六年级下册小升初数学高频考点专项培优卷专题44：带余除法（提高卷）（附参考答案）

这是一份六年级下册小升初数学高频考点专项培优卷专题44：带余除法（提高卷）（附参考答案），共27页。试卷主要包含了所有被4除余1的两位数的和为等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共12小题）
1．某S为自然数，被10除余数是9，被9除余数是8，被8除余数是7，已知100＜S＜1000，请问这样的数有几个？（ ）
A．5B．4C．3D．2
2．有四个自然数A、B、C、D，它们的和不超过400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。那么，这四个自然数的和是（ ）
A．216B．108C．314D．348
3．一个数被7除，余数是3，该数的3倍被7除，余数是（ ）
A．3B．6C．2D．1
4．某民兵连在操场上列队，只知道人数在90到110人之间，且这些人排成3列无余数，排成5列不足2人，排成7列不足4人，则共有民兵（ ）人．
A．108B．102C．107D．109
5．有一堆苹果，2个2个地数少1个，3个3个地数余1个，4个4个地数余1个，5个5个地数却少4个，这堆苹果最少有（ ）个．
A．13B．19C．61D．121
6．所有被4除余1的两位数的和为（ ）
A．1200B．1208C．1210D．1224
E．1229
7．一个数被7除，余数是6，这个数的6倍被7除时余数是（ ）
A．1B．3C．5D．7
8．两个自然数同时除以13，所得的余数分别是6和9，它们之积除以13的余数为（ ）
A．9B．7C．6D．2
9．小华在计算除法时，把除数87写成78，结果得到商是64，还余54，正确的商应该是（ ）
A．54B．58C．64D．87
10．算式2020×2020+2021×2021除以31的余数是（ ）
A．15B．29C．23D．30
11．12+22+32+…+20012+20022除以7的余数是（ ）
A．0B．1C．2
12．有100条线段，长度都是整数，最短线段为7，任意三条线段都不能组成三角形，当他们总和最小时，总和除以3的余数是（ ）
A．0B．1C．2D．不能确定
二．填空题（共30小题）
13．一本书如果每天读80页，那么4天读不完，5天又有余；如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余；如果每天读N页，恰好N（N是自然数）天读完，这本书是 页．
14．有一个自然数，用它分别去除25，38，43，所得三个余数的和是18，这个自然数是 ．
15．37249和278的积被7除，余数是 ．
16．某小学四、五、六年级学生是星期六下午参加劳动，其中一个班学生留下来打扫环境卫生，一部分学生到建筑工地搬砖，其余的学生到校办工厂劳动，到建筑工地搬砖是到校办工厂劳动人数的2倍．各个班级参加劳动人数如下表．留下来打扫卫生的是 班．
17．1+2+3+……+3006的和除以7的余数是 。
18．有一个自然数，除以3余2，除以5余4，则这个自然数除以15余 ．
19．有一个数，被3除余2，被4除余1，那么这个数除以12余 ．
20．某个自然数被247除余63，被248除也余63。那么这个自然数被26除余数是 。
21．在计算有余数除法时，一时大意把被除数325错写成235，结果商比原来少6，但余数恰好相同，问这道题的除数是 。
22．一个自然数除以7，8，9分别余1，2，3，而所得的三个商的和是570。这个自然数是 。
23．从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中火车有4班，汽车有3班，轮船有2班．问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有 种不同走法．
24．五把钥匙开五把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，最多试开 次，就能把锁和钥匙配起来．
25．从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中火车有5班，汽车有8班，轮船有2班．问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有 种不同走法．
26．十把钥匙开十把锁，你不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试 次可把钥匙与锁配对．
27．小强到图书馆借书，其中他喜欢的书有4本英语小说，2本科幻杂志，5本漫画．他每次只能借一本，那么他有 种借法．
28．盒子里有10个红球，5个黄球，1个白球，除颜色外全部相同，任意摸一个，颜色有 种可能．
29．六年级6个班之间举行拔河比赛，两两之间进行一场比赛，全年级一共要进行 场比赛。
30．一把钥匙开一把锁。现有10把钥匙和10把锁，但不知怎么相配，至少要试 次才能确保钥匙和锁全部相配。
31．广州市小学数学奥林匹克业余学校入学考试，试题有10道选择题，答对一题得4分，不答或答错得0分；还有10道简答题，答对一题得6分，不答或答错得0分．问试卷成绩最多有 种不同的分数．
32．平面上有8条直线，最多能把平面分成 个部分．
33．大于100的整数中，被13除后商与余数相同的数有 个．
34．有一个数，除以3的余数是2；除以4的余数是1．这个数除以12的余数是 ．
35．已知A＝（6143﹣728）×22472，那么A÷9的余数是 ．
36．7+7+⋯+7︸20个7+3所得的和除以7，余数是 ．
37．444⋯4︸100个4÷6，当商是整数时，余数是 ．
38．一个自然数去除300，245，210，得到的余数分别为a，a+2，a﹣14，那么a＝ 。
39．有一列数，前两个数是3和4，从第3个数起每个数是前两个数的和，这一列数中第2007个数除以4余 。
40．一堆棋子，3个3个数，余下1个；5个5个数，余下2个；7个7个数，余下3个，这堆棋子最少有 个。
41．从1～10这10个不相等的自然数中每次取出2个数求和，要使它们的和小于10，不同的取法有 种．
42．书架上有6本故事书，6本画报，6本科普读物，小芳从书架上任取一本，有 种不同的取法．
三．应用题（共6小题）
43．一个数除以500，利用商不变的规律，被除数和除数的末尾同时去掉两个0，这时商不变，还是5，但余数减少了99。原来的被除数和余数分别是多少？
44．小丁丁在计算除法时，把被除数623写成了663，这样商就比原来多了2，而余数正好相同。你能求出除数和余数各是多少吗？
45．张少路在计算726除以一个数时，把被除数的个位和十位看反了，结果商大了2，余数大了4，这道题正确的得数是多少？
46．一些孩子在沙滩上玩耍，他们把石子多堆，其中有一个孩子发现从石子堆选出六堆，其中至少有两堆的石子数除以5的余数相同，你能说一说他的结论对吗？为什么？
47．用一个自然数去除另一个自然数，商为10，余数是1．被除数、除数、商、余数的和是89，求这两个自然数各是多少？
48．一个两位数，39除以它余3，63除以它余3.87除以它也余3。这个两位数是多少？
（小升初思维拓展）专题44：带余除法（提高卷）六年级下册小升初数学高频考点专项培优卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．【答案】D
【分析】根据题意，把“被10除余数是9，被9除余数是8，被8除余数是7”转化为：每10个分一份，少1；每9个分一份，少1；每8个分一份，少1；每7个分一份，少1．所以求10、9、8、7的公倍数在100～1000之间的数少1，即可．
【解答】解：10、9、8的最小公倍数是360，在100～1000之间的倍数有：360，720，
360﹣1＝359
720﹣1＝719
所以这个数可能是：359，719．
这样的数有2个．
故选：D．
【点评】本题主要考查带余除法，关键是把除以一个数余几，转化为少多少，再解答．
2．【答案】C
【分析】根据A与B、C、D三个数的关系有：A＝5B+5，A＝6C+6，A＝7D+7，得出：5（B+1）＝6（C+1）＝7（D+1）＝A，所以A为5、6、7的公倍数，因为5、6、7的最小公倍数为210，根据题意可知，它们的和不超过400，所以A＝210，进而求出另外三个数的值，求其和即可。
【解答】解：根据题意：
A＝5B+5，A＝6C+6，A＝7D+7
5（B+1）＝6（C+1）＝7（D+1）＝A
所以A为5、6、7的公倍数，因为5、6、7的最小公倍数为210，
因为它们的和不超过400，所以A＝210
所以：210÷5﹣1＝41
210÷6﹣1＝34
210÷7﹣1＝29
B＝41
C＝34
D＝29
这四个自然数的和是 210+41+34+29＝314。
故选：C。
【点评】本题主要考查带余除法的应用，关键是根据A与其它三个数的关系，找到符合题意的A的值。
3．【答案】C
【分析】一个数被7除，余数是3，假设商是a，根据余数性质，被除数等于商乘除数加余数，这个数等于7a+3；要求这个数的3倍被7除时余数是多少，代入计算式3（7a+3）÷7，得到3a+9÷7，3a是整数，9÷7＝1…2，所以商是3a+1，余数是2，因此得解．
【解答】解：假设一个数被7除，余数是3，商是a，则这个数是：7a+3，
这个数的3倍被7除时余数是：
3（7a+3）÷7＝3a+9÷7＝（3a+1）…2，
所以余数是2，
故选：C．
【点评】根据余数的性质，假设出未知数，进一步计算即可得解．
4．【答案】A
【分析】解答此题，首先把问题转化成带余除法算式，排成3列无余数，可以得出该整数为3的倍数，故排除选项C、选项D．排成5列不足2人，可以得出该整数被5整除余3，排成7列不足4人，可以得出该整数被7整除余3；故排除选项B．故选A.108．
【解答】解：102÷3＝36，108÷3＝36；102÷5＝20…2；108÷5＝21…3；102÷7＝14…4，108÷7＝15…3；108人排成3列无余数，排成5列不足2人，排成7列不足4人，答案为108．
故选：A。
【点评】解答带余除法问题，一定要分清除数、被除数、余数之间的关系，否则易混淆余数，导致错误答案．
5．【答案】C
【分析】2个2个地数少1个，3个3个地数余1个，4个4个地数余1个，就是求出2、3、4三个数的最小公倍数多1的数；由此解答求出2、3、4的公倍数，然后加上1，再找到其中满足5个5个地数却少4个的最小的数即可求解．
【解答】解：2、3、4三个数的最小公倍数是2×3×2＝12，
12×1+1＝13，13不满足5个5个地数却少4个；
12×2+1＝25，25不满足5个5个的数却少4个；
12×3+1＝37，37不满足5个5个的数却少4个；
12×4+1＝49，49不满足5个5个的数却少4个；
12×5+1＝61，61满足5个5个的数却少4个．
答：这堆苹果最少有61个．
故选：C．
【点评】此题考查了同余定理，只要余数相同，求出最小公倍数，加上余数就是总数；同理，只要缺的数相同，求出最小公倍数，减去缺数，就是总数．
6．【答案】C
【分析】本题中，由整除的意义可知，除以4后余1的最小两位数是：12+1＝13．除以4后余1的最大两位数是：96+1＝97．由此我们想除以4后余1的两位数一共有多少个？即所有除以4后余1的数组成的数列：13+17+21+…+97的项数有多少？由题意知数列的公差是4，那么计算项数得：（97﹣13）÷4+1＝22．然后利用公式求它们的和就行了．
【解答】解：除以4后余1的最小两位数是：12+1＝13，
除以4后余1的最大两位数是：96+1＝97，
那么除以4后余1的两位数一共有：（97﹣13）÷4+1＝22（个），
所有除以4后余1的两位数的和为：
13+17+21+…+97
＝（13+97）×22÷2
＝110×11
＝1210．
答：一切除以4后余1的两位数的和是1210．
故选：C．
【点评】本题考查余数的性质与等差数列求和．本题的解题关键是由除以4余1这一特点，想到满足条件的最小的两位数是13，最大的两位数是97，是一个公差为4的等差数列．
7．【答案】A
【分析】一个数被7除，余数是6，假设商是a，根据余数性质，被除数等于商乘除数加余数，这个数等于7a+6；要求这个数的6倍被7除时余数是多少，代入计算式6（7a+6）÷7，得到6a+36÷7，6a是整数，36÷7＝5…1，所以商是6a+5，余数是1，因此得解．
【解答】解：假设一个数被7除，余数是6，商是a，则这个数是：7a+6，
这个数的6倍被7除时余数是：
6（7a+6）÷7＝6a+36÷7＝（6a+5）…1，
所以余数是1，
故选：A．
【点评】根据余数的性质，假设出未知数，进一步计算即可得解．
8．【答案】D
【分析】设两数分别为13k+6，13m+9，k，m都是整数，则两数之积为（13k+6）×（13m+9）＝169km+117k+78m+54，因为k，m都是整数，所以前三个都是13的整数倍，最后剩下54，用54除以
13，求出余数即可．
【解答】解：设两数分别为13k+6，13m+9，k，m都是整数，则两数之积为：
（13k+6）×（13m+9）＝169km+117k+78m+54，
因为k，m都是整数，169、117、78都是13的倍数，所以前三个都是13的整数倍，
最后剩下54，
因为：54÷13＝4…2，
所以它们之积除以13的余数为2．
故选：D．
【点评】根据题意，进行推导，得出它们之积除以13的余数，即54除以13的余数，是解答此题的关键．
9．【答案】B
【分析】先利用被除数＝商×除数+余数求出除数是78，商是64，余数是54时被除数是多少，然后被除数不变，除数换成87，求出正确的商和余数，即可得解。
【解答】解：78×64+54
＝4992+54
＝5046
5046÷87＝58
答：正确的商应该是58。
故选：B。
【点评】此题考查了除法各部分间的关系，将错就错先算出被除数是解决本题的关键。
10．【答案】D
【分析】观察规律可得：是连续相邻的两个相同的数相乘然后再相加求和，将其中一个2021拆成（2020+1）的形式，然后再运用乘法分配律、乘法结合律和提取公因数，算出结果，然后再除以31，即可求出余数是多少。
【解答】解：由分析得：
2020×2020+2021×2021
＝2020×2020+（2020+1）×2021
＝2020×2020+2020×2021+1×2021
＝2020×2020+2020×（2020+1）+2021
＝2020×2020+2020×2020+2020×1+2021
＝2020×（2020+2020）+2020+2021
＝2020×4040+2020+2021
＝8160800+2020+2021
＝8162820++2021
＝8164841
8164841÷31＝
答：余数是30。
故选：D。
【点评】此题考查带余数的除法。观察数字之间的特点，熟练运用乘法分配律、乘法结合律。
11．【答案】A
【分析】先运用平方和公式：12+22+32+…+n2＝n（n+1）（2n+1）÷6，求出算式的和，根据求得的结果进行判断．
【解答】解：12+22+32+…+20012+20022
＝2002×（2002+1）×（2×2002+1）÷6
＝2002×2003×4005÷6
＝（2002÷2）×（4005÷3）÷2003
＝1001×1335×2003
因为1001能被7整除，所以余数是0．
故选：A．
【点评】此题也可这样理解：将原式按原顺序每7个分1组，共分成2002÷7＝286组，每组记作（7n+1）+（7n+2）+（7n+3）+直至7n+7，[n＝（0，285）]其中第一组除以7的余数为0，这样原式除以7的余数就等于第1组×286再除以7的余数也等于第1组除以7的余数×286再除以7的余数＝0．
12．【答案】B
【分析】首先根据题意，最短线段为7，所以任意三条线段，当他们总和最小时，另外两条线段中，其中的一条的长度可以是7；然后根据这两条长度为7的线段的长度和是14，任意三条线段都不能组成三角形，另一条的最短长度是14，据此求出总和除以3的余数是多少即可．
【解答】解：因为最短线段为7，
所以任意三条线段，当他们总和最小时，另外两条线段中，其中的一条的长度可以是7，
因为7+7＝14，任意三条线段都不能组成三角形，
所以另一条的最短长度是14，
（7+7+14）÷3
＝28÷3
＝9…1
所以当他们总和最小时，总和除以3的余数是1．
答：当他们总和最小时，总和除以3的余数是1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了带余除法问题，以及三角形的特征和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形任意两边的长度之和都大于第三边的长度．
二．填空题（共30小题）
13．【答案】见试题解答内容
【分析】设页数为x，①由“一本书如果每天读80页，那么4天读不完，5天又有余”得320＜x＜400；②由“如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余”得270＜x＜360；③由①②得320＜x＜360．满足上述条件的只有N＝18.320＜18×18＝324＜360．
【解答】解：设页数为x，①320＜x＜400；
②270＜x＜360；
③由①②得：320＜x＜360，
满足上述条件的只有N＝18．
320＜18×18＝324＜360．
故答案为：324．
【点评】此题考查了带余除法的知识，以及分析问题的能力．
14．【答案】见试题解答内容
【分析】一个自然数去除25，38，43，都有余数，如果用这三个数减去各自的余数，这样这三个数就可以被这个自然数整除，这三个数的和也一定能被这个自然数整除，然后把这三个数的和分解质因数即可解答．
【解答】解：（25+38+43）﹣18，
＝106﹣18，
＝88；
则：88能被这个自然数整除，把88分解质因数是：
88＝2×2×2×11，
因为余数的和为18，而余数不可能大于除数，
所以除数不可能是2，
所以只能是n＝11．
故答案为：11．
【点评】考查了带余除法，本道题是把有余数的除法和分解质因数两部分知识结合的综合应用，需要逆向思维，本题的突破口是：先让原来的三个数变为能被所给自然数整除的数．
15．【答案】见试题解答内容
【分析】根据题干，先求出37249除以7的余数，和278除以7的余数，再把它们的余数相乘的积除以7，得出的余数就是要求的37249和278的积被7除的余数．
【解答】解：37249÷7＝5321…2，
278÷7＝39…5．
2×5÷7，
＝10÷7，
＝1…3．
答：37249和278的积除以7余3．
故答案为：3．
【点评】根据余数的性质，先求出37249除以7的余数和278除以7的余数，再进一步计算即可得解．
16．【答案】见试题解答内容
【分析】根据“到建筑工地搬砖是到校办工厂劳动的人数的2倍”，可得到这两个地方去的10个班的学生数之和应是3的倍数.11个班的学生总数是584人，而584除以3余2，因此留下来打扫卫生的这个班的学生人数应除以3余2，而各班人数中只有53除以3余2，故留下来打扫卫生的是五（4）班．
【解答】解：55+54+57+55+54+51+54+53+51+52+48＝584人，
584÷3＝194…2，
各班人数中，只有53除以3余数是2，所以留下来打扫卫生的是五（4）班．
故答案为：五（4）．
【点评】本题主要考查带余的除法问题，根据到建筑工地搬砖是到校办工厂劳动人数的2倍，可知这些人数的和是3的倍数是解答本题的关键．
17．【答案】6。
【分析】1+2+3+……+3006＝（1+3006）×3006÷2，则其和为3007×1503，则3007÷7的余数为4，1503÷7的余数为5，根据余数的可乘性，积的余数等于余数的积。则5×4÷7＝2……6。
【解答】解：1+2+3+……+3006
＝（1+3006）×3006÷2
＝3007×1503
3007÷7的余数为4，1503÷7的余数为5，
5×4÷7＝2……6
故1+2+3+……+3006的和除以7的余数是6。
故答案为：6。
【点评】本题考查带余除法，根据余数的可乘性，积的余数等于余数的积。
18．【答案】见试题解答内容
【分析】利用带余数的除法运算性质，将这个数看成A+B，A为可以被15整除的部分，B则为除以15的余数，得出A可以被3或5整除，再结合已知这个数除以3余2，除以5余4，得出B也相同，归纳出符合要求的只有14．
【解答】解：将这个数看成A+B，A为可以被15整除的部分，B则为除以15的余数．
A可以被15整除，则也可以被3或5整除．
因为这个数“除以3余2，除以5余4”，
所以B也是“除以3余2，除以5余4”，
又因为B是大于等于1而小于等于14，在这个范围内，只有14是符合的．
故答案是：14．
【点评】此题主要考查了带余数的除法运算，假设出这个数，分析得出符合要求的数据．
19．【答案】见试题解答内容
【分析】利用带余数的除法运算性质，将这个数看成A+B，A为可以被12整除的部分，B则为除以12的余数，得出A可以被3或4整除，再结合已知这个数除以3余2，除以4余1，得出B也相同，归纳出符合要求的只有5．
【解答】解：将这个数看成A+B，A为可以被12整除的部分，B则为除以12的余数．
A可以被12整除，则也可以被3或4整除．
因为这个数“除以3余2，除以4余1”，
所以B也是“除以3余2，除以4余1”，
又因为B是大于等于1而小于等于11，在这个区间内，只有5是符合的．
故答案是：5．
【点评】此题主要考查了带余数的除法运算，假设出这个数为两部分构成，是本题的解答关键，然后分析得出符合要求的数据．
20．【答案】11。
【分析】某个自然数被247除余63，被248除也余63，这个数减去63得到的新数既能被247整除，也能被248整除，因为相邻的两个整数互质，所以新数能被247×248整除，即可求出247和248的最小公倍数，用“最小公倍数+余数”即可求出这个数，然后再除以26，即可得出余数。由此解答即可。
【解答】解：最小公倍数：247×248＝61256
这个数：61256+63＝61319
61319÷26＝
答：那么这个自然数被26除余数是11。
故答案为：11。
【点评】此题考查带余数的除法。利用“同余+余”解答即可，关键是求出这个数是多少。（同余+余即如果余数相同，用最小公倍数+余数）。
21．【答案】15。
【分析】根据被除数＝除数×商+余数，余数不变，商减少6，则被除数减少的数是除数的6倍，据此计算即可。
【解答】解：（325﹣125）÷6
＝90÷6
＝15
答：除数是15。
故答案为：15。
【点评】本题主要考查了带余除法，需要学生熟练掌握除数、被除数、商以及余数之间的关系。
22．【答案】1506。
【分析】被7，8，9分别余1，2，3，可以发现如果这个数加上6，也就没有余数了，所以，这个数是7、8、9公倍数少6，7、8、9的公倍数为504，我们可以假设这个数为504x﹣6，根据三个商的和为570列出方程求解即可。
【解答】解：被7，8，9分别余1，2，3，可以发现如果这个数加上6，也就没有余数了，
所以，这个数是7、8、9公倍数少6，而7、8、9的公倍数为504，
设这个数为504x﹣6，根据商的和为570，列出方程：
（72x﹣1）+（56x﹣1）+（63x﹣1）＝570
191x＝373
x＝3
所以，这个数为：
504×3﹣6
＝1512﹣6
＝1506
故答案为：1506。
【点评】本题主要考查了倍数问题，发现这个数与7、8、9公倍数之间的关系，是本题解题的关键。
23．【答案】见试题解答内容
【分析】一天中乘坐火车有4种走法，乘坐汽车有3种走法，乘坐轮船有2种走法，所以一天中从甲地到乙地共有：4+3+2＝9（种）不同走法．
【解答】解：根据分析可得：
4+3+2＝9（种），
答：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有9种不同走法．
故答案为：9．
【点评】本题考查了根据分类计数的方法，用加法原理的求解．
24．【答案】见试题解答内容
【分析】第1把锁最多4次，（前4次都错了，第5把钥匙不用试），第2把锁最多3次，第3把锁最多2次，第4把锁最多1次，第5把锁不用试了，因此最多需要4+3+2+1＝10次．
【解答】解：4+3+2+1＝10（次）
答：最多试开10次，就能把锁和钥匙配起来．
故答案为：10．
【点评】完成本题要注意每试开一把锁都要根据最坏原理进行计数．
25．【答案】见试题解答内容
【分析】根据加法原理，乘火车有5种方法，乘汽车有8种方法，乘轮船有2种方法，把所以方法加起来就可以．
【解答】解：乘火车有5种方法，乘汽车有8种方法，乘轮船有2种方法，
所以：5+8+2＝15（种）．
答：共有15种不同走法．
故答案为：15．
【点评】解决本题主要依据加法原理，：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M1种不同的方法，在第二类办法中有M2种不同的方法，…，在第N类办法中有M（N）种不同的方法，那么完成这件事情共有M1+M2+…+M（N）种不同的方法．
26．【答案】见试题解答内容
【分析】考虑最差情况，试第1把锁，共试9把钥匙都没打开，剩下的1把不用试了，一定能打开，同理，第2把试8次，第3把试7次，依此类推…，共试9+8+7+…+2+1＝45次．
【解答】解：9+8+7+…+2+1，
＝（9+1）×9÷2，
＝10×9÷2，
＝45（次）；
答：最多要试45次可把钥匙与锁配对．
故答案为：45．
【点评】此题考查了加法原理：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M1种不同的方法，在第二类办法中有M2种不同的方法，…，在第N类办法中有Mn种不同的方法，那么完成这件事情共有M1+M2+…+Mn种不同的方法．
27．【答案】见试题解答内容
【分析】从4本英语小说里面借一本有4种借法，从2本科幻杂志里面借一本有2种借法，从5本漫画里面借一本有5种借法；根据加法原理可得，共有4+2+5＝11种借法．
【解答】解：根据分析可得，
4+2+5
＝6+5
＝11（种）
答：他有11种借法．
故答案为：11．
【点评】本题考查了加法原理即完成一件事情有n类方法，第一类中又有M1种方法，第二类中又有M2种方法，…，第n类中又有 Mn种方法，那么完成这件事情就有M1+M2+…+Mn种方法．
28．【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，盒子里共有3种颜色的球，所以从中任意摸一个球，结果会有3种可能，有可能摸出红球，也可能摸出黄球，还可能摸出白球，据此解答．
【解答】解：盒子里有10个红球，5个黄球，1个白球，任意摸一个，有3种可能；可能摸出红球，也可能摸出黄球，还可能摸出白球．
故答案为：3．
【点评】关键是根据盒子中球的颜色，找出可能出现的情况．
29．【答案】15。
【分析】第一个班与其它班要进行比赛时，需要进行5场比赛，想一想第二个班与剩下的班进行几场比赛，第三个班与剩下的班进行几场比赛……；然后把所有的场数相加即可得解。
【解答】解：利用加法原理，
5+4+3+2+1＝15（场）
所以全年级一共要进行15场比赛。
故答案为：15。
【点评】这是一道排列组合问题的题目，根据加法原理解答。
30．【答案】45。
【分析】开第1把锁，从最坏的情况考虑，试了9把钥匙还未成功，则第10把不用再试了，一定能打开这把锁；剩下的9把锁和9把钥匙，最坏的情况要试8次，再找出1把钥匙和1把锁；接下来依次类推，然后将每次需要的次数（最坏情况）相加得到总共要试的次数即可。
【解答】解：利用加法原理，
9+8+7+6+5+4+3+2+1＝45（次），
所以至少要试45次才能确保钥匙和锁全部相配。
故答案为：45。
【点评】本题主要考查加法原理的应用。
31．【答案】见试题解答内容
【分析】先看选择题的得分：如果一题不答或全错，得0分，对1题得4分，2题得8分…，全对得40分，同理简答题的得分为0，6，12，…60，可将简答题从得6分开始，每种得分都可和选择题组的得分相加，从中找出得分的特点及规律．
【解答】解：选择题得分情况：0，4，8，…40．
当简答题得6分时和选择题相加得分情况：6，10，14，18，22，26，30，34，38，42，46；
当简答题得12分时和选择题相加得分情况：12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52；
…
当简答题得60分时和选择题相加得分情况：60，…96，100；
由此可以发现，其得分情况为：0，4，6，8，…100．从4开始构成一个公差为2的等差数列，所以共有：
（100﹣4）÷2+1+1＝50（种）
故答案为：50．
【点评】由于分值为4和6，所以不会出现得分为2的情况．
32．【答案】见试题解答内容
【分析】如图所示，1条直线最多将平面分成2个部分；2条直线最多将平面分成4个部分；3条直线最多将平面分成7个部分；现在添上第4条直线．它与前面的3条直线最多有3个交点，这3个交点将第4条直线分成4段，其中每一段将原来所在平面部分一分为二，所以4条直线最多将平面分成7+4＝11个部分，由此可得规律：2+2+3+4+…+n＝1+n（n+1）÷2．
【解答】解：2+2+3+4+…+8
＝1+8×（8+1）÷2
＝37（个）
答：8条直线最多将平面分成37个部分．
故答案为：37．
【点评】此题主要考查加法原理，可利用此规律能解答：一般地，n条直线最多将平面分成1+n（n+1）÷2．
33．【答案】见试题解答内容
【分析】设大于100的整数中，被13除后的余数为x，先根据“被除数＝商×除数+余数”可得：被13除后商与余数相同的数为：13x+x＝（13+1）x＝14x；又因为余数总比除数小，所以x＜13，根据题意得出100＜14x＜182，解此不等式组确定出x的范围，再代入14x，求出被13除后商与余数相同的数，继而得出结论．
【解答】解：设大于100的整数中，被13除后的余数为x，则被13除后商与余数相同的数为：13x+x＝（13+1）x＝14x．
因为x＜13，
所以100＜14x＜182，
解得7＜x＜13，
又因为x为整数，
所以x可以为：8、9、10、11、12，
所以被13除后商与余数相同的数有5个，分别是112，126，140，154，168．
答：被13除后商与余数相同的数有5个．
故答案为：5．
【点评】本题考查了带余除法的知识，难度中等．根据在有余数的除法中，被除数、除数、商和余数四个量之间的关系确定出余数的取值，是解答本题的关键．
34．【答案】见试题解答内容
【分析】此题可采用列举法由一般到特殊进行推理解决．如：除以3余2的数，应是3的倍数+2；除以4余1的数，应是4的倍数+1，从中找出同时符合“除以3余数是2且除以4余数是1的数”，即可解决问题．
【解答】解：除以3余2的数，应是3的倍数+2，那么除以3余2的数有：5，8，11，14，17，20，23，26，29，32…；
除以4余1的数，应是4的倍数+1，那么除以4余1的数有：5，9，13，17，21，25，29，33…
所以，同时符合除以3余数是2，除以4余数是1的数5，17，29，…，（5不符合题意），所以17，29，…，这个数除以12余数均为5．
答：这个数除以12余数是5．
故答案为：5．
【点评】此题采用列举法列举出符合题意的数据，由特殊到一般推理出最后结果．
35．【答案】见试题解答内容
【分析】根据“弃九法”直接简算即可．
【解答】解：6143去掉数字6+3＝9，剩下的数字和是1+4＝5，
728去掉数字7+2＝9，剩下的数字是8，
5减8不够减，所以9+5﹣8＝6，
所以（6143﹣728）÷9的余数就是6；
同理，22472去掉数字7+2＝9，剩下的数字和是2+2+4＝8，所以22472÷9的余数就是8；
6×8＝48
所以，48÷9＝5…3
所以，A÷9的余数是3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了利用“弃九法”求余数的问题，一个数除以9的余数，等于数字和除以9的余数．
36．【答案】见试题解答内容
【分析】先求出算式的和，然后除以7，求出余数即可．
【解答】解：7+7+⋯+7︸20个7+3
＝7×20+3
＝140+3
＝143
143÷7＝20…3
答：余数是3．
故答案为：3．
【点评】此题也可这样理解：20个7的和是7的倍数，即7+7+⋯+7︸20个7能7整除，所以余数就是3．
37．【答案】见试题解答内容
【分析】从简单的入手，逐步发现余数发生循环变化的周期数，由此进一步解决问题即可．
【解答】解：由4÷6＝0…4，
44÷6＝7…2，
444÷6＝74…0，
4444÷6＝740…4，
44444÷6＝7407…2，
…
可以发现余数4、2、0进行循环；
100÷3＝33…1，
所以这个100位数除以6余4．
答：余数是4．
故答案为：4．
【点评】先通过计算找到变化的规律，再根据规律计算．
38．【答案】15。
【分析】设这个数为K，得：
300＝mK+a
245＝nK+a+2 即243＝nK+a
210＝pK+a﹣14 即224＝pK+a
得：300﹣243＝57能被K整除
300﹣224＝76能被K整除
243﹣224＝19能被K整除
求出这三个数的最大公因数，可得K为19，即这个自然数是19。
然后用300÷19就可以得出余数是多少了。
【解答】解：设这个数为K，根据题意可得：
300＝mK+a
245＝nK+a+2 即243＝nK+a
210＝pK+a+5 即224＝pK+a
得：300﹣243＝57能被K整除
300﹣224＝76能被K整除
243﹣205＝19能被K整除
57＝3×19
95＝5×19
38＝2×19
所以k是19．
300÷19＝15…15
答：一个自然数去除300，245，210，得到的余数分别为a，a+2，a﹣14，那么a＝15。
故答案为：15。
【点评】根据这个数除几余几求出这个数是哪些数的最大公约数是完成本题的关键。
39．【答案】3。
【分析】根据前两个数是3与4，从第3个数起每一个数都是前两个数的和，这一列数可以写成：3，4，7，11，18，29，47，76，123，199，322，521，…，观察它们除以4的余数为：3，0，3，3，2，1，3，0，3，3，2，1…，6位重复一次，用2007除以6，看余数是几，就和第几位上的余数相同，据此解答即可。
【解答】解：这一列数可以写成：3，4，7，11，18，29，47，76，123，199，322，521，…，
它们除以4的余数为：3，0，3，3，2，1，3，0，3，3，2，1…，
2007÷6＝334…3
所以这一列数中第2007个数除以4余3。
答：这一列数中第2007个数除以4余3。
故答案为：3。
【点评】本题主要考查数列中的规律和有余数的除法，找出余数出现的规律是解答本题的关键。
40．【答案】52。
【分析】3个3个数，余下1个；5个5个数，余下2个，最少是7个，因为3和5的最小公倍数是15，所以15的整数倍加7都可满足3个3个数，余下1个；5个5个数，余下2个，但还要满足7个7个数，余下3个，因为7÷7没余数，15÷7余数是1，所以要余数是3就要加3个15，也就是45，那么结果就是7+45＝52。
【解答】解：3和5的最小公倍数是3×5＝15
7+15×3
＝7+45
＝52（个）
所以这堆棋子最少有52个。
【点评】本题考查了最小公倍数的求法以及带余除法的问题，熟练掌握最小公倍数的求法以及带余除法的思考方法是解答此题的关键。
41．【答案】见试题解答内容
【分析】由于本题中所给数据较少，且要求的数据较简单，所以用列举法将各种取法列举出即可．
【解答】解：据题意可知，共有以下几种取法：
1+2，1+3，…，1+8，7种；
2+3，…，2+7，5种；
3+4，…，3+6，3种；
4+5，1种；
所以共有：1+3+5+7＝16（种）．
故答案为：16．
【点评】象此类数据较少且所求数据也较简单的题目可用列举法进行解答．
42．【答案】见试题解答内容
【分析】共有书6+6+6＝18（本），从中选一本有18种选法；据此解答．
【解答】解：6+6+6＝18（种），
答：小芳从书架上任取一本，有18种不同取法．
故答案为：18．
【点评】本题考查了加法原理，即完成一件事情有n类方法，第一类中又有M1种方法，第二类中又有M2种方法，…，第n类中又有 Mn种方法，那么完成这件事情就有M1+M2+…+Mn种方法．
三．应用题（共6小题）
43．【答案】原来的被除数是2600，原来的余数是100。
【分析】被除数和除数都乘或除以一个相同的数（0除外），商不变，余数也同时乘或除以一个相同的数（0除外）。据此把现在的余数看作1份，则原来的余数是100份，用余数减少的数除以现在的余数与原来余数的份数差，求出1份是多少，再乘100就是原来的余数。再根据被除数＝商×除数+余数，求出原来的被除数即可。
【解答】解：99÷（100﹣1）×100
＝99÷99×100
＝1×100
＝100
5×500+100
＝2500+100
＝2600
答：原来的被除数是2600，原来的余数是100。
【点评】考查商的变化规律：被除数和除数都乘或除以一个相同的数（0除外），商不变，余数也同时乘或除以一个相同的数（0除外）。
44．【答案】除数是20，余数是3。
【分析】因为商比原来多2，但余数恰好相同，所以除数是（663﹣623）÷2＝20，进而根据被除数÷除数＝商……余数，即可求出余数是多少。
【解答】解：（663﹣623）÷2
＝40÷2
＝20
623÷20＝31……3
答：这道题的除数是20，余数是3。
【点评】商比原来多2，但余数恰好相同，即错写的数比原来多的数正好是除数的2倍，根据已知一个数的几倍是多少，求这个数，用除法求出除数，进而根据“被除数÷除数＝商…余数”求出余数。
45．【答案】见试题解答内容
【分析】把除数726错写成762，这样被除数就是多了（762﹣726＝36），余数比原来多4，说明被除数还多4，这样被除数一共多了（36﹣4＝32），此时商比原来多2，说明32是除数的2倍，这样就可以求出除数，再用726除以除数即可．
【解答】解：762﹣726﹣4＝32
32÷2＝16
726÷16＝45…6
答：这道题正确的结果是45余6．
【点评】此题除数不变，也可设除数为x，由题意可知，（762﹣4）÷x﹣2＝726÷x，求出除数，再用726除以除数即可．
46．【答案】见试题解答内容
【分析】任何一个正整数除以5所得的余数只有5种情况：余0（整除）、余1、余2、余3、余4．所以对于任意的6个正整数A、B、C、D、E、F除以5最多可以有5个不同的余数．
【解答】解：根据题干分析可得：对于任意的6个正整数A、B、C、D、E、F除以5最多可以有5个不同的余数0、1、2、3、4，
（1）假设A、B、C、D、E余数各不相同，那么第6个数F除以5的余数只能是0、1、2、3、4中的一个余数，这样就和A、B、C、D、E中的一个余数相同（比如A），那么F﹣A就是5的倍数．
（2）假设A、B、C、D、E中存在两个数除以4所得余数相同（不妨设是AB），那么A﹣B就是5的倍数．
综上所述，从石子数中任意选出6堆，其中至少有两堆的石子数除以5的余数相同，他的结论对．
【点评】解答此题的关键是根据任意整数除以5的余数情况有5种，从而进行分析解答．
47．【答案】见试题解答内容
【分析】根据有余数除法各部分之间的关系，用被除数、除数、商数、余数的和是89，减去商和余数，就可以求出被除数与除数的和，由商是10可知，被除数与除数的和相当于除数的（10+1＝11）倍，意思是除数是1份，被除数是11份，由此解答即可．
【解答】解：被除数与除数的和：89﹣10﹣1＝78；
除数是：（78﹣1）÷（10+1）
＝77÷11
＝7
被除数是：7×10+1
＝70+1
＝71
答：这两个自然数分别是7和71．
【点评】此题主要考查有余数除法各部分之间的关系和计算方法．
48．【答案】12
【分析】一个两位数，39除以它余3，39﹣3＝36，说明36除以它没有余数，这个两位数是36的因数；同理，这个两位数也是60、84的因数，即：这个两位数是36、60、84的公因数。求出36、60、84的公因数此题即可得解。
【解答】解：39﹣3＝36
63﹣3＝60
87﹣3＝84
36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36；
60的因数有：1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60；
84的因数有：1、2、3、4、6、7、12、14、21、28、42、84；
36、60和84的公因数有：1、2、3、4、6、12，这些公因数中的两位数只有12。
答：这个两位数是12。
【点评】此题重点考查三个数的公因数的求法，注意此题中三个数的大于余数3的公因数去除39、63、87都余3。
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/4/25 22:05:58；用户：李家祯；邮箱：hfnxxx59@qq.cm；学号：47467572班级
四（1）
四（2）
四（3）
四（4）
五（1）
五（2）
五（3）
五（4）
六（1）
六（2）
六（3）
人数
55
54
57
55
54
51
54
53
51
52
48