初中数学中考二轮复习考点精讲精练专题13 圆(含答案)

这是一份初中数学中考二轮复习考点精讲精练专题13 圆(含答案)，共17页。试卷主要包含了探索并证明垂径定理；等内容，欢迎下载使用。
考点精讲
1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；
2.探索并证明垂径定理；
3.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论；
考点解读
考点1：垂径定理及其运用
①与圆有关的概念和性质：
（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O.
（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.
（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.
（6）弦心距：圆心到弦的距离.
②垂径定理及其推论：
（1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
（3）延伸：根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：
弧AC=弧AD; ②弧BD=弧CB；③CE=DE; ④AB⊥CD; ⑤AB是直径.
只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.
考点2：圆周角定理及其运用
①圆心角、弧、弦的关系：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
②圆周角定理及其推论：
（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a,
∠A=1/2∠O.

图a 图b 图c
( 2 )推论：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b，∠A=∠C.
直径所对的圆周角是直角.如图c,∠C=90°.
圆内接四边形的对角互补.如图a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°.
考点3：点与圆的位置关系
①点与圆的位置关系：
设点到圆心的距离为d.
(1)dr⇔点在⊙O外．
考点4：切线性质及其证明
①切线的判定：
（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）.
（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.
（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
②切线的性质：
（1）切线与圆只有一个公共点.
（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.
（3）切线垂直于经过切点的半径
考点5：正多边形与圆
①正多边形的有关概念：边长(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半径(R))、边心距(r),如图所示①.

②内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
考点6：与圆有关的计算
①弧长和扇形面积的计算：
扇形的弧长l＝；扇形的面积S＝＝
②圆锥与侧面展开图
（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.
（2）计算公式：
,
S侧==πrl
考点突破
1．在平面直角坐标系中，⊙C的圆心坐标为（1，0），半径为1，AB为⊙C的直径，若点A的坐标为（a，b），则点B的坐标为（ ）
A．（﹣a﹣1，﹣b）B．（﹣a+1，﹣b）C．（﹣a+2，﹣b）D．（﹣a﹣2，﹣b）
2．如图，⊙O的半径为5，C是弦AB的中点，OC＝3，则AB的长是（ ）
A．6B．8C．10D．12
3．如图拱桥可以近似地看作直径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，这些钢索中最长的一根的长度为25m，那么其正下方的路面AB的长度为（ ）
A．100mB．130mC．150mD．180m
4．如图，点A，B，C，D均在以点O为圆心的圆O上，连接AB，AC及顺次连接O，B，C，D得到四边形OBCD，若OD＝BC，OB＝CD，则∠A的度数为（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
5．如图，在⊙O中，＝，直径CD⊥AB于点N，P是上一点，则∠BPD的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．15°
6．圆内接四边形ABCD，∠A，∠B，∠C的度数之比为3：4：6，∠D的度数为（ ）
A．60°B．80°C．100°D．120°
7．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP＝QO，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．⊙O的半径为R，点P到圆心O的距离为d，并且d≥R，则P点（ ）
A．在⊙O内或⊙O上B．在⊙O外
C．在⊙O上D．在⊙O外或⊙O上
9．下列说法正确的是（ ）
A．过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点
B．同一平面内，过两点A.B的圆的圆心在一条直线上
C．过三点A.B.C的圆的圆心有且只有一点
D．过四点的圆不存在
10．下列语句中，正确的是（ ）
A．经过三点一定可以作圆
B．等弧所对的圆周角相等
C．相等的弦所对的圆心角相等
D．三角形的外心到三角形各边距离相等
11．如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E．若∠C＝20°，则∠BOE的度数是 ．
12．如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为 ．
13．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为 寸．
14．如图，ABCD是⊙O的内接四边形，AD＝CD，点E在AD的延长线上，∠CDE＝52°，则∠AOD＝ ．
15．如图，在⊙O中，AB为直径，∠ACB的平分线交⊙O于D，AB＝6，则BD＝ ．
16．婆罗摩笈多（公元598﹣660），印多尔北部乌贾因地方人（现巴基斯坦信德地区），在数学、天文学方面有所成就．他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》等著作，他还提出了几何界的“婆罗摩笈多定理”．该定理可概述如下：如图，圆O的两条弦AB和CD互相垂直，垂足为E，连接BC，AD，若过点E作BC的垂线EF，延长FE与AD相交于点G，则G为AD的中点．为了说明这个定理的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．
已知：如图，在圆O的内部，AB⊥CD，垂足为E， ．
求证： ．
17．如图是公路转弯处的一段圆弧，点O是这段圆弧的圆心．直径CD⊥AB于点F．BE平分∠ABC交CD于点E，AB＝3km，DF＝450m．
（1）求圆的半径；
（2）请判断A.B.E三点是否在以点D为圆心DE为半径的圆上？并说明理由．
18．如图所示，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC，求证：
（1）＝；
（2）AE＝CE．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．
（1）求证：BE＝CE；
（2）若BD＝3，CE＝4，求AC的长．
20．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．
（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
参考答案
1．【解答】解：如图，作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，
∵AB为⊙C的直径，
∴CA＝CB，
而∠ACD＝∠BCE，
∴Rt△ACD≌Rt△BCE，
∴AD＝BE，DC＝CE，
∵点A的坐标为（a，b），⊙C的圆心坐标为（1，0），
∴BE＝AD＝b，EC＝CD＝a﹣1，
∴OE＝1﹣（a﹣1）＝﹣a+2，
∴B点坐标为（﹣a+2，﹣b），
当点A圆上的任何位置都有此结论．
故选：C．
【点拨】本题考查了圆的认识：过圆心的弦叫圆的直径．也考查了坐标的表示以及三角形全等的判定与性质．
2．【解答】解：∵AB是⊙O的弦，点C是AB的中点，
∴AB＝2AC，
∴OC⊥AB，
在Rt△AOC中，
∵OB＝5，OC＝3，
∴BC＝＝＝4，
∴AB＝2AC＝2×4＝8．
故选：B．
【点拨】本题考查的是垂径定理及勾股定理，熟知“平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”是解答此题的关键．
3．【解答】解：设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交于D，连接OA，如图所示：
则OA＝OD＝×250＝125（m），AC＝BC＝AB，
∴OC＝OD﹣CD＝125﹣25＝100（m），
∴AC＝＝＝75（m），
∴AB＝2AC＝150（m），
故选：C．
【点拨】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
4．【解答】解：连接OC．
∵OB＝OC＝OD，OD＝BC，
∴OB＝OC＝BC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴∠BAC＝∠BOC＝30°，
故选：C．
【点拨】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定等知识，解题的关键是证明△OBC是等边三角形．
5．【解答】解：连接OA.OB，如图，
∵CD⊥AB，
∴＝，
∵＝，
∴＝＝，
∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝×360°＝120°，
∴∠BOD＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BPD＝∠BOD＝30°．
故选：A．
【点拨】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和圆心角、弧、弦的关系．
6．【解答】解：设∠A.∠B.∠C的度数分别为3x、4x、6x，
∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴3x+6x＝180°，
解得，x＝20°，
∴∠B＝4x＝80°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝180°﹣80°＝100°，
故选：C．
【点拨】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键．
7．【解答】解：如图，设⊙O的半径为r，QO＝m，则QP＝m，QC＝r+m，
QA＝r﹣m．
在⊙O中，根据相交弦定理，得QA•QC＝QP•QD．
即（r﹣m）（r+m）＝m•QD，所以QD＝．
连接DO，由勾股定理，得QD2＝DO2+QO2，
即，
解得
所以，
故选：D．
【点拨】本题考查了相交弦定理，即“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”．熟记并灵活应用定理是解题的关键．
8．【解答】解：∵d≥R，
∴点P在⊙O上或点P在⊙O外．
故选：D．
【点拨】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r点P在圆内⇔d＜r．
9．【解答】解：A.过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点（A点外），故本选项错误，
B.在同一平面内，过两点A.B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上，故正确，
C.错误，A.B.C三点共线时，不符合题意．
D.过四点的圆可以存在，故本选项错误，
故选：B．
【点拨】本题考查了圆的认识，解题的关键是能正确的找到圆心．
10．【解答】解：A.经过不共线的三点一定可以作圆，所以A选项错误；
B.等弧所对的圆周角相等，所以B选项正确；
C.在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所以C选项错误；
D.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，所以D选项错误．
故选：B．
【点拨】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．
11．【解答】解：连接OD，
∵CD＝OA＝OD，∠C＝20°，
∴∠ODE＝2∠C＝40°，
∵OD＝OE，
∴∠E＝∠EDO＝40°，
∴∠EOB＝∠C+∠E＝40°+20°＝60°，
故答案为：60°．
【点拨】本题考查了圆的认识及等腰三角形的性质，难度不大，属于基础题．
12．【解答】解：∵∠A＝22.5°，
∴∠BOC＝2∠A＝45°，
∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE＝DE，△OCE为等腰直角三角形，
∴CE＝OC＝2，
∴CD＝2CE＝4．
故答案为4．
【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰直角三角形的性质和圆周角定理．
13．【解答】解：设⊙O的半径为r．
在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，
由勾股定理得：r2＝52+（r﹣1）2，
解得：r＝13，
∴⊙O的直径为26寸，
故答案为：26．
【点拨】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
14．【解答】解：∵ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
又∵∠CDE+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠CDE＝52°，
∴∠AOC＝2×52°＝104°，
∵AD＝CD，
∴∠AOD＝∠COD＝104°÷2＝52°．
故答案为：52°．
【点拨】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，注意：圆内接四边形的对角互补，并且一个外角等于它的内对角．
15．【解答】解：
连接AD，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝＝45°，
∴∠BAD＝∠BCD＝45°，∠ABD＝∠ACD＝45°，
即∠BAD＝∠ABD，
∴AD＝BD，
∵AB＝6，
∴BD＝AD＝AB×sin45°＝3，
故答案为：3．
【点拨】本题考查了角平分线定义、圆周角定理、等腰三角形的判定、解直角三角形等知识点，能求出AD＝BD和∠ADB＝90°是解此题的关键．
16．【解答】解：在△AED和△BEC中，∵AB⊥CD，EF⊥CB，
∴∠BEF+∠CEF＝90°，∠BCE+∠CEF＝90°．
∴∠BEF＝∠BCE．
∵∠BCE＝∠DAE，∠BEF＝∠AEG．
∴∠AEG＝∠DAE，
∴GA＝GE，
同理：GD＝GE，
∴GA＝GD．
∴G为AD的中点．
【点拨】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，等角的余角相等，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练导角．
17．【解答】解：（1）连接OA，如图所示：
设圆O的半径为rm，则OF＝（r﹣450）m，
∵直径CD⊥AB，
∴AF＝BF＝AB＝1500，
在Rt△AOF中，由勾股定理得：15002+（r﹣450）2＝r2，
解得：r＝2725，
即圆的半径为2725m；
（2）A.B.E三点在以点D为圆心DE为半径的圆上，理由如下：
∵直径CD⊥AB，
∴＝，
∴∠BCD＝∠ABD，AD＝BD，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABE，
∵∠DBE＝∠ABD+∠ABE，∠DEB＝∠BCD+∠CBE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴BD＝DE．
∴AD＝BD＝DE，
∴A.B.E三点在以点D为圆心DE为半径的圆上．
【点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
18．【解答】证明：（1）∵AB＝CD，
∴＝，
∴+＝+，
∴＝．
（2）∵＝，
∴AD＝BC，
∵∠ADE＝∠CBE，∠AED＝∠CEB，
∴△ADE≌△CBE（AAS），
∴AE＝EC．
【点拨】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
19．【解答】（1）证明：连接AE，如图，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AEC＝90°，
∴AE⊥BC，
而AB＝AC，
∴BE＝CE；
（2）解：连接DE，如图，
∵BE＝CE＝4，
∴BC＝8，
∵∠BED＝∠BAC，
而∠DBE＝∠CBA，
∴△BED∽△BAC，
∴＝，即＝，
∴BA＝，
∴AC＝BA＝．
【点拨】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会填空常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
20．【解答】解：（1）∵∠E是△ABC中∠A的遥望角，
∴∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A，
∵∠A＝α，
∴∠E＝α；
（2）如图2，延长BC到点T，
∵四边形FBCD内接于⊙O，
∴∠FDC+∠FBC＝180°，
∵∠FDE+∠FDC＝180°，
∴∠FDE＝∠FBC，
∵DF平分∠ADE，
∴∠ADF＝∠FDE，
∵∠ADF＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠FBC，
∴BE是∠ABC的平分线，
∵＝，
∴∠ACD＝∠BFD，
∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，
∴∠DCT＝∠BFD，
∴∠ACD＝∠DCT，
∴CE是△ABC的外角平分线，
∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
【点拨】本题考查的是圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦的关系，掌握圆周角定理、三角形外角性质、熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．