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专题：立体几何
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册全册综合精品导学案，共13页。学案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
空间几何体的体积
例题1 如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为（ ）
A. 3 B. C. 1 D.
答案：C
解析：如题图，因为△ABC是正三角形，
且D为BC中点，则AD⊥BC。
又因为BB1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，
故BB1⊥AD，且BB1∩BC＝B，BB1，BC⊂平面BCC1B1，
所以AD⊥平面BCC1B1，
所以AD是三棱锥A－B1DC1的高。
所以＝·AD
＝××＝1
总结提升：求规则几何体的体积，关键在求底面积和体高，然后代公式求解即可。斜棱柱要注意体高和斜高的区别。
例题2 如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱和底面边长都是a，截面AB1C和A1BC1相交于DE，求三棱锥B-B1DE的体积。
解：∵V三棱锥B-B1DE=V三棱锥B1-BDE，又在ΔA1BC1中，D，E分别是A1B，BC1的中点，
∴。
又
即。
总结提升：
三棱锥是最简单的几何体，它的每一个顶点均可作为该三棱锥的顶点，每一个面均可作为棱锥的底面，因此要多角度观察图形，适当进行等积变换，可简化求解过程。
例题3 如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5. 求此几何体的体积。
解法1： 如图，取CM＝AN＝BD，连接DM，MN，DN，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥。
则V几何体＝V三棱柱＋V四棱锥。
由题知三棱柱ABC－NDM的体积为V1＝×8×6×3＝72。
四棱锥D－MNEF的体积为
V2＝×S梯形MNEF×DN
＝××（1＋2）×6×8＝24，
则几何体的体积为V＝V1＋V2＝72＋24＝96.
解法2：用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA′＝BB′＝CC′＝8，所以V几何体＝V三棱柱＝×S△ABC×AA′＝×24×8＝96。
总结提升：常用的求几何体体积的方法
（1）公式法：直接代入公式求解。
（2）等积法：例如，四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可。
（3）补形法：对几何体补成易求体积的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等。
（4）分割法：将几何体分割成易求出体积的几部分，分别求体积。
1. 求组合体的体积，要根据相应情况把它分解成柱、锥、台体等后分别求体积，然后求代数和。
2. 不规则几何体常通过分割或补形转化为规则几何体来求面积或体积。
（答题时间：30分钟）
一、选择题
1. 已知圆柱的侧面展开图是一个边长为的正方形，则这个圆柱的体积是（ ）
A. B. C. D.
2. 设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为（ ）
A. B. C. D. 2
3. 已知圆台上、下底面的面积分别为，，侧面积为，则这个圆台的体积为（ ）.
A. B. C. D.
二、填空题
4. 如图所示，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水。若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则＝________。
5. 一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________。
1. 答案：A
解析：底面圆周长，，所以
故选：A
2. 答案：B
解析：由底面边长为1和侧棱长为，可知高。
又因为底面积，所以正六棱锥体积。
故选B。
3. 答案：C
解析：依题意知圆台上底面半径为，下底面半径为，，解得l=2。
所以高
圆台的体积 故选C。
4. 答案：
解析：由水面高度升高r，得圆柱体积增加了πR2r，恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此有πr3＝πR2r。故＝。
5. 答案：12
解析：设六棱锥的高为h，则V＝Sh，
所以××4×6h＝2，解得h＝1。
设六棱锥的斜高为h′，
则h2＋（）2＝h′2，故h′＝2。
所以该六棱锥的侧面积为。
球的内切、外接问题
核心知识点一：球与长方体、正方体组合问题
1. 正方体的内切球与外接球：
设正方体的棱长为，求：（1）内切球半径；（2）外接球半径。
解：（1）截面图为正方形的内切圆，得；
（2）正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图，以对角面AC1作截面图得，圆为矩形的外接圆，易得。
2. 长方体的外接球
设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，其外接球的半径为R，如图，则R=。
核心知识点二：棱锥的内切、外接球问题
正四面体的外接球和内切球的半径是多少？
解：如图所示，设点是内切球的球心，正四面体棱长为。由图形的对称性知，点也是外接球的球心。设内切球半径为，外接球半径为。
在中，，即，
又AE=R+r=
解得，。
总结提升：
由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为（为正四面体的高），且外接球的半径，从而可以通过截面图中建立棱长与半径之间的关系。
例题1 长方体一个顶点上的三条棱的长度分别为2a，a，a，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积为（ ）
A. 3πa 2 B. 6πa 2 C. 12πa 2 D. 24πa 2
答案：B
解析：长方体的体对角线长为球的直径，而长方体的体对角线长为：，所以这个球的表面积为。
例题2 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的体积是____。
答案：
解析：因为三棱锥的三条侧棱两两垂直，联想到正方体同一顶点处的三条侧棱，构造正方体，如图所示，设AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥BD，且AB=BC=BD=。则该正方体的体对角线长，而l=2R，所以4R2=9，所以，所以其外接球的体积为。
总结提升：
关于几何体的外接球问题，解决问题的关键是确定球心的位置。构造法是解决几何体的外接球的常用技巧。
例题3 如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________。
答案：
解析：设球O的半径为R，∵球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，
∴圆柱O1O2的高为2R，底面半径为R。
。
球与几何体的内切、外接问题是高考的热点问题之一，此类问题综合性较强，求解时需要较强的空间想象能力。解决此类题目应注意以下两点：
（1）球外接于几何体，则几何体的各顶点均在球面上。解题时要认真分析图形，一般需依据球和几何体的对称性，明确接点的位置，根据球心与几何体特殊点间的关系，确定相关的数量关系，并作出合适的截面进行求解。
（2）解决几何体的内切球问题，应先作出一个适当的截面（一般作出多面体的对角面所在的截面），这个截面应包括几何体与球的主要元素，且能反映几何体与球的位置关系和数量关系。
（答题时间：30分钟）
一、选择题
1. 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A. 12π B. π C. 8π D. 4π
二、填空题
2. 已知，，，是球的球面上的四点，，，两两垂直，，且三棱锥的体积为，则球的表面积为______。
3. 三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥AC，PA=AB=2，AC=4，三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的体积为 。
三、解答题
4. 正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一球面上，求此球的体积。
1. 答案：A
解析：由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线为2即为球的直径，所以球的表面积为4πR2＝（2R）2π＝12π，故选A。
2. 答案：
解析：三棱锥的体积为，故，
因为，，两两垂直，，故可把三棱锥补成正方体，
该正方体的体对角线为三棱锥外接球的直径，
又体对角线的长度为，故球的表面积为。
填。
3. 答案：
解析：因为PA⊥面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，构造如图所示长方体，则该长方体同一个顶点处的三条棱长分别为2，2，4，则该长方体的体对角线，
所以，
所以球O的体积为。
4. 解：设正四棱锥的底面中心为O1，外接球的球心为O，
如图所示，由球的截面的性质，可得OO1⊥平面ABCD。
又SO1⊥平面ABCD，∴球心O必在SO1所在的直线上。
∴△ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径。
在△ASC中，由SA=SC=，AC=2，得SA2+SC2=AC2。
∴△ASC是以AC为斜边的直角三角形。
∴=1是外接圆的半径，也是外接球的半径。故。
重点
1. 了解球、棱柱、棱锥、台体积的计算公式
2. 会求一些简单的组合体、不规则几何体的体积
难点
不规则几何体体积的求法，等积转换法的应用
考试要求
考试
题型 选择题、填空题、解答题
难度 中等
类型一：求简单几何体的体积
类型二：求不规则几何体的体积
重点
会解决一些简单几何体的内切球、外接球问题
难点
处理几何体与球的组合体问题时如何确定球心的位置
考试要求
考试
题型 选择题、填空题、解答题
难度 中等
空间几何体的体积
例题1 如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为（ ）
A. 3 B. C. 1 D.
答案：C
解析：如题图，因为△ABC是正三角形，
且D为BC中点，则AD⊥BC。
又因为BB1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，
故BB1⊥AD，且BB1∩BC＝B，BB1，BC⊂平面BCC1B1，
所以AD⊥平面BCC1B1，
所以AD是三棱锥A－B1DC1的高。
所以＝·AD
＝××＝1
总结提升：求规则几何体的体积，关键在求底面积和体高，然后代公式求解即可。斜棱柱要注意体高和斜高的区别。
例题2 如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱和底面边长都是a，截面AB1C和A1BC1相交于DE，求三棱锥B-B1DE的体积。
解：∵V三棱锥B-B1DE=V三棱锥B1-BDE，又在ΔA1BC1中，D，E分别是A1B，BC1的中点，
∴。
又
即。
总结提升：
三棱锥是最简单的几何体，它的每一个顶点均可作为该三棱锥的顶点，每一个面均可作为棱锥的底面，因此要多角度观察图形，适当进行等积变换，可简化求解过程。
例题3 如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5. 求此几何体的体积。
解法1： 如图，取CM＝AN＝BD，连接DM，MN，DN，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥。
则V几何体＝V三棱柱＋V四棱锥。
由题知三棱柱ABC－NDM的体积为V1＝×8×6×3＝72。
四棱锥D－MNEF的体积为
V2＝×S梯形MNEF×DN
＝××（1＋2）×6×8＝24，
则几何体的体积为V＝V1＋V2＝72＋24＝96.
解法2：用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA′＝BB′＝CC′＝8，所以V几何体＝V三棱柱＝×S△ABC×AA′＝×24×8＝96。
总结提升：常用的求几何体体积的方法
（1）公式法：直接代入公式求解。
（2）等积法：例如，四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可。
（3）补形法：对几何体补成易求体积的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等。
（4）分割法：将几何体分割成易求出体积的几部分，分别求体积。
1. 求组合体的体积，要根据相应情况把它分解成柱、锥、台体等后分别求体积，然后求代数和。
2. 不规则几何体常通过分割或补形转化为规则几何体来求面积或体积。
（答题时间：30分钟）
一、选择题
1. 已知圆柱的侧面展开图是一个边长为的正方形，则这个圆柱的体积是（ ）
A. B. C. D.
2. 设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为（ ）
A. B. C. D. 2
3. 已知圆台上、下底面的面积分别为，，侧面积为，则这个圆台的体积为（ ）.
A. B. C. D.
二、填空题
4. 如图所示，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水。若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则＝________。
5. 一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________。
1. 答案：A
解析：底面圆周长，，所以
故选：A
2. 答案：B
解析：由底面边长为1和侧棱长为，可知高。
又因为底面积，所以正六棱锥体积。
故选B。
3. 答案：C
解析：依题意知圆台上底面半径为，下底面半径为，，解得l=2。
所以高
圆台的体积 故选C。
4. 答案：
解析：由水面高度升高r，得圆柱体积增加了πR2r，恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此有πr3＝πR2r。故＝。
5. 答案：12
解析：设六棱锥的高为h，则V＝Sh，
所以××4×6h＝2，解得h＝1。
设六棱锥的斜高为h′，
则h2＋（）2＝h′2，故h′＝2。
所以该六棱锥的侧面积为。
球的内切、外接问题
核心知识点一：球与长方体、正方体组合问题
1. 正方体的内切球与外接球：
设正方体的棱长为，求：（1）内切球半径；（2）外接球半径。
解：（1）截面图为正方形的内切圆，得；
（2）正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图，以对角面AC1作截面图得，圆为矩形的外接圆，易得。
2. 长方体的外接球
设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，其外接球的半径为R，如图，则R=。
核心知识点二：棱锥的内切、外接球问题
正四面体的外接球和内切球的半径是多少？
解：如图所示，设点是内切球的球心，正四面体棱长为。由图形的对称性知，点也是外接球的球心。设内切球半径为，外接球半径为。
在中，，即，
又AE=R+r=
解得，。
总结提升：
由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为（为正四面体的高），且外接球的半径，从而可以通过截面图中建立棱长与半径之间的关系。
例题1 长方体一个顶点上的三条棱的长度分别为2a，a，a，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积为（ ）
A. 3πa 2 B. 6πa 2 C. 12πa 2 D. 24πa 2
答案：B
解析：长方体的体对角线长为球的直径，而长方体的体对角线长为：，所以这个球的表面积为。
例题2 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的体积是____。
答案：
解析：因为三棱锥的三条侧棱两两垂直，联想到正方体同一顶点处的三条侧棱，构造正方体，如图所示，设AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥BD，且AB=BC=BD=。则该正方体的体对角线长，而l=2R，所以4R2=9，所以，所以其外接球的体积为。
总结提升：
关于几何体的外接球问题，解决问题的关键是确定球心的位置。构造法是解决几何体的外接球的常用技巧。
例题3 如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________。
答案：
解析：设球O的半径为R，∵球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，
∴圆柱O1O2的高为2R，底面半径为R。
。
球与几何体的内切、外接问题是高考的热点问题之一，此类问题综合性较强，求解时需要较强的空间想象能力。解决此类题目应注意以下两点：
（1）球外接于几何体，则几何体的各顶点均在球面上。解题时要认真分析图形，一般需依据球和几何体的对称性，明确接点的位置，根据球心与几何体特殊点间的关系，确定相关的数量关系，并作出合适的截面进行求解。
（2）解决几何体的内切球问题，应先作出一个适当的截面（一般作出多面体的对角面所在的截面），这个截面应包括几何体与球的主要元素，且能反映几何体与球的位置关系和数量关系。
（答题时间：30分钟）
一、选择题
1. 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A. 12π B. π C. 8π D. 4π
二、填空题
2. 已知，，，是球的球面上的四点，，，两两垂直，，且三棱锥的体积为，则球的表面积为______。
3. 三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥AC，PA=AB=2，AC=4，三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的体积为 。
三、解答题
4. 正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一球面上，求此球的体积。
1. 答案：A
解析：由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线为2即为球的直径，所以球的表面积为4πR2＝（2R）2π＝12π，故选A。
2. 答案：
解析：三棱锥的体积为，故，
因为，，两两垂直，，故可把三棱锥补成正方体，
该正方体的体对角线为三棱锥外接球的直径，
又体对角线的长度为，故球的表面积为。
填。
3. 答案：
解析：因为PA⊥面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，构造如图所示长方体，则该长方体同一个顶点处的三条棱长分别为2，2，4，则该长方体的体对角线，
所以，
所以球O的体积为。
4. 解：设正四棱锥的底面中心为O1，外接球的球心为O，
如图所示，由球的截面的性质，可得OO1⊥平面ABCD。
又SO1⊥平面ABCD，∴球心O必在SO1所在的直线上。
∴△ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径。
在△ASC中，由SA=SC=，AC=2，得SA2+SC2=AC2。
∴△ASC是以AC为斜边的直角三角形。
∴=1是外接圆的半径，也是外接球的半径。故。
重点
1. 了解球、棱柱、棱锥、台体积的计算公式
2. 会求一些简单的组合体、不规则几何体的体积
难点
不规则几何体体积的求法，等积转换法的应用
考试要求
考试
题型 选择题、填空题、解答题
难度 中等
类型一：求简单几何体的体积
类型二：求不规则几何体的体积
重点
会解决一些简单几何体的内切球、外接球问题
难点
处理几何体与球的组合体问题时如何确定球心的位置
考试要求
考试
题型 选择题、填空题、解答题
难度 中等
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