2022-2023 数学鲁教版新中考精讲精练 考点05 一元二次方程

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考点05 一元二次方程
考点总结
一、一元二次方程的概念
1．一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
2．一般形式：（其中为常数，），其中分别叫做二次项、一次项和常数项，分别称为二次项系数和一次项系数．
注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意，因为当时，不含有二次项，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2．
二、一元二次方程的解法
1．直接开平方法：适合于或形式的方程．
2．配方法：（1）化二次项系数为1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把方程整理成的形式；
（5）运用直接开平方法解方程．
3．公式法：（1）把方程化为一般形式，即；（2）确定的值；（3）求出的值；（4）将的值代入即可．
4．因式分解法：基本思想是把方程化成的形式，可得或．
三、一元二次方程根的判别式及根与系数关系
1．根的判别式：一元二次方程是否有实数根，由的符号来确定，我们把叫做一元二次方程根的判别式．
2．一元二次方程根的情况与判别式的关系
（1）当时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当时，方程有1个（两个相等的）实数根；
（3）当时，方程没有实数根．
3．根与系数关系：对于一元二次方程（其中为常数，），设其两根分别为，，则，．
四、利用一元二次方程解决实际问题
列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、设、列、解、验、答六步．列一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容．
1．增长率等量关系
（1）增长率=增长量÷基础量．（2）设为原来量，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量，则；当为平均下降率时，则有．
2．利润等量关系：（1）利润=售价－成本．（2）利润率=×100％．
3．面积问题
（1）类型1：如图1所示的矩形长为，宽为，空白“回形”道路的宽为，则阴影部分的面积为．
（2）类型2：如图2所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则空白部分的面积为．
（3）类型3：如图3所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则4块空白部分的面积之和可转化为．

图1 图2 图3
4. 碰面问题（循环问题）
（1）重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场
∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分.
∴m=12n（n-1）
（2）不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场.
∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠.
∴m=n（n-1）
真题演练
一．选择题（共10小题）
1．（2021•岱岳区一模）关于x的方程m（x+h）2+k＝0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1＝﹣2，x2＝3，则方程m（x+h﹣3）2+k＝0的解是（　　）
A．x1＝﹣5，x2＝0 B．x1＝﹣3，x2＝2 C．x1＝﹣3，x2＝5 D．x1＝1，x2＝6
【分析】利用换元的思想，把方程m（x+h﹣3）2+k＝0看作关于（x﹣3）的一元二次方程，则根据题意得到x﹣3＝﹣2或x﹣3＝3，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：把方程m（x+h﹣3）2+k＝0看作关于（x﹣3）的一元二次方程，
∵关于x的方程m（x+h）2+k＝0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1＝﹣2，x2＝3，
∴x﹣3＝﹣2或x﹣3＝3，
解得x1＝1，x2＝6，
即方程m（x+h﹣3）2+k＝0的解为x1＝1，x2＝6．
故选：D．
2．（2021•东港区校级二模）下列说法：（1）了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查；（2）若∠α＝20°40′，则∠α的补角为159°60′；（3）若一个正n边形的每个内角为144°，则正n边形的所有对角线的条数是35；（4）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为3；正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据根的判别式，全面调查和抽样调查的概念，补角的定义，多边形的内角和外角的定义判断即可．
【解答】解：（1）了解一批灯泡的使用寿命，采用抽样调查，故错误，不符合题意；
（2）若∠α＝20°40′，则∠α的补角为159°20′，故错误，不符合题意；
（3）∵一个正n边形的每个内角为144°，
∴144n＝180×（n﹣2），
解得：n＝10，
这个正n边形的对角线的条数是：＝35（条），正确，符合题意；
（4）当3为腰长时，将x＝3代入x2﹣4x+k＝0，得：32﹣4×3+k＝0，
解得：k＝3，
当k＝3时，原方程为x2﹣4x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∵1+3＝4，4＞3，
∴k＝3符合题意；
当3为底边长时，关于x的方程x2﹣4x+k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×k＝0，
解得：k＝4，
当k＝4时，原方程为x2﹣4x+4＝0，
解得：x1＝x2＝2，
∵2+2＝4，4＞3，
∴k＝4符合题意．
∴k的值为3或4，故错误；
∴正确的个数是1，
故选：A．
3．（2021•博山区一模）设a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【分析】根a、b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，求出a2+a﹣2022＝0，a+b＝﹣1，得出a2+a＝2022，把a2+2a+b变形后（a2+a）+（a+b）进行计算即可．
【解答】解：∵a、b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，
∴a2+a﹣2022＝0，a+b＝﹣1，
∴a2+a＝2022，
∴a2+2a+b＝（a2+a）+（a+b）＝2022﹣1＝2021．
故选：B．
4．（2021•高唐县一模）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则点P（m﹣3，﹣m+4）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到m﹣1≠0且Δ＝22﹣4（m﹣1）≥0，解不等式得到m的范围，然后判断P点所在象限．
【解答】解：根据题意得m﹣1≠0且Δ＝22﹣4（m﹣1）≥0，
解得m≤2且m≠1，
∵m﹣3＜0，﹣m+4＞0，
∴点P（m﹣3，﹣m+4）在第二象限．
故选：B．
5．（2021•潍坊一模）已知M＝t﹣2，N＝t2﹣t（t为任意实数），则M，N的大小关系为（　　）
A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．不能确定
【分析】利用配方法把N﹣M的代数式变形，根据偶次方的非负性判断即可．
【解答】解：∵N﹣M＝（t2﹣t）﹣（t﹣2）＝t2﹣2t+2＝（t﹣1）2+1＞0，
∴M＜N，
故选：B．
6．（2021•东港区校级二模）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2﹣2的值是（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
【分析】先利用一元二次方程根的定义得到x12＝3x1﹣1，则x12+3x2+x1x2﹣2可化为为3（x1+x2）+x1x2﹣3，再利用根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1x2＝1，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵x1为方程x2﹣3x+1＝0的根，
∴x12﹣3x1+1＝0，
∴x12＝3x1﹣1，
∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3x1﹣1+3x2+x1x2﹣2＝3（x1+x2）+x1x2﹣3，
∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2＝3，x1x2＝1，
∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3×3+1﹣3＝7．
故选：D．
7．（2021•滨州）下列一元二次方程中，无实数根的是（　　）
A．x2﹣2x﹣3＝0 B．x2+3x+2＝0 C．x2﹣2x+1＝0 D．x2+2x+3＝0
【分析】计算出各个选项中的Δ的值，然后根据Δ＞0有两个不等式的实数根，Δ＝0有两个相等实数根，Δ＜0无实数根判断即可．
【解答】解：在x2﹣2x﹣3＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，即该方程有两个不等实数根，故选项A不符合题意；
在x2+3x+2＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×2＝1＞0，即该方程有两个不等实数根，故选项B不符合题意；
在x2﹣2x+1＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，即该方程有两个相等实数根，故选项C不符合题意；
在x2+2x+3＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0，即该方程无实数根，故选项D符合题意；
故选：D．
8．（2021•烟台）已知关于x的一元二次方程x2﹣mnx+m+n＝0，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【分析】先由数轴得出m，n与0的关系，再计算判别式的值即可判断．
【解答】解：由数轴得m＞0，n＜0，m+n＜0，
∴mn＜0，
∴Δ＝（mn）2﹣4（m+n）＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
9．（2021•济宁）已知m，n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（　　）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【分析】根据一元二次方程根的定义得到m2+m＝2021，则m2+2m+n＝2021+m+n，再利用根与系数的关系得到m+n＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的实数根，
∴m2+m﹣2021＝0，
∴m2+m＝2021，
∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝2021+m+n，
∵m，n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，
∴m2+2m+n＝2021﹣1＝2020．
故选：B．
10．关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k且k≠1 B．k≥且k≠1 C．k D．k≥
【分析】分k﹣1＝0和k﹣1≠0两种情况，利用根的判别式求解可得．
【解答】解：当k﹣1≠0，即k≠1时，此方程为一元二次方程．
∵关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，
∴Δ＝（2k+1）2﹣4×（k﹣1）2×1＝12k﹣3≥0，
解得k≥；
当k﹣1＝0，即k＝1时，方程为3x+1＝0，显然有解；
综上，k的取值范围是k≥，
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．（2021•周村区二模）已知，x1，x2是方程x2﹣3x＝2的两根，则+的值为 　13　．
【分析】先把方程化为一般式得x2﹣3x﹣2＝0，再据根与系数的关系得x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，接着利用完全平方公式得到x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：方程化为一般式得x2﹣3x﹣2＝0，
根据根与系数的关系得x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，
所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×（﹣2）＝13．
故答案为：13．
12．（2021•潍城区二模）已知关于x的方程kx2+2（k﹣1）x+k＝0有两个实数根，则k的取值范围是 　k≤且k≠0　．
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝4（k﹣1）2﹣4k•k≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝4（k﹣1）2﹣4k•k≥0，
解得k≤且k≠0．
故答案为k≤且k≠0．
13．（2021•罗庄区一模）将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x•x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”．已知：x2+x﹣1＝0，且x＞0．则x4﹣2x3+3x的值为 　6﹣2　．
【分析】先求得x2＝﹣x+1，再代入x4﹣2x3+3x得到原式＝4﹣4x，然后解方程x2﹣x+1＝0求出x，再代入求值即可．
【解答】解：∵x2+x﹣1＝0，
∴x2+x＝1，x2＝1﹣x．
∴x4﹣2x3+3x
＝x4+x3﹣3x3+3x
＝x2（x2+x）﹣3x•x2+3x
＝x2﹣3x（1﹣x）+3x
＝1﹣x﹣3x+3x2+3x
＝1﹣x﹣3x+3（1﹣x）+3x
＝1﹣x﹣3x+3﹣3x+3x
＝4﹣4x．
∵方程x2+x﹣1＝0，且x＞0的解为：x＝．
∴原式＝4﹣4•
＝4﹣2（﹣1+）
＝4+2﹣2
＝6﹣2．
故答案为：6﹣2．
14．（2021•台儿庄区一模）一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1，x2，+2x1x2+＝　﹣　．
【分析】利用根与系数关系，得到两根和和两根积的值，将所求的式子进行通分，结合完全平方公式，整体代入，即可求解．
【解答】解：∵一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣8，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4+16＝20，
∴+2x1x2+＝+2x1x2＝﹣16＝﹣，
故答案为：﹣．
15．（2021•淄博一模）已知a，b是方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根，则a2+b2＝　7　．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出a+b和ab的值，a2+b2整理得（a+b）2﹣2ab，把a+b＝2，ab＝1代入计算后即可得到答案．
【解答】解：根据题意得：a+b＝3，ab＝1，
则a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝32﹣2×1
＝7，
故答案为：7．
三．解答题（共3小题）
16．（2021•市北区一模）（1）化简：；
（2）若关于x的方程2x2+4x﹣c＝0有两个相等的实数根，求方程的解．
【分析】（1）先算括号里面减法，再将括号外面的除法变为乘法，因式分解后约分计算即可求解；
（2）先根据关于x的方程2x2+4x﹣c＝0有两个相等的实数根可知Δ＝0，由Δ＝0求出c的值，再把c的值代入即可求出方程的根．
【解答】解：（1）原式＝
＝；
（2）Δ＝b2﹣4ac＝16+8c＝0，
解得c＝﹣2，
则2x2+4x+2＝0，
解得：x1＝x2＝﹣1．
17．（2021•日照）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量y（桶）与每桶降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？

【分析】（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，将点（1，110）、（3，130）代入一次函数表达式，即可求解；
（2）根据利润等于每桶的利润乘以销售量得关于x的一元二次方程，通过解方程即可求解．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b，
将点（1，110）、（3，130）代入一次函数表达式得：，
解得：，
故函数的表达式为：y＝10x+100；
（2）由题意得：（10x+100）×（55﹣x﹣35）＝1760，
整理，得x2﹣10x﹣24＝0．
解得x1＝12，x2＝﹣2（舍去）．
所以55﹣x＝43．
答：这种消毒液每桶实际售价43元．
18．（2021•淄博）为更好地发展低碳经济，建设美丽中国．某公司对其生产设备进行了升级改造，不仅提高了产能，而且大幅降低了碳排放量．已知该公司去年第三季度产值是2300万元，今年第一季度产值是3200万元，假设公司每个季度产值的平均增长率相同．
科学计算器按键顺序
计算结果（已取近似值）
解答过程中可直接使用表格中的数据哟！


1.18

1.39

1.64
（1）求该公司每个季度产值的平均增长率；
（2）问该公司今年总产值能否超过1.6亿元？并说明理由．
【分析】（1）设该公司每个季度产值的平均增长率为x，利用今年第一季度产值＝去年第三季度产值×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）将今年四个季度的产值相加，即可求出该公司今年总产值，再将其与1.6亿元比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设该公司每个季度产值的平均增长率为x，
依题意得：2300（1+x）2＝3200，
解得：x1＝0.18＝18%，x2＝﹣2.18（不合题意，舍去）．
答：该公司每个季度产值的平均增长率为18%．
（2）该公司今年总产值能超过1.6亿元，理由如下：
3200+3200×（1+18%）+3200×（1+18%）2+3200×（1+18%）3
＝3200+3200×1.18+3200×1.39+3200×1.64
＝3200+3776+4448+5248
＝16672（万元），
1.6亿元＝16000万元，
∵16672＞16000，
∴该公司今年总产值能超过1.6亿元．