初中数学中考二轮复习考点精讲精练专题09 反比例函数(含答案)

这是一份初中数学中考二轮复习考点精讲精练专题09 反比例函数(含答案)，共15页。试卷主要包含了能用反比例函数解决简单实际问题等内容，欢迎下载使用。
考点精讲
1.结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式。
2.能画出反比例函数的图象，根据图象和表达式探索并理解和时，图象的变化情况。
3.能用反比例函数解决简单实际问题。
考点解读
1.反比例函数的概念：
（1）定义：形如y＝eq \f(k,x)(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．
（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：
①y＝eq \f(k,x)；②; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)
2.反比例函数图像与性质
3.反比例函数的图象特征
（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；
（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；
（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．
考点2：确定函数解析式
待定系数法：只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可.
考点3：反比例函数与几何综合
（1）意义：从反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.
（2）常见的面积类型：
考点4：反比例函数与一次函数综合
（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（－a,－b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.
（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解
（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.
（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.
考点5：实际问题与反比例函数
1.一般步骤：
（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；
（2设出函数表达式；
（3）依题意求解函数表达式；
（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.
考点突破
1．在下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．y＝x﹣1B．y＝C．y＝﹣2x﹣1D．＝2
2．已知关于x的函数y＝k（x﹣1）和y＝﹣（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，A.B是双曲线y＝上关于原点对称的任意两点，AC∥y轴，BD∥y轴，则四边形ACBD的面积S满足（ ）
A．S＝1B．1＜S＜2C．S＝2D．S＞2
4．对于反比例函数，下列说法错误的是（ ）
A．图象经过点（1，﹣3）
B．图象位于第二、第四象限
C．当x＜0时，y随x的增大而减小
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
5．如图，已知四边形ABCD为矩形，点B在第一象限角平分线上，BC∥x轴，OB＝AB，反比例函数y＝（k＞0）过点A交BC于点E，连接OA，AE，.OE，△AOE的面积为6，则k＝（ ）
A．4B．6C．8D．10
6．点A（x1，﹣1），B（x2，2），C（x3，3）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（ ）
A．x1＞x2＞x3B．x1＞x3＞x2C．x3＞x2＞x1D．x2＞x3＞x1
7．已知点P（﹣3，2）是反比例函数图象上的一点，则该反比例函数的表达式为（ ）
A．y＝B．y＝﹣C．y＝D．y＝﹣
8．如图，在平面直角坐标系系中，直线y＝k1x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B，连接BO．若S△OBC＝2，，则k2的值是（ ）
A．4B．6C．8D．2
9．某小区要种植一个面积为3500 m2的矩形草坪，已知草坪的长y（m）随宽x（m）的变化而变化，可用函数的表达式表示为（ ）
A．xy＝3500B．x＝3500yC．D．
10．函数y＝（m﹣1）x|m|﹣2是反比例函数，则m的值为 ．
11．如图是三个反比例函数y＝，y＝，y＝在x轴上方的图象，由此观察得到k1，k2，k3的大小关系为 ．
12．已知正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的一个交点是（2，3），则另一个交点是（ ， ）．
13．请写出一个函数表达式，使此函数满足：①y随x的增大而增大，②函数图象过点（﹣1，2），你写的函数表达式是 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴于点B，点C在y的负半轴上，连接AC，BC，若△ABC的面积为3，则k的值为 ．
15．已知y＝y1+y2，y1与（x﹣1）成正比例，y2与（x+1）成反比例，当x＝0时，y＝﹣3，当x＝1时，y＝﹣1．
（1）求y的表达式；
（2）求当x＝时y的值．
16．有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）函数的自变量x的取值范围是 ；
（2）列表：
求出表中m的值为 ．
n的值为 ．
描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整；
（3）观察发现：结合函数的图象，写出该函数的两条性质：
① ．
② ．
17．小明学习了函数有关知识后，利用学到的方法对函数y＝进行了如下的研究：
列表：
其中m＝ ，n＝ ．
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示；
1．描点并补全函数的图象；
2．结合函数图象回答下列问题：
（1）该函数存在最 值（填“大”或“小”），最值是 ；
（2）观察函数图象，写出y随x的增大而变化的情况： ；
（3）若直线y＝kx+b经过点（2，0），且与y＝的图象围成封闭的图形，当封闭图形内整点（点的横、纵坐标都为整数）只有4个时（不包括边界），直接写出b的取值范围．
18．如图，平面直角坐标系xOy中，▱OABC的边OC在x轴上，对角线AC，OB交于点M，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（3，5）和点M．
（1）求k的值和点M的坐标；
（2）若坐标轴上有一点P，满足△OCP的面积是▱OABC的面积的2倍，求点P的坐标．
参考答案
1．【解答】解：A.y＝x﹣1是一次函数，故A不符合题意；
B.y＝不是反比例函数，故B不符合题意；
C.y＝3x﹣1是反比例函数，故C符合题意；
D.＝2不是反比例函数，故D符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式 y＝（k≠0）转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式．
2．【解答】解：A.由反比例函数图象可得﹣k＜0，∴一次函数y＝k（x﹣1）应经过一二三象限，故A选项正确；
B.由反比例函数图象可得﹣k＞0，∴一次函数y＝k（x﹣1）应经过一二四象限，故B选项错误；
C.由反比例函数图象可得﹣k＞0，∴一次函数y＝k（x﹣1）应经过一二四象限，故C选项错误；
D.由反比例函数图象可得﹣k＜0，∴一次函数y＝k（x﹣1）应经过一三四象限，故D选项错误；
故选：B．
【点拨】综合考查了反比例函数和一次函数的图象特征；用到的知识点为：一次函数的比例系数大于0，一次函数经过一三象限，常数项大于0，还经过第二象限；常数项小于0，还经过第四象限；比例系数小于0，一次函数经过二四象限，常数项大于0，还经过第一象限，常数项小于0，还经过第三象限；反比例函数的比例系数大于0，图象的两个分支在一三象限；比例系数小于0，图象的2个分支在二四象限．
3．【解答】解：∵A，B是函数y＝的图象上关于原点O对称的任意两点，且AC平行于y轴，BD平行于y轴，
∴S△AOC＝S△BOD＝，
假设A点坐标为（x，y），则B点坐标为（﹣x，﹣y），
则OC＝OD＝x，
∴S△AOD＝S△AOC＝，S△BOC＝S△BOD＝，
∴四边形ABCD面积＝S△AOD+S△AOC+S△BOC+S△BOD＝×4＝2．
故选：C．
【点拨】此题主要考查了反比例函数中比例系数k的几何意义，难易程度适中．过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S＝|k|．
4．【解答】解：∵反比例函数，
∴当x＝1时，y＝﹣＝﹣3，故选项A不符合题意；
k＝﹣3，故该函数图象位于第二、四象限，故选项B不符合题意；
当x＜0，y随x的增大而增大，故选项C符合题意；
当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
5．【解答】解：如图，
过点B，E分别作BF，EH⊥x轴，设OF＝m，
OB为角平分线，∴BF＝m，OB＝m，AB＝m，OH＝，
S△AOE＝S△OAF+S梯形AFHE﹣S△OHE＝，
即k﹣m2＝4，
将A（m，2m）代入反比例函数y＝得，k＝2m2，
即，
k＝8．
故选：C．
【点拨】本题主要考查反比例函数k的几何意义，关键是熟练转化点的坐标，表示相应线段的长度．
6．【解答】解：∵k＞0，
∴反比例函数的图象在一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点A（x1，﹣1），B（x2，2），C（x3，3）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，
∴点A（x1，﹣1）在第三象限，B（x2，2），C（x3，3）在第一象限，
∴x1＜0，0＜x3＜x2，
∴x2＞x3＞x1，
故选：D．
【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
7．【解答】解：设反比例函数的解析式为y＝（k≠0），
∵点P（﹣3，2）是反比例函数图象上的一 点，
∴2＝，得k＝﹣6，
∴反比例函数解析式为y＝﹣．
故选：D．
【点拨】本题考查了待定系数法求解反比例函数解析式，此为近几年中考的热点问题，同学们要熟练掌握．
8．【解答】解：∵直线y＝k1x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，2），
∴OC＝2，
∵S△OBC＝2，
∴BD＝2，
∵tan∠BOC＝，
∴＝，
∴OD＝4，
∴点B的坐标为（2，4），
∵反比例函数在第一象限内的图象交于点B，
∴k2＝2×4＝8．
故选：C．
【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，解题的关键是仔细审题，能够求得点B的坐标是解题的关键．
9．【解答】解：∵已知草坪的长y（m）随宽x（m）的变化而变化，
∴y＝．
故选：C．
【点拨】本题考查根据实际问题列反比例函数式，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
10．【解答】解：由题意得：|m|﹣2＝﹣1且，m﹣1≠0；
解得m＝±1，又m≠1；
∴m＝﹣1．
故填m＝﹣1．
【点拨】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式 （k≠0）转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式．
11．【解答】解：读图可知：三个反比例函数y＝的图象在第二象限；故k1＜0；y＝，y＝在第一象限；且y＝的图象距原点较远，故有：k1＜k2＜k3；综合可得：k1＜k2＜k3．故填k1＜k2＜k3．
【点拨】反比例函数y＝的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．且图象距原点越远，k的绝对值越大．
12．【解答】解：正比例函数y＝k1x①与反比例函数②的一个交点是（2，3），
∴将（2，3）代入①得k1＝，代入②得k2＝6，即正比例函数y＝x③，反比例函数y＝④，
∴x＝，解之得x＝±2，把x＝﹣2代入③得y＝﹣3．
∴另一个交点是（﹣2，﹣3）．
故答案为：﹣2；﹣3．
【点拨】本题考查函数与方程的应用，函数图象经过某点，则某点适合解析式，转化为方程求解．
13．【解答】解：∵y随x的增大而增大，
∴设直线的解析式是y＝x+b，
把（﹣1，2）代入得：b＝3，
∴y＝x+3，
故答案为：y＝x+3（答案不唯一）．
【点拨】本题主要考查对一次函数的性质，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的理解和掌握，能理解一次函数的性质是解此题的关键，题型较好，比较典型．
14．【解答】解：∵AB⊥x轴，
∴S△ABC＝AB•OB＝3，
∴AB•OB＝6，
设A（x，y），则AB＝y，OB＝﹣x，
∴﹣xy＝6，
xy＝﹣6，
∴k＝xy＝﹣6，
故答案为：﹣6．
【点拨】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，根据三角形面积公式和反比例系数k列式可得结论．
15．【解答】解：（1）∵y1与（x﹣1）成正比例，y2与（x+1）成反比例，
∴y1＝k1（x﹣1），y2＝，
∵y＝y1+y2，当x＝0时，y＝﹣3，当x＝1时，y＝﹣1．
∴，
∴k2＝﹣2，k1＝1，
∴y＝x﹣1﹣；
（2）当x＝﹣，y＝x﹣1﹣＝﹣﹣1﹣＝﹣．
【点拨】本题考查的是反比例函数及正比例函数的定义，能根据题意得出y与x的函数关系式是解答此题的关键．
16．【解答】解：（1）由题意得：x﹣1≠0，
解得：x≠1，
故答案为：x≠1；
（2）当x＝﹣4时，m＝＝﹣，
当y＝1.5时，则1.5＝，解得n＝5，
描点、连线画出函数图象如图，
故答案为：﹣，5；
（3）观察函数图象发现：
①该图象是中心对称图形，对称中心的坐标是（1，0），
②当x＞1时，y随x的增大而减小．
故答案为：图象是中心对称图形，对称中心的坐标是（1，0）；当x＞1时，y随x的增大而减小．
【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，函数自变量取值范围及反比例函数的性质，解题关键是理解题意，学会利用图象法解决问题．
17．【解答】解；当x＝﹣3时，m＝＝1，
当x＝1时，n＝﹣x+2＝1，
故答案为：1，1；
1．描点并补全函数的图象如图：
2．观察函数图象：
（1）该函数存在最大值（填“大”或“小”），最值是3；
（2）观察函数图象，当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，当x≥﹣1时，y随x的增大而减小；
（3）封闭图形内整点（点的横、纵坐标都为整数）只有4个时，这4个整点为（﹣2，1），（﹣1，1）（0，1），（﹣1，2），
把（﹣2，1）（2，0）代入y＝kx+b得，解得b＝，
观察图象，若直线y＝kx+b经过点（2，0），且与y＝的图象围成封闭的图形，当封闭图形内整点（点的横、纵坐标都为整数）只有4个时（不包括边界），b的取值范围是0＜b＜．
故答案为：（1）大，3；（2）当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，当x≥﹣1时，y随x的增大而减小．
【点拨】本题考查了函数的图象与性质，利用描点法画函数图象，利用数形结合是解题关键．
18．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（3，5），
∴k＝3×5＝15，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AM＝MC，
∴点M的纵坐标为2.5，
∵点M在y＝的图象上，
∴M（6，2.5）．
（2）∵AM＝MC，A（3，5），M（6，2.5），
∴C（9，0），
∴S▱OABC＝9×5＝45，
∵△OCP的面积是▱OABC的面积的2倍，
∴S△OCP＝OC•OP＝90，即9•OP＝90，
∴OP＝20，
∴P（0，20）或（0，﹣20）．
【点拨】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，平行四边形的性质以及三角形面积等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
﹣0.5
0
0.2
1.8
2
2.5
3
4
n
6
7
…
y
…
﹣1
m
﹣1.5
﹣2
﹣3
﹣4
﹣6
﹣7.5
7.5
6
4
3
2
1.5
1.2
1
…
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
m
3
2
n
0
﹣1
…