初中数学苏科版八年级上册2.4 线段、角的轴对称性课后练习题

这是一份初中数学苏科版八年级上册2.4 线段、角的轴对称性课后练习题，文件包含第04讲角平分线的判定与性质知识解读+真题演练+课后巩固原卷版docx、第04讲角平分线的判定与性质知识解读+真题演练+课后巩固解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共38页， 欢迎下载使用。

1. 会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性.
2. 探索并证明角的平分线的性质.
3. 掌握角的平分线的性质和判定，能灵活运用角的平分线的性质和判定解决简单的问题.
知识点1 角的平分线的性质
（一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线）
1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。
2、分别以M,N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。
3、画射线OC，射线OC即为所求。
（二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。
知识点 2 角的平分线的判定
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
几何表示：
∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，
∴点P在∠AOB的平分线OC上。
重要拓展：
1、三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等。反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点。
2、三角形的角平分线与三角形一边交于一点，这条角平分线把三角形分成两个小三角形，它们的面积比等于另外两边的长度的比。
【题型1 角平分线的作法及应用】
【典例1】（2022秋•林州市校级期末）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果要在三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场可选的位置有（ ）
A．1处B．2处C．3处D．4处
【答案】A
【解答】解：三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如上图的三角形区域，如果要在三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场可选的位置应该在△ABC三个角的角平分线的交点处，可选的位置有1处，
故选：A．
【变式1-1】（2022秋•沙洋县期中）如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P．
【答案】图见解析．
【解答】解：如图所示：作∠AOB的平分线交MN于点P，点P即为该超市的位置．
【变式1-2】（2022秋•大荔县期末）在三角形内找一点，使它到三条边的距离相等，这个点应是（ ）
A．三条中线的交点
B．三边的垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条高所在直线的交点
【答案】C
【解答】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等，
故选：C．
【题型2 角平分线性质的应用】
【典例2】（2023春•保定月考）如图，已知∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，OP＝6cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
【答案】B
【解答】解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，
∴∠AOP＝30°，
∵PD⊥OA，OP＝6cm，
∴，
过点P作PE'⊥OB于点E'，
∵OC平分∠AOB，PE'⊥OB，PD⊥OA，
∴PE'＝PD＝3cm，
∴PE的最小值为3cm．
故选：B．
【变式2-1】（2023春•通道县期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD＝6cm，则点D到AB的距离是（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
【答案】D
【解答】解：如图，
∵∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，
∴CD＝DE，
∵CD＝6cm，
∴DE＝6cm，即点D到AB的距离是6cm．
故选：D．
【变式2-2】（2023春•法库县期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上的一点，∠1＝∠2，BC＝10，BD＝6，则点D到AB的距离为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】A
【解答】解：∵CB＝10，BD＝6，
∴CD＝10﹣6＝4．
∵∠1＝∠2．
∴D点到AC和AB的距离相等．
∵CD表示D点到AC的距离，
∴D到AB的距离为4．
故选：A．
【变式2-3】（2023春•禅城区月考）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，AC＝8cm，CD＝6cm，则D到AB的距离为（ ）
A．6cmB．8cmC．10cmD．14cm
【答案】A
【解答】解：作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝6，
即点D到AB的距离为6cm．
故选：A．
【典例3】（2022秋•新昌县期末）如图，AD是△ABC的角平分线，E是AB的中点，△ABC的面积为21，AC＝6，AB＝8，则△BED的面积为（ ）
A．B．5C．6D．
【答案】C
【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，
∴点D到AB和AC的距离相等，
∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝8：6＝4：3，
∴S△ABD＝S△ABC＝×21＝12，
∵E是AB的中点，
∴S△BED＝S△ABD＝×12＝6．
故选：C．
【变式3-1】（2022秋•昆明期末）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE⊥BC于点E，S△ABC＝30，DE＝4，BC＝10，则AC的长是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【解答】解：过点D作DF⊥AC，垂足为F，
∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝4，
∵S△ABC＝30，BC＝10，
∴△ADC的面积+△CDB的面积＝30，
∴AC•DF+BC•DE＝30，
∴AC•4+×10×4＝30，
∴AC＝5，
故选：C．
【变式3-2】（2022秋•禹州市期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，若AB＝10，AC＝8，则S△ABD：S△ACD＝（ ）
A．25：16B．5：4C．16：25D．4：5
【答案】B
【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴点D到AB和AC的距离相等，
∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝10：8＝5：4，
故选：B．
【变式3-3】（2022秋•大足区期末）如图，△ABC的三边AC、BC、AB的长分别是8、12、16，点O是△ABC三条角平分线的交点，则S△OAB：S△OBC：S△OAC的值为（ ）
A．4：3：2B．5：3：2C．2：3：4D．3：4：5
【答案】A
【解答】解：如图，过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F，
∵点O是△ABC三条角平分线的交点，
∴OD＝OE＝OF，
∵，
，
，
∴S△OAB：S△OBC：S△OAC＝8OD：6OE：4OF＝4：3：2．
故选：A．
【题型3 角平分线的性质与全等】
【典例4】（2023•前郭县二模）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，AB＝7cm，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．
①求证：△ACD≌△AED；
②求EB的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵∠C＝90°，
∴AC⊥BC，
∵DE⊥AB，AD平分∠BAC，
∴CD＝DE，
∵AD＝AD，
∴△ACD≌△AED（HL）．
（2）解：∵△ACD≌△AED，
∴AC＝AE＝4cm，
∵AB＝7cm，
∴BE＝AB﹣AE＝3cm，
答：BE的长是3cm．
【变式4-1】（2022春•攸县期末）如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E、D为垂足，CF＝CB．
（1）求证：BE＝FD；
（2）若AC＝10，AD＝8，求四边形ABCF的面积．
【答案】（1）解证明过程；
（2）48．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，
∴CD＝CE，
在Rt△CBE和Rt△CFD中，
，
∴Rt△CBE≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝FD；
（2）解：在Rt△ACD中，
∵AC＝10，AD＝8，
∴CD＝＝6，
∵AC＝AC，CD＝CE，
∴Rt△ACD≌Rt△ACE（HL），
∴S△ACD＝S△ACE，
∵Rt△CBE≌Rt△CFD，
∴S△CBE＝S△CFD，
∴四边形ABCF的面积＝S四边形AECD＝2S△ACD＝2××6×8＝48．
【变式4-2】（2022春•通道县期末）已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC的延长线于N，你认为BM与CN之间有什么关系？试证明你的发现．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：BM＝CN．
理由：连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM＝DN，
∵DE垂直平分BC，
∴BD＝CD，
在Rt△BMD与Rt△CND中
∵
∴Rt△BDM≌Rt△CDN（HL），
∴BM＝CN．
【变式4-3】（2022秋•滨城区校级期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB．
（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，
∴DE＝DC．
在Rt△CDF与Rt△EDB中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴CF＝EB．
（2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD＝DE．
在Rt△ACD与Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x，
解得x＝2，即CF＝2．
【题型4 角平分线的判定】
【典例5】（2022秋•台山市期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上中点，连接AM、DM，且AM平分∠BAD，求证：DM平分∠ADC．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：过M作MN⊥AD于N，
∵∠B＝90°，AM平分∠BAD，
∴BM＝NM，
∵M为BC的中点，
∴BM＝CM，
∴MN＝CM，
又∵AB∥CD，∠B＝90°，
∴∠C＝90°＝∠MND，
∴DM平分∠ADC．
【变式5-1】（2022秋•洛龙区期中）如图，点E在AB上，CD＝CA，DE＝AB，∠DCA＝∠DEA．
求证：CE平分∠BED．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵∠DCA＝∠DEA，
∴∠D＝∠A，
在△ABC和△DEC中，
∵
∴△ABC≌△DEC，（SAS），
∴∠B＝∠DEC，BC＝EC，
∴∠B＝∠BEC，
∴∠BEC＝∠DEC，
∴CE平分∠BED．
【变式5-2】（2022秋•红桥区期末）在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．
（1）若BE＝CF，求证：AD是△ABC的角平分线．
（2）若AD是△ABC的角平分线，求证：BE＝CF．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BDE△DCF是直角三角形．
在Rt△BDE与Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是△ABC的角平分线；
（2）∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF，
∵AD是BC边的中线，
∴BD＝CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE＝CF．
【变式5-3】（2022秋•东港区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，DE平分∠ADC．求证：AE是∠DAB的平分线．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：过点E作EH⊥AB于点H，反向延长EH交DC的延长线于点G，过点E作EF⊥AD于点F，
∵AB∥CD，EH⊥AB，
∴EG⊥DC，
∵点E是BC的中点，
∴CE＝BE，
在△CGE与△BHE中，
，
∴△CGE≌△BHE，
∴GE＝EH，
∵DE平分∠ADC，
∴GE＝EF，
∴GE＝EH，
∴EF＝EH，
∴AE是∠DAB的平分线．
1．（2023•舟山模拟）如图，AE，BE，CE分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，ED⊥BC于点D，ED＝3，△ABC的面积为36，则△ABC的周长为（ ）
A．48B．36C．24D．12
【答案】C
【解答】解：过点E作EF⊥AB，垂足为F，过点E作EG⊥AC，垂足为G，
∵BE平分∠ABC，ED⊥BC，EF⊥AB，
∴EF＝ED＝3，
∵CE平分∠ACB，ED⊥BC，EG⊥AC，
∴ED＝EG＝3，
∴△ABC的面积＝△ABE的面积+△BEC的面积+△AEC的面积
＝，
∴AB+BC+AC＝24，
即△ABC的周长为24．
故选：C．
2．（2023•海沧区模拟）如所示图形中，若PE＝PF，能判断点P在∠EOF的平分线上的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：∵到角两边的距离相等的点在角平分线上，
∴符合题意的是D．
故选：D．
3．（2023•滨海县模拟）如图，AD∥BC，AP、BP分别平分∠DAB、∠ABC，CD过点P且与AD垂直．若CD＝8，AB＝10，则△ABP的面积为（ ）
A．20B．16C．40D．32
【答案】A
【解答】解：过点P作PE⊥AB于点E，如图所示．
∵AD∥BC，CD⊥AD，
∴CD⊥BC．
∵AP、BP分别平分∠DAB、∠ABC，
∴PE＝PD＝PC．
∵CD＝8，
∴PE＝PD＝CD＝×8＝4，
∴S△ABP＝AB•PE＝×10×4＝20．
故选：A．
4．（2023•麻城市校级模拟）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，AO＝2，下面结论中不一定正确的是（ ）
A．∠BOC＝120°B．∠BAO＝30°
C．OB＝3D．点O到直线BC的距离是1
【答案】C
【解答】解：作OM⊥BC于M，ON⊥AB于N，
∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×（180°﹣∠BAC）＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°，
故A正确；
∵BO、CO分别平分∠ABC，
∴O是△ABC的内心，
∴AO平分∠BAC，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAO＝∠BAC＝30°，
故B正确；
OB的长在变化不一定等于3，
故C不一定正确；
∵∠ANO＝90°，∠NAO＝30°，
∴ON＝AO＝×2＝1，
∴OM＝ON＝1，
∴O到BC的距离是1，
故D正确．
故选：C．
5．（2023•鹿城区校级模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝9，DC＝AC，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于​（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB，垂足为H，
∵AC＝9，DC＝AC，
∴DC＝3，
∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，DH⊥AB，
∴CD＝DH＝3，
∴点D到AB的距离等于3，
故选：B．
6．（2023•椒江区一模）点P在∠ABC的平分线上，点P到BA边的距离等于3，点D是BC边上的任意一点，则下列选项正确的是（ ）
A．PD＞3B．PD≥3C．PD＜3D．PD≤3
【答案】B
【解答】解：∵点P在∠ABC的平分线上，点P到BA边的距离等于3，
∴点P到BC边的距离等于3，
∵点D是BC边上的任意一点，
∴PD≥3，
故选：B．
7．（2023•武安市二模）在正方形网格中，M，N，P，Q均是格点，∠AOB的位置如图所示，则到∠AOB的两边距离相等的格点是（ ）
A．点MB．点NC．点PD．点Q
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由图可知，
OA＝OB，AM＝BM，OM＝OM，
∴△OAM≌△OBM（SSS），
∴∠AOM＝∠BOM，
∴点M在∠AOB的角平分线上，点P、Q、N不在∠AOB的角平分线上
∴点M到∠AOB的两边的距离相等，
故选A．
8．（2023•西城区校级模拟）如图，已知在四边形ABCD中，DE⊥BC，BD平分∠ABC，AB＝6，DE＝4，则△ABD的面积是（ ）
A．24B．18C．12D．6
【答案】C
【解答】解：如图，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于点F，
∵BD平分∠ABC，DF⊥AB，DE⊥BC，
∴DE＝DF＝4，
∵AB＝6，
∴S△ABD＝×AB×DF＝×6×4＝12．
故选：C．
9．（2023•长清区二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E．已知CE＝3，BE＝5，则AC的长为（ ）
A．8B．7C．6D．5
【答案】C
【解答】解：过点E作ED⊥AB于点D，
由作图方法可得出AE是∠CAB的平分线，
∵EC⊥AC，ED⊥AB，
∴EC＝ED＝3，
在Rt△ACE和Rt△ADE中，，
∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL），
∴AC＝AD，
∵在Rt△EDB中，DE＝3，BE＝5，
∴BD＝4，
设AC＝x，则AB＝4+x，
故在Rt△ACB中，
AC2+BC2＝AB2，
即x2+82＝（x+4）2，
解得：x＝6，
即AC的长为：6．
故选：C．
10．（2022•北京）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝ 1 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：过D点作DH⊥AC于H，如图，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DH⊥AC，
∴DE＝DH＝1，
∴S△ACD＝×2×1＝1．
故答案为：1．
1．小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形的三条高交于一点
D．三角形三边的垂直平分线交于一点
【答案】A
【解答】解：由题意可知，点P到射线OB的距离是直尺的宽度，点P到射线OA的距离也是直尺的宽度，
∴点P到射线OB，OA的距离相等，
∴点P在∠BOA的平分线上（在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上）．
故选：A．
2．点P在∠ABC的平分线上，点P到BA边的距离等于3，点D是BC边上的任意一点，则下列选项正确的是（ ）
A．PD＞3B．PD≥3C．PD＜3D．PD≤3
【答案】B
【解答】解：∵点P在∠ABC的平分线上，点P到BA边的距离等于3，
∴点P到BC边的距离等于3，
∵点D是BC边上的任意一点，
∴PD≥3，
故选：B．
3．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为点E．若△ACD的面积为16，AC＝8，则DE的长为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
【解答】解：过点D作DF⊥AC，垂足为F，
∵△ACD的面积为16，AC＝8，
∴AC•DF＝16，
∴DF＝4，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝4，
故选：C．
4．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD，
∴S△ABD＝AB•DE＝×10•DE＝15，
解得：DE＝3，
∴CD＝3．
故选：A．
5．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB于点E，DF⊥AC，交AC于点F．若S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是（ ）
A．4B．3C．6D．5
【答案】B
【解答】解：∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，
∴DF＝DE＝2．
又∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，AB＝4，
∴7＝×4×2+×AC×2，
解得AC＝3．
故选：B．
6．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P且与AB垂直．若AD＝8，BC＝10，则△BCP的面积为（ ）
A．16B．20C．40D．80
【答案】B
【解答】解：过P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，
∴∠BAP+∠CDP＝180°，
∵AD⊥AB，
∴∠BAP＝90°，
∴∠CDP＝90°，
即AD⊥CD，
∵PE⊥BC，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，
∴PA＝PE，PE＝PD，
∴PA＝PD，
∵AD＝8，
∴PE＝PD＝AP＝4，
∵BC＝10，
∴△BCP的面积为＝＝20．
故选：B．
7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BG平分∠ABC，交AC于点G，若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．无法确定
【答案】A
【解答】解：如图，过点G作GH⊥AB于H．
∵GB平分∠ABC，∠C＝90°，即GC⊥BC，
∴GH＝GC＝1，
根据垂线段最短可知，GP的最小值为1，
故选：A．
∵AD是∠BAC的角平分线；
∴DF=DE；
∵S△ADB=12AB·DF；S△ADC=12AC·DE；
∴S△ADBS△ADC = ABAC；