初中数学中考二轮复习考点精讲精练专题04 一次方程(含答案)

这是一份初中数学中考二轮复习考点精讲精练专题04 一次方程(含答案)，共11页。试卷主要包含了掌握等式的基本性质，能解一元一次方程，5，等内容，欢迎下载使用。
考点精讲
1.能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。
2.掌握等式的基本性质。
3.能解一元一次方程。掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组。
4.能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。
考点解读
考点1：等式的性质与方程的概念
①等式的性质：
（1）性质1：等式两边加或减同一个数或同一个整式所得结果仍是等式.即若a＝b，则a±c＝b±c .
（2）性质2：等式两边同乘（或除）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式.即若a＝b，则ac＝bc，(c≠0)．
（3）性质3：（对称性）若a=b,则b=a.
（4）性质4：（传递性）若a=b,b=c,则a=c.
②方程的概念
（1）一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程．
（2）二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．
（3）二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程．
（4）二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解．
考点2：解一元一次方程
解一元一次方程的步骤
(1)去分母:方程两边同乘分母的最小公倍数，不要漏乘常数项；
(2)去括号：括号外若为负号，去括号后括号内各项均要变号；
(3)移项：移项要变号；
(4)合并同类项：把方程化成ax=－b(a≠0)；
(5)系数化为1：方程两边同除以系数a,得到方程的解x=－b/a.
考点:3：解二元一次方程
思路：消元，将二元一次方程转化为一元一次方程.
方法：
(1)代入消元法:从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把“它”代入另一个方程，进行求解；
(2) 加减消元法：把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法.
考点4：一次方程的应用
①列方程(组)解应用题的一般步骤：
(1)审题：审清题意，分清题中的已知量、未知量；
(2)设未知数；
(3)列方程(组)：找出等量关系，列方程（组）；
(4)解方程(组)；
(5)检验：检验所解答案是否正确或是否满足符合题意；
(6)作答：规范作答，注意单位名称．
②常见题型及关系式：
（1）利润问题：售价=标价×折扣，销售额=售价×销量，利润=售价－进价，利润率=利润/进价×100%.
（2）利息问题：利息=本金×利率×期数，本息和=本金+利息.
（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间.
（4）行程问题：路程=速度×时间. ①相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程；
②追及问题：a.同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程；b.同时不同地出发：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程.
考点突破
1．下列四个式子中，是方程的是（ ）
A．3+2＝5B．x＝1C．2x﹣3D．a2+2ab+b2
2．下列各数中，是方程2x+1＝﹣5的解的是（ ）
A．0B．2C．﹣3D．﹣2
3．下列等式变形错误的是（ ）
A．若x﹣1＝3，则x＝4B．若x﹣1＝x，则x﹣1＝2x
C．若x﹣3＝y﹣3，则x﹣y＝0D．若3x+4＝2x，则3x﹣2x＝﹣4
4．下列方程中是一元一次方程的是（ ）
A．x2+2x﹣3＝2x（x+2）B．y＝
C．﹣3x﹣4＝1﹣5xD．＝7
5．如果x＝﹣1是关于x的方程5x+2m﹣7＝0的解，则m的值是（ ）
A．﹣1B．1C．6D．﹣6
6．解方程3﹣（x﹣6）＝5（x﹣1）时，去括号正确的是（ ）
A．3﹣x+6＝5x+5B．3﹣x﹣6＝5x+1C．3﹣x+6＝5x﹣5D．3﹣x﹣6＝5x+1
7．方程8﹣|x+3|＝﹣2的解是（ ）
A．x＝10B．x＝7C．x＝﹣13D．x＝7或x＝﹣13
8．若关于x的方程3x+5＝m与x﹣2m＝5有相同的解，则x的值是（ ）
A．3B．﹣3C．﹣4D．4
9．《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设这个物品的价格是x元，则可列方程为（ ）
A．8x+3＝7x+4B．8x﹣3＝7x+4C．＝D．＝
10．某商店在某一时间以每件90元的价格出售两件商品，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，则在这次买卖中，商家（ ）
A．亏损8元B．赚了12元C．亏损了12元D．不亏不损
11．如果x＝﹣2是方程kx+k﹣1＝0的解，则k＝ ．
12．已知5a+8b＝3b+10，利用等式性质可求得a+b的值是 ．
13．已知方程（k﹣3）x|k|﹣2+5＝k﹣4是关于x的一元一次方程，则k＝ ．
14．已知关于x的一元一次方程x﹣3＝4x+3b的解为x＝8，则关于y的一元一次方程：（y+1）﹣3＝4（y+1）+3b的解为y＝ ．
15．阅读下面材料并回答问题
观察：有理数﹣2和﹣4在数轴上对应的两点之间的距离是2＝|﹣2﹣（﹣4）|
有理数1和﹣3在数轴上对应的两点之间的距离是4＝|1﹣（﹣3）|
归纳：有理数a，b在数轴上对应的两点A，B之间的距离是|a﹣b|；反之，|a﹣b|表示有理数a，b在数轴上对应点A，B之间的距离，称之为绝对值的几何意义
应用：
（1）如果表示﹣1的点A和表示x点B之间的距离是2，那么x为 ；
（2）方程|x+3|＝4的解为 ；
（3）小松同学在解方程|x﹣1|+|x+2|＝5时，利用绝对值的几何意义分析得到，该方程的左边表示在数轴上x对应点到1和﹣2对应点的距离之和，而当﹣2≤x≤1时，取到它的最小值3，即为1和﹣2对应的点的距离．
由方程右边的值为5可知，满足方程的x对应点在1的右边或﹣2的左边，若x的对应点在1的右边，利用数轴分析可以看出x＝2；
同理，若x的对应点在﹣2的左边，可得x＝﹣3；
故原方程的解是x＝2或x＝﹣3
参考小松的解答过程，求方程|x﹣3|+|x+4|＝15的解．
16．新定义题：小明在课外阅读中对有关“自定义型题”有了一定的了解，他也尝试着自定义了“颠倒数”的概念：从左到右写下一个自然数，再把它按从右到左的顺序写一遍，如果两数位数相同，这样就得到了这个数的“颠倒数”，如286的颠倒数是682．
请你探究，解决下列问题：
（1）请直接写出2022的“颠倒数”为 ．
（2）能否找到一个数字填入空格，使由“颠倒数”构成的等式12×6□＝□6×21成立？
请你用下列步骤探究“□”所表示的数字．
①设这个数字为x，将自然数“6□”和“□6”转化为用含x的代数式表示分别为 和 ；
②列出关于x的满足条件的方程，并求出x的值；
③经检验，所求x的值符合题意吗？ （填“符合”或“不符合”）
17．数学兴趣小组设计了一个问题，分两步完成：
（1）已知关于x的一元一次方程（a﹣2）x|a|﹣1+8＝0，请画出数轴，并在数轴上标注出a与x对应的点，分别记作A，B．
（2）在（1）的条件下，在数轴上另有一点C对应的数为y，C与A的距离是C与B的距离的5倍，求y的值．
18．我们规定：若关于x的一元一次方程a+x＝b（a≠0）的解为，则称该方程为“商解方程”．例如：2+x＝4的解为x＝2且，则方程2+x＝4是“商解方程”．请回答下列问题：
（1）判断3+x＝5是不是“商解方程”．
（2）若关于x的一元一次方程6+x＝3（m﹣3）是“商解方程”，求m的值．
19．下面是小乐同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并解答问题．
（1）以上求解过程中，第一步的依据是 ；
（2）从第 步开始出现错误，具体的错误是 ；
（3）该方程正确的解为 ．
参考答案
1．【解答】解：A.不含未知数，不是方程；
B.是含有未知数的等式，是方程；
C.不是等式，不是方程；
D.不是等式，不是方程．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了方程的定义，判断是方程必须有两个条件：含有未知数且是等式，两个条件必须同时成立，是需要熟记的内容．
2．【解答】解：方程2x+1＝﹣5，
移项合并得：2x＝﹣6，
解得：x＝﹣3．
故选：C．
【点拨】此题考查了方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
3．【解答】解：A.若x﹣1＝3，根据等式的性质1，等式两边都加1，可得x＝4，故A选项正确；
B.若x﹣1＝x，根据等式的性质2，两边都乘以2，可得x﹣2＝2x，故B选项错误；
C.两边分别加上3﹣y可得：x﹣y＝0，故C选项正确；
D.两边分别加上﹣2x﹣4，可得：3x﹣2x＝﹣4，故D选项正确；
故选：B．
【点拨】本题主要考查了等式的基本性质．
等式性质1：等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个等式，所得结果仍是等式；
等式性质2：等式的两边都乘以或者除以同一个数（除数不为零），所得结果仍是等式．
另外，本题B选项的错误是在解题的过程中某一项漏乘而导致的．
4．【解答】解：A．x2+2x﹣3＝2x（x+2）是一元二次方程，不符合题意；
B．不是整式方程，不符合题意；
C．﹣3x﹣4＝1﹣5x是一元一次方程，符合题意；
D．不是整式方程，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查一元一次方程的定义，牢记一元一次方程的定义及基本形式是解题的关键．
5．【解答】解：将x＝﹣1代入方程得：﹣5+2m﹣7＝0，
移项合并得：2m＝12，
解得：m＝6．
故选：C．
【点拨】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
6．【解答】解：方程3﹣（x﹣6）＝5（x﹣1），
去括号得：3﹣x+6＝5x﹣5．
故选：C．
【点拨】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
7．【解答】解：8﹣|x+3|＝﹣2，
10＝|x+3|，
x+3＝10或﹣10，
∴x＝7或﹣13，
故选：D．
【点拨】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，理解绝对值的意义是关键．
8．【解答】解：3x+5＝m，
∴m＝3x+5①；
又x﹣2m＝5，
∴m＝②；
令①＝②，
∴3x+5＝，
6x+10﹣x+5＝0，
∴x＝﹣3，
故选：B．
【点拨】此题可根据两个方程有相同的解可知两式的x值相等，注意细心作答，否则很容易出错．
9．【解答】解：设这个物品的价格是x元，
则可列方程为：＝，
故选：D．
【点拨】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是理解题意，确定相等关系，并据此列出方程．
10．【解答】解：设第一件衣服的进价为x元，
依题意得：x（1+25%）＝90，解得：x＝72，
所以盈利了90﹣72＝18（元）．
设第二件衣服的进价为y元，
依题意得：y（1﹣25%）＝90，解得：y＝120，
所以亏损了120﹣90＝30元，
所以两件衣服一共亏损了30﹣18＝12（元）．
故选：C．
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用．解决本题的关键是要知道两件衣服的进价，知道了进价，就可求出总盈亏．
11．【解答】解：把x＝﹣2代入方程，得：﹣2k+k﹣1＝0，
解得：k＝﹣1．
故填﹣1．
【点拨】已知条件中涉及到方程的解，把方程的解代入原方程，转化为关于字母k的方程进行求解．
12．【解答】解：5a+8b＝3b+10，
5a+8b﹣3b＝3b﹣3b+10，
5a+5b＝10，
5（a+b）＝10，
a+b＝2．
给答案为：2．
【点拨】本题主要考查的是等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．
13．【解答】解：根据题意得：|k|﹣2＝1，k﹣3≠0，
k＝±3且k≠3，
所以：k＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点拨】此题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是：正确理解一元一次方程的定义．
14．【解答】解：∵x﹣3＝4x+3b，
（y+1）﹣3＝4（y+1）+3b，
∴y+1＝x，
∵x＝8，
∴y+1＝8，
解得y＝7．
故答案为：7．
【点拨】本题考查解一元一次方程的解，掌握两个方程之间的关系，把（y+1）看作一个整体是解题关键．
15．【解答】解：（1）由题意可得|x﹣（﹣1）|＝2
所以x﹣（﹣1）＝±2
解得x1＝1，x2＝﹣3
故答案为1或﹣3
（2）由题意可得x+3＝±4
解得x1＝1，x2＝﹣7
故答案为1或﹣7
（3）|x﹣3|+|x+4|表示x到3和﹣4的距离之和，由阅读材料可知它大于等于7
当x在﹣4左边，即x＜﹣4
得3﹣x﹣x﹣4＝15
解得x＝﹣8
当x在3右边，即x＞3
得x﹣3+x+4＝15
解得x＝7
所以原方程的解为x＝﹣8或x＝7
【点拨】考查的是绝对值的几何意义，绝对值方程，本题关键是如何取绝对值，将绝对值方程转化为一般方程来解．
16．【解答】解：（1）由“颠倒数”的定义可得：2022的“颠倒数”为2202，
故答案为：2202，；
（2）①设这个数字为x，
自然数“6□”用含x的代数式表示为：6×10+x＝60+x，
自然数“□6”用含x的代数式表示为：10x+6，
故答案为：60+x，10x+6；
②由题意得：
12（60+x）＝21（10x+6），
解得：x＝3，
∴x的值为3；
③检验：12×63＝756，36×21＝756，
∴12×63＝36×21，
∴x＝3符合题意，
故答案为：符合．
【点拨】本题考查了等式的性质，列代数式，有理数的混合运算，方程的解，熟练掌握两位数的表示方法是解题的关键．
17．【解答】解：（1）由一元一次方程的定义得|a|﹣1＝1且a﹣2≠0，
解得a＝﹣2，
所以关于x的一元一次方程变形为﹣4x+8＝0，解得x＝2，
在数轴上表示如图所示：
（2）依题意有|y﹣（﹣2）|＝5|4﹣y|，
解y+2＝5（4﹣y）得y＝10.5（舍去），
解y+2＝﹣5（4﹣y）得y＝3．
所以y的值为3．
【点拨】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．也考查了数轴和一元一次方程的定义．
18．【解答】解：（1）3+x＝5，
x＝2，
而2≠，
所以3+x＝5不是“商解方程”；
（2）6+x＝3（m﹣3），
6+x＝3m﹣9，
x＝3m﹣9﹣6＝3m﹣15，
∵关于x的一元一次方程6+x＝3（m﹣3）是“商解方程”，
∴＝3m﹣15，
解得：m＝．
【点拨】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能熟记方程的解的定义（使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解）是解此题的关键．
19．【解答】解：（1）以上求解过程中，第一步的依据等式的性质2；
故答案为：等式的性质2；
（2）从第三步开始出错错误，具体的错误是8没有移项，变为﹣8；
故答案为：8没有移项，变为﹣8；
（3）解：去分母，得6x﹣（x+2）＝8，
去括号，得6x﹣x﹣2＝8，
移项，得6x﹣x＝8+2，
合并同类项，得5x＝10，
方程两边同除以5，得x＝2．
故答案为：x＝2．
【点拨】此题考查了解一元一次方程，以及等式的性质，熟练掌握等式的性质是解本题的关键．

解方程：﹣＝2．
解：去分母，得6x﹣（x+2）＝8．…第一步
去括号，得6x﹣x﹣2＝8．…第二步
移项，得6x﹣x＝﹣8+2．…第三步
合并同类项，得5x＝﹣6，…第四步
方程两边同除以5，得x＝﹣．…第五步