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初中数学中考二轮复习考点精讲精练专题10 二次函数(含答案)
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这是一份初中数学中考二轮复习考点精讲精练专题10 二次函数(含答案),共13页。
1.通过对实际问题的分析,体会二次函数的意义。
2.会用描点法画出二次函数的图象,通过图象了解二次函数的性质。
3.会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为的形式,并能由此得到二次函数图象的顶点坐标,说出图象的开口方向,画出图象的对称轴,并能解决简单实际问题。
4.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
考点解读
考点1:二次函数图像与性质
二次函数的定义:形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数
二次函数图像与性质
考点2:二次函数图像与系数关系
考点3:二次函数的平移
考点4:二次函数与方程、不等式的关系
考点5:待定系数法求二次函数解析式
考点6:实际问题与二次函数
考点突破
1.已知函数y=(m﹣2)x|m|+mx﹣1,其图象是抛物线,则m的取值是( )
A.m=2B.m=﹣2C.m=±2D.m≠0
2.函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则选项中函数y=a(x﹣b)2+c的图象正确的是( )
A.B.
C.D.
3.已知抛物线y=ax2+bx+c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表:
以下结论正确的是( )
A.这个函数的最小值是﹣1
B.抛物线y=ax2+bx+c的开口向下
C.当x<3时,y随x增大而增大
D.当y>0时,x的取值范围是0<x<2
4.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣1,0),B(3,0),与y轴交于点C.下列结论:①ac<0;②3a+c=0;③当x>0时,y随x的增大而增大;④a+b≤am2+bm.其中正确的个数有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
5.若A(﹣4,y1),B(﹣1,y2),C(0,y3)为二次函数y=﹣(x+2)2+3的图象上的三点,则y1,y2,y3的大小关系是( )
A.y1<y2=y3B.y3=y1<y2C.y3<y1<y2D.y1=y2<y3
6.把抛物线y=x2+1向右平移3个单位,再向下平移2个单位,得到抛物线( )
A.y=(x+3)2﹣1B.y=(x+3)2+3C.y=(x﹣3)2﹣1D.y=(x﹣3)2+3
7.二次函数y=cx2﹣4x+2c的图象的最高点在x轴上,则c的值是( )
A.2B.﹣2C.﹣D.±
8.已知抛物线y=x2﹣8x+c的顶点在x轴上,则c等于( )
A.4B.8C.﹣4D.16
9.二次函数y=2x2﹣4x﹣1的顶点式是( )
A.y=(2x﹣1)2﹣2B.y=2(x﹣1)2﹣3
C.y=2(x+1)2﹣3D.y=2(x+1)2+3
10.若﹣2是关于x的二次函数,则k的值为 .
11.如图,已知函数y=﹣与y=ax2+bx(a>0,b>0)的图象交于点P,点P的纵坐标为1,则关于x的方程ax2+bx+=0的解是 .
12.抛物线y=x2﹣4x+3的对称轴为 .
13.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,若M=a﹣b,N=4a+2b.则M、N的大小关系为M N.(填“>”、“=”或“<”)
14.如图,已知A,B,C是函数y=x2图象上的动点,且三点的横坐标依次为a+1,a,a﹣1.小华用软件GeGebra对△ABC的几何特征进行了探究,发现△ABC的面积是个定值,则这个定值为 .
15.抛物线y=﹣x2向上平移2个单位后所得的抛物线表达式是 .
16.在同一平面直角坐标系中画出二次函数y=x2+1与二次函数y=﹣x2﹣1的图形.
(1)从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点;
(2)说出两个函数图象的性质的相同点与不同点.
17.如图,已知二次函数y=x2+ax+a+1的图象经过点P(﹣2,3).
(1)求a的值和图象的顶点坐标;
(2)点Q(m,n)在该二次函数图象上;
①当n=11时,求m的值.
②当m≤x≤m+3时,该二次函数有最小值11,请直接写出m的值.
18.设二次函数y=(mx﹣2)(x﹣2m),其中m是常数.
(1)当m=2时,试判断点(1,0)是否在该函数图象上;
(2)用含m的代数式表示函数的对称轴;
(3)当x≥﹣2时,y随x的增大而减小,求m的取值范围.
参考答案
1.【解答】解:∵函数y=(m﹣2)x|m|+mx﹣1,其图象是抛物线,
∴|m|=2且m﹣2≠0,
解得m=﹣2.
故选:B.
【点拨】本题考查了二次函数的定义,利用了二次函数的定义:形如y=ax2+bx+c (a≠0)是二次函数,注意二次项的系数不等于零是解题关键.
2.【解答】解:由y=ax2+bx+c的图象可得,
a<0,b>0,c>0,
∵函数y=a(x﹣b)2+c,
∴该函数的图象开口向下,顶点坐标为(b,c),且该函数图象的顶点在第一象限,
故选:B.
【点拨】本题考查二次函数的图象,解答本题的关键是明确题意,求出A.B.c的正负情况,利用二次函数的性质解答.
3.【解答】解:由表格中的数据可得,
该抛物线的对称轴为直线x==1,抛物线开口向上,故选项B错误;
当x=1时,该函数取得最小值﹣1,故选项A正确;
当x<1时,y随x的增大而减小,当x>1时,y随x的增大而增大,故选项C错误;
当y>0时,x的取值范围是x<0或x>2,故选项D错误;
故选:A.
【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质解答.
4.【解答】解:把点A(﹣1,0),B(3,0)代入二次函数y=ax2+bx+c,
可得二次函数的解析式为:y=ax2﹣2ax﹣3a,
∵该函数图象开口方向向下,
∴a<0,
∴b=﹣2a>0,c=﹣3a>0,
∴ac<0,3a+c=0,①、②正确;
∵对称轴为直线:x=﹣=1,
∴x<1时,y随x的增大而增大,x>1时,y随x的增大而减小;③错误;
∴当x=1时,函数取得最小值,即对于任意的m,有a+b+c≤am2+bm+c,
∴a+b≤am2+bm,故④正确.
综上,正确的个数有3个,
故选:C.
【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系:当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:当a与b同号时,对称轴在y轴左;当a与b异号时,对称轴在y轴右.常数项c决定抛物线与y轴交点:抛物线与y轴交于(0,c).
5.【解答】解:∵A(﹣4,y1),B(﹣1,y2),C(0,y3)为二次函数y=﹣(x+2)2+3的图象上的三点,
∴y1=﹣4+3=﹣1,即y1=﹣1,
y2=﹣1+3=2,即y2=2,
y3=﹣4+3=﹣1,即y3=﹣1,
∴y3=y1<y2.
故选:B.
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征.经过图象上的某点,该点一定在函数图象上.
6.【解答】解:由题意得原抛物线的顶点为(0,1),
∴平移后抛物线的顶点为(3,﹣1),
∴新抛物线解析式为y=(x﹣3)2﹣1,
故选:C.
【点拨】考查二次函数的几何变换;用到的知识点为:二次函数的平移不改变二次项的系数;得多新抛物线的顶点是解决本题的突破点.
7.【解答】解:二次函数y=cx2﹣4x+2c的图象的顶点的纵坐标为,
∵抛物线的顶点在x轴上,
∴=0,解得c=±,
∵抛物线有最高点,
∴c=﹣.
故选:C.
【点拨】本题考查了二次函数的最值:对于二次函数y=a(x﹣k)2+h,当a>0,y有最小值h;当a<0,y有最大值h.也考查了二次函数的性质.
8.【解答】解:根据题意,得=0,
解得c=16.
故选:D.
【点拨】本题考查求抛物线顶点纵坐标的公式,比较简单.
9.【解答】解:y=2x2﹣4x﹣1
=2(x﹣1)2﹣3,
故选:B.
【点拨】本题考查的是二次函数的三种形式,灵活运用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键.
10.【解答】解:由题意得:k2﹣k=2,且k+1≠0,
解得:k=2,
故答案为:2.
【点拨】此题主要考查了二次函数定义,关键是掌握形如y=ax2+bx+c(A.B.c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.
11.【解答】解:∵点P在函数y=﹣上,点P的纵坐标为1,
∴1=,
解得x=﹣3,
∴函数y=﹣与y=ax2+bx(a>0,b>0)的图象交于点P的坐标为(﹣3,1),
∴
可得,,
∴,
解得x=﹣3.
故答案为:x=﹣3.
【点拨】本题考查二次函数的图象、反比例函数的图象,解题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答问题.
12.【解答】解:∵y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,
∴抛物线对称轴为直线x=2,
故答案为:x=2.
【点拨】本题考查二次函数的性质,解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系.
13.【解答】解:由图象可得当x=﹣1时y>0,
∴a﹣b+c>0,
当x=2时,y<0,
∴4a+2b+c<0,
∴M﹣N=a﹣b﹣(4a+2b)=a﹣b+c﹣(4a+2b+c)>0,
∴M>N,
故答案为:>.
【点拨】本题考查二次函数图象与系数的关系,解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系.
14.【解答】解:如图,作AD⊥x轴于D,BE⊥x轴于E,CF⊥x轴于F,
∵A,B,C三点的横坐标依次为a+1,a,a﹣1,
∴AD=(a+1)2=a2+2a+1,BE=a2,CF=(a﹣1)2=a2﹣2a+1,
∴S△ABC=S梯形ADFC﹣S梯形ADEB﹣S梯形BEFC=(a2+2a+1+a2﹣2a+1)×2﹣(a2+2a+1+a2)×1﹣(a2+a2﹣2a+1)×1=1;
∴△ABC的面积是个定值,这个定值为1.
故答案为:1.
【点拨】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征,梯形的性质以及梯形的面积.此题难度较大,注意掌握数形结合思想的应用.
15.【解答】解:∵抛物线y=﹣x2向上平移2个单位后的顶点坐标为(0,2),
∴所得抛物线的解析式为y=﹣x2+2.
故答案为:y=﹣x2+2.
【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换,此类题目利用顶点的平移确定抛物线函数图象的变化更简便.
16.【解答】解:如图:
,
(1)y=x2+1与y=﹣x2﹣1的相同点是:形状都是抛物线,对称轴都是y轴,
y=x2+1与y=﹣x2﹣1的不同点是:y=x2+1开口向上,顶点坐标是(0,1),y=﹣x2﹣1开口向下,顶点坐标是(0,﹣1);
(2)性质的相同点:开口程度相同,不同点:y=x2+1 当x<0时,y随x的增大而减小,当x>0时,y随x的增大而增大;
y=﹣x2﹣1当x<0时,y随x的增大而增大,当x>0时,y随x的增大而减小.
【点拨】本题考查了二次函数的图象,利用了二次函数图象与性质,a>0图象开口向上,对称轴左侧,y随x的增大而减小,对称轴右侧,y随x的增大而增大;a<0图象开口向下,对称轴左侧,y随x的增大而增大,对称轴右侧,y随x的增大而减小.
17.【解答】解:(1)∵二次函数y=x2+ax+a+1的图象经过点P(﹣2,3),
∴3=(﹣2)2+a×(﹣2)+a+1,
解得a=2,
∴y=x2+2x+3=(x+1)2+2,
∴该函数图象的顶点坐标是(﹣1,2);
(2)①∵点Q(m,n)在该二次函数图象上,n=11,
∴11=m2+2m+3,
解得m=﹣4或2;
②∵y=x2+2x+3=(x+1)2+2,
∴该函数图象开口向上,当x=﹣1时取得最小值2,
∵当m≤x≤m+3时,该二次函数有最小值11,
∴当m>﹣1时,m2+2m+3=11,得m1=﹣4(舍去),m2=2;
当m<﹣1<m+3时,该函数的最小值为2,不符合题意;
当m+3<﹣1时,(m+3)2+2(m+3)+3=11,得m3=﹣1(舍去),m4=﹣7;
由上可得,m的值是2或﹣7.
【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值,利用分类讨论的方法解答是解答本题的关键.
18.【解答】解:(1)当m=2时,y=(2x﹣2)(x﹣4),
取x=1,则y=(2﹣2)(1﹣4)=0,
∴(1,0)在该函数图象上;
(2)∵y=(mx﹣2)(x﹣2m),
∴函数图象与x轴的交点为(,0),(2m,0),
∴抛物线的对称轴为x=;
(3)∵当x≥﹣2时,y随x的增大而减小,
∴,
解得m≤﹣2,
∴m的范围为m≤﹣2.
【点拨】本题主要考查二次函数的图象与性质,关键是要会根据解析式判断一个点是否在函数图象上,牢记抛物线的对称轴公式和增减性.
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
3
0
﹣1
m
3
…