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人教A版（2019）高中数学必修二讲义14期末综合复习
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这是一份人教A版（2019）高中数学必修二讲义14期末综合复习，文件包含期末综合复习-讲义教师版docx、期末综合复习-讲义学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共55页， 欢迎下载使用。
期末综合复习 一、 课堂目标1．掌握平面向量的相关知识点及其应用．2．掌握复数的相关知识点及其应用．3．掌握空间立体图形的结构，会求相应图形的体积和表面积．4．熟练掌握证明平行、垂直的方法，会求空间中的角与距离．5．掌握概率与统计的相关知识及其应用．【备注】【教师指导】1.本讲主要对期末考试前进行总体的复习，以思维导图的形式展现每章对应的知识点，要求老师注重基础知识的复习，对于学生没有掌握的知识点要重点复习.本讲的题目全部是期末考试的考题，难度不是非常大，重点是要求学生熟练掌握知识点，熟练求解中等左右的题型，复习要做到稳重和扎实.2.本讲关联的知识点：平面向量、解三角形、复数、空间立体几何、统计、概率.二、 知识讲解1. 平面向量及其应用知识精讲 【备注】【教师指导】1.平面向量基本定理如果 、 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只 有一对实数 、 ，使 ． 2.一个结论：若 、 、 三点满足 ，其中 ，则 、 、 三 点共线．3.平面向量的坐标运算：已知向量（1）平面向量加法运算坐标表示：（2）平面向量减法运算坐标表示： （3）平面向量数乘运算坐标表示：（5）平面向量数量积的坐标表示：已知，， 4.正弦定理变形式：①； ② ； ③ ； ； ； ④ . 5.正弦定理的应用：①已知两角和任意一边，求另一角和其它的两条边；②已知两边和其中一边的对角，求其他的角和边.6.余弦定理的应用：①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三条边和其它的两个角；③已知两边和其中一边的对角，求其它的角和边．7.三角形面积公式：经典例题 1. 若 ， 是夹角为 的两个单位向量，则 与 的夹角为（ ）． A. B. C. D. 【备注】【教师指导】本题主要考查求向量的夹角问题.【答案】C 【解析】 ， ， ， ∴ ， 则 ， 故 与 的夹角为 ． 故选 ．【标注】【知识点】向量的夹角的判断；向量的数量积的定义；利用向量数量积求夹角；平面向量数量积运算（非坐标）；平面向量数量积的运算律巩固练习 2. 设 ， 是单位向量，且 ， 的夹角为 ，若 ， ，则 ； 在 方向上的投影为 ． 【答案】 ; 【解析】由平面向量的数量积的定义，可得， ，， 即 ，所以 在 方向上的投影为． 【标注】【知识点】利用投影解决平面向量的数量积；平面向量数量积运算（非坐标）；向量的投影；向量的数量积的定义经典例题 3. 已知边长为 的菱形 中，点 为 上一动点，点 满足 ， ，则 的最小值为（ ）． A. B. C. D. 【备注】【教师指导】本题的重点是建立合适的平面直角坐标系，转化为坐标运算.【答案】B 【解析】由题意知： ，设 （ ）， ∴ ， 解得 ， 以 与 交点为原点， 为 轴， 为 轴建立平面直角坐标系，如图所示：yxO ∴ ， ．设 ， 则 ， ， ∴ ， 当 时， ． 故选 ．【标注】【知识点】数量积的最值问题；线性运算和数量积综合问题巩固练习 4. 如图，在 中， ，若 ，则 的值为 ； 是 上的一点，若 ，则 的值为 ． 【答案】 ; 【解析】因为在 中， ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 因为点 是 上的一点， 设 ，由 ， 可得 ， 又因为 ， 所以 ，解得 ， 所以 ， 综上所述， ， ． 【标注】【知识点】平面向量线性运算综合（非坐标）；平面向量基本定理及其意义经典例题 5. 在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ． （ 1 ）求角 的大小．（ 2 ）如果，，求的面积． 【备注】【教师指导】解三角形综合题，主要利用正余弦定理求边角问题，利用面积公式求三角形面积.【答案】（ 1 ） ． （ 2 ） ． 【解析】（ 1 ）∵ ， ∴ ， 由余弦定理可得： ， 又 ， ∴ ． （ 2 ）如果 ， 则 ， 由正弦定理可得： ， ，则 ， ， ∴ ．【标注】【知识点】三角形面积公式；正弦定理；正余弦定理综合求解边角；余弦定理巩固练习 6. 如图，河边有一座塔 ，其高为 ，河对面岸上有 ， 两点与塔底在同一水平面上，由塔顶部 测得 ， 两点的俯角分别为 和 ，而且 ， 两点分别与塔底部 连线成 角，则 ， 两点 的距离为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C【解析】在直角三角形中，，可得， 在直角三角形 中， ，可得 ，且 可得 ． 可得 ． 故选 ．【标注】【知识点】测量距离的问题 7. 在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．且满足 ． （ 1 ）求角 ．（ 2 ）若的面积为，，求边 ． 【答案】（ 1 ）（ 2 ）．． 【解析】（ 1 ）∵ ， ∴由正弦定理可得： ． ∵ ， ∴ ， 可得： ． ∵ ， ∴ ，可得： ， ∴由 ，可得： ． （ 2 ）∵ ， 的面积为 ， ∴可得： ， 又∵ ，∴由余弦定理可得：， ∴解得： ． 【标注】【知识点】余弦定理；正余弦定理综合求解边角；正弦定理；三角形面积公式经典例题 8.在平面直角坐标系 中，已知向量（ 1 ）若 ，求 的值；（ 2 ）若 与 的夹角为 ，求 的值．，，． 【备注】【教师指导】平面向量与三角函数的综合，注意结合三角函数中相关公式. 【答案】（ 1 ） ． （ 2 ） ．【解析】（ 1 ）由题意得， 则 ， ， 则 ， ∵ ， ∴ ． （ 2 ） ． ， ， ． ∴ ． ∴ ． ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． 【标注】【知识点】辅助角公式；数量积的坐标表达式巩固练习 9. 在 中，角 ， ， 对应的边分别是 ， ， ，若 ，其中 ， ． （ 1 ）求角 的大小． （ 2 ）若 的面积 ， ，求 的值． 【答案】（ 1 ） ． （ 2 ） ． 【解析】（ 1 ）由已知： ， 且 ， ∴ ， 中， ， ∴ ， ， ∴ ，整理得： ， 解得： 或 （舍去）， ∵ 为三角形内角， ∴ ．综上所述，结论是：． （ 2 ）由已知： ， ∴，中，由余弦定理： ， ∴ ，由正弦定理：， ∴ ， ， ∴ ． 综上所述，结论是： ． 【标注】【知识点】坐标表示平面向量的共线；坐标表示平面向量的垂直；正弦定理；正余弦定理综合求解边角；三角形面积公式 2. 复数知识精讲经典例题 10. 若复数 为纯虚数，则 （ ）． A. B. C. D. 【备注】【教师指导】本题主要考查复数的四则运算，注意纯虚数的概念.【答案】D【解析】，由复数 为 纯虚数，得 解得 ． 【标注】【知识点】复数的基本概念；复数的乘法和除法；复数的四则运算综合巩固练习 11. 设 是虚数单位，则复数 ，在复平面内所对应的点位于（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B【解析】由题意得，所以在复平面内表示复数的点为 在第二象限．故选 ．【标注】【知识点】复数的乘法和除法 12. 已知复数 ， ，若 是实数，则实数 的值（ ）． A. B. C. D. 【答案】C【解析】∵，， ∴ ， ∵ 是实数， ∴ ， ． 故选项 正确．【标注】【知识点】复数的基本概念；复数的乘法和除法；复数的四则运算综合3. 立体几何初步知识精讲 经典例题 13. 如图，在四棱锥 中，四边形 为矩形， ， ， ，则四棱锥 的外接球的体积为（ ）． A. B. C. D. 【备注】【教师指导】本题主要考查外接球问题，重点求外接球的半径.如果学生掌握不扎实，可以再复习一遍《内切球与外接球》这一讲内容.【答案】D【解析】 ∵ ， ， ∴ 平面 ， 又 ， ∴ 平面 ， ∴ ， 又在 中， ， ， 故 ， ∴ ， ∴ 平面 ， 设 为矩形 的对角线的交点， 则 ， 作 于 ，因为 平面 ， 所以平面 平面 ， 故 平面 ， 连结 ， ，则 ， 所以 为四棱锥 外接球的球心，且球的半径为 ， 故所求的球的体积为 ． 故选 ．【标注】【知识点】平面和平面垂直的性质；直线和平面垂直的性质；空间几何体的内切球、外接球问题；组合体求体积、表面积问题；空间几何体的体积巩固练习14. 如果一个圆锥的底面半径为 ，侧面积为 ，那么圆锥的体积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D【解析】已知圆锥的半径，侧面积， 设圆锥的母线长为 ，圆锥的侧面积， 解得 ， 由勾股定理可得，圆锥的高， 所以圆锥的体积 ． 故选 ．【标注】【知识点】组合体求体积、表面积问题；空间几何体的体积 15. 设 ， ， ， 是球 表面上的四个点，若 ， ， ，且 ，则球 的体积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B【解析】三棱锥的三条侧棱 、 、 两两互相垂直， 它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长：，∴半径为 ， 所以球的体积 ． 故选： ．【标注】【知识点】空间几何体的体积；空间几何体的内切球、外接球问题4. 空间立体几何知识精讲 经典例题16. 设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）． A.B.若若，，，则，，则 C. 若 ， ， ，则 D. 若 ， ， ，则 【备注】【教师指导】本题主要考查空间中点、线、面的位置关系，注意可以借助一些实物（如墙角）去分析.【答案】D 【解析】A 选项：若 ， ，则 与 可以平行，相交或异面，故 选项不正确； B 选项：若C 选项：，，则，但 与 可以平行或异面，故 选项不正确； 面面垂直的性质定理：D 选项： ，，∴，，∵，，∴， ，则 ，故 选项不正确；，故 选项正确． 故选 D .【标注】【知识点】点、直线、平面之间的位置关系；已知线面位置关系判定结论的问题巩固练习17. 设 ， 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若 ， ，则 ②若 ， ， ，则 ③若 ， ，则 ④若 ， ，则 其中正确命题的序号是（ ）． A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④ 【答案】A【解析】对于①，因为，所以经过 作平面 ，使，可得，又因为， ，所以 ，结合 得 ．由此可得①是真命题； 对于②，因为 且 ，所以 ，结合 ，可得 ，故②是真命题； 对于③，设直线 、 是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，而平面 是正方体下 底面所在的平面，则有 且 成立，但不能推出 ，故③不正确； 对于④，设平面 、 、 是位于正方体经过同一个顶点的三个面， 则有 且 ，但是 ，推不出 ，故④不正确． 综上所述，其中正确命题的序号是①和②．故选 ．【标注】【知识点】已知线面位置关系判定结论的问题；点、直线、平面之间的位置关系经典例题 18. 如图，在几何体 中，四边形 为平行四边形， 为 的中点，平面 平面 ， 为线段 上的一点， ， 是等边三角形． （ 1 ）证明：（ 2 ）证明：平面．． （ 3 ）证明：平面 平面 ． 【备注】【教师指导】本题主要考查证明空间中直线、平面平行与垂直的相关证明方法，要求学生熟练掌握.【答案】（ 1 ）证明见解析．（ 2 ）证明见解析．（ 3 ）证明见解析．【解析】（ 1 ）连接 ，交 于点 ，连接 ， 在平行四边形 中， 为 的中点，又 为 的中点， ∴ 为 的中位线， ∴ ， 又 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ． （ 2 ）在平行四边形 中， ， 又 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ， 又平面 平面 ， 平面 ， ∴（ 3 ）∵．为等边三角形， ∴ ，又 为 中点， ∴ ，又 ， ， 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ，又 平面 ， ∴平面 平面 ． 【标注】【知识点】面面垂直的证明问题；平面和平面垂直的判定；直线和平面平行的判定；线面平行的证明问题；线线平行的证明问题巩固练习 19. 如图所示，在底面是菱形的四棱锥 中， ， 、 、 分别为 、 、 的中点，（ 1 ）证明：平面．． （ 2 ）证明：平面 平面 ． 【答案】（ 1 ）证明见解析．（ 2 ）证明见解析．【解析】（ 1 ）如图所示：连接 ，∵四边形为菱形， ∴ ， ∵ ， ∴ 为等边三角形， ∵点 为 中点， ∴ ， ∵ 平面 ， 平面 ， ∴ ， ∵ ， ∵ 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ， ∵ 平面 ， ∴ ． （ 2 ）∵四边形 为菱形， ∴ 且 ， ∵点 为 中点，点 为 中点， ∴ ， ∴四边形 为平行四边形， ∴ ， ∵ 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ， ∵点 为 中点，点 为 中点， ∴ 为 中位线， ∴ ， ∵ 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ， ∵ 且 平面 ， 平面 ， ∴平面 ． 【标注】【知识点】面面平行的证明问题；平面和平面平行的判定；直线和平面垂直的性质；线线垂直的证明问题经典例题 20. 如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧面 底面 ， 为侧棱 上 一点． （ 1 ）求证：（ 2 ）求证：平面．． （ 3 ）若 为 中点，平面 与侧棱 交于点 ， ，求四棱锥 的体积．【备注】【教师指导】本题的重点是第（3）问，求空间几何体体积，重点找底面面积和对应高的大小，即 和 底面 面积大小. 【答案】（ 1 ）证明见解析．（ 2 ）证明见解析． （ 3 ） .【解析】（ 1 ）∵底面是正方形， ∴ ， 又∵ 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ． （ 2 ）正方形 中，易知 ， 又∵平面 平面 ， 平面 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ， 又∵ 平面 ， ∴（ 3 ）∵平面．与棱 交于点 ， ∴平面 平面 ， 又由 知 平面 ， 平面 ， ∴ ， ∵ 为 中点，∴ 为 的中点， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ，又由 知，平面， ∵ 平面 ， ∴ ， ∴ ， 又有 ， 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ， ∴ 为四棱锥 的高， 由 知 ， ∴ ， ， ∴四边形 为直角梯形， 其中 ， ， ， ∴ 四边形又∵，， ∴四棱锥 的体积为 . 【标注】【知识点】组合体求体积、表面积问题；空间几何体的体积 21. 如图所示，在四棱锥 中， 平面 ， ， 是 的中点． （ 1 ）求证： ．（ 2 ）求证： 平面 ．（ 3 ）若 是线段 上一动点，则线段 上是否存在点 ，使平面？说明理由． 【备注】【教师指导】 本题重点是第（3）问，动点问题—存在性问题，首先假设这点存在，证明所证问题成立即可说明存在.【答案】（ 1 ）证明见解析．（ 2 ）证明见解析．（ 3 ）存在，证明见解析． 【解析】（ 1 ）因为在四棱锥 中， 平面 ， 平面 ， 平面 平面 ， 所以 ． （ 2 ）取 中点 ，连接 ， ，因为 ， 分别为 ， 的中点， 所以 ， ， 又因为由（ ）得 ， ， 所以 ， ， 所以四边形 是平行四边形， 所以 ， 又因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ． （ 3 ）取 中点 ，连接 ， ， ， 因为 ， 分别为 ， 的中点， 所以 ， 又因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ， 又因为由（ ）得 平面 ， ， 所以平面 平面 ， 又 是 上动点， 平面 ， 所以 平面 ，所以线段 上存在点 ，使平面． 【标注】【知识点】平行的探索性问题；直线和平面平行的判定巩固练习 22. 如图，设 ， 分别是正方体 的棱 上两点，且 ，则下列说法 中正确的是（ ）． A.B.异面直线三棱锥与 所成的角为的体积为定值 C.D.平面直线与平面与平面所成的二面角大小为所成的角为 【答案】BCD【解析】∵四边形是正方形， ∴可知 ， 又∵ 在 上， ∴ ，∴直线 与直线所成角为，故 错误； 设正方体 棱长为 ， ∴ ，故为定值，故 正确； 连接 ，如图 ， 图∵ 在 上， ∴平面 在平面 内， ∵为正方体 ， ∴ 平面 ， ∴ ， ， ∴可知平面 与平面 所成角为 ， ∴平面 与平面 所成二面角为 ，故 正确； 连接 ， ，交于点 ，连接 ，如图 ， 图 设正方体 棱长为 ， ∴ ， ∵ ， 平面 ， ∴ ， ， ∴ 平面 ， ∴可知 与平面 所成角 ， ∴在 中可知 ， 又 ， ， ∴在 中有余弦定理： ， ∴ ， 又平面 属于平面 ， ∴平面 与直线 所成角为 ，故 正确． 综上所述： 、 、 正确． 故选 ． 【标注】【知识点】几何法求空间角；求三棱锥的体积5. 统计与概率知识精讲知识精讲 【备注】【教师指导】（1）一般地，概率有如下性质：性质1 ：对任意的事件 ，都有 ．性质2 ：必然事件的概率为 ，不可能事件的概率为 ，即性质3 ：如果事件 与事件 互斥，那么互斥事件的概率加法公式可以推广到多个事件的情况．如果事件， ．．， ， ，两两 互斥，那么事件发生的概率等于这 个事件分别发生的概率之和，即． 性质4： 如果事件 与事件 互为对立事件，那么．， 性质5 ：如果 ，那么 ． 性质6 ：设，是一个随机试验中的两个事件，我们有. （2）相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件互斥事件 概念如果事件 （或 ）是否发生对事件 （或）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫作相互独立事件．不可能同时发生的两个事件叫作互斥事件． 符号计算公式相互独立事件，同时发生，记作：互斥事件记作：， 中有一个发生，（或 ） 经典例题 23. 已知一组数据 ， ， ， 的平均数为 ，方差为 ，则数据 ， ， ， 的 平均数 与方差 分别为（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【备注】【教师指导】熟练求解离散型随机变量数字特征，属于常考题型，难度不大.【答案】C 【解析】数据 ， ， ， ， 的 平均数为 ， 根据结论：方差为 ． 故选 ．【标注】【知识点】极差、方差与标准差巩固练习24. 王明同学随机抽查某市 个小区所得到的绿化率情况如下表所示：小区绿化率（ ）小区个数则关于这 个小区绿化率情况，下列说法错误的是（ ）． A. 方差是 B. 众数是 C. 中位数是 D. 平均数是 【答案】A【解析】A 选项：方差，故错误．B 选项：众数是 ，正确．C 选项：中位数是 ，正确．D 选项：平均数，正确． 故选 A .【标注】【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差25. 某中学高一年级有 人，高二年级有 人，高三年级有 人，为了解学校高中学生视力情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为 的样本，则高一年级应抽取的人数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为高一：高二：高三， 因为分层抽样，故应在高一抽取的人数为：人．故选择 选项．【标注】【知识点】分层随机抽样经典例题26. 生物实验室有 只兔子，其中只有 只测量过某项指标．若从这 只兔子中随机取出 只，则恰有 只测量过该指标的概率为（ ）． A. B. C. D. 【备注】【教师指导】本题主要考查古典概型，要求学生熟练掌握求解古典概型的方法.【答案】C【解析】设其中做过测试的 只兔子为 ， ， ，剩余的 只为 ， ，则从这 只兔子中任取 只的所有取法有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共 种， 其中恰有 只做过测试的取法有： ， ， ， ， ， 共 种， 所以恰有 只做过测试的概率为 ， 故选： ．【标注】【知识点】古典概型 巩固练习27. 已知甲袋中有 只白球， 只黑球；乙袋中有 只白球， 只黑球．球只有颜色不同．从两袋中各取一只，则两球颜色相同的概率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B【解析】设甲袋中，白球为 ，黑球为 ， ，乙带中，白球为 ， ，黑球为 ， 从中各取一只，则共有 ， ， ， ， ， ， ， ， 九种情况， 其中两球颜色相同有 种， 所以概率为 ． 故选 ．【标注】【知识点】古典概型28. 从装有 个白球和 个黑球的口袋内任取两个球，那么下列事件中是互斥而不对立的事件是（ ）． A. “恰有两个白球”与“恰有一个黑球” B. “至少有一个白球”与“至少有一个黑球” C. “都是白球”与“至少有一个黑球” D. “至少有一个黑球”与“都是黑球” 【答案】A【解析】A 选项：事件：“恰有两个白球与事件”与事件”恰有一个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是黑球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，故 正确．B 选项：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个白球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴这两个事件不是互斥事件，故 错误．C 选项：“都是白球”与“至少有一个黑球”不能同时发生，但是对立，故 错误．D 选项：“至少有一个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，故不互斥，故 错误．故选 A .【标注】【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件与对立事件的概念辨析 经典例题 29. 图①为某省 年 月快递业务量统计图，图②为该省 年 月快递业务收入统计图，下 列对统计图理解错误的是（ ）． 快递业务量（万件） 同比增长 月 月 图 月 月 快递业务收入 万元 同比增长 月 月 图 月 月 A. 年 月快递业务量， 月最高， 月最低，差值接近 万件 B. 年 月快递业务量同比增长率均超过 ，其中 月最高 C. 年 月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致 D. 从 年 月来看，该省快递业务收入同比增长率逐月增大 【备注】【教师指导】本题主要考查根据统计图表进行分析，用样本分布估计总体分布问题.【答案】D 【解析】A 选项： 年 业务量， 月最高， 月最低，差值为 ，接近 万件，故 正确； B 选项： 年 的业务量同比增长率分别为 ， ， ， ，均超过 ，在 月最高，故 正确； C 选项： 月份业务量同地增长率为 ，而收入的同地增长率为 ， 正确； D 选项： ， ， ， 月收入的同比增长率分别为 ， ， ， ，并不是逐月增 长， 错误．故选 D .【标注】【知识点】折线图、总体密度曲线；用样本的数字特征估计总体的数字特征问题巩固练习 30. 下图为某地区 年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图． 根据该折线图可知，该地区 年（ ）． 80 70 60 50 40 30 20城乡居民储蓄年末余额（百亿元）地方财政预算内收入（百亿元） 1002006年2007年2008年2009年2010年2011年2012年2013年2014年2015年2016年2017年2018年 A. B. C. D.财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年均增长量城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年减小 【答案】A【解析】A 选项：由图知财政预算内收入，城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势，故 正确；B 选项：由图知城乡居民储蓄年末余额的年增长速度高于财政预算内收入的年增长速度，故 错误；C 选项：由图知财政预算内收入年平均增长量低于城乡居民储蓄年末余额年平均增长，故 错误；D 选项：由图知城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入差额逐年增大，故 错误．故选 A .【标注】【知识点】折线图、总体密度曲线经典例题31. 国产杀毒软件进行比赛，每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某个软件在四轮考核中能够准确杀毒的概率依次是 ， ， ， ，且 各轮考核能否通过互不影响，则该软件至多进入第三轮考核的概率为 ． 【备注】【教师指导】本题组要考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式.【答案】 【解析】设事件 表示“该软件能通过第 轮考核”， 有已知得 ， ，，，设事件 表示“该软件至多进入第三轮”，则．故答案为： ．【标注】【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式 32. 受突如其来的新冠疫情的影响，全国各地学校都推迟 年的春季开学．某学校”停课不停学”，利 用云课平台提供免费线上课程．该学校为了解学生对线上课程的满意程度，随机抽取了 名学生对该线上课程评分．其频率分布直方图如下：若根据频率分布直方图得到的评分低于 分的概率估计值为 ．频率组距评分 （ 1 ） 12求直方图中的 ， 值．若评分的平均值和众数均不低于 分视为满意，判断该校学生对线上课程是否满意？并说明理由（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． （ 2 ）若采用分层抽样的方法，从样本评分在 和 内的学生中共抽取 人进行测试来检 验他们的网课学习效果，再从中选取 人进行跟踪分析，求这 人中至少一人评分在 内 的概率．【备注】【教师指导】统计与概率综合体，属于期末考试的重点，难度不大，要求学生百分百掌握. 【答案】（ 1 ）1 ， ． 2（ 2 ）该校学生对线上课程满意．． 【解析】（ 1 ）1 由已知得 ， 解得 ， 又 ， 2∴ ．由频率分布直方图得评分的众数为 ，评分的平均值为，∴该校学生对线上课程满意． （ 2 ）由题知评分在 和 内的频率分别为 和 ， 则抽取的 人中，评分在 内的为 人，评分在 的有 人， 记评分在 内的 位学生为 ， ， ，评分在 内的 位学生这 ， ， 则从 人中任选 人的所有可能结果为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共 种，其中，评分在内的可能结果为，，，共 种， ∴这 人中至少一人评分在 的概率为 ． 【标注】【知识点】古典概型；频率分布直方图；用样本的数字特征估计总体的数字特征问题；众数、中位数、平均数 巩固练习33. 为了解某小区 月用电量情况，通过抽样，获得了 户居民 月用电量（单位：度），将数据按照 ， ， ， 分成六组，制成了如图所示的频率分布直方图． 频率组距 月电用量 度 （ 1 ）求频率分布直方图中 的值． （ 2 ）已知该小区有（ 3 ）估计该小区户居民，估计该小区 月用电量不低于 度的户数，并说明理由．的居民 月用电量的值，并说明理由． 【答案】（ 1 ）（ 2 ）（ 3 ）．户，证明见解析．度． 【解析】（ 1 ）由频率分布直方图可得 ， 解得 ． （ 2 ）由频率分布直方图知， 户居民 月用电量不低于 度的频率为， 由此可以估计该小区有 户居民 月用电量不低于 度的户数为 ．（ 3 ）由频率分布直方图知， 月用电量低于 度的频率为 ，月用电量低于 度的频率为 ， 所以 分位数一定位于区间 内， 由 ， 由此估计该小区 的居民 月用电量约为 度． 【标注】【知识点】频率分布直方图；百分位数；用样本的数字特征估计总体的数字特征问题 三、 思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！【备注】四、 出门测 34. 设 ，则 的虚部为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B【解析】∵ ． ∴ 的虚部为 、 故选 ． 【标注】【知识点】复数的乘法和除法 35. 如图，在矩形 中， ， ， 是 的中点，那么 （ ）． A. B. C. D. 【答案】C【解析】∵ 是 中点，∴， ∴ ， 故选 ．【标注】【知识点】平面向量数量积的运算律；平面向量数量积运算（非坐标） 36. 如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 为正方形， 为对角线 与 的交点， 为棱 的中点． （ 1 ）证明： 平面 ． （ 2 ）证明： ． 【答案】（ 1 ）证明见解析．（ 2 ）证明见解析． 【解析】（ 1 ）因为 为正方形， 为对角线 与 的交点，所以 为 的中点，又因为 为棱 的中点， 所以 ， 又因为 平面 ， 所以 平面 ． （ 2 ）因为 正方形， 所以 ， 又因为 平面 ， 平面 ， 所以 ， 又因为 ， 所以 平面 ， 又因为 平面 ， 所以 ． 【标注】【知识点】线面平行的证明问题；直线和平面平行的判定；线线垂直的证明问题；直线和平面垂直的性质37. 某校高一、高二两个年级共 名学生同时参与了跳绳、踢毽两项健身活动，为了了解学生的运动状况，采用样本按比例分配的分层随机抽样方法，从高一、高二两个年级的学生中分别抽取 名和名学生进行测试，下表是高二年级的 名学生的测试数据（单位：个/分钟）.学生编号跳绳个数踢毽个数（ 1 ）求高一、高二两个年级各有多少人？（ 2 ）从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生每分钟跳绳个数超过 且踢毽个数超过 的概率．（ 3 ）高二年级学生的两项运动的成绩哪项更稳定？ 【答案】（ 1 ）（ 2 ）人； 人．． （ 3 ）踢毽．【解析】（ 1 ）高一年级的学生人数为， 高二年级的学生人数为 ． （ 2 ）设“该学生每分钟跳绳个数超过 且踢毽个数超过 ”为事件 ，由表中数据可知，高二年级选出的这 名同学中每分钟跳绳个数超过 且踢毽个数超过 的共有 人，所以从这 个人当中任选一人，事件 发生的概率为 ．由此估计从高二年级的学生中任选一人，事件 发生的概率为 ．（ 3 ）由表中数据可以估计：高二年级学生每分钟跳绳个数的平均数为，高二年级学生每分钟跳绳个数的方差为；高二年级学生每分钟踢毽个数的平均数为，高二年级学生每分钟踢毽个数的方差为． 因为 ， 所以高二年级学生踢毽的成绩更稳定．【标注】【知识点】古典概型；分层随机抽样；用样本的数字特征估计总体的数字特征问题；极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数39
期末综合复习 一、 课堂目标1．掌握平面向量的相关知识点及其应用．2．掌握复数的相关知识点及其应用．3．掌握空间立体图形的结构，会求相应图形的体积和表面积．4．熟练掌握证明平行、垂直的方法，会求空间中的角与距离．5．掌握概率与统计的相关知识及其应用．【备注】【教师指导】1.本讲主要对期末考试前进行总体的复习，以思维导图的形式展现每章对应的知识点，要求老师注重基础知识的复习，对于学生没有掌握的知识点要重点复习.本讲的题目全部是期末考试的考题，难度不是非常大，重点是要求学生熟练掌握知识点，熟练求解中等左右的题型，复习要做到稳重和扎实.2.本讲关联的知识点：平面向量、解三角形、复数、空间立体几何、统计、概率.二、 知识讲解1. 平面向量及其应用知识精讲 【备注】【教师指导】1.平面向量基本定理如果 、 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只 有一对实数 、 ，使 ． 2.一个结论：若 、 、 三点满足 ，其中 ，则 、 、 三 点共线．3.平面向量的坐标运算：已知向量（1）平面向量加法运算坐标表示：（2）平面向量减法运算坐标表示： （3）平面向量数乘运算坐标表示：（5）平面向量数量积的坐标表示：已知，， 4.正弦定理变形式：①； ② ； ③ ； ； ； ④ . 5.正弦定理的应用：①已知两角和任意一边，求另一角和其它的两条边；②已知两边和其中一边的对角，求其他的角和边.6.余弦定理的应用：①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三条边和其它的两个角；③已知两边和其中一边的对角，求其它的角和边．7.三角形面积公式：经典例题 1. 若 ， 是夹角为 的两个单位向量，则 与 的夹角为（ ）． A. B. C. D. 【备注】【教师指导】本题主要考查求向量的夹角问题.【答案】C 【解析】 ， ， ， ∴ ， 则 ， 故 与 的夹角为 ． 故选 ．【标注】【知识点】向量的夹角的判断；向量的数量积的定义；利用向量数量积求夹角；平面向量数量积运算（非坐标）；平面向量数量积的运算律巩固练习 2. 设 ， 是单位向量，且 ， 的夹角为 ，若 ， ，则 ； 在 方向上的投影为 ． 【答案】 ; 【解析】由平面向量的数量积的定义，可得， ，， 即 ，所以 在 方向上的投影为． 【标注】【知识点】利用投影解决平面向量的数量积；平面向量数量积运算（非坐标）；向量的投影；向量的数量积的定义经典例题 3. 已知边长为 的菱形 中，点 为 上一动点，点 满足 ， ，则 的最小值为（ ）． A. B. C. D. 【备注】【教师指导】本题的重点是建立合适的平面直角坐标系，转化为坐标运算.【答案】B 【解析】由题意知： ，设 （ ）， ∴ ， 解得 ， 以 与 交点为原点， 为 轴， 为 轴建立平面直角坐标系，如图所示：yxO ∴ ， ．设 ， 则 ， ， ∴ ， 当 时， ． 故选 ．【标注】【知识点】数量积的最值问题；线性运算和数量积综合问题巩固练习 4. 如图，在 中， ，若 ，则 的值为 ； 是 上的一点，若 ，则 的值为 ． 【答案】 ; 【解析】因为在 中， ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 因为点 是 上的一点， 设 ，由 ， 可得 ， 又因为 ， 所以 ，解得 ， 所以 ， 综上所述， ， ． 【标注】【知识点】平面向量线性运算综合（非坐标）；平面向量基本定理及其意义经典例题 5. 在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ． （ 1 ）求角 的大小．（ 2 ）如果，，求的面积． 【备注】【教师指导】解三角形综合题，主要利用正余弦定理求边角问题，利用面积公式求三角形面积.【答案】（ 1 ） ． （ 2 ） ． 【解析】（ 1 ）∵ ， ∴ ， 由余弦定理可得： ， 又 ， ∴ ． （ 2 ）如果 ， 则 ， 由正弦定理可得： ， ，则 ， ， ∴ ．【标注】【知识点】三角形面积公式；正弦定理；正余弦定理综合求解边角；余弦定理巩固练习 6. 如图，河边有一座塔 ，其高为 ，河对面岸上有 ， 两点与塔底在同一水平面上，由塔顶部 测得 ， 两点的俯角分别为 和 ，而且 ， 两点分别与塔底部 连线成 角，则 ， 两点 的距离为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C【解析】在直角三角形中，，可得， 在直角三角形 中， ，可得 ，且 可得 ． 可得 ． 故选 ．【标注】【知识点】测量距离的问题 7. 在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．且满足 ． （ 1 ）求角 ．（ 2 ）若的面积为，，求边 ． 【答案】（ 1 ）（ 2 ）．． 【解析】（ 1 ）∵ ， ∴由正弦定理可得： ． ∵ ， ∴ ， 可得： ． ∵ ， ∴ ，可得： ， ∴由 ，可得： ． （ 2 ）∵ ， 的面积为 ， ∴可得： ， 又∵ ，∴由余弦定理可得：， ∴解得： ． 【标注】【知识点】余弦定理；正余弦定理综合求解边角；正弦定理；三角形面积公式经典例题 8.在平面直角坐标系 中，已知向量（ 1 ）若 ，求 的值；（ 2 ）若 与 的夹角为 ，求 的值．，，． 【备注】【教师指导】平面向量与三角函数的综合，注意结合三角函数中相关公式. 【答案】（ 1 ） ． （ 2 ） ．【解析】（ 1 ）由题意得， 则 ， ， 则 ， ∵ ， ∴ ． （ 2 ） ． ， ， ． ∴ ． ∴ ． ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． 【标注】【知识点】辅助角公式；数量积的坐标表达式巩固练习 9. 在 中，角 ， ， 对应的边分别是 ， ， ，若 ，其中 ， ． （ 1 ）求角 的大小． （ 2 ）若 的面积 ， ，求 的值． 【答案】（ 1 ） ． （ 2 ） ． 【解析】（ 1 ）由已知： ， 且 ， ∴ ， 中， ， ∴ ， ， ∴ ，整理得： ， 解得： 或 （舍去）， ∵ 为三角形内角， ∴ ．综上所述，结论是：． （ 2 ）由已知： ， ∴，中，由余弦定理： ， ∴ ，由正弦定理：， ∴ ， ， ∴ ． 综上所述，结论是： ． 【标注】【知识点】坐标表示平面向量的共线；坐标表示平面向量的垂直；正弦定理；正余弦定理综合求解边角；三角形面积公式 2. 复数知识精讲经典例题 10. 若复数 为纯虚数，则 （ ）． A. B. C. D. 【备注】【教师指导】本题主要考查复数的四则运算，注意纯虚数的概念.【答案】D【解析】，由复数 为 纯虚数，得 解得 ． 【标注】【知识点】复数的基本概念；复数的乘法和除法；复数的四则运算综合巩固练习 11. 设 是虚数单位，则复数 ，在复平面内所对应的点位于（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B【解析】由题意得，所以在复平面内表示复数的点为 在第二象限．故选 ．【标注】【知识点】复数的乘法和除法 12. 已知复数 ， ，若 是实数，则实数 的值（ ）． A. B. C. D. 【答案】C【解析】∵，， ∴ ， ∵ 是实数， ∴ ， ． 故选项 正确．【标注】【知识点】复数的基本概念；复数的乘法和除法；复数的四则运算综合3. 立体几何初步知识精讲 经典例题 13. 如图，在四棱锥 中，四边形 为矩形， ， ， ，则四棱锥 的外接球的体积为（ ）． A. B. C. D. 【备注】【教师指导】本题主要考查外接球问题，重点求外接球的半径.如果学生掌握不扎实，可以再复习一遍《内切球与外接球》这一讲内容.【答案】D【解析】 ∵ ， ， ∴ 平面 ， 又 ， ∴ 平面 ， ∴ ， 又在 中， ， ， 故 ， ∴ ， ∴ 平面 ， 设 为矩形 的对角线的交点， 则 ， 作 于 ，因为 平面 ， 所以平面 平面 ， 故 平面 ， 连结 ， ，则 ， 所以 为四棱锥 外接球的球心，且球的半径为 ， 故所求的球的体积为 ． 故选 ．【标注】【知识点】平面和平面垂直的性质；直线和平面垂直的性质；空间几何体的内切球、外接球问题；组合体求体积、表面积问题；空间几何体的体积巩固练习14. 如果一个圆锥的底面半径为 ，侧面积为 ，那么圆锥的体积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D【解析】已知圆锥的半径，侧面积， 设圆锥的母线长为 ，圆锥的侧面积， 解得 ， 由勾股定理可得，圆锥的高， 所以圆锥的体积 ． 故选 ．【标注】【知识点】组合体求体积、表面积问题；空间几何体的体积 15. 设 ， ， ， 是球 表面上的四个点，若 ， ， ，且 ，则球 的体积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B【解析】三棱锥的三条侧棱 、 、 两两互相垂直， 它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长：，∴半径为 ， 所以球的体积 ． 故选： ．【标注】【知识点】空间几何体的体积；空间几何体的内切球、外接球问题4. 空间立体几何知识精讲 经典例题16. 设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）． A.B.若若，，，则，，则 C. 若 ， ， ，则 D. 若 ， ， ，则 【备注】【教师指导】本题主要考查空间中点、线、面的位置关系，注意可以借助一些实物（如墙角）去分析.【答案】D 【解析】A 选项：若 ， ，则 与 可以平行，相交或异面，故 选项不正确； B 选项：若C 选项：，，则，但 与 可以平行或异面，故 选项不正确； 面面垂直的性质定理：D 选项： ，，∴，，∵，，∴， ，则 ，故 选项不正确；，故 选项正确． 故选 D .【标注】【知识点】点、直线、平面之间的位置关系；已知线面位置关系判定结论的问题巩固练习17. 设 ， 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若 ， ，则 ②若 ， ， ，则 ③若 ， ，则 ④若 ， ，则 其中正确命题的序号是（ ）． A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④ 【答案】A【解析】对于①，因为，所以经过 作平面 ，使，可得，又因为， ，所以 ，结合 得 ．由此可得①是真命题； 对于②，因为 且 ，所以 ，结合 ，可得 ，故②是真命题； 对于③，设直线 、 是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，而平面 是正方体下 底面所在的平面，则有 且 成立，但不能推出 ，故③不正确； 对于④，设平面 、 、 是位于正方体经过同一个顶点的三个面， 则有 且 ，但是 ，推不出 ，故④不正确． 综上所述，其中正确命题的序号是①和②．故选 ．【标注】【知识点】已知线面位置关系判定结论的问题；点、直线、平面之间的位置关系经典例题 18. 如图，在几何体 中，四边形 为平行四边形， 为 的中点，平面 平面 ， 为线段 上的一点， ， 是等边三角形． （ 1 ）证明：（ 2 ）证明：平面．． （ 3 ）证明：平面 平面 ． 【备注】【教师指导】本题主要考查证明空间中直线、平面平行与垂直的相关证明方法，要求学生熟练掌握.【答案】（ 1 ）证明见解析．（ 2 ）证明见解析．（ 3 ）证明见解析．【解析】（ 1 ）连接 ，交 于点 ，连接 ， 在平行四边形 中， 为 的中点，又 为 的中点， ∴ 为 的中位线， ∴ ， 又 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ． （ 2 ）在平行四边形 中， ， 又 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ， 又平面 平面 ， 平面 ， ∴（ 3 ）∵．为等边三角形， ∴ ，又 为 中点， ∴ ，又 ， ， 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ，又 平面 ， ∴平面 平面 ． 【标注】【知识点】面面垂直的证明问题；平面和平面垂直的判定；直线和平面平行的判定；线面平行的证明问题；线线平行的证明问题巩固练习 19. 如图所示，在底面是菱形的四棱锥 中， ， 、 、 分别为 、 、 的中点，（ 1 ）证明：平面．． （ 2 ）证明：平面 平面 ． 【答案】（ 1 ）证明见解析．（ 2 ）证明见解析．【解析】（ 1 ）如图所示：连接 ，∵四边形为菱形， ∴ ， ∵ ， ∴ 为等边三角形， ∵点 为 中点， ∴ ， ∵ 平面 ， 平面 ， ∴ ， ∵ ， ∵ 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ， ∵ 平面 ， ∴ ． （ 2 ）∵四边形 为菱形， ∴ 且 ， ∵点 为 中点，点 为 中点， ∴ ， ∴四边形 为平行四边形， ∴ ， ∵ 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ， ∵点 为 中点，点 为 中点， ∴ 为 中位线， ∴ ， ∵ 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ， ∵ 且 平面 ， 平面 ， ∴平面 ． 【标注】【知识点】面面平行的证明问题；平面和平面平行的判定；直线和平面垂直的性质；线线垂直的证明问题经典例题 20. 如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧面 底面 ， 为侧棱 上 一点． （ 1 ）求证：（ 2 ）求证：平面．． （ 3 ）若 为 中点，平面 与侧棱 交于点 ， ，求四棱锥 的体积．【备注】【教师指导】本题的重点是第（3）问，求空间几何体体积，重点找底面面积和对应高的大小，即 和 底面 面积大小. 【答案】（ 1 ）证明见解析．（ 2 ）证明见解析． （ 3 ） .【解析】（ 1 ）∵底面是正方形， ∴ ， 又∵ 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ． （ 2 ）正方形 中，易知 ， 又∵平面 平面 ， 平面 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ， 又∵ 平面 ， ∴（ 3 ）∵平面．与棱 交于点 ， ∴平面 平面 ， 又由 知 平面 ， 平面 ， ∴ ， ∵ 为 中点，∴ 为 的中点， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ，又由 知，平面， ∵ 平面 ， ∴ ， ∴ ， 又有 ， 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ， ∴ 为四棱锥 的高， 由 知 ， ∴ ， ， ∴四边形 为直角梯形， 其中 ， ， ， ∴ 四边形又∵，， ∴四棱锥 的体积为 . 【标注】【知识点】组合体求体积、表面积问题；空间几何体的体积 21. 如图所示，在四棱锥 中， 平面 ， ， 是 的中点． （ 1 ）求证： ．（ 2 ）求证： 平面 ．（ 3 ）若 是线段 上一动点，则线段 上是否存在点 ，使平面？说明理由． 【备注】【教师指导】 本题重点是第（3）问，动点问题—存在性问题，首先假设这点存在，证明所证问题成立即可说明存在.【答案】（ 1 ）证明见解析．（ 2 ）证明见解析．（ 3 ）存在，证明见解析． 【解析】（ 1 ）因为在四棱锥 中， 平面 ， 平面 ， 平面 平面 ， 所以 ． （ 2 ）取 中点 ，连接 ， ，因为 ， 分别为 ， 的中点， 所以 ， ， 又因为由（ ）得 ， ， 所以 ， ， 所以四边形 是平行四边形， 所以 ， 又因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ． （ 3 ）取 中点 ，连接 ， ， ， 因为 ， 分别为 ， 的中点， 所以 ， 又因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ， 又因为由（ ）得 平面 ， ， 所以平面 平面 ， 又 是 上动点， 平面 ， 所以 平面 ，所以线段 上存在点 ，使平面． 【标注】【知识点】平行的探索性问题；直线和平面平行的判定巩固练习 22. 如图，设 ， 分别是正方体 的棱 上两点，且 ，则下列说法 中正确的是（ ）． A.B.异面直线三棱锥与 所成的角为的体积为定值 C.D.平面直线与平面与平面所成的二面角大小为所成的角为 【答案】BCD【解析】∵四边形是正方形， ∴可知 ， 又∵ 在 上， ∴ ，∴直线 与直线所成角为，故 错误； 设正方体 棱长为 ， ∴ ，故为定值，故 正确； 连接 ，如图 ， 图∵ 在 上， ∴平面 在平面 内， ∵为正方体 ， ∴ 平面 ， ∴ ， ， ∴可知平面 与平面 所成角为 ， ∴平面 与平面 所成二面角为 ，故 正确； 连接 ， ，交于点 ，连接 ，如图 ， 图 设正方体 棱长为 ， ∴ ， ∵ ， 平面 ， ∴ ， ， ∴ 平面 ， ∴可知 与平面 所成角 ， ∴在 中可知 ， 又 ， ， ∴在 中有余弦定理： ， ∴ ， 又平面 属于平面 ， ∴平面 与直线 所成角为 ，故 正确． 综上所述： 、 、 正确． 故选 ． 【标注】【知识点】几何法求空间角；求三棱锥的体积5. 统计与概率知识精讲知识精讲 【备注】【教师指导】（1）一般地，概率有如下性质：性质1 ：对任意的事件 ，都有 ．性质2 ：必然事件的概率为 ，不可能事件的概率为 ，即性质3 ：如果事件 与事件 互斥，那么互斥事件的概率加法公式可以推广到多个事件的情况．如果事件， ．．， ， ，两两 互斥，那么事件发生的概率等于这 个事件分别发生的概率之和，即． 性质4： 如果事件 与事件 互为对立事件，那么．， 性质5 ：如果 ，那么 ． 性质6 ：设，是一个随机试验中的两个事件，我们有. （2）相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件互斥事件 概念如果事件 （或 ）是否发生对事件 （或）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫作相互独立事件．不可能同时发生的两个事件叫作互斥事件． 符号计算公式相互独立事件，同时发生，记作：互斥事件记作：， 中有一个发生，（或 ） 经典例题 23. 已知一组数据 ， ， ， 的平均数为 ，方差为 ，则数据 ， ， ， 的 平均数 与方差 分别为（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【备注】【教师指导】熟练求解离散型随机变量数字特征，属于常考题型，难度不大.【答案】C 【解析】数据 ， ， ， ， 的 平均数为 ， 根据结论：方差为 ． 故选 ．【标注】【知识点】极差、方差与标准差巩固练习24. 王明同学随机抽查某市 个小区所得到的绿化率情况如下表所示：小区绿化率（ ）小区个数则关于这 个小区绿化率情况，下列说法错误的是（ ）． A. 方差是 B. 众数是 C. 中位数是 D. 平均数是 【答案】A【解析】A 选项：方差，故错误．B 选项：众数是 ，正确．C 选项：中位数是 ，正确．D 选项：平均数，正确． 故选 A .【标注】【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差25. 某中学高一年级有 人，高二年级有 人，高三年级有 人，为了解学校高中学生视力情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为 的样本，则高一年级应抽取的人数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为高一：高二：高三， 因为分层抽样，故应在高一抽取的人数为：人．故选择 选项．【标注】【知识点】分层随机抽样经典例题26. 生物实验室有 只兔子，其中只有 只测量过某项指标．若从这 只兔子中随机取出 只，则恰有 只测量过该指标的概率为（ ）． A. B. C. D. 【备注】【教师指导】本题主要考查古典概型，要求学生熟练掌握求解古典概型的方法.【答案】C【解析】设其中做过测试的 只兔子为 ， ， ，剩余的 只为 ， ，则从这 只兔子中任取 只的所有取法有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共 种， 其中恰有 只做过测试的取法有： ， ， ， ， ， 共 种， 所以恰有 只做过测试的概率为 ， 故选： ．【标注】【知识点】古典概型 巩固练习27. 已知甲袋中有 只白球， 只黑球；乙袋中有 只白球， 只黑球．球只有颜色不同．从两袋中各取一只，则两球颜色相同的概率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B【解析】设甲袋中，白球为 ，黑球为 ， ，乙带中，白球为 ， ，黑球为 ， 从中各取一只，则共有 ， ， ， ， ， ， ， ， 九种情况， 其中两球颜色相同有 种， 所以概率为 ． 故选 ．【标注】【知识点】古典概型28. 从装有 个白球和 个黑球的口袋内任取两个球，那么下列事件中是互斥而不对立的事件是（ ）． A. “恰有两个白球”与“恰有一个黑球” B. “至少有一个白球”与“至少有一个黑球” C. “都是白球”与“至少有一个黑球” D. “至少有一个黑球”与“都是黑球” 【答案】A【解析】A 选项：事件：“恰有两个白球与事件”与事件”恰有一个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是黑球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，故 正确．B 选项：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个白球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴这两个事件不是互斥事件，故 错误．C 选项：“都是白球”与“至少有一个黑球”不能同时发生，但是对立，故 错误．D 选项：“至少有一个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，故不互斥，故 错误．故选 A .【标注】【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件与对立事件的概念辨析 经典例题 29. 图①为某省 年 月快递业务量统计图，图②为该省 年 月快递业务收入统计图，下 列对统计图理解错误的是（ ）． 快递业务量（万件） 同比增长 月 月 图 月 月 快递业务收入 万元 同比增长 月 月 图 月 月 A. 年 月快递业务量， 月最高， 月最低，差值接近 万件 B. 年 月快递业务量同比增长率均超过 ，其中 月最高 C. 年 月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致 D. 从 年 月来看，该省快递业务收入同比增长率逐月增大 【备注】【教师指导】本题主要考查根据统计图表进行分析，用样本分布估计总体分布问题.【答案】D 【解析】A 选项： 年 业务量， 月最高， 月最低，差值为 ，接近 万件，故 正确； B 选项： 年 的业务量同比增长率分别为 ， ， ， ，均超过 ，在 月最高，故 正确； C 选项： 月份业务量同地增长率为 ，而收入的同地增长率为 ， 正确； D 选项： ， ， ， 月收入的同比增长率分别为 ， ， ， ，并不是逐月增 长， 错误．故选 D .【标注】【知识点】折线图、总体密度曲线；用样本的数字特征估计总体的数字特征问题巩固练习 30. 下图为某地区 年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图． 根据该折线图可知，该地区 年（ ）． 80 70 60 50 40 30 20城乡居民储蓄年末余额（百亿元）地方财政预算内收入（百亿元） 1002006年2007年2008年2009年2010年2011年2012年2013年2014年2015年2016年2017年2018年 A. B. C. D.财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年均增长量城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年减小 【答案】A【解析】A 选项：由图知财政预算内收入，城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势，故 正确；B 选项：由图知城乡居民储蓄年末余额的年增长速度高于财政预算内收入的年增长速度，故 错误；C 选项：由图知财政预算内收入年平均增长量低于城乡居民储蓄年末余额年平均增长，故 错误；D 选项：由图知城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入差额逐年增大，故 错误．故选 A .【标注】【知识点】折线图、总体密度曲线经典例题31. 国产杀毒软件进行比赛，每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某个软件在四轮考核中能够准确杀毒的概率依次是 ， ， ， ，且 各轮考核能否通过互不影响，则该软件至多进入第三轮考核的概率为 ． 【备注】【教师指导】本题组要考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式.【答案】 【解析】设事件 表示“该软件能通过第 轮考核”， 有已知得 ， ，，，设事件 表示“该软件至多进入第三轮”，则．故答案为： ．【标注】【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式 32. 受突如其来的新冠疫情的影响，全国各地学校都推迟 年的春季开学．某学校”停课不停学”，利 用云课平台提供免费线上课程．该学校为了解学生对线上课程的满意程度，随机抽取了 名学生对该线上课程评分．其频率分布直方图如下：若根据频率分布直方图得到的评分低于 分的概率估计值为 ．频率组距评分 （ 1 ） 12求直方图中的 ， 值．若评分的平均值和众数均不低于 分视为满意，判断该校学生对线上课程是否满意？并说明理由（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． （ 2 ）若采用分层抽样的方法，从样本评分在 和 内的学生中共抽取 人进行测试来检 验他们的网课学习效果，再从中选取 人进行跟踪分析，求这 人中至少一人评分在 内 的概率．【备注】【教师指导】统计与概率综合体，属于期末考试的重点，难度不大，要求学生百分百掌握. 【答案】（ 1 ）1 ， ． 2（ 2 ）该校学生对线上课程满意．． 【解析】（ 1 ）1 由已知得 ， 解得 ， 又 ， 2∴ ．由频率分布直方图得评分的众数为 ，评分的平均值为，∴该校学生对线上课程满意． （ 2 ）由题知评分在 和 内的频率分别为 和 ， 则抽取的 人中，评分在 内的为 人，评分在 的有 人， 记评分在 内的 位学生为 ， ， ，评分在 内的 位学生这 ， ， 则从 人中任选 人的所有可能结果为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共 种，其中，评分在内的可能结果为，，，共 种， ∴这 人中至少一人评分在 的概率为 ． 【标注】【知识点】古典概型；频率分布直方图；用样本的数字特征估计总体的数字特征问题；众数、中位数、平均数 巩固练习33. 为了解某小区 月用电量情况，通过抽样，获得了 户居民 月用电量（单位：度），将数据按照 ， ， ， 分成六组，制成了如图所示的频率分布直方图． 频率组距 月电用量 度 （ 1 ）求频率分布直方图中 的值． （ 2 ）已知该小区有（ 3 ）估计该小区户居民，估计该小区 月用电量不低于 度的户数，并说明理由．的居民 月用电量的值，并说明理由． 【答案】（ 1 ）（ 2 ）（ 3 ）．户，证明见解析．度． 【解析】（ 1 ）由频率分布直方图可得 ， 解得 ． （ 2 ）由频率分布直方图知， 户居民 月用电量不低于 度的频率为， 由此可以估计该小区有 户居民 月用电量不低于 度的户数为 ．（ 3 ）由频率分布直方图知， 月用电量低于 度的频率为 ，月用电量低于 度的频率为 ， 所以 分位数一定位于区间 内， 由 ， 由此估计该小区 的居民 月用电量约为 度． 【标注】【知识点】频率分布直方图；百分位数；用样本的数字特征估计总体的数字特征问题 三、 思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！【备注】四、 出门测 34. 设 ，则 的虚部为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B【解析】∵ ． ∴ 的虚部为 、 故选 ． 【标注】【知识点】复数的乘法和除法 35. 如图，在矩形 中， ， ， 是 的中点，那么 （ ）． A. B. C. D. 【答案】C【解析】∵ 是 中点，∴， ∴ ， 故选 ．【标注】【知识点】平面向量数量积的运算律；平面向量数量积运算（非坐标） 36. 如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 为正方形， 为对角线 与 的交点， 为棱 的中点． （ 1 ）证明： 平面 ． （ 2 ）证明： ． 【答案】（ 1 ）证明见解析．（ 2 ）证明见解析． 【解析】（ 1 ）因为 为正方形， 为对角线 与 的交点，所以 为 的中点，又因为 为棱 的中点， 所以 ， 又因为 平面 ， 所以 平面 ． （ 2 ）因为 正方形， 所以 ， 又因为 平面 ， 平面 ， 所以 ， 又因为 ， 所以 平面 ， 又因为 平面 ， 所以 ． 【标注】【知识点】线面平行的证明问题；直线和平面平行的判定；线线垂直的证明问题；直线和平面垂直的性质37. 某校高一、高二两个年级共 名学生同时参与了跳绳、踢毽两项健身活动，为了了解学生的运动状况，采用样本按比例分配的分层随机抽样方法，从高一、高二两个年级的学生中分别抽取 名和名学生进行测试，下表是高二年级的 名学生的测试数据（单位：个/分钟）.学生编号跳绳个数踢毽个数（ 1 ）求高一、高二两个年级各有多少人？（ 2 ）从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生每分钟跳绳个数超过 且踢毽个数超过 的概率．（ 3 ）高二年级学生的两项运动的成绩哪项更稳定？ 【答案】（ 1 ）（ 2 ）人； 人．． （ 3 ）踢毽．【解析】（ 1 ）高一年级的学生人数为， 高二年级的学生人数为 ． （ 2 ）设“该学生每分钟跳绳个数超过 且踢毽个数超过 ”为事件 ，由表中数据可知，高二年级选出的这 名同学中每分钟跳绳个数超过 且踢毽个数超过 的共有 人，所以从这 个人当中任选一人，事件 发生的概率为 ．由此估计从高二年级的学生中任选一人，事件 发生的概率为 ．（ 3 ）由表中数据可以估计：高二年级学生每分钟跳绳个数的平均数为，高二年级学生每分钟跳绳个数的方差为；高二年级学生每分钟踢毽个数的平均数为，高二年级学生每分钟踢毽个数的方差为． 因为 ， 所以高二年级学生踢毽的成绩更稳定．【标注】【知识点】古典概型；分层随机抽样；用样本的数字特征估计总体的数字特征问题；极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数39
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