人教A版高中数学必修第二册微专题强化练2答案

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微专题强化练(二)1．C　[设球的半径为R，则4πR2＝20π，解得R2＝5.设四棱柱的高为h，则h2＋1＋1＝4R2，解得h＝32.故选C．]2．C　[由题意，将直三棱柱ABC-A1B1C1补成长方体，如图所示，则该长方体的体对角线为232+32+12＝4，设长方体的外接球的半径为R，则2R＝4，R＝2，所以该长方体的外接球的体积V＝43πR3＝32π3．]3．A　[设球O的半径为R，则圆柱的底面圆的半径为R，高为2R，所以πR2·2R＝16π，解得R＝2，则球O的体积为43πR3＝323π，故选A．]4．D　[由圆锥的底面半径为3，母线长为2，可求得其轴截面的顶角为2π3.设该圆锥的底面圆心为O1，其半径为r，球O的半径为R，则O1O＝|R－1|，R2＝O1O2＋r2＝(R－1)2＋(3)2，解得R＝2，所以球O的表面积为4πR2＝16π．]5．BD　[设内、外球半径分别为r，R，则正方体的棱长为2r，体对角线长为2R，∴R＝3r，又由题知R－r＝1，所以r＝3+12，R＝3+32，∴正方体棱长为3＋1，体对角线长为3＋3，∴外接球表面积为π(3＋3)2＝(12＋63)π.故选BD．]6．144π　[如图所示，当点C为垂直于平面AOB的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积最大．设球O的半径为R，此时VO-ABC＝VC-ABO＝13×12×R2×R＝16R3＝36，解得R＝6.则球O的表面积为4πR2＝144π．]7．32　[设球的半径为r，则圆锥的高为3r，设圆锥的底面圆的半径为R，则圆锥的轴截面如图所示，设球心为点O，在Rt△AOM中，∠AMO＝90°，OM＝r，AO＝AH－OH＝2r，sin∠OAM＝OMAO＝12，∴∠OAM＝30°，∴R＝AH·tan ∠OAM＝3r，则AB＝2R＝23r，则圆锥的侧面积为S1＝πR·2R＝π×3r×23r＝6πr2，球O的表面积为S2＝4πr2，因此，圆锥的侧面积与球的表面积的比值为S1S2＝6πr24πr2＝32．]8．9π2　[当球的半径最大时，球的体积最大，即在直三棱柱内，当球和三个侧面都相切时．因为AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，所以AC＝10，底面的内切圆的半径即为此时球的半径r＝6+8-102＝2，直径为4大于侧棱. 所以球的最大直径为3，半径为32，此时体积V＝9π2．]9．32∶8　[设圆柱形容器里的球的半径为r，则圆柱形容器的底面半径为r，圆柱形容器的高h＝2r，则圆柱形容器的外接球的半径R＝2r22+r2＝2r，则圆柱形容器的容积为V1＝πr2·2r＝2πr3，它的外接球的体积为V2＝43π(2r)3＝823πr3，则该圆柱形容器的容积与它的外接球的体积之比为V1V2＝2πr3823πr3＝328．]10．解：设正四面体的棱长为1，外接球和内切球半径分别为R，r.如图所示，D为AB的中点，SE⊥CD，则线段SE为正四面体SABC的高，且SE＝SD2-DE2＝322-362＝63，V正四面体SABC＝13×34×63＝212.由正四面体的性质知三个球的球心重合，且球心O在线段SE上，则R＋r＝OS＋OE＝SE＝63，V正四面体SABC＝13×34×r×4＝33r＝212，所以r＝612，R＝64，而棱切球的半径为OD＝r2+DE2＝24，则正四面体的内切球、棱切球及外接球的半径之比为612∶24∶64＝1∶3∶3.