初中数学中考复习 专题05 方程与不等式概念与相关计算【考点精讲】（解析版）

这是一份初中数学中考复习 专题05 方程与不等式概念与相关计算【考点精讲】（解析版），共23页。试卷主要包含了等式的基本性质.，不等式的基本性质，二元一次方程组的定义，二元一次方程组的解法等内容，欢迎下载使用。

专题05 方程与不等式概念与相关计算


知识导航



知识精讲


考点1：等式与不等式性质
1．等式的基本性质.
性质①：若a=b,则a±m=b±m;
性质②：若a=b,则am=bm; 若a=b,则(d≠0).
2．不等式的基本性质
（1）不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变.
（2）不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.
（3）不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.

【例1】宁宁同学拿了一个天平，测量饼干与糖果的质量（每块饼干的质量都相同，每颗糖果的质量都相同）
做了一下试验．第一次：左盘放两块饼干，右盘放三颗糖果，结果天平平衡；第二次，左盘放一块饼干和
一颗糖果，右盘放10克砝码，结果天平平衡；第三次：左盘放一颗糖果，右盘放一块饼干，下列哪一种方
法可使天平再度平衡（　　）
A．左盘上加2克砝码 B．右盘上加2克砝码
C．左盘上加5克砝码 D．右盘上加5克砝码
【分析】根据第一个等式，可得1饼干与糖果的关系，根据第二个等式，可得1糖果的质量，1饼干的质量，再根据等式的性质，可得答案．
【详解】解：①2饼干＝3糖果，1饼干＝1.5糖果，
②1饼干+1糖果＝10砝码，把1饼干＝1.5糖果代入，得
1.5糖果+1糖果＝10砝码，
1糖果＝4砝码，
1饼干＝1.5糖果＝1.5×4＝6砝码，
4砝码+2砝码＝6砝码，
∴1糖果+2砝码＝1饼干，
故选：A．
【例2】（2021·湖南常德市）若，下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可得到答案．
【详解】
解：A.在不等式两边同时减去5，不等式仍然成立，即，故选项A不符合题意；
B. 在不等式两边同时除以-5，不等号方向改变，即，故选项B不符合题意；
C.当c≤0时，不等得到，故选项C符合题意；
D. 在不等式两边同时加上c，不等式仍然成立，即，故选项D不符合题意；
故选：C．
方法技巧


1．运用等式的性质的注意事项
（1）等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算.
（2）等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子.
（3）等式两边不能同时除以0，即0不能作除数或分母.
2．运用不等式的性质注意以下要点：
（1）“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱.
（2）不等式的基本性质：
① 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变;
② 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变;
③ 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
针对训练


1．（2021·山东临沂市）已知，下列结论：①；②；③若，则；④若，则，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据不等式的性质分别判断即可．
【详解】
解：∵a＞b，则
①当a=0时，，故错误；
②当a＜0，b＜0时，，故错误；
③若，则，即，故错误；
④若，则，则，故正确；
故选A．
2．下列判断错误的是（　　）
A．如果a＝b，那么ac﹣d＝bc﹣d B．如果a＝b，那么ac2+1=bc2+1
C．如果x＝3，那么x2＝3x D．如果ax＝bx，那么a＝b
【分析】根据等式的性质一一判断即可．
【详解】解：A、如果a＝b，那么ac﹣d＝bc﹣d，正确，故选项不符合题意；
B、如果a＝b，那么ac2+1=bc2+1，正确，故选项不符合题意；
C、如果x＝3，那么x2＝3x，正确，故选项不符合题意；
D、当x＝0时，不一定成立，故选项符合题意；
故选：D．

考点2：一次方程（组）概念与解法
1．一元一次方程的有关概念
（1）只含有一个未知数,并且未知数的次数是一次的整式方程,叫做一元一次方程.其一般形式是ax+b=0(a,b为常数,且a≠0).
（2）使方程左、右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.方程的解又叫做方程的根.
2．一元一次方程解法的一般步骤:
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1.
3．二元一次方程组的定义:形如和都是
4．二元一次方程组的解法:
① 用代入法解二元一次方程组的一般步骤:
a. 从方程组中任选一个方程,将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来;
b. 将这个代数式代入另一个方程,消去一个未知数,得到含有一个未知数的一元一次方程;
c. 解这个一元一次方程,求出一个未知数的值;
d. 将所求得的这个未知数的值代入原方程组的任一方程中,求出另一个未知数的值,从而得到方程组的解.
② 用加减法解二元一次方程组的一般步骤:
a. 方程组的两个方程中,如果同一个未知数的系数不互为相反数又不相等,就用适当的数去乘方程的两边,使它们中同一个未知数的系数相等或互为相反数;
b. 把两个方程的两边分别相减或相加,消去一个未知数,得到一个一元一次方程;
c. 解这个一元一次方程;
d. 将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中,求出另一个未知数,从而得到方程组的解.

【例3】（2021·浙江温州市）解方程，以下去括号正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】去括号得法则：括号前面是正因数，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号；括号前面是负因数，去掉括号和负号，括号里的每一项都变号．
【详解】
解：
，
故选：D．
【例4】（2021·天津）方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用加减消元法解该二元一次方程组即可．
【详解】
，
②-①得：，即，
∴．
将代入①得：，
∴．
故原二元一次方程组的解为．
故选B．
方法技巧


1．解一元一次方程的基本步骤.
①去分母，②去括号，③移项，④合并同类项，⑤系数化为1.
2．解二元一次方程组关键在于熟练掌握用消元法和代入法
针对训练


1．（2021·广东）二元一次方程组的解为___．
【分析】由加减消元法或代入消元法都可求解．
【详解】
解：，
由①式得： ，代入②式，
得： ，
解得 ，
再将代入①式，
，
解得 ，
∴ ，
故填：．
2．（2021·重庆）方程的解是__________．
【分析】按照解一元一次方程的方法和步骤解方程即可．
【详解】
解：，
去括号得，，
移项得，，
系数化为1得，，
故答案为：．

考点3：分式方程概念与解法
1．分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
2．分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程.
（2）常用方法：①去分母；②换元法.
（3）去分母法的步骤：①去分母,将分式方程转化为整式方程;②解所得的整式方程;③验根作答.
（4）换元法的步骤：①设辅助未知数;②得到关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值;③把辅助未知数的值代回原式中,求出原来未知数的值;④检验作答.
（5）解分式方程时,在把分式方程转化为整式方程时,有时可能产生不适合原方程的根(我们把这个根叫做方程的增根),所以解分式方程时要验根.

【例5】（2021·广东）方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解即得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
解：
去分母得：，
移项合并得：，
化系数为“1”得：，
检验，当时，，
∴是原分式方程的解．
故选：D．
【例6】（2021·江苏泰州市）解方程：+1＝．
【分析】先将分式方程化简为整式方程，再求解检验即可．
【详解】
解：（1）原式=x（x2-9）=x（x+3）（x-3），
（2）等式两边同时乘以（x-2）得2x+x-2=-5，
移项合并同类项得3x=-3，
系数化为1得x=-1
检验：当x=-1时，x-2，
∴x=-1是原分式方程的解．
方法技巧


解分式方程的有关要点
（1）解分式方程的基本思想是要设法将分式方程转化为整式方程，再求解.
（2）解分式方程时，方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根.
（3）分式方程的检验方法：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
针对训练


1．（2021·湖北黄石市）分式方程的解是______．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
解：
去分母得：，
去括号化简得：，
解得：，
经检验是分式方程的根，
故填：．
2．（2021·江苏南通市）解方程．
【分析】根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验依次进行求解即可．
【详解】
，
去分母得：，
解得：，
经检验，是原方程的解．
则原方程的解为：．
考点4：一元二次方程概念与解法
1．一元二次方程
（1）概念:只含有一个未知数,未知数的最高次数是二次,且系数不为0的整式方程,叫做一元二次方程.
（2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项，a是二次项的系数，b是一次项的系数，注意a≠0.
2．一元二次方程的解法
（1）基本思路:降次.
（2）方法:
① 直接开平方法:(x+m)2=n(n≥0)的根是; 
② 配方法:将ax2+bx+c=0(a≠0)化成的形式,当b2-4ac≥0时,用直接开平方法求解; 
③ 公式法:ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为; 
④ 因式分解法:将方程右边化为0,左边化为两个一次因式的积,令每个因式等于0,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程就得到原方程的解.

【例7】（2021·浙江丽水市）用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】
先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方形式即可．
【详解】
解：，
，
，
，
故选：D．
【例8】（2021·湖北十堰市）对于任意实数a、b，定义一种运算：，若，则x的值为________．
【分析】根据新定义的运算得到，整理并求解一元二次方程即可．
【详解】
解：根据新定义内容可得：，
整理可得，
解得，，
故答案为：或2．
方法技巧


解答本考点的有关题目，关键在于掌握解一元二次方程的基本思路和步骤。注意以下要点：
（1）解一元二次方程的基本思路是降次，解法包括直接开平方法、配方法、求根公式法和因式分解法四种；
（2）求根公式法和因式分解法是最常用的两种方法，重点在于掌握求根公式和因式分解的方法.
针对训练


1．（2021·山东枣庄市·中考真题）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为______．
【分析】
分4为等腰三角形的腰长和4为等腰三角形的底边长两种情况，再利用一元二次方程根的定义、根的判别式求解即可得．
【详解】
解：由题意，分以下两种情况：
（1）当4为等腰三角形的腰长时，则4是关于的方程的一个根，
因此有，
解得，
则方程为，解得另一个根为，
此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理；
（2）当4为等腰三角形的底边长时，则关于的方程有两个相等的实数根，
因此，根的判别式，
解得，
则方程为，解得方程的根为，
此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理；
综上，的值为8或9，
故答案为：8或9．
考点5：一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式：ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是b2-4ac.
（1）当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根; 
（2）当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根; 
（3）当b2-4ac<0时,方程无实数根.

【例9】（2021·内蒙古通辽市）关于x的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【分析】先计算判别式，再根据一元二次方程根与判别式的关系即可得答案．
【详解】
△=[-（k-3）]2-4（-k+1）
=k2-6k+9+4k-4
=（k-1）2+4，
∵（k-1）2≥0，
∴（k-1）2+4≥4，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【例10】（2021·北京）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值．
【分析】
（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证；
（2）设关于的一元二次方程的两实数根为，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而可得，最后利用完全平方公式代入求解即可．
【详解】
（1）证明：由题意得：，
∴，
∵，
∴，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：设关于的一元二次方程的两实数根为，则有：，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴．
针对训练


1．（2021·河南中考真题）若方程没有实数根，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用根的判别式进行判断，求出m的取值范围即可．
【详解】
解：由题可知：“△＜0”，
∴,
∴,
故选：D．
2．（2021·湖北黄石市·中考真题）已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值．
【分析】
（1）根据方程有实数根的条件，即求解即可；
（2）由韦达定理把和分别用含m的式子表示出来，然后根据完全平方公式将变形为，再代入计算即可解出答案．
【详解】
（1）由题意可得：
解得：
即实数m的取值范围是．
（2）由可得：
∵；
∴
解得：或
∵
∴
即的值为-2．

考点6：不等式（组）概念与解法
1．解不等式
求不等式解集的过程称为解不等式.
2．解一元一次不等式的一般步骤
① 去分母;② 去括号;③ 移项;④ 合并同类项;⑤ 未知数的系数化为1.
在①至⑤步的变形中,一定要注意不等号的方向是否需要改变.
3．一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的定义:一般地,关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成一个一元一次不等式组.
（2）一元一次不等式组的解集:组成一元一次不等式组的各个不等式的解的公共部分,称为这个一元一次不等式组的解集.
（3）解一元一次不等式组:先求出各个不等式的解,再确定其公共部分,即为原不等式组的解集.
（4）借助数轴,熟练掌握以下四种基本不等式组的解集.
不等式组
(a 解集
图示
口诀

x≥b

大大取大

　 x≤a 　

小小取小

a≤x≤b

大小小大中间找

无解

大大小小解不了

【例11】（2021·四川宜宾市）不等式2x﹣1＞1的解集是______．
【分析】根据不等式的基本性质，解不等式即可．
【详解】

解得：
故答案为：．
【例12】（2021·四川遂宁市）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
先分别求出两个不等式的解，得出不等式组的解，再在数轴上的表示出解集即可．
【详解】
解：
解不等式①得，
解不等式②得，
不等式组的解集为，
在数轴上表示为，
故选：C．
方法技巧


（1）在数轴上表示不等式的解集，注意“>”“≥”向右画，“<”“≤”向左画；
（2）在表示解集时“≥”“≤”要用实心圆点表示，“>”“<”要用空心圆点表示.
（3）取不等式组中各不等式解集的公共部分的规则：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到.

针对训练



1．（2021·重庆中考真题）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用在数轴上表示时点是否为空心或实心，方向是向左或向右进行判断即可．
【详解】
解：在数轴上表示时，其点应是空心，方向为向右，
因此，综合各选项，只有A选项符合；
故选A．
2．（2021·湖南邵阳市·中考真题）不等式组的整数解的和为（ ）
A．1 B．0 C．-1 D．-2
【分析】先求出不等式组的解集，再从中找出整数求和即可.
【详解】
，
解①得
，
解②得
x≤1,
∴,
∴整数解有：-1，0，1，
∴-1+0+1=0.
故选B.
3．（2021·江苏扬州市·中考真题）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则整数m的值为_________．
【分析】根据第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0列出不等式组，然后求解即可．
【详解】
解：由题意得：，
解得：，
∴整数m的值为2，
故答案为：2．

考点7：含参不等式

【例13】（2021·四川眉山市）若关于的不等式只有3个正整数解，则的取值范围是______．
【分析】首先解关于的不等式，然后根据只有3个正整数解，来确定关于的不等式组的取值范围，再进行求解即可．
【详解】
解：解不等式，
得：，
由题意只有3个正整数解，则分别为：1，2，3，
故：，
解得：，
故答案是：．
【例14】（2021·重庆）关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先将分式方程化为整式方程，得到它的解为,由它的解为正数，同时结合该分式方程有解即分母不为0，得到且，再由该一元一次不等式组有解，又可以得到，综合以上结论即可求出a的取值范围，即可得到其整数解，从而解决问题．
【详解】
解：,
两边同时乘以（)，
,
,
由于该分式方程的解为正数，
∴，其中;
∴，且；
∵关于y的元一次不等式组有解，
由①得：;
由②得：;
∴，
∴
综上可得：,且;
∴满足条件的所有整数a为：；
∴它们的和为；
故选B．
针对训练



1．（2021·山东菏泽市·中考真题）如果不等式组的解集为，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先解不等式组,确定每个不等式的解集,后根据不等式组的解集的意义,确定m的取值范围即可.
【详解】
∵，
解①得x＞2，解②得x＞m，
∵不等式组的解集为，根据大大取大的原则，
∴，
故选A.
2．（2021·内蒙古呼和浩特市·中考真题）已知关于x的不等式组无实数解，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
首先解出两个不等式，根据题目该不等式组无实数解，那么两个解集没有公共部分，列出关于a的不等式，即可求解．
【详解】
解：解不等式得，
，
解不等式得，
，
∵该不等式组无实数解，
∴，
解得：，
故选：D．
考点8：含参方程

【例15】（2021·重庆）若关于x的方程的解是，则a的值为__________．
【分析】将x=2代入已知方程列出关于a的方程，通过解该方程来求a的值即可．
【详解】
解：根据题意，知
，
解得a=3．
故答案是：3．
【例16】（2021·四川凉山彝族自治州）已知是方程的解，则a的值为______________．
【分析】根据方程解的定义，将x=1，y=3代入方程，即可求得a的值．
【详解】
解：根据题意，将x=1，y=3代入方程，
得：，
解得：a=-1，
故答案为：-1．
【例17】（内蒙古呼伦贝尔）若关于x的分式方程无解，则a的值为（ ）
A．3 B．0 C． D．0或3
【分析】直接解分式方程，再根据分母为0列方程即可．
【详解】
解：，
去分母得：2﹣x﹣a＝2（x﹣3），
解得：x＝，
当时，方程无解，
解得．
故选：C．
【例18】（2021·山东聊城市）关于x的方程x2＋4kx＋2k2＝4的一个解是﹣2，则k值为（ ）
A．2或4 B．0或4 C．﹣2或0 D．﹣2或2
【分析】把x=-2代入方程即可求得k的值；
【详解】
解：将x=-2代入原方程得到：，
解关于k的一元二次方程得：k=0或4，
故选：B．

针对训练

1．（2021·四川宜宾市）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【分析】先把分式方程化为整式方程，再把增根x=2代入整式方程，即可求解．
【详解】
解：，
去分母得：，
∵关于x的分式方程有增根，增根为：x=2，
∴，即：m=2，
故选C．
2．（2021·江苏南京市）设是关于x的方程的两个根，且，则_______．
【分析】先利用根与系数的关系中两根之和等于3，求出该方程的两个根，再利用两根之积得到k的值即可．
【详解】
解：由根与系数的关系可得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴;
故答案为：2．
3．（2021·黑龙江绥化市）已知是一元二次方程的两个根，则__________．
【分析】运用一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【详解】
解： ∵是一元二次方程的两个根，
根据根与系数的关系得：，，
∴，
故答案为：．