专题：解三角形

这是一份高中全册综合优秀学案，共14页。学案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

解三角形
解三角形重难点突破

重点
理解正余弦定理及其推论，三角形面积公式
难点
正余弦定理及其推论、面积公式等公式在求解问题中的选取和利用
考试要求
考试
Ø 题型 选择题、填空题、解答题
Ø 难度 中等





类型一：利用正余弦定理求解三角形
例题1 在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且B为锐角，若，sin B=，
S△ABC=，则b的值为　　　　。
答案：
解析：∵，∴，可得a=①。
∵S△ABC=acsin B=，sin B=，∴ac=10②。
由①②可得a=5，c=2。∵sin B=，且B为锐角，∴cos B=，
由余弦定理可得b2=a2+c2－2ac·cos B=25+4－2×5×2×=14，∴b=。
总结提升：
利用正弦定理、余弦定理和面积公式求解三角形有关的问题，要注意正弦定理和余弦定理以及它们的推论进行边角转化，从而解决问题。

类型二：判断三角形形状
例题2 在ΔABC中，已知B=60°，2b=a+c，判断三角形的形状。
解：由余弦定理可得，化简整理得：
，因为2b=a+c，所以，
所以，整理得，即a=c，所以，b=a=c，
所以ΔABC为等边三角形。
总结提升：
利用正余弦定理判断三角形的形状主要从两个角度出发，第一化边，把角全部化为边，利用边的关系判断三角形形状，第二化角，把边全部化为角，根据三角形内角的关系判断三角形形状。

类型三：解三角形中的最值问题
例题3 在ΔABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，求cosC的最小值。
解：由余弦定理知：
当且仅当a=b，即ΔABC为等边三角形时COSC取得最小值。

例题4 在ΔABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若B=60°，b=，求c+2a的最大值。
解：由正弦定理得：，
∴c+2a=2sinC+4sinA
=2sin（120°－A）+4sinA
=
=
=
所以c+2a的最大值为。

总结提升：
本题考查解三角形和三角函数求最值，其中，用角A来表示所求的边长是解决问题的关键。在解决最值问题中，通常可利用基本不等式法，或者消元的解题策略，将所求问题转化为只含一个未知数的函数再求解函数的最值即可。在求解过程中，需要注意变量的取值范围的限制条件。


1. 利用正余弦定理求解三角形基本步骤：第一观察所给的已知条件的特点，第二选择合适的定理对应的公式，第三代入公式求解题目。
2. 利用正余弦定理判断三角形的形状，关键有两点：第一化角，第二化边。
3. 利用正余弦定理求解有关最值问题，要根据已知条件，结合定理和公式解决问题，关键是利用好三角函数和不等式的有关知识。


（答题时间：40分钟）
一、选择题
1. 在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝（　　）
A. 4 B. C. D. 2
2. 已知△ABC中，tan A（sin C－sin B）=cos B－cos C，则△ABC为（　　）
A. 等腰三角形 B. A=60°的三角形
C. 等腰三角形或A=60°的三角形 D. 等腰直角三角形
3. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C＝，bcos A＋acos B＝2，则△ABC的外接圆面积为（　　）
A. 4π B. 8π C. 9π D. 36π

二、填空题
4. 在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6，则=　 　。
5. 已知△ABC的三边a，b，c所对的内角分别为A，B，C，且b2=ac，则sin B+cos B的取值范围是 　。
6. 在△ABC中，C=，BC=2AC=2，点D在边BC上，且sin∠BAD=，则CD= 　。

三、解答题
7. 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b＝acos C＋c。
（1）求角A；
（2）若·＝3，求a的最小值。
8. 在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足sin（B＋C）＝sin2。
（1）求角A的大小；
（2）若a＝2，b＞c，D为BC的中点，且AD＝，求sin C的值。




1. 答案：A
解析：因为cos＝，所以cos C＝2cos2－1＝2×－1＝－。
由余弦定理的推论，知
AB＝
＝。
2. 答案：C
解析：∵tan A（sin C－sin B）=cos B－cos C，
∴·（sin C－sin B）=cos B－cos C，
∴sin A（sin C－sin B）=cos A（cos B－cos C），
整理得cos Acos B+sin Asin B=cos Acos C+sin Asin C，
∴cos（A－B）=cos（A－C），
∴A－B=A－C或A－B=C－A。
当A－B=A－C时，B=C，则△ABC为等腰三角形；
当A－B=C－A时，B+C=2A，可得A=60°。
综上，△ABC为等腰三角形或A=60°的三角形。
3. 答案：C
解析：由可得sin Bcos A＋sin Acos B＝，所以sin（A＋B）＝，即sin C＝，又cos C＝，所以sin C＝，所以R＝3，所以△ABC的外接圆面积为S＝πR2＝9π。
4. 答案：1　
解析：由正弦定理得a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6，设a=4，b=5，c=6，
则由余弦定理知cos A=，∴。
5. 答案：（1，]
解析：∵b2=ac，
∴ac=b2=a2+c2－2accos B≥2ac－2accos B，可得cos B≥，当且仅当a=c时等号成立。
又∵0 6. 答案：
解析：∵C=，BC=2AC=2，
∴AB=，
∴cos B=，又∵B∈（0，π），∴B=，可得∠BAC=。
∵sin∠BAD=，∠BAD∈，∴cos∠BAD=，
∴sin∠DAC=cos∠BAD=。
在△ABD中，由正弦定理可得，AD=，
在△ADC中，由正弦定理可得，AD=，∴，解得CD=。
7. 解：（1）∵△ABC中，b－acos C＝，
∴由正弦定理知，sin B－sin Acos C＝sin C，
∵A＋B＋C＝π，
∴sin B＝sin（A＋C）＝sin Acos C＋cos Asin C，
∴sin Acos C＋cos Asin C－sin Acos C＝sin C，
∴cos Asin C＝sin C，
∴cos A＝，∴A＝。
（2）由（1）及·＝3得bc＝6，
所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－6≥2bc－6＝6，当且仅当b＝c时取等号，所以a的最小值为。
8. 解：（1）sin（B＋C）＝sin2，
所以sin A＝sin2，所以tan ＝，
因为A∈（0，π），所以＝，所以A＝。
（2）由题意可知cos ∠ADB＝－cos ∠ADC，
所以＝－，
所以b2＋c2＝20。
又因为a2＝c2＋b2－2bccos A，所以bc＝8，
因为b＞c，所以b＝4，c＝2。
由正弦定理可得＝，所以sin C＝。

与三角形面积有关的计算问题

重点
运用正、余弦定理等知识和方法解决一些与三角面积有关的计算问题
难点
有关定理、公式的灵活应用
考试要求
考试
Ø 题型 选择题、填空题、解答题
Ø 难度 中等


类型一：利用公式求解面积
例题1 已知ΔABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量若，边长c=2，角C=，求ΔABC的面积。
解：∵，∴，
∴a+b=ab。①
由余弦定理可得
，即
即②
将①式代入到②式可得（ab）2－3ab－4=0，解得ab=4，
∴SΔABC=。

总结提升：
（1）在方程建立的过程中，应注意由余弦定理可以建立方程，也要注意含有正弦形式的面积公式的应用。
（2）由条件得到的是一个二元二次方程组，要注意把ab作为一个整体进入整体求解，并把ab作为一个整体代入到三角形面积公式直接求出SΔABC，避免许多繁杂的运算，从而使问题较轻松地获得解决。

类型二：面积的最值范围问题
例题2　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（a +b－c）（a +b +c）=3ab，且c=4，则△ABC面积的最大值为　__________。

答案：4
解：由（a +b－c） （a +b +c）=3ab，可得a2+b2－c2=ab，
根据余弦定理可得cos C=，
∵0 ∵c=4， ∴a2+b2－16=ab，
即a2+b2=ab+16≥2ab，可得ab≤16，
当且仅当a=b时取等号，
∴△ABC的面积S=absin C≤×16×=4，
则△ABC面积的最大值为4。

总结提升：
解三角形的一个重要题型，就是求解面积的最大值，这是数学求解题目中常见的题型，也是不等式的一个重要应用，通过正余弦定理求解三角形的元素，根据基本不等式求解范围，本题很好的把解三角形和基本不等式结合起来，加大题目的思考难度。

例题3 ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知。
（1）求B；
（2）若ΔABC为锐角手拿侥幸，且c=1，求ΔABC面积的取值范围。
解：（1）由题意及正弦定理得。
因为sinA≠0，所以。
由A+B+C=180°，可得。
故。
因为，所以，
所以B=60°。
（2）由题设及（1）知ΔABC的面积
由（1）知A+C=120°，
由正弦定理得。
由于ΔABC为锐角三角形，
故0° 结合A+C=120°，得30° 所以，从而。
因此，ΔABC面积的取值范围是。
总结提升：
本题综合考查正弦定理、二倍角公式以及三角形面积公式，属于中档题。


1. 利用公式求解三角形面积，要熟练应用正余弦定理，定理的应用条件在审题时要明确，从而选择正确的公式进行计算三角形的元素，而后运用面积公式求解面积。
2. 利用三角形面积公式求解面积是容易求解的，为了加大思考量，增强知识点间的联系，把三角形面积的求解和其它知识点相联系，让同学们理解数学的相互联系，知识的学习要懂得融会贯通。


（答题时间：40分钟）
一、选择题
1. 已知△ABC的面积为S，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若4S=a2－（b－c）2，bc=4，则S=（　　）
A. 2 B. 4 C. D. 2
2. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b=4，则△ABC的面积的最大值为（　　）
A. 4 B. 2 C. 3 D.
3. 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若2sin C=sin A+sin B，cos C=，且S△ABC=4，则c=（　　）
A. B. 4 C. D. 5

二、填空题
4. 在△ABC中，已知a=3，b=2，cos C=，则△ABC的面积为　　 。
5. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知b=2，c=3，B=2C，则S△ABC=　 　。
6. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知bsin C+csin B=4asin Bsin C，b2+c2－a2=8，则△ABC的面积为 　　。
7. 在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=，b=，则△ABC的面积的取值范围是　 　。

三、解答题
8. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bc=1，a2－bc=（b－c）2。
（1）求△ABC的面积；
（2）若cos Bcos C=，求△ABC的周长。




1. 答案：A
解析：因为S=bcsin A，a2=b2+c2－2bc·cos A，4S=a2－（b－c）2，所以2bcsin A=2bc－2bc·cos A，化简得sin A+cos A=1，即sin=1，
所以sin=，可得A+=
所以A=，所以S=bcsin A=2。
2. 答案：A
解析：在△ABC中，=，∴（2a－c）cos B=bcos C，由正弦定理得
（2sin A－sin C）cos B=sin Bcos C，
∴2sin Acos B=sin Ccos B+sin Bcos C=sin（B+C）=sin A。又sin A≠0，∴cos B=，∵0 3. 答案：A
解析：在△ABC中，2sin C=sin A+sin B，由正弦定理可得2c=a+b，由cos C=，0 得sin C=，又S△ABC=absin C=4，∴ab=10，
∴cos C==，即，
得c=。
4. 答案：4
解析：因为sin C=，所以△ABC的面积S=absin C=4。
5. 答案：
解析：由正弦定理，得，即，
解得cos C=。由余弦定理得cos C=，解得a=1（舍去）或a=3，又sin C=，
所以S△ABC=a·b·sin C=×1×2×=。
6. 答案：
解析：由b2+c2－a2=8 得2bccos A=8，可知A为锐角，且bccos A=4。由已知及正弦定理得sin Bsin C+sin Csin B=4sin Asin Bsin C，因为sin B≠0，sin C≠0，所以可得sin A=，所以A=30°，所以bccos 30°=4，即bc=，所以△ABC的面积S=bcsin A=××=。
7. 解：由正弦定理得=2，∴a=2sin A，c=2sin C，
∴S△ABC=acsin B=ac=sin Asin C=sin Asin=sinAsin Acos A+sin2A=sin 2A+sin 2A－cos 2A+=sin。
∵△ABC为锐角三角形，
∴解得 ∴<2A－<，∴ ∴ 故△ABC的面积的取值范围是。
8. 解：（1）由a2－bc=（b－c）2可得b2+c2－a2=bc，∴cos A=，又∵A∈（0°，180°），
∴sin A=，
∴S△ABC=bcsin A=。
（2）∵cos A=－cos（B+C）=，∴sin Bsin C－cos Bcos C=，
又cos Bcos C=，∴sin Bsin C=。
由正弦定理得，∴a=1，
∴b2+c2－a2=（b+c）2－2bc－1=（b+c）2－3。
又∵b2+c2－a2=1，∴b+c=2，
∴△ABC的周长为a+b+c=1+2=3。