人教A版高中数学(必修第二册)同步培优讲义综合测试卷：必修二全册（基础篇）（2份打包，原卷版+教师版）

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必修二全册综合测试卷（基础篇）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2023·陕西咸阳·模拟预测）若复数，则的虚部是（    ）A． B． C． D．【解题思路】先根据复数的运算求得，再得到虚部即可.【解答过程】由题意，可得，故的虚部为.故选：C.2．（5分）（2022秋·上海宝山·高二开学考试）关于直线、及平面、，下列命题正确的是（    ）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则【解题思路】根据条件判断各选项即可.【解答过程】对于A，若，，则或与异面，故A错误；对于B，若，，则存在直线，使得，且，则，故，故B正确；对于C，若，，则，或，故C错误；对于D，若，则不一定得到，故D错误.故选：B.3．（5分）（2023·湖南·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，，，若，则（    ）A． B． C． D．【解题思路】根据向量的运算法则计算得到答案.【解答过程】，故选：B.4．（5分）（2023·全国·高一专题练习）一个射手进行射击，记事件“脱靶”，“中靶”，“中靶环数大于4”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件是（    ）．A．与 B．与 C．与 D．以上都不对【解题思路】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的意义逐项分析判断作答.【解答过程】射手进行射击时，事件=“脱靶”，=“中靶”，=“中靶环数大于4”，事件与不可能同时发生，并且必有一个发生，即事件与是互斥且对立，A错误；事件与不可能同时发生，但可以同时不发生，即事件与是互斥不对立，B正确，D错误； 事件与可以同时发生，即事件与不互斥不对立，C不是.故选：B.5．（5分）（2023春·安徽·高一开学考试）已知甲，乙两名运动员进行射击比赛，每名运动员射击10次，得分情况如下图所示．则根据本次比赛结果，以下说法正确的是（    ）A．甲比乙的射击水平更高B．甲的射击水平更稳定C．甲射击成绩的中位数大于乙射击成绩的中位数D．甲射击成绩的众数大于乙射击成绩的众数【解题思路】计算甲，乙的平均数并比较即可判断A；计算甲，乙的方差并比较即可判断B；求出甲，乙的中位数即可判断C；求出甲，乙的众数即可判断D．【解答过程】甲的平均数乙的平均数∵，∴乙的射击水平更高，故A错误；甲的方差乙的方差∵，∴甲的射击水平更稳定，故B正确；甲的射击成绩由小到大排列为：，位于第5、第6位的数分别是，所以甲的中位数是；乙的射击成绩由小到大排列为：，位于第5、第6位的数分别是，所以乙的中位数是，故甲射击成绩的中位数与乙射击成绩的中位数相等，故C错误；甲的众数为9，乙的众数为10，故D错误.故选：B.6．（5分）（2023·福建厦门·统考二模）厦门山海健康步道云海线全长约23公里，起于东渡邮轮广场，终于观音山沙滩，沿线申联贸鸟湖、狐尾山、仙岳山、园山、薛岭山、虎头山、金山、湖边水库、五缘湾、虎仔山、观音山等“八山三水”．市民甲计划从“八山三水”这11个景点中随机选取相邻的3个游览，则选取的景点中有“水”的概率为（    ）A． B． C． D．【解题思路】利用对立事件，结合古典概型公式，即可求解.【解答过程】11个景点随机选取相邻的3个游览，共有9种情况，选取景点中有“水”的对立事件是在狐尾山、仙岳山、园山、薛岭山、虎头山、金山中选取3个相邻的，共有4种情况，则其概率，则11个景点中随机选取相邻的3个游览，则选取的景点中有“水”的概率.故选：C.7．（5分）（2023春·河南安阳·高三阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．若D是BC边的中点，且，则面积的最大值为（  ）A．16 B．C． D．【解题思路】首先根据题意利用余弦定理得到，根据是边BC的中点得到，从而得到，再利用基本不等式求解即可.【解答过程】因为，由正弦定理得，所以，，因为，所以.因为是边BC的中点，所以，.因为，所以，所以，当且仅当时，等号成立.所以，即面积最大为．故选：B.8．（5分）（2023春·江西吉安·高三阶段练习）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，，三棱柱外接球的球心为O，点E是侧棱上的一个动点．下列判断不正确的是（    ）A．直线与直线是异面直线 B．一定不垂直于C．三棱锥的体积为定值 D．的最小值为【解题思路】根据异面直线的判定判断A；根据线面垂直的性质定理可判断B；确定外接球球心位置，利用三棱锥的体积公式可判断C；将矩形和矩形展开到一个平面内，计算即的长即可判断D.【解答过程】对于A，因为点平面，平面，点，平面，所以直线与直线是异面直线，故A正确；对于B，因为侧棱底面， ，故底面,底面，故；而，则，即，平面,故平面,平面，故 ，故当时，平面，则直线平面，平面， 所以，故B错误；对于C，由题意结合以上分析可将三棱柱补成如图所示长方体，则面为该长方体的体对角面，三棱锥的外接球球心O是直线，的交点，底面面积不变，平面，平面，故直线平面，所以点E到底面距离不变，则三棱锥的体积为定值，故C正确；对于D，将矩形和矩形展开到一个平面内，当点E为与的交点时，取得最小值．D正确．故选：B．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2023春·河北邢台·高三阶段练习）微信运动是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号．用户可以通过关注微信运动公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和其他用户进行运动量的或点赞，某学校为了解学生每周行走的步数，从高一、高二两个年级分别随机调查了200名学生，得到高一和高二学生每周行走步数的频率分布直方图，如图所示． 若高一和高二学生每周行走步数的中位数分别为，，平均数分别为，，则（    ）A． B．C． D．【解题思路】分别求出满意度评分中位数分别为,平均数分别为,即可比较大小.【解答过程】由频率分布直方图，，，，则，，进行数据分析可得:，解得，，解得所以满意度评分中位数，故B正确，，，所以满意度评分平均数，故D正确，故选：BD.10．（5分）（2023·山西·校联考模拟预测）设向量，，则（    ）A． B．与的夹角为 C． D．【解题思路】利用向量的坐标即可计算向量的模长，向量夹角，利用向量坐标与空间位置的关系即可判断出两向量位置关系.【解答过程】，，故，A正确；且，故与的夹角为，B错误；，由此知：不存在实数λ使成立，C错误；，D正确.故选：AD.11．（5分）（2023·全国·高一专题练习）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，则下列结论正确的是（    ）A． B．C．事件A与B互斥 D．事件A与B相互独立【解题思路】采用列举法，结合古典概型概率公式可知AB正确；根据互斥事件和独立事件的定义可知CD正误.【解答过程】对于AB，抛掷两枚质地均匀的硬币，所有基本事件有{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}，其中满足事件的有{正，正}，{正，反}两种情况，事件和事件同时发生的情况有且仅有{正，正}一种情况，，，A正确，B错误；事件与事件可以同时发生，事件与事件不互斥，C错误；事件的发生不影响事件的发生，事件与事件相互独立，D正确.故选：AD.12．（5分）（2023·高一单元测试）如图，在三棱柱中，四边形是矩形，，平面，直线与所成的角的余弦值为，则下列说法正确的是（    ）A．平面 B．C．三棱锥的外接球的体积为 D．三棱锥的外接球的表面积为【解题思路】根据线面垂直性质定理可得，，再利用线面垂直的判定定理即可证明A正确；即可得三条线两两垂直，由异面直线夹角可得，即B错误；通过构造长方体计算可得三棱锥的外接球半径为，即可得出体积和表面积，可判断C正确，D错误.【解答过程】根据题意，因为平面，，平面，所以，，又四边形是矩形，所以，平面，平面，且，所以平面.即A正确；可得平面，，ABC两两垂直，所以三棱锥外接球的直径等于，又，所以直线与所成的角等于直线与BC所成的角或其补角，所以，由可得，所以B错误；设三棱锥的外接球的半径为，则满足，所以；所以三棱锥的外接球的体积为,表面积为.所以C正确，D错误.故选：AC.三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2023春·天津南开·高三阶段练习）已知复数，则 2 .【解题思路】利用复数的四则运算化简复数，利用复数的模长公式可求得的值.【解答过程】因为，故.故答案为：.14．（5分）（2022秋·广东佛山·高二阶段练习）某校进行定点投篮训练，甲、乙、丙三个同学在固定的位置投篮，投中的概率分别，，p，已知每个人投篮互不影响，若这三个同学各投篮一次，至少有一人投中的概率为，则p＝ .【解题思路】由已知结合对立事件的概率关系及相互独立事件的概率公式即可求解.【解答过程】由题意可知，解得.故答案为：.15．（5分）（2022春·四川成都·高一期中）如图，小李开车在一条水平的公路上向正西方向前进，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶1200m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为45°，则此山的高度为 m【解题思路】利用正弦定理即可求解.【解答过程】由题，作出空间图形如下，则有,因为到达B处仰角为45°，所以，在中，，由正弦定理可得解得m，所以 m，故答案为: .16．（5分）（2023·高一课时练习）下面四个正方体中，点A、B为正方体的两个顶点，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形序号是 ①② ．（写出所有符合条件的序号）【解题思路】根据线面平行的判定定理以及面面平行的性质定理即可得到答案.【解答过程】对于①，如图1.因为点M、N、P分别为其所在棱的中点，所以，.又，所以.因为平面，平面，所以平面.同理可得平面.因为平面，平面，，所以平面平面.又平面，所以平面，故①正确；对于②，如图2，连结.因为点M、P分别为其所在棱的中点，所以.又，且，所以，四边形是平行四边形，所以，所以.因为平面，平面，所以平面，故②正确；对于③，如图3，连结、、.因为点M、N、P分别为其所在棱的中点，所以，.因为平面，平面，所以平面.同理可得平面.因为平面，平面，，所以平面平面.显然平面，平面，所以平面，且与平面不平行，所以与平面不平行，故③错误；对于④：如图4，连接，因为为所在棱的中点，则，故平面即为平面，由正方体可得，而平面平面，若平面，由平面可得，故，显然不正确，故④错误.故答案为：①②.四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2023·全国·高一专题练习）在复平面内，若复数对应的点：（1）在虚轴上；（2）在第二象限；（3）在的图象上，分别求实数的取值范围．【解题思路】根据复数的定义与性质根据已知列式得出答案；（1）当复数在虚轴上时，其实部为0，列式即可解出答案；（2）当复数在第二象限时，其实部小于0，虚部大于0，列式即可解出答案；（3）当复数在的图象上时，其实部等于虚部，列式即可解出答案.【解答过程】复数的实部为，虚部为．（1）由题意得，解得或；（2）由题意，得，解得；（3）由已知得，解得．18．（12分）（2023秋·辽宁沈阳·高一期末）已知向量，，．(1)求；(2)若，求实数的值．【解题思路】（1）利用平面向量的坐标运算可求得的坐标；（2）求出向量、的坐标，利用平面向量共线的坐标表示可求得实数的值.【解答过程】（1）解：因为，，．所以，.（2）解：由已知可得，，因为，则，解得.19．（12分）（2023·全国·高二专题练习）在某校2022年春季的高一学生期末体育成绩中随机抽取50个，并将这些成绩共分成五组：，得到如图所示的频率分布直方图.在的成绩为不达标，在的成绩为达标.(1)根据样本频率分布直方图求的值，并估计样本的众数和中位数（中位数精确到个位）；(2)已知50名学生中有22名女生，其中女生体育测试成绩不达标的有8人，那么男生体育测试成绩达标的有多少人？男生体育测试成绩不达标的有多少人？【解题思路】（1）根据各组频率和为1可求出的值，然后根据众数和中位数的定义求解即可；（2）先根据频率分布直方图求出体育测试成绩不达标和达标的人数，再由50名学生中有22名女生，其中女生体育测试成绩不达标的有8人，可求得结果.【解答过程】（1）由频率分布直方图可得，解得，由频率分布直方图可知成绩在的最多，所以众数为65，因为前两组的频率和为，前三组的频率和为，所以中位数在第三组，设中位数为，则，解得，所以中位数约为73；（2）由频率分布直方图可知体育测试成绩不达标的人数为，则体育测试成绩达标的人数为30人，因为50名学生中有22名女生，其中女生体育测试成绩不达标的有8人，所以男生体育测试成绩不达标的有12人，男生体育测试成绩达标的有16人.20．（12分）（2023秋·山东济宁·高二期末）某班级从3名男生和2名女生中随机抽取2名同学参加学校组织的校史知识竞赛.(1)求恰好抽到1名男生和1名女生的概率；(2)若抽到的2名同学恰好是男生甲和女生乙，已知男生甲答对每道题的概率均为，女生乙答对每道题的概率均为，甲和乙各自回答两道题，且甲､乙答对与否互不影响，各题的结果也互不影响.求甲答对2道题且乙只答对1道题的概率.【解题思路】（1）列举法求出古典概率；（2）分别求出甲答对2道题，乙只答对1道题的概率，再根据独立事件概率乘法公式求出答案.【解答过程】（1）记3名男生分别为名女生分别为，则随机抽取2名同学的样本空间为，记事件恰好抽到1名男生和1名女生”则事件；（2）设事件“甲答对2道题”，事件乙只答对1道题”，根据独立性假定，得，.，所以甲答对2道且乙只答对1道题的概率是.21．（12分）（2023·湖南·模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．(1)求角B的大小；(2)若．且，求△ABC的面积．【解题思路】（1）由正弦定理和两角差的余弦公式，化简已知等式，求得，可求角B的大小；（2）由已知条件利用余弦定理求得，根据三角形面积公式求△ABC的面积.【解答过程】（1）在中，由正弦定理 ，可得，又由 ，得 即 ， 由，有可得 又因为，所以 .（2）．且，，由余弦定理：，有，解得，∴.22．（12分）（2023秋·广东河源·高二期末）如图,在四棱锥中,底面ABCD为正方形,底面ABCD,,E为线段PB的中点,F为线段BC的中点．(1)证明:平面PBC;(2)求点P到平面AEF的距离．【解题思路】(1)先根据底面ABCD,得到,再根据,利用线面垂直的判定定理证明平面PAB,即,再根据一次线面垂直的判定定理证明平面PBC;(2)先根据长度及垂直关系得到进而得到的面积,再计算出,根据等体积法即可求得点P到平面AEF的距离.【解答过程】（1）证明:因为底面ABCD,平面ABCD,所以．因为ABCD为正方形,所以,因为,平面PAB,平面PAB,所以平面PAB,因为平面PAB,所以,因为,E为线段PB的中点,所以,又因为,平面PBC,平面PBC,所以平面PBC.（2）由F是BC的中点．所以,因为底面ABCD,平面ABCD,所以,因为E为线段PB的中点,所以,由(1)知平面PBC,平面PBC,所以,所以,所以,因为,所以,由(1)知平面PAB,所以平面PAB,设点P到平面AEF的距离为h,则有,解得,所以点P到平面AEF的距离为．乙射击环数678910频数12223