高中5.1.2 数据的数字特征第1课时学案设计

这是一份高中5.1.2 数据的数字特征第1课时学案设计，共14页。学案主要包含了最值与平均数，中位数与众数，百分位数等内容，欢迎下载使用。
学习目标 1.理解数据的最值、平均数、中位数、百分位数、众数的意义和作用.2.会计算数据的这些数字特征，并能解决有关实际问题．
导语
某酒店打出的招聘宣传语是“本酒店待遇丰厚，平均工资是每周800元”，小强应聘上后工作了一段时间，发现上当了，前去质问经理：“您宣传工资一周是800元是欺诈行为，我问过其他员工了，没有一个人每周的工资超过800元．”而经理说：“我当时说的是平均周工资800元，我的周工资是3000元，3名副经理的周工资都是1000元，5名领班的周工资是700元，10名服务员的周工资是600元，1名清洁工的周工资是500元．”小强一听，哭笑不得．你能从数学的角度解释这种现象吗？
一、最值与平均数
问题1 若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分分别为89,91,90,92,87,93,96,94，则平均数是多少？最高分是多少？最低分是多少？
提示 eq \x\t(x)＝eq \f(87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96,8)＝91.5；最高分是96；最低分是87.
知识梳理
1．一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况．一般地，最大值用max表示，最小值用min表示．
2．平均数
(1)如果给定的一组数是x1，x2，…，xn，则这组数的平均数为eq \x\t(x)＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)，简记为eq \x\t(x)＝eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n,x)i.
(2)求和符号∑具有以下性质：
①eq \i\su(i＝1,n, )(xi＋yi)＝eq \i\su(i＝1,n,x)i＋eq \i\su(i＝1,n,y)i；②eq \i\su(i＝1,n, )(kxi)＝keq \i\su(i＝1,n,x)i；③eq \i\su(i＝1,n,t)＝nt.
(3)性质：一般地，如果x1，x2，…，xn的平均数为eq \x\t(x)，且a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为aeq \x\t(x)＋b.
注意点：
(1)求平均数时要注意数据的个数，不要重计或漏计．
(2)数据同时增加或减少相同的数，平均数变化．
例1 (1)确定数据：68,69,71,63,70,68,69,71,69,72的最值．
解 把所给数据从小到大排列为63,68,68,69,69,69,70,71,71,72，
则最大值为72，最小值为63.
(2)某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各1人，则该小组数学成绩的平均数为( )
A．85 B．86 C．87 D．88
答案 C
解析 平均数为eq \f(100＋95＋90×2＋85×4＋80＋75,10)
＝87.
反思感悟 求平均数的方法
(1)用定义式；
(2)用平均数的性质；
(3)在容量为n的一组数据中，若数据x1有n1个，x2有n2个，…，xk有nk个，且n＝n1＋n2＋…＋nk，则这组数据的平均数为eq \f(1,n)(n1x1＋n2x2＋…＋nkxk)＝eq \f(n1,n)x1＋eq \f(n2,n)x2＋…＋eq \f(nk,n)xk.
跟踪训练1 (1)数据18.9,19.5,19.5,19.2,19,18.8,19.5的平均数为________．
(2)已知样本数据x1，x2，…，x10，其中x1，x2，x3的平均数为a；x4，x5，…，x10的平均数为b，则样本数据的平均数为( )
A.eq \f(3a＋7b,10) B.eq \f(a＋b,2)
C.eq \f(7a＋3b,10) D.eq \f(a＋b,10)
答案 (1)19.2 (2)A
解析 (1)方法一 这组数据的平均数为eq \f(1,7)×(18.9＋3×19.5＋19.2＋19＋18.8)＝19.2.
方法二 将每一个数乘以10，再减去190，
可得－1,5,5,2,0，－2,5.
这组新数的平均数为eq \f(1,7)×(－1＋5＋5＋2＋0－2＋5)＝2.
故所求平均数为19.2.
(2)∵x1，x2，x3的平均数为a，∴x1，x2，x3的和为3a.
∵x4，x5，…，x10的平均数为b，∴x4，x5，…，x10的和为7b.
∴样本数据的和为3a＋7b，
∴样本数据的平均数为eq \f(3a＋7b,10).
二、中位数与众数
问题2 若某校高二年级7个班参加合唱比赛的得分分别为89,91,90,92,87,92,96，你能把数据从小到大排列吗？正中间的数据是多少？出现次数最多的数据是多少？
提示 87,89,90,91,92,92,96; 91；92.
知识梳理
1．中位数
如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n＋1，则称xn＋1为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n，则称eq \f(xn＋xn＋1,2)为这组数的中位数．
2．众数
一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数最多的数据称为这组数据的众数，一组数据的众数可以是一个，也可以是多个．
注意点：
(1)求中位数时一定要先对数据按大小排序，若最中间有两个数据，则中位数是这两个数据的平均数. 中位数不一定是数据中的数．
(2)若有两个或两个以上的数据出现得最多，且出现的次数都一样，则这些数据都叫众数；若一组数据中每个数据出现的次数都一样多，则没有众数．
例2 (1)十名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有( )
A．a>b>c B．c>b>a
C．c>a>b D．b>c>a
答案 B
解析 从小到大排列此数据为10,12,14,14,15,15,16,17,17,17.
平均数为eq \f(1,10)×(10＋12＋14×2＋15×2＋16＋17×3)＝14.7；
数据17出现了三次，17为众数；
在第5位、第6位均是15，故15为中位数．
所以a＝14.7，b＝15，c＝17，则c>b>a.
(2)在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：
分别求出这些运动员成绩的众数、中位数与平均数．
解 在这17个数据中，1.75 m出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75 m．表中的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70 m是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70 m．这组数据的平均数是eq \x\t(x)＝eq \f(1,17)×(1.50×2＋1.60×3＋1.65×2＋1.70×3＋1.75×4＋1.80×1＋1.85×1＋1.90×1)＝eq \f(28.75,17)≈1.69(m)．
故17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75 m，1.70 m,1.69 m.
反思感悟 (1)平均数、众数、中位数的计算方法
平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算．
(2)众数、中位数、平均数的意义
①样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息，平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大．
②当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势．
跟踪训练2 (1)某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下(单位：岁)：
甲群 13,13,14,15,15,15,15,16,17,17；
乙群 54,3,4,4,5,5,6,6,6,57.
①甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？
②乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？
解 ①甲群市民年龄的平均数为
eq \f(13＋13＋14＋15＋15＋15＋15＋16＋17＋17,10)＝15(岁)，
中位数为15岁，众数为15岁．平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征．
②乙群市民年龄的平均数为
eq \f(54＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6＋6＋57,10)＝15(岁)，
中位数为5.5岁，众数为6岁．
由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差．
(2)某公司为了了解一年内的用水情况，抽取了10天的用水量如表所示：
①在这10天中，该公司用水量的平均数是多少？每天用水量的中位数是多少？
②你认为应该用平均数和中位数中的哪一个来描述该公司每天的用水量？
解 ①在这10天中，该公司用水量的平均数是eq \x\t(x)＝eq \f(1,10)×(22＋38＋40＋2×41＋2×44＋50＋2×95)＝51(t)．
每天用水量的中位数是eq \f(41＋44,2)＝42.5(t)．
②平均数受数据中的极端值(2个95)影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低，10天的用水量有8天都在平均值以下，故用中位数描述每天的用水量更合适．
三、百分位数
问题3 某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分分别为89,91,90,92,87,93,96,94，你能把数据从小到大排列吗？这组数据个数的25%是多少？
提示 87,89,90,91,92,93,94,96；8×25%＝2.
知识梳理
1．百分位数
一组数的p%分位数指的是，将这组数按照从小到大的顺序排列后，处于p%位置的数．
2．如何确定p%分位数
设一组数按照从小到大排列后为x1，x2，…，xn，计算i＝np%的值，如果i不是整数，设i0为大于i的最小整数，取为p%分位数；如果i是整数，取eq \f(xi＋xi＋1,2)为p%分位数．
3．规定：0分位数是x1(即最小值)，100%分位数是xn(即最大值)．
4．一般地，一组数的p%(p∈(0,100))分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据不大于该值，且至少有(100－p)%的数据不小于该值．
注意点：
(1)中位数相当于是第50百分位数．除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数，第75百分位数．第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等．
(2)百分位数可能不唯一，也可能不一定是数据中的数．
例3 (1)下列表述不正确的是( )
A．50%分位数就是总体的中位数
B．第p百分位数可以有单位
C．一个总体的四分位数有4个
D．样本容量越大，第p百分位数估计总体就越准确
答案 C
解析 一个总体的25%分位数，50%分位数，75%分位数是总体的四分位数，有3个，所以C错误．
(2)确定数据：1,2,2,2,2,3,3,3,5,5,6,6,8,8,9,10,10,12,13,13的中位数，78%分位数．
解 因为所给数据已从小到大排列，共为20个，
而且i1＝20×50%＝10为整数，
i2＝20×78%＝15.6不为整数，
所以这组数据的中位数为eq \f(x10＋x11,2)＝eq \f(5＋6,2)＝5.5，78%分位数为x16＝10.
反思感悟 (1)分位数是用于衡量数据的位置的度量，但它所衡量的不一定是中心位置．百分位数提供了有关数据项如何在最小值与最大值之间分布的信息．
(2)中位数、百分位数都不一定是数据中的数．
跟踪训练3 (1)确定数据0,0,0,0,1,1,2,3,4,5,6,6,7,7,10,14,14,14,14,15的28%分位数和75%分位数．
解 因为数据已从小到大排列，共有20个，
而且i1＝20×28%＝5.6不是整数，
i2＝20×75%＝15是整数，
因此，此数据的28%分位数为x6＝1，
75%分位数为eq \f(x15＋x16,2)＝eq \f(10＋14,2)＝12.
(2)从某公司生产的产品中，任意抽取12件，得到它们的质量(单位：kg)如下：
7.9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0，
分别求出这组数据的25%,75%,95%分位数．
解 将所有数据从小到大排列，得
7.8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9，
因为共有12个数据，
所以12×25%＝3,12×75%＝9,12×95%＝11.4，
则25%分位数是eq \f(8.0＋8.3,2)＝8.15，
75%分位数是eq \f(8.6＋8.9,2)＝8.75，
95%分位数是第12个数据为9.9.
1．知识清单：
(1)数据的最值、平均数、中位数、百分位数、众数．
(2)数据的数字特征的计算方法．
(3)数据的数字特征的应用．
2．方法归纳：数据分析．
3．常见误区：利用平均数、中位数、百分位数、众数对数据的分析不准确．
1．2022年某高一学生下学期政治考试成绩为
79 79 84 84 86 84 87 90 90 97
则该生政治考试成绩的平均数和众数依次为( )
A．85 84 B．84 85 C．86 84 D．84 86
答案 C
解析 由题意可知，平均数
eq \x\t(x)＝eq \f(79＋79＋84＋84＋86＋84＋87＋90＋90＋97,10)＝86，
众数为84.
2．某地铁运行过程中，10个车站上车的人数统计如下：70,60,60,50,60,40,40,30,30,10，则这组数据的众数与中位数之和为( )
A．120 B．105 C．110 D．100
答案 B
解析 这组数据的众数是60.将数据从大到小排成一列为70,60,60,60,50,40,40,30,30,10，则中位数为eq \f(50＋40,2)＝45，所以众数和中位数之和为60＋45＝105.
3．计算eq \i\su(i＝1,3, )(2i＋1)等于( )
A．6 B．9 C．10 D．15
答案 D
解析 eq \i\su(i＝1,3, )(2i＋1)＝(2×1＋1)＋(2×2＋1)＋(2×3＋1)＝3＋5＋7＝15.
4．某歌手电视大奖赛中，七位评委对某选手打出如下分数：7.9,8.1,8.4,8.5,8.5,8.7,9.9，则其50%分位数为________．
答案 8.5
解析 ∵7×50%＝3.5，
∴其50%分位数是第4个数据为8.5.
5．某射箭运动员在一次射箭训练中射靶10次，命中环数如下：8,9,8,10,6,7,9,10,8,5，则命中环数的平均数为________．
答案 8
解析 由已知得数据的平均数为
eq \x\t(x)＝eq \f(8＋9＋8＋10＋6＋7＋9＋10＋8＋5,10)＝8.
1．(多选)下列说法中，正确的是( )
A．数据2,4,6,8的中位数是4,6
B．数据1,2,2,3,4,4的众数是2,4
C．一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数据
D．8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是eq \f(8×5＋7×3,11)
答案 BCD
解析 数据2,4,6,8的中位数为eq \f(4＋6,2)＝5，显然A是错误的，B，C，D都是正确的．
2．下列关于50%分位数的说法正确的是( )
A．50%分位数不是中位数
B．总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50%
C．它一定不小于25%分位数
D．一定是数据中的某个数
答案 C
解析 由百分位数的意义可知选项A，B，D错误．
3．某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班级的学生，对他们一周的读书时间进行了统计，统计数据如下表所示：
则该班学生一周读书时间的平均数、众数、40%分位数分别是( )
A．9,8,8.5 B．9,8,8
C．9.5,9,8 D．9,8,9
答案 A
解析 该班学生一周读书时间的平均数为
eq \f(6×7＋10×8＋9×9＋8×10＋7×11,6＋10＋9＋8＋7)＝9，
众数为8.
因为该班共有学生40人，40×40%＝16，
所以该班学生一周读书时间的40%分位数为eq \f(8＋9,2)＝8.5.
4．有13名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道13名同学成绩的( )
A．平均数 B．众数
C．中位数 D．百分位数
答案 C
解析 把13名同学成绩按由大到小排列，取成绩靠前的6个成绩进入决赛，即最中间一个数之前的6个成绩进入决赛，13个成绩按由大到小排列时，最中间一个数即是中位数．
5．从某中学抽取10名同学，得到他们的数学成绩如下：82,85,88,90,92,92,92,96,96,98(单位：分)，则可得这10名同学数学成绩的众数、中位数分别为( )
A．92,92 B．92,96
C．96,92 D．92,90
答案 A
解析 本题中数据92出现了3次，出现的次数最多，所以本题的众数是92；
所给数据已按照由小到大的顺序排列，中间两个数据的平均数是(92＋92)÷2＝92.故中位数是92.
6．某校女子篮球队7名运动员的身高(单位：cm)分别为180,181,171,172，x,174,175，已知记录的平均身高为175 cm，但其中有一名运动员身高因记录不清，而用x代替，那么x的值为________．
答案 172
解析 由条件可知
eq \f(180＋181＋171＋172＋x＋174＋175,7)＝175，
解得x＝172.
7．数据8,12,15,18,21,23,23,23,28,33,34,35的80%分位数是________．
答案 33
解析 这组数据有12个数，因为12×80%＝9.6，所以这组数据的80%分位数是x10＝33.
8．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分分别为89,91,90,92,87,93,96,94，则这组数据的中位数是________；平均数是________；最大值是________；25%分位数是________．
答案 91.5 91.5 96 89.5
解析 把这组数据由小到大排列为87,89,90,91,92,93,94,96，所以中位数是eq \f(91＋92,2)＝91.5；平均数eq \x\t(x)＝eq \f(87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96,8)＝91.5；
最大值为96；
因为数据个数为8，且8×25%＝2，因此这组数据的25%分位数是eq \f(89＋90,2)＝89.5.
9．为了了解市民的环保意识，某校高一(1)班50名学生在6月5日(世界环境日)这一天调查了各自家庭丢弃旧塑料袋的情况，有关数据如下表：
求这50户居民每天丢弃旧塑料袋的平均数、众数和中位数．
解 平均数eq \x\t(x)＝eq \f(1,50)×(2×6＋3×16＋4×15＋5×13)＝eq \f(185,50)＝3.7.
众数是3，中位数是4.
10．A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：时)：
(1)试估计C班的学生人数；
(2)再从A，B，C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位：时)．这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小(只写结论，不要求证明)．
解 (1)由题意知，抽出的20名学生中，来自C班的学生有8名．
根据分层抽样方法，C班的学生人数估计为100×eq \f(8,20)＝40.
(2)A，B，C班锻炼总时长分别为35,63,66，
∴μ0＝eq \f(35＋63＋66,20)＝8.2(时)，
加入新数据后，μ1＝eq \f(35＋63＋66＋24.25,23)≈8.18(时)．
∴μ1