初中数学中考二轮复习考点精讲精练专题05 二次方程(含答案)

这是一份初中数学中考二轮复习考点精讲精练专题05 二次方程(含答案)，共12页。试卷主要包含了5，不符合题意；，5，不符合题意．等内容，欢迎下载使用。
考点精讲
1.能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。
2.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程.
3.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等
4.能利用一元二次方程解决实际应用问题，并根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理.
考点解读
考点1：一元二次方程及其根的应用
(1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程．
(2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2.bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项，a，b，c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．
考点2：解一元二次方程（1）
（1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解.
( 2 )因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解.
( 3 )公式法:一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的求根公式为x=（b2－4ac≥0）.
(4)配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法．
考点3：解一元二次方程（2）
1.解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
2.我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
考点4：解一元二次方程（3）
①根的判别式：
(1)当Δ＝＞0时，原方程有两个不相等的实数根．
(2)当Δ＝=0时，原方程有两个相等的实数根．
(3)当Δ＝＜0时，原方程没有实数根．
（4）当Δ＝≥0时，原方程有两个实数根
②根与系数关系（韦达定理）：
基本关系：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为x1.x2,则x1+x2=－b/a,x1x2=c/a.注意运用根与系数关系的前提条件是△≥0.
考点5：一元二次方程的应用
应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用.
①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率），n表示变化的次数，b表示变化n次后的量；
②利润问题：利润=售价－成本；利润率=利润/成本×100%；
③传播、比赛问题：
④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程.
考点突破
1．下列各式是二元一次方程的是（ ）
A．x2+y＝0B．x＝C．D．y+x
2．已知是方程2mx﹣y＝10的解，则m的值为（ ）
A．2B．4C．6D．10
3．二元一次方程3x﹣2y＝1的不超过10的正整数解共有（ ）组．
A．1B．2C．3D．4
4．若甲数为x，乙数为y，则“甲数的3倍比乙数的一半少2”，列成方程是（ ）
A．3xy＝2B．＝2C．3x＝2D．+2＝3x
5．一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大9，则这样的两位数共有（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
6．在下列方程组：①，②，③，④，⑤中，是二元一次方程组的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①②⑤D．①②③⑤
7．已知是方程的解，那么a，b的值是（ ）
A．B．C．D．
8．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（ ）
A．要消去x，可以将①×3+②×（﹣5）
B．要消去y，可以将①×5+②×2
C．要消去x，可以将①×（﹣5）+②×2
D．要消去y，可以将①×5+②×3
9．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，在大长方形ABCD中，放入六个相同的小长方形，则阴影部分的面积为（ ）
A．140 cm2B．96 cm2C．44 cm2D．16 cm2
11．关于x的方程（m2﹣4）x2+（m+2）x+（m+1）y＝m+5，当m 时，是一元一次方程；当m 时，它是二元一次方程．
12．二元一次方程y＝5﹣2x的非负整数解共有 组．
13．将方程x﹣2y＝6变形为用含y的式子表示x，那么x＝ ．
14．算筹是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具．在算筹计数法中，以“立”，“卧”两种排列方式来表示单位数目，表示多位数时，个位用立式，十位用卧式，百位用立式，千位用卧式，以此类推．《九章算术》的“方程”一章中介绍了一种用“算筹图”解决一次方程组的方法．如图1，从左向右的符号中，前两个符号分别代表未知数x，y的系数．因此，根据此图可以列出方程：x+10y＝26．请你根据图2列出方程组 ．
15．把y＝ax+b（其中a，b是常数，x，y是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当y＝x时，“雅系二元一次方程y＝ax+b”中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当y＝x时，“雅系二元一次方程”y＝3x﹣4化为x＝3x﹣4，其“完美值”为x＝2．
（1）求“雅系二元一次方程”y＝5x+6的“完美值”；
（2）x＝3是“雅系二元一次方程”y＝3x+m的“完美值”，求m的值；
（3）“雅系二元一次方程”y＝kx+1（k≠0，k是常数）存在“完美值”吗？若存在，请求出其“完美值”，若不存在，请说明理由．
16．已知二元一次方程x+3y＝10
（1）直接写出它所有的正整数解；
（2）请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组的解为．
17．某中学为了表彰在书法比赛中成绩突出的学生，购买了钢笔30支，毛笔45支，共用了1755元，其中每支毛笔比钢笔贵4元．
（1）求钢笔和毛笔的单价各为多少元？
（2）①学校仍需要购买上面的两种笔共105支（每种笔的单价不变）．陈老师做完预算后，向财务处王老师说：“我这次买这两种笔需支领2447元．”王老师算了一下，说：“如果你用这些钱只买这两种笔，那么账肯定算错了．”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说他用这些钱只买这两种笔的账算错了．
②陈老师突然想起，所做的预算中还包括校长让他买的一支签字笔．如果签字笔的单价为小于10元的整数，请通过计算，直接写出签字笔的单价可能为 元．
18．2021春•岳麓区校级月考）已知关于x，y的方程组
（1）请写出方程x+2y＝5的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值；
（3）m≠﹣3时，方程x﹣2y+mx+9＝0总有一个公共解，你能求出这个方程的公共解吗？
（4）如果方程组有整数解，求整数m的值．
参考答案
1．【解答】解：A．该方程是二元二次方程，不符合二元一次方程的定义，不是二元一次方程，即A选项不合题意；
B．是分式方程，不符合二元一次方程的定义，不是二元一次方程，即B选项不合题意；
C．符合二元一次方程的定义，是二元一次方程，即C选项符合题意；
D．不是方程，即D选项不合题意．
故选：C．
【点拨】本题考查了二元一次方程的定义，解决本题的关键是注意二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．
2．【解答】解：把x＝1，y＝2代入方程2mx﹣y＝10得：2m﹣2＝10，
解得：m＝6，
故选：C．
【点拨】本题主要考查对解一元一次方程，二元一次方程的解等知识点的理解和掌握，能得到方程2m﹣2＝10是解此题的关键．
3．【解答】解：方程3x﹣2y＝1，
解得：x＝，
当y＝1时，x＝1；y＝4，x＝3；y＝7，x＝5；y＝10，x＝7，
则方程的正整数解共有4组，
故选：D．
【点拨】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将y看作已知数求出x．
4．【解答】解：若甲数为x，乙数为y，可列方程为y﹣3x＝2．
故选：B．
【点拨】此题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，比较容易，根据“甲数的3倍比乙数的一半少2”可以直接列方程．
5．【解答】解：设原来的两位数为10a+b，根据题意得：
10a+b+9＝10b+a，
解得：b＝a+1，
因为可取1到8个数，所以这两位数共有8个，它们分别，12，23，34，45，56，67，78，89，都是个位数字比十位数字大1的两位数．
故选：D．
【点拨】此题考查了二元一次方程的应用，解题关键是弄清题意，找合适的等量关系，列出方程，再求解，弄清两位数的表示是：10×十位上的数+个位上的数，注意不要漏数．
6．【解答】解：方程组，，中符合二元一次方程组的定义，符合题意．
方程组属于二元二次方程组，不符合题意．
方程组中的第一个方程不是整式方程，不符合题意．
故选：C．
【点拨】本题是考查对二元一次方程组的识别，掌握二元一次方程组的定义，就很容易判断．
7．【解答】解：∵是方程的解，
∴，
∴①+②得：5a＝10，
解得：a＝2，
把a＝2代入①得：4+5b＝9，
解得：b＝1，
∴原方程组的解为：，
故选：A．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的意义，以及解二元一次方程组的方法是解题的关键．
8．【解答】解：利用加减消元法解方程组，要消元x，①×（﹣5）+②×2；
要消去y，可以将①×3+②×5，
故选：C．
【点拨】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
9．【解答】解：设该店有客房x间，房客y人；
根据题意得：，
故选：A．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用；根据题意得出方程组是解决问题的关键．
10．【解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，
依题意得：，
解得：，
∴阴影部分的面积＝14（x+y）﹣6xy＝14×（8+2）﹣6×8×2＝44（cm2）．
故选：C．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
11．【解答】解：∵关于x的方程（m2﹣4）x2+（m+2）x+（m+1）y＝m+5，是一元一次方程，
∴m2﹣4＝0且m+2＝0，且m+1≠0，
解得：m＝﹣2；
∵关于x的方程（m2﹣4）x2+（m+2）x+（m+1）y＝m+5，是二元一次方程，
∴m2﹣4＝0且m+2≠0，m+1≠0，
解得：m＝2．
故答案为：＝﹣2；＝2．
【点拨】此题主要考查了二元一次方程和一元一次方程的定义，关键是掌握一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
12．【解答】解：方程y＝5﹣2x，
解得：x＝，
要使x，y都是非负整数，
合适的x值只能是x＝0，1，2，
相应的y值为y＝5，3，1．
所以共3组．
故答案为：3．
【点拨】本题考查了二元一次方程的解，根据方程的解的定义，一组数是方程的解，那么它一定满足这个方程，若不满足，则不是方程的解．
13．【解答】解：方程x﹣2y＝6，
解得：x＝2y+6，
故答案为：2y+6．
【点拨】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将y看作已知数求出x．
14．【解答】解：根据题意，图2可得方程组：
，
故答案为．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，主要培养学生的观察能力，关键是能够根据对应位置的算筹理解算筹表示的实际意义．
15．【解答】解：（1）由已知可得，x＝5x+6，
解得x＝﹣，
∴“雅系二元一次方程”y＝5x+6的“完美值”为x＝﹣；
（2）由已知可得x＝3x+m，x＝3，
∴m＝﹣6；
（3）若“雅系二元一次方程”y＝kx+1（k≠0，k是常数）存在“完美值”，
则有x＝kx+1，
∴（1﹣k）x＝1，
当k＝1时，不存在“完美值”，
当k≠1，k≠0时，存在“完美值”x＝．
【点拨】本题考查二元一次方程的解，新定义；能够理解题意，将所求问题转化为一元一次方程求解是关键．
16．【解答】解：（1）方程x+3y＝10，
解得：x＝﹣3y+10，
当y＝1时，x＝7；当y＝2时，x＝4；当y＝3时，x＝1，
则方程的正整数解为；；；
（2）根据题意得：2x+y＝0（答案不唯一）．
【点拨】此题考查了解二元一次方程，以及二元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．【解答】解：（1）设钢笔的单价为x元，则毛笔的单价为（x+4）元．由题意得：
30x+45（x+4）＝1755，
解得：x＝21，
∴毛笔的单价为：x+4＝25．
答：钢笔的单价为21元，毛笔的单价为25元．
（2）①设单价为21元的钢笔为y支，所以单价为25元的毛笔则为（105﹣y）支．根据题意，得
21y+25（105﹣y）＝2447．
解之得：y＝44.5 （不符合题意）．
∴陈老师肯定搞错了．
②设单价为21元的钢笔为z支，签字笔的单价为a元，则根据题意，得
21z+25（105﹣z）＝2447﹣a．
∴4z＝178+a，
∵a，z都是整数，
∴178+a应被4整除，
∴a为偶数，又因为a为小于10元的整数，
∴a可能为．
当a＝2时，4z＝180，z＝45，符合题意；
当a＝4时，4z＝182，z＝45.5，不符合题意；
当a＝6时，4z＝184，z＝46，符合题意；
当a＝8时，4z＝186，z＝46.5，不符合题意．
所以签字笔的单价可能2元或6元．
故答案为：2元或6元．
【点拨】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次方程解实际问题的运用及二元一次不定方程的运用，在解答时根据题意等量关系建立方程是关键．
18．【解答】解：（1）方程x+2y＝5，
解得：x＝﹣2y+5，
当y＝1时，x＝3；y＝2，x＝1；
（2）联立得：，
解得：，
代入得：﹣5﹣10﹣5m+9＝0，
解得：m＝﹣；
（3）∵x﹣2y+mx+9＝0，即（1+m）x﹣2y+9＝0总有一个解，
∴方程的解与m无关，
∴mx＝0，x﹣2y+9＝0，
解得：x＝0，y＝，
则方程的公共解为；
（4），
①+②得：（m+2）x＝﹣4，
解得：x＝﹣，
把x＝﹣代入①得：y＝，
当m+2＝2，1，﹣2，﹣1，4，﹣4时，x为整数，此时m＝0．﹣1，﹣3，﹣4，2，﹣6，
当m＝﹣1时，y＝，不符合题意；
当m＝﹣3时，y＝，不符合题意；
当m＝2时，y＝3，符合题意；
当m＝﹣6时，y＝2，符合题意，
当m＝0时，y＝，不符合题意；
当m＝﹣4时，y＝，不符合题意，
综上，整数m的值为﹣6或2．
【点拨】此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．