，
由s2＝eq \f(1,5)×[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]＝2，得标准差s＝eq \r(2).
7．某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分数为70，方差为75，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，则更正后平均分和方差分别是________，________.
答案 70 50
解析 甲少记30分，乙多记30分，则总分不变，由此平均分不发生变化；原方差s2＝eq \f(1,48)(xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＋…＋xeq \\al(2,46)＋502＋1002－48×702)＝75，更正后方差s′2＝eq \f(1,48)(xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＋…＋xeq \\al(2,46)＋802＋702－48×702)＝eq \f(1,48)(xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＋…＋xeq \\al(2,46)＋502＋1002－48×702－1 200)＝s2－eq \f(1,48)×1 200＝50.
8．某校高一年级开设了丰富多彩的校本课程，现从甲、乙两个班随机抽取了5名学生校本课程的学分，统计如下表：
用seq \\al(2,1)，seq \\al(2,2)分别表示甲、乙两班抽取的5名学生学分的方差，则seq \\al(2,1)＝__________，seq \\al(2,2)＝________，并由此可判断成绩更稳定的班级是________班．
答案 22 62 甲
解析 根据表中数据，计算甲班的平均数为
eq \x\t(x)1＝eq \f(1,5)×(8＋11＋14＋15＋22)＝14，
乙班的平均数为eq \x\t(x)2＝eq \f(1,5)×(6＋7＋10＋23＋24)＝14，
甲班的方差为seq \\al(2,1)＝eq \f(1,5)×[(8－14)2＋(11－14)2＋(14－14)2＋(15－14)2＋(22－14)2]＝22，
乙班的方差为seq \\al(2,2)＝eq \f(1,5)×[(6－14)2＋(7－14)2＋(10－14)2＋(23－14)2＋(24－14)2]＝62，
所以seq \\al(2,1)9．为了展示中华汉字的无穷魅力，传递传统文化，提高学习热情，某校开展“中国汉字听写大会”的活动．为响应学校号召，高二9班组建了兴趣班，根据甲、乙两人近期8次成绩所得数据分别为
甲：68,69,71,72,74,78,83,85；
乙：65,70,70,73,75,80,82,85.
(1)求甲、乙两人成绩的平均数和中位数；
(2)现要从甲、乙两人中选派一人参加比赛，从统计学的角度你认为派哪位学生参加比较合适？
解 (1)甲的平均数为eq \x\t(x)＝ (68＋69＋71＋72＋74＋78＋83＋85)÷8＝75，中位数为(72＋74)÷2＝73，
乙的平均数为eq \x\t(y)＝(65＋70＋70＋73＋75＋80＋82＋85)÷8＝75，中位数为(73＋75)÷2＝74.
(2)甲的方差为seq \\al(2,1)＝[(68－75)2＋(69－75)2＋(71－75)2＋ (72－75)2＋(74－75)2＋(78－75)2＋(83－75)2＋(85－75)2]÷8＝35.5，
乙的方差为seq \\al(2,2)＝[(65－75)2＋(70－75)2＋(70－75)2＋(73－75)2＋(75－75)2＋(80－75)2＋(82－75)2＋(85－75)2] ÷8＝41，
∵seq \\al(2,1)∴甲成绩更稳定，派甲参加比较合适．
10．有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶7次，每次命中的环数如下：
甲 6 9 7 8 8 5 6
乙 a 3 9 8 9 6 4
经计算可得甲、乙两名射击运动员的平均成绩是一样的．
(1)求实数a的值；
(2)请通过计算，判断甲、乙两名射击运动员哪一位的成绩更稳定？
解 (1)由题意知，甲的平均成绩为eq \x\t(x)1＝eq \f(1,7)×(6＋9＋7＋8＋8＋5＋6)＝7，
乙的平均成绩为eq \x\t(x)2＝eq \f(1,7)×(a＋3＋9＋8＋9＋6＋4)＝eq \f(1,7)(a＋39)，
又甲、乙两名射击运动员的平均成绩是一样的，所以有eq \f(1,7)(a＋39)＝7，解得a＝10，
故实数a为10.
(2)甲的方差seq \\al(2,1)＝eq \f(1,7)×[(6－7)2＋(9－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝eq \f(12,7)，
乙的方差seq \\al(2,2)＝eq \f(1,7)×[(10－7)2＋(3－7)2＋(9－7)2＋(8－7)2＋(9－7)2＋(6－7)2＋(4－7)2]＝eq \f(44,7)，
由seq \\al(2,1)11．(多选)甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参加学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入下表：
下列结论中，正确的是( )
A．甲、乙两班学生成绩的平均水平相同
B．乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字数≥150个为优秀)
C．甲班的成绩比乙班的成绩波动大
D．甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数
答案 ABC
解析 甲、乙两班成绩的平均数都是135，故两班成绩的平均水平相同，所以A正确；seq \\al(2,甲)＝191>110＝seq \\al(2,乙)，所以甲班成绩不如乙班稳定，即甲班成绩波动较大，所以C正确；甲、乙两班人数相同，但甲班成绩的中位数为149，乙班成绩的中位数为151，从而易知乙班每分钟输入汉字数≥150个的人数要多于甲班，所以B正确；由题表看不出两班学生成绩的众数，D错误．
12．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y,10,11,9，(x，y∈N)，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
答案 A
解析 由这组数据的平均数为10，方差为2可得x＋y＝20，(x－10)2＋(y－10)2＝8，设x＝10＋t，y＝10－t，由(x－10)2＋(y－10)2＝8得t2＝4，所以|x－y|＝2|t|＝4.
13．一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )
A．55.2,3.6 B．55.2,56.4
C．64.8,63.6 D．64.8,3.6
答案 D
解析 设这组数据分别为x1，x2，…，xn，
由其平均数为4.8，方差是3.6，则有
eq \x\t(x)1＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)＝4.8，
方差seq \\al(2,1)＝eq \f(1,n)[(x1－eq \x\t(x))2＋(x2－eq \x\t(x))2＋…＋(xn－eq \x\t(x))2]＝3.6，
若将这组数据中每一个数据都加上60，则数据为x1＋60，x2＋60，…，xn＋60，
则其平均数为eq \x\t(x)2＝eq \f(1,n)[(x1＋60)＋(x2＋60)＋…＋(xn＋60)]＝64.8，
方差为seq \\al(2,2)＝eq \f(1,n)[(x1＋60－64.8)2＋(x2＋60－64.8)2＋…＋(xn＋60－64.8)2]＝3.6.
14．已知某样本的容量为100，平均数为80，方差为95.现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将90记录为70，另一个错将80记录为100.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为eq \x\t(x)，方差为s2，则( )
A.eq \x\t(x)＝80，s2<95 B.eq \x\t(x)＝80，s2>95
C.eq \x\t(x)>80，s2<95 D.eq \x\t(x)<80，s2<95
答案 A
解析 由题意，可得
eq \x\t(x)＝eq \f(80×100＋90－70＋80－100,100)＝80，
设收集的98个准确数据分别记为x1，x2，…，x98，
则95＝eq \f(1,100)[(x1－80)2＋(x2－80)2＋…＋(x98－80)2＋(70－80)2＋(100－80)2]
＝eq \f(1,100)[(x1－80)2＋(x2－80)2＋…＋(x98－80)2＋500]，
s2＝eq \f(1,100)[(x1－80)2＋(x2－80)2＋…＋(x98－80)2＋(90－80)2＋(80－80)2]
＝eq \f(1,100)[(x1－80)2＋(x2－80)2＋…＋(x98－80)2＋100]<95，所以s2<95.
15．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是( )
A．甲地：总体平均数为3，中位数为4
B．乙地：总体平均数为1，总体方差大于0
C．丙地：中位数为2，众数为3
D．丁地：总体平均数为2，总体方差为3
答案 D
解析 根据信息可知，连续10天内，每天的新增疑似病例数不能有超过7的数，选项A中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，在选项C中也有可能；选项B中的总体方差大于0，叙述不明确，也有可能存在大于7的数；选项D中，根据方差公式，如果有大于7的数存在，那么方差大于3，故选D.
16．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：
经计算得eq \x\t(x)＝eq \f(1,16)eq \i\su(i＝1,16,x)i＝9.97，s＝eq \r(\f(1,16)\i\su(i＝1,16, )xi－\x\t(x)2)＝eq \r(\f(1,16)\i\su(i＝1,16,x)\\al(2,i)－16\x\t(x)2)≈0.212，eq \r(\i\su(i＝1,16, )i－8.52)≈18.439，eq \i\su(i＝1,16, )(xi－eq \x\t(x))(i－8.5)＝－2.78，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1,2，…，16.
一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(eq \x\t(x)－3s，eq \x\t(x)＋3s)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
(1)从这一天抽检的结果看，是否需要对当天的生产过程进行检查？
(2)在(eq \x\t(x)－3s，eq \x\t(x)＋3s)之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的平均数与标准差．(精确到0.01)
附：eq \r(0.008)≈0.09.
解 (1)由于eq \x\t(x)＝9.97，s≈0.212，eq \x\t(x)－3s＝9.334，eq \x\t(x)＋3s＝10.606，由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(eq \x\t(x)－3s，eq \x\t(x)＋3s)以外，因此需对当天的生产过程进行检查．
(2)剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为eq \f(1,15)×(16×9.97－9.22)＝10.02，
这条生产线当天生产的零件尺寸的平均数为10.02，
因为方差s2＝eq \f(1,16)(eq \i\su(i＝1,16,x)eq \\al(2,i)－16eq \x\t(x)2)，
所以eq \i\su(i＝1,16,x)eq \\al(2,i)＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134，
剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为
eq \f(1,15)×(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，
这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为eq \r(0.008)≈0.09.分数(分)
50
60
70
80
90
100
人数(人)
甲组
2
5
10
13
14
6
乙组
4
4
16
2
12
12
甲
乙
丙
丁
平均成绩eq \x\t(x)
8.5
8.8
8.8
8
方差s2
3.5
3.5
2.1
8.7
甲
8
11
14
15
22
乙
6
7
10
23
24
班级
参加人数
中位数
方差
平均数
甲
55
149
191
135
乙
55
151
110
135
抽取次序
1
2
3
4
5
6
7
8
零件尺寸
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
抽取次序
9
10
11
12
13
14
15
16
零件尺寸
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
导语
平均数、中位数和众数为我们提供了一组数据的集中趋势的信息，这是概括一组数据的特征的有效方法．但仅知道集中趋势的信息，很多时候还不能使我们做出有效决策．
这节课我们共同来研究总体离散趋势的有关知识．
一、极值、方差与标准差的计算
有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
如果你是教练，你应当如何对这次射击作出评价？
问题1 甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环？
提示 经计算得：eq \x\t(x)甲＝eq \f(1,10)×(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7，同理可得eq \x\t(x)乙＝7.
问题2 观察下图中两人成绩的频率分布条形图，你能说明其水平差异在哪里吗？
提示 直观上看，还是有差异的．如：甲成绩比较分散，乙成绩相对集中．
问题3 对于甲、乙两人的射击成绩除了画出频率分布条形图比较外，还有没有其他方法来说明两组数据的分散程度？
提示 还经常用甲、乙命中环数的极差与平均数一起比较说明数据的分散程度．甲的环数极差＝10－4＝6，乙的环数极差＝9－5＝4.它们在一定程度上表明了样本数据的分散程度，与平均数一起，可以给我们许多关于样本数据的信息．显然，极差对极端值非常敏感，注意到这一点，我们可以得到一种“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的统计策略．
知识梳理
1．极差
一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差．
2．方差
如果x1，x2，…，xn的平均数为eq \x\t(x)，则方差可用求和符号表示为s2＝eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n, )(xi－eq \x\t(x))2.
3．标准差
方差的算术平方根称为标准差．标准差描述了数据相对于平均数的离散程度，一般用s表示．
s＝eq \r(\f(1,n)[x1－\x\t(x)2＋x2－\x\t(x)2＋…＋xn－\x\t(x)2]).
注意点：
(1)数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述，极差反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值极为敏感，一般情况下，极差大，则数据波动性大；极差小，则数据波动性小．极差只需考虑两个极端值，便于计算，但没有考虑中间的数据，可靠性较差．
(2)标准差和方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小，方差、标准差的运算量较大．因为方差与原始数据单位不同，且平方后可能夸大了偏差程度，所以虽然标准差与方差在体现数据离散程度上是一样的，但解决问题时一般用标准差．
例1 甲、乙两机床同时加工直径为100 mm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为
甲：99 100 98 100 100 103
乙：99 100 102 99 100 100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．
解 (1)eq \x\t(x)甲＝eq \f(1,6)×(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，
eq \x\t(x)乙＝eq \f(1,6)×(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.
seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,6)×[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝eq \f(7,3)，
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,6)×[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.
(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，
又seq \\al(2,甲)>seq \\al(2,乙)，
所以乙机床加工零件的质量更稳定．
延伸探究
在本例中，若甲机床加工的6个零件的数据全都加10，那么所得新数据的平均数及方差分别是多少？
解 新数据为99＋10,100＋10,98＋10,100＋10,100＋10,103＋10，平均数为100＋10＝110，
方差为eq \f(1,6)×[(109－110)2＋(110－110)2＋(108－110)2＋(110－110)2＋(110－110)2＋(113－110)2]＝eq \f(7,3).
反思感悟 在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度．在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，稳定性越好．
跟踪训练1 某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成绩如下(单位：分)：
甲组：60,90,85,75,65,70,80,90,95,80；
乙组：85,95,75,70,85,80,85,65,90,85.
(1)试分别计算两组数据的极差、方差和标准差；
(2)哪一组的成绩较稳定？
解 (1)甲组：最高分为95分，最低分为60分，极差为95－60＝35(分)，
平均分为eq \x\t(x)甲＝eq \f(1,10)×(60＋90＋85＋75＋65＋70＋80＋90＋95＋80)＝79(分)，
方差为seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,10)×[(60－79)2＋(90－79)2＋(85－79)2＋(75－79)2＋(65－79)2＋(70－79)2＋(80－79)2＋(90－79)2＋(95－79)2＋(80－79)2]＝119，
标准差为s甲＝eq \r(s\\al(2,甲))＝eq \r(119)≈10.91(分)．
乙组：最高分为95分，最低分为65分，极差为95－65＝30(分)，
平均分为eq \x\t(x)乙＝eq \f(1,10)×(85＋95＋75＋70＋85＋80＋85＋65＋90＋85)＝81.5(分)，
方差为seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,10)×[(85－81.5)2＋(95－81.5)2＋(75－81.5)2＋(70－81.5)2＋(85－81.5)2＋(80－81.5)2＋(85－81.5)2＋(65－81.5)2＋(90－81.5)2＋(85－81.5)2]＝75.25，
标准差为s乙＝eq \r(s\\al(2,乙))＝eq \r(75.25)≈8.67(分)．
(2)由于乙组的方差(标准差)小于甲组的方差(标准差)，因此乙组的成绩较稳定．
从(1)中得到的极差也可得到乙组的成绩比较稳定．
二、方差的性质
知识梳理
方差的性质：如果a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.
例2 设样本数据x1，x2，…，x10的平均数和方差分别为1和4，若yi＝xi＋a(a为非零常数，i＝1,2，…，10)，则y1，y2，…，y10的平均数和方差分别为( )
A．1＋a,4 B．1＋a,4＋a
C．1,4 D．1,4＋a
答案 A
解析 ∵x1，x2，…，x10的平均数eq \x\t(x)＝1，方差seq \\al(2,1)＝4，
且yi＝xi＋a(i＝1,2，…，10)，
∴y1，y2，…，y10的平均数eq \x\t(y)＝eq \f(1,10)×(y1＋y2＋…＋y10)＝eq \f(1,10)×(x1＋x2＋…＋x10＋10a)＝eq \f(1,10)×(x1＋x2＋…＋x10)＋a＝eq \x\t(x)＋a＝1＋a，
其方差seq \\al(2,2)＝eq \f(1,10)×[(y1－eq \x\t(y))2＋(y2－eq \x\t(y))2＋…＋(y10－eq \x\t(y))2]＝eq \f(1,10)[(x1－1)2＋(x2－1)2＋…＋(x10－1)2]＝seq \\al(2,1)＝4.
反思感悟 若样本数据x1，x2，…，xn的平均数为eq \x\t(x)，方差为s2，则yi＝axi＋b，i＝1,2，…，n的平均数为aeq \x\t(x)＋b，方差为a2s2，标准差为|a|s.
跟踪训练2 若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为( )
A．8 B．15 C．16 D．32
答案 C
解析 样本数据x1，x2，…，x10的标准差s＝8，则样本数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差s′＝2×8＝16.
三、数字特征的应用
例3 在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表：
已经计算得到两个组成绩的平均数都是80.请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由．
解 (1)甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组的成绩好一些．
(2)seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,2＋5＋10＋13＋14＋6)×[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172，
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,4＋4＋16＋2＋12＋12)×[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256.
因为seq \\al(2,甲)
(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分．其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人，从这一角度来看，甲组的成绩总体较好．
(4)从成绩统计表来看，甲组的成绩大于等于90分的有20人，乙组的成绩大于等于90分的有24人，所以乙组成绩集中在高分段的人数比甲组多．同时乙组得满分的比甲组得满分的多6人．从这一角度来看，乙组的成绩较好．
反思感悟 用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似值，实际应用中，需先分析平均水平，再计算标准差(方差)分析稳定情况．
跟踪训练3 为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从甲、乙两种麦苗中各抽10株，测得它们的株高分别为(单位：cm)：
甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42
乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40
(1)哪种小麦的苗长得高？
(2)哪种小麦的苗长得齐？
解 (1)eq \x\t(x)甲＝eq \f(1,10)×(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝eq \f(1,10)×300＝30(cm)．
eq \x\t(x)乙＝eq \f(1,10)×(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝eq \f(1,10)×310＝31(cm)．
显然eq \x\t(x)甲
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,10)×[(27－31)2＋(16－31)2＋(44－31)2＋(27－31)2＋(44－31)2＋(16－31)2＋(40－31)2＋(40－31)2＋(16－31)2＋(40－31)2]＝eq \f(1,10)×(16＋225＋169＋16＋169＋225＋81＋81＋225＋81)＝eq \f(1,10)×1 288＝128.8.
显然seq \\al(2,甲)
(1)极差、标准差、方差的计算方法．
(2)方差的性质．
(3)数据的数字特征的应用．
2．方法归纳：数据分析．
3．常见误区：
(1)数据同时增加或减少相同的数，平均数变化，方差不变．
(2)方差、标准差的计算．
(3)在计算方差或标准差时，当数据的重复数据较多时，要先把数据整理为频数表再用公式或性质计算．
1．下列说法中正确的是( )
A．在两组数据中，平均数较大的一组方差较大
B．平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均数的波动大小
C．求出各个数据与平均数的差的平方后再相加，所得的和就是方差
D．众数能反映一组数据的离散程度
答案 B
解析 由平均数、众数、方差的定义及意义可知选B.
2．设甲、乙两名射击运动员，在一次连续10次的射击中，他们所射中环数的平均数一样，但方差不同，正确评价他们的水平是( )
A．因为他们所射中环数的平均数一样，所以他们水平相同
B．虽然射中环数的平均数一样，但方差较大的，潜力较大，更有发展前途
C．虽然射中环数的平均数一样，但方差较小的，发挥较稳定，更有发展前途
D．虽然射中环数的平均数一样，但方差较小的，发挥较不稳定，忽高忽低
答案 C
解析 主要考查了方差的实际意义．
3. 为庆祝中国共产党成立100周年，A，B，C，D四个兴趣小组举行党史知识竞赛，每个小组各派10名同学参赛，记录每名同学失分(均为整数)情况，若该组每名同学失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知A，B，C，D四个小组成员失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是( )
A．A组中位数为2，极差为8
B．B组平均数为2，众数为2
C．C组平均数为1，方差大于0
D．D组平均数为2，方差为3
答案 D
解析 对于A，因为中位数为2，极差为8，故最大值大于7，故A错误；
对于B，如失分数据分别为0,0,0,2,2,2,2,2,2,8，则满足平均数为2，众数为2，但不满足每名同学失分都不超过7分，故B错误；
对于C，如失分数据分别为0,0,0,0,0,0,0,0,1,9，则满足平均数为1，方差大于0，但不满足每名同学失分都不超过7分，故C错误；
对于D，利用反证法，假设有一同学失分超过7分，则方差大于eq \f(1,10)×(8－2)2＝3.6>3，与题设矛盾，故每名同学失分都不超过7分．故D正确．
4．国家射击队要从甲、乙、丙、丁四名队员中选出一名选手去参加射击比赛，四人的平均成绩和方差如下表：
则应派________参赛最为合适．
答案 丙
解析 由表可知，丙的平均成绩较高，且发挥比较稳定，应派丙去参赛最合适．
5．样本中共有5个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均数为1，则样本方差为________．
答案 2
解析 由题意知eq \f(1,5)(a＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a＝－1.
所以样本方差为s2＝eq \f(1,5)[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.
1．(多选)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，可能发生变化的数字特征是( )
A．中位数 B．平均数
C．方差 D．极差
答案 BCD
解析 由于去掉一个最高分与最低分后，评委所评的9个分数从小到大排序后，中间一个数字不会改变，故中位数不变．由于最高分和最低分是极端分数，因此会影响平均数、方差和极差．
2．下列命题中是真命题的是( )
A．A，B，C三种个体按3∶1∶2的比例分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为30
B．一组数据1,3,3,4,5的平均数、众数、中位数相同
C．若甲组数据的方差为5，乙组数据为5,6,9,10,5，则这两组数据中较稳定的是甲
D．一组数6,5,4,3,3,3,2,2,2,1的85%分位数为5
答案 D
解析 对于A项，B，C抽取的个体数分别为3,6，则样本容量为3＋6＋9＝18，故A错误；
对于B项，平均数为eq \f(1＋3＋3＋4＋5,5)＝3.2，中位数为3，众数为3，故B错误；
对于C项，乙的平均数为eq \f(5＋6＋9＋10＋5,5)＝7，方差为s2＝eq \f(1,5)(22＋12＋22＋32＋22)＝eq \f(22,5)<5，则这两组数据中较稳定的是乙，故C错误；
对于D项，将该组数据从小到大排列后为1,2,2,2,3,3,3,4,5,6，由10×85%＝8.5，则该组数据的85%分位数为5，故D正确．
3．某创业公司共有36名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了9位代表，得到的数据分别为36,36,37,37,40,43,43,44,44，若用样本估计总体，年龄在(eq \x\t(x)－s，eq \x\t(x)＋s)内的人数占公司人数的百分比是(其中eq \x\t(x)是平均数，s为标准差，结果精确到1%)( )
A．14% B．25% C．56% D．67%
答案 C
解析 因为eq \x\t(x)＝eq \f(36＋36＋37＋37＋40＋43＋43＋44＋44,9)
＝40，s2＝eq \f(1,9)×(16＋16＋9＋9＋0＋9＋9＋16＋16)＝eq \f(100,9)，即s＝eq \f(10,3).年龄在(eq \x\t(x)－s，eq \x\t(x)＋s)内，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(110,3)，\f(130,3)))内的人数有5人，所以百分比为eq \f(5,9)≈56%.
4．若一组数据a,3,5,7的平均数是b，且a，b是方程x2－5x＋4＝0的两根，则这组数据的方差是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 C
解析 x2－5x＋4＝0的两根是1,4.当a＝1时，a,3,5,7的平均数是4；当a＝4时，a,3,5,7的平均数不是1.所以a＝1，b＝4，则方差为s2＝eq \f(1,4)×[(1－4)2＋(3－4)2＋(5－4)2＋(7－4)2]＝5.
5．有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶7次，每次命中的环数如下：
甲：7 8 10 9 8 8 6
乙：9 10 7 8 7 7 8
则下列判断正确的是( )
A．甲射击的平均成绩比乙好
B．甲射击的成绩的众数小于乙射击的成绩的众数
C．乙射击的平均成绩比甲好
D．甲射击的成绩的极差大于乙射击的成绩的极差
答案 D
解析 甲命中的环数的平均数为
eq \x\t(x)甲＝eq \f(1,7)×(7＋8＋10＋9＋8＋8＋6)＝8，
乙命中的环数的平均数为
eq \x\t(x)乙＝eq \f(1,7)×(9＋10＋7＋8＋7＋7＋8)＝8，
所以甲、乙射击的平均成绩相等，故A，C均错误；甲射击的成绩的众数是8，乙射击的成绩的众数是7，所以甲射击的成绩的众数大于乙射击的成绩的众数，故B错误；甲射击的成绩的极差为10－6＝4，乙射击的成绩的极差为10－7＝3，所以甲射击的成绩的极差大于乙射击的成绩的极差，故D正确．
6．若五个数1,2,3,4，a的平均数是3，则a＝________，这五个数的标准差是________．
答案 5 eq \r(2)
解析 由eq \f(1＋2＋3＋4＋a,5)＝3，得a＝5，
由s2＝eq \f(1,5)×[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]＝2，得标准差s＝eq \r(2).
7．某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分数为70，方差为75，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，则更正后平均分和方差分别是________，________.
答案 70 50
解析 甲少记30分，乙多记30分，则总分不变，由此平均分不发生变化；原方差s2＝eq \f(1,48)(xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＋…＋xeq \\al(2,46)＋502＋1002－48×702)＝75，更正后方差s′2＝eq \f(1,48)(xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＋…＋xeq \\al(2,46)＋802＋702－48×702)＝eq \f(1,48)(xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＋…＋xeq \\al(2,46)＋502＋1002－48×702－1 200)＝s2－eq \f(1,48)×1 200＝50.
8．某校高一年级开设了丰富多彩的校本课程，现从甲、乙两个班随机抽取了5名学生校本课程的学分，统计如下表：
用seq \\al(2,1)，seq \\al(2,2)分别表示甲、乙两班抽取的5名学生学分的方差，则seq \\al(2,1)＝__________，seq \\al(2,2)＝________，并由此可判断成绩更稳定的班级是________班．
答案 22 62 甲
解析 根据表中数据，计算甲班的平均数为
eq \x\t(x)1＝eq \f(1,5)×(8＋11＋14＋15＋22)＝14，
乙班的平均数为eq \x\t(x)2＝eq \f(1,5)×(6＋7＋10＋23＋24)＝14，
甲班的方差为seq \\al(2,1)＝eq \f(1,5)×[(8－14)2＋(11－14)2＋(14－14)2＋(15－14)2＋(22－14)2]＝22，
乙班的方差为seq \\al(2,2)＝eq \f(1,5)×[(6－14)2＋(7－14)2＋(10－14)2＋(23－14)2＋(24－14)2]＝62，
所以seq \\al(2,1)
甲：68,69,71,72,74,78,83,85；
乙：65,70,70,73,75,80,82,85.
(1)求甲、乙两人成绩的平均数和中位数；
(2)现要从甲、乙两人中选派一人参加比赛，从统计学的角度你认为派哪位学生参加比较合适？
解 (1)甲的平均数为eq \x\t(x)＝ (68＋69＋71＋72＋74＋78＋83＋85)÷8＝75，中位数为(72＋74)÷2＝73，
乙的平均数为eq \x\t(y)＝(65＋70＋70＋73＋75＋80＋82＋85)÷8＝75，中位数为(73＋75)÷2＝74.
(2)甲的方差为seq \\al(2,1)＝[(68－75)2＋(69－75)2＋(71－75)2＋ (72－75)2＋(74－75)2＋(78－75)2＋(83－75)2＋(85－75)2]÷8＝35.5，
乙的方差为seq \\al(2,2)＝[(65－75)2＋(70－75)2＋(70－75)2＋(73－75)2＋(75－75)2＋(80－75)2＋(82－75)2＋(85－75)2] ÷8＝41，
∵seq \\al(2,1)
10．有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶7次，每次命中的环数如下：
甲 6 9 7 8 8 5 6
乙 a 3 9 8 9 6 4
经计算可得甲、乙两名射击运动员的平均成绩是一样的．
(1)求实数a的值；
(2)请通过计算，判断甲、乙两名射击运动员哪一位的成绩更稳定？
解 (1)由题意知，甲的平均成绩为eq \x\t(x)1＝eq \f(1,7)×(6＋9＋7＋8＋8＋5＋6)＝7，
乙的平均成绩为eq \x\t(x)2＝eq \f(1,7)×(a＋3＋9＋8＋9＋6＋4)＝eq \f(1,7)(a＋39)，
又甲、乙两名射击运动员的平均成绩是一样的，所以有eq \f(1,7)(a＋39)＝7，解得a＝10，
故实数a为10.
(2)甲的方差seq \\al(2,1)＝eq \f(1,7)×[(6－7)2＋(9－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝eq \f(12,7)，
乙的方差seq \\al(2,2)＝eq \f(1,7)×[(10－7)2＋(3－7)2＋(9－7)2＋(8－7)2＋(9－7)2＋(6－7)2＋(4－7)2]＝eq \f(44,7)，
由seq \\al(2,1)
下列结论中，正确的是( )
A．甲、乙两班学生成绩的平均水平相同
B．乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字数≥150个为优秀)
C．甲班的成绩比乙班的成绩波动大
D．甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数
答案 ABC
解析 甲、乙两班成绩的平均数都是135，故两班成绩的平均水平相同，所以A正确；seq \\al(2,甲)＝191>110＝seq \\al(2,乙)，所以甲班成绩不如乙班稳定，即甲班成绩波动较大，所以C正确；甲、乙两班人数相同，但甲班成绩的中位数为149，乙班成绩的中位数为151，从而易知乙班每分钟输入汉字数≥150个的人数要多于甲班，所以B正确；由题表看不出两班学生成绩的众数，D错误．
12．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y,10,11,9，(x，y∈N)，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
答案 A
解析 由这组数据的平均数为10，方差为2可得x＋y＝20，(x－10)2＋(y－10)2＝8，设x＝10＋t，y＝10－t，由(x－10)2＋(y－10)2＝8得t2＝4，所以|x－y|＝2|t|＝4.
13．一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )
A．55.2,3.6 B．55.2,56.4
C．64.8,63.6 D．64.8,3.6
答案 D
解析 设这组数据分别为x1，x2，…，xn，
由其平均数为4.8，方差是3.6，则有
eq \x\t(x)1＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)＝4.8，
方差seq \\al(2,1)＝eq \f(1,n)[(x1－eq \x\t(x))2＋(x2－eq \x\t(x))2＋…＋(xn－eq \x\t(x))2]＝3.6，
若将这组数据中每一个数据都加上60，则数据为x1＋60，x2＋60，…，xn＋60，
则其平均数为eq \x\t(x)2＝eq \f(1,n)[(x1＋60)＋(x2＋60)＋…＋(xn＋60)]＝64.8，
方差为seq \\al(2,2)＝eq \f(1,n)[(x1＋60－64.8)2＋(x2＋60－64.8)2＋…＋(xn＋60－64.8)2]＝3.6.
14．已知某样本的容量为100，平均数为80，方差为95.现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将90记录为70，另一个错将80记录为100.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为eq \x\t(x)，方差为s2，则( )
A.eq \x\t(x)＝80，s2<95 B.eq \x\t(x)＝80，s2>95
C.eq \x\t(x)>80，s2<95 D.eq \x\t(x)<80，s2<95
答案 A
解析 由题意，可得
eq \x\t(x)＝eq \f(80×100＋90－70＋80－100,100)＝80，
设收集的98个准确数据分别记为x1，x2，…，x98，
则95＝eq \f(1,100)[(x1－80)2＋(x2－80)2＋…＋(x98－80)2＋(70－80)2＋(100－80)2]
＝eq \f(1,100)[(x1－80)2＋(x2－80)2＋…＋(x98－80)2＋500]，
s2＝eq \f(1,100)[(x1－80)2＋(x2－80)2＋…＋(x98－80)2＋(90－80)2＋(80－80)2]
＝eq \f(1,100)[(x1－80)2＋(x2－80)2＋…＋(x98－80)2＋100]<95，所以s2<95.
15．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是( )
A．甲地：总体平均数为3，中位数为4
B．乙地：总体平均数为1，总体方差大于0
C．丙地：中位数为2，众数为3
D．丁地：总体平均数为2，总体方差为3
答案 D
解析 根据信息可知，连续10天内，每天的新增疑似病例数不能有超过7的数，选项A中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，在选项C中也有可能；选项B中的总体方差大于0，叙述不明确，也有可能存在大于7的数；选项D中，根据方差公式，如果有大于7的数存在，那么方差大于3，故选D.
16．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：
经计算得eq \x\t(x)＝eq \f(1,16)eq \i\su(i＝1,16,x)i＝9.97，s＝eq \r(\f(1,16)\i\su(i＝1,16, )xi－\x\t(x)2)＝eq \r(\f(1,16)\i\su(i＝1,16,x)\\al(2,i)－16\x\t(x)2)≈0.212，eq \r(\i\su(i＝1,16, )i－8.52)≈18.439，eq \i\su(i＝1,16, )(xi－eq \x\t(x))(i－8.5)＝－2.78，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1,2，…，16.
一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(eq \x\t(x)－3s，eq \x\t(x)＋3s)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
(1)从这一天抽检的结果看，是否需要对当天的生产过程进行检查？
(2)在(eq \x\t(x)－3s，eq \x\t(x)＋3s)之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的平均数与标准差．(精确到0.01)
附：eq \r(0.008)≈0.09.
解 (1)由于eq \x\t(x)＝9.97，s≈0.212，eq \x\t(x)－3s＝9.334，eq \x\t(x)＋3s＝10.606，由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(eq \x\t(x)－3s，eq \x\t(x)＋3s)以外，因此需对当天的生产过程进行检查．
(2)剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为eq \f(1,15)×(16×9.97－9.22)＝10.02，
这条生产线当天生产的零件尺寸的平均数为10.02，
因为方差s2＝eq \f(1,16)(eq \i\su(i＝1,16,x)eq \\al(2,i)－16eq \x\t(x)2)，
所以eq \i\su(i＝1,16,x)eq \\al(2,i)＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134，
剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为
eq \f(1,15)×(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，
这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为eq \r(0.008)≈0.09.分数(分)
50
60
70
80
90
100
人数(人)
甲组
2
5
10
13
14
6
乙组
4
4
16
2
12
12
甲
乙
丙
丁
平均成绩eq \x\t(x)
8.5
8.8
8.8
8
方差s2
3.5
3.5
2.1
8.7
甲
8
11
14
15
22
乙
6
7
10
23
24
班级
参加人数
中位数
方差
平均数
甲
55
149
191
135
乙
55
151
110
135
抽取次序
1
2
3
4
5
6
7
8
零件尺寸
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
抽取次序
9
10
11
12
13
14
15
16
零件尺寸
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
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