还剩14页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
六年级数学小升初思维拓展高频考点培优卷（通用版）方阵问题（提高卷）（附参考答案）
展开
这是一份六年级数学小升初思维拓展高频考点培优卷（通用版）方阵问题（提高卷）（附参考答案），共17页。试卷主要包含了三人参加入场式等内容，欢迎下载使用。
1．有一个六边形点阵，如图，它的中心是一个点，算做第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，这个六边形点阵共10层，一共有（ ）点。
A．271B．330C．331D．336
2．三（2）班学生排成每行人数相同的队伍（正方形方阵），参加学校运动会入场式，梅红的位置从前数是第5个，从后数是第3个；从左数是第3个，从右数是第5个，那么该班有（ ）人参加入场式．
A．64B．63C．56D．49
3．如图是由15个点组成的三角形点阵，在右图中至少去掉（ ）个点，就不会再出现以图中的点为顶点的正三角形了．
A．6B．7C．8D．9
4．小虎在19×19的围棋盘的格点上摆棋子，先摆成了一个长方形的实心点阵．然后再加上45枚棋子，就正好摆成﹣边不变的较大的长方形的实心点阵．那么小虎最多用了（ ）枚棋子．
A．285B．171C．95D．57
5．某校四年级的同学恰好排成一个行数和列数相等的方阵且行数、列数上都是奇数。如果将队形改变，变成8人一行的队形，那么最后一行的人数是（ ）
A．1B．3C．5D．7
6．一个正方形平顶天花板上每边要装20盏彩灯，一共需要（ ）盏彩灯．
A．40B．76C．44D．50
7．一个正方形池塘的边长是12米，要在池塘四周每隔2米栽一棵树，四个顶点各栽一棵，一共要栽（ ）棵树．
A．30B．28C．26D．24
8．一队学生围成一个正方形，每边站了12人（四个顶点都有人），共有（ ）名学生．
A．44B．48C．52D．40
9．四年级的同学参加“六一”儿童节的团体操表演，每横排人数同样多，每竖排人数也同样多．王箐的位置是从左数第10人，从右数第8人，从前数第9人，从后数第7人．则参加表演的同学有（ ）人．
A．272B．255C．245D．210
10．某学校进行体操表演，五一班的同学排成5×5的方阵，则整个方阵的最外层一共有（ ）名同学．
A．16B．17C．18D．19
11．同学们做操，排成一个正方形的队伍，从前，后，左，右数，小红都是第5个，问一共有（ ）人．
A．81B．25C．32D．120
12．用棋子摆成一个两层空心方阵，外层每边有10枚棋子，这个方阵一共用了（ ）枚棋子．
A．64B．16C．32D．128
二．填空题（共28小题）
13．学校举行文艺表演，四年级学生排成一个方阵，最外层的人数是40人，四年级参加表演的学生共有 人。
14．如图是由圆和菱形组成的4行4列方阵，按同样的规律组成一个9行9列方阵，那么最外面一圈一共有 个圆。
15．同学们排成整齐的长方形队列，A同学的位置在从左数第4个，从右数第5个，从前数第6个，从后数第7个。这个队列共有 名同学。
16．小明所在学校举办运动会，所有学生站成了一个12×12的实心方阵，这个方阵的最外层有 人．
17．有一个正方形的操场，在它的外面一圈插上小红旗，四个角上都插一面小红旗，每边都插23面，一共插了 面小红旗。
18．学而思学校举办运动会，二年级（1）班排成了一个方阵，乐乐同学在方阵中，从前往后数，他是第5个，从后往前数，他也是第五个，请问二年级（1）班的方阵中共有 人．
19．用同样大小的正方形瓷砖铺正方形的地面，周围用白瓷砖，中间用黑瓷砖（如图1和图2的铺法）．当正方形地面周围铺了80块白瓷砖时，黑瓷砖需要 块．
20．一队学生站成19行19列的方阵，去掉5行5列，变成一个14行14列的方阵，要减少 学生．
21．如图，一块绿地由3块相同的等边三角形草地和一个水池构成，现在要在草地上种花，要求在草地与草地的公共点处种上花（即图中的A、B、C点），且每块草地上的花朵排成一个三角形实心点阵，每块草地上最外层的每条边上有10朵花。请问：整个绿地一共要种 朵花。
22．四百多名学生在操场上站成一个空心方阵，如果在方阵内部再增加一层变成新的空心方阵，就需要增加36名学生，那么原来一共有 名学生．
23．一群学生组成了一个两层空心方阵，在原有方阵的最外层再增加一层，增加后的总人数为原来人数的两倍．如果想让这个三层空心方阵变成一个实心方阵，至少还需要再补充 名学生．
24．小鱼老师站在一个9行9列的正方形队列中，她发现自己正前方有2个人；全体右转后，小鱼老师发现自己正前方变成了4个人；如果再全体右转，小鱼老师将发现自己正前方有 人．
25．要在一个正方形的花园四周的边上种树，每边都种10棵，并且四个角上都有种1棵，一共要准备 棵树苗．
26．某班同学可以排成一个正方形方阵，其中相同性别的学生不能相邻（仅指前后左右）。已知男生人数的5倍比女生人数的3倍多45人，那么这个班共有 人。
27．用同一规格的瓷砖铺一块正方形地面，铺的要求如图所示，正方形地面的两条对角线都用黑色，其余地方铺白色，而且黑色的瓷砖用了1001块，那么白色的瓷砖共用了 块．
28．为纪念中国人民抗日战争暨反法西斯战争胜利70周年，2015年9月3日在天安门广场举行了盛大的阅兵式．受阅部队中有10个英模部队方队，已知每个英模部队方队有14排，每排25人．那么，受阅的10个英模方队共有 人．
29．某小学三年级的部分学生排成一个实心正方形方阵，最外面3层有学生72人，这个方阵共有学生 人．
30．阳光小学的学生在操场上排成一个实心正方形方阵．已知方阵最外面一圈都是男生，向内相邻一圈都是女生，然后再向内相邻一圈都是男生…如此下去直到最里面一圈．如果男生总数比女生总数多28人，那么整个方阵共有学生 人．
31．方阵形桃园共10层，最里层共种16棵树，若每棵桃树结桃子60千克，那么这桃园共收桃 千克．
32．圆圆将手中96枚围棋子排成了一个三层的空心方阵，最外层每边有 个棋子．
33．一个四层的空心方阵，如果最外层人数是最内层人数的2倍，那么，这个空心方阵一共有 个人．
34．何何有一些棋子．她把这些棋子摆成了一个三层空心方阵，还多出50枚棋子．于是她继续在三层空心方阵外面又摆了一层，变成一个四层空心方阵，此时还多出2枚棋子．那么，何何一共有 枚棋子．
35．学校大楼前摆放了一个方阵花坛．这个花坛的最外层每边各摆了10盆花，那么这个花坛最外层共摆了 盆花．
36．同学们排成一个方阵进行广播操表演．小海的位置从前、从后、从左、从右数都是第5个，参加广播操表演的共有 人．
37．有一队学生排成一个空心方阵，最外层是52人，最内层是28人，这队学生有 人．
38．体操表演者排成每一横行和每一竖列中的人数相同的方阵，每个方阵最外一圈有16人，若四个这样的方阵恰好可以并成一个大方阵，则大方阵的最外一圈有 人．
39．48名学生做游戏，大家围成一个正方形，每边人数相等，四个顶点都有人，每边各有 名学生．
40．十一届“走美”参加决赛的三年级学生排成正方形方阵，剩余15人，至少再增加18人才能组成一个更大的正方形方阵，三年级有 人参加十一届“走美”决赛．
三．解答题（共20小题）
41．长风公园有一块草地，草地的周围形成一个由520棵树苗组成的10层空心方阵．
（1）如果在中央的草地继续种树苗，形成一个实心方阵，那么这个实心方阵总共有多少棵树苗？
（2）如果在原来的10层空心方阵的基础上加1层，形成11层空心方阵，那么需要再种多少棵树苗？请求出所有可能值．
42．大家要用若干盆花在空地上摆一个空心方阵花坛，最里面的一层每边摆10盆花，一共3层，一共要用多少盆花？
43．艺术节上，同学们用64盆花排出一个两层空心方阵，后来又决定在外面增加一层成为三层方阵，至少需要多少盆花？
44．小明用围棋子摆成一个三层空心方阵，如果最外层每边有15个围棋子，小明摆出的这个方阵最里层一周有多少个棋子？
45．有若干名学生，恰好组成一个八列长方形方阵．如果在队列中再增加120人或从队列中减去120人，都能组成一个方形方阵，那么原长方形方阵中有多少名学生呢？
46．一队战士排成一个三层空心方阵多出16人，如果在空心部分再增加一层又缺28人，这队战士共有多少人？
47．如图：40个点组成一个两层的中空方阵，请去掉两个点，并用直线将其余的点连成两个大小相同的正方形．
48．在一次团体操表演中，有一个中空方阵最外层有64人，最内层有32人，参加团体操表演的共有多少人？
49．奥斑马用240个棋子摆了一个6层的空心方阵，问最外一层每边有多少个棋子？
50．学校举行儿童节文艺演出，某班学生集体表演一个节目，站成了一个实心的方阵，最外层共有20人，那么这个班一共有多少人？
51．在一个正方形的池塘四边上种树，每边种10棵（四个角上都种一棵），四边一共种了多少棵？
52．明明用棋子摆了一个五层图形，每两层棋子的个数相差5，最内层用了18个棋子，问一共用了多少个棋子？
53．为了迎接3.15，光明社区居委会打算从林场采购一些小树苗．居委会李大妈发现，林场的一些小树苗排成一个三层的空心方阵，最里层每条边有6棵树．李大妈将这些小树苗全部买下来，发动小区居民将这些树苗种在小区南边的一条马路上，这条马路长400米，只在马路的一侧种树，并且两头都种，每隔5米种一棵．那么，最后还剩多少棵小树苗？
54．用640个棋子围成正方形（空心或实心），可以有多少种围法？最外层每边的棋子数各是多少？
55．有360个棋子，将它们围成正方形（空心或实心的），请写出四种不同的摆法，并求四种情况下最外层每边棋子各是多少？
56．一正方形苗圃，栽种桃树和李树，一圈一圈地相间种植，即最外一圈种的是桃树，往内一圈是李树，然后是桃树，…，最内一圈种了4棵李树．已知树苗的行距和列距都相等，桃树比李树多40棵．问：桃树和李树一共有多少棵？
57．如图，这是一个围棋盘，还有一堆围棋子，将这堆棋子往棋盘上放，当按格点摆成某个正方阵时，尚多余12枚棋子，如果要将这个正方阵改摆成每边各加一枚棋子的正方阵，则差9枚棋子才能摆满．问：这堆棋子原有多少枚？
58．一些学生，如果排成三层空心方阵，则多24人，如果在中间空心部分接一层，则少8人，共有多少学生？
59．国庆节期间，园林工人把40盆花排成二层中空方阵，这一方阵的外层每边摆多少盆？
60．四年级参加军训的学生排成一个方阵进行汇报演习，这个方阵最外层每边有15名学生．
（1）最外层一共有多少名学生？
（2）这个方阵一共有多少名学生？
方阵问题（提高卷）小学数学思维拓展高频考点培优卷（通用版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．有一个六边形点阵，如图，它的中心是一个点，算做第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，这个六边形点阵共10层，一共有（ ）点。
A．271B．330C．331D．336
【分析】分析可知规律，从第二层开始，每增加一层就增加六个点。
【解答】解：观察点阵中各层点数的规律，然后归纳出点阵共有的点数．
第一层有点数：1；
第二层有点数：1×6；
第三层有点数：2×6；
第四层有点数：3×6；
…
第n层有点数：（n﹣1）×6。
因此，这个点阵的第n层有点（n﹣1）×6个，n层共有点数为：
1+1×6+2×6+3×6+…+（n﹣1）×6
＝1+6×[1+2+3+…+（n﹣1）]
＝1+6×[1+(n−1)]×(n−1)2
＝1+3（n﹣1）n
所以，1+3×（10﹣1）×10
＝1+3×9×10
＝271（个）
故选：A。
【点评】本题主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力。对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的。通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。
2．三（2）班学生排成每行人数相同的队伍（正方形方阵），参加学校运动会入场式，梅红的位置从前数是第5个，从后数是第3个；从左数是第3个，从右数是第5个，那么该班有（ ）人参加入场式．
A．64B．63C．56D．49
【分析】要解决这道题我们需要两个条件：
一：每行有多少人？5+3＝8个，这时候梅红加了两次，所以每行应该有5+3﹣1人；
二：队伍的行数？用同样的方法，共有5+3﹣1（人），
最后用每行人数×行数，即可．
【解答】解：（5+3﹣1）×（5+3﹣1）
＝7×7
＝49（人）
答：该班有49人参加入场式．
故选：D。
【点评】本道题目就是利用排队方法找到每一行的人数，以及行数，同学们不应该因为数据比较多而乱找数量关系．
3．如图是由15个点组成的三角形点阵，在右图中至少去掉（ ）个点，就不会再出现以图中的点为顶点的正三角形了．
A．6B．7C．8D．9
【分析】
设最小正三角形的边长为1，即两个相邻格点的距离为1，要使不会再出现以图中的点为顶点的正三角形，就必须使任何三个点都不能组成正三角形，并且为使最少，尽量去掉公共点，据此解答即可．
【解答】解：设最小正三角形的边长为1，如图1所示，以A为顶点可以组成边长为4、3、2、1的等边三角形，所以A点必须去掉，同理B、C也必须去掉．
如图2所示（空白表示必须去掉的点），围成了四个边长为2的等边三角形和若干个边长为1的等边三角形，所以必须去掉O、D、E、F．
此时还存在两个正三角形，且这两个正三角形没有公共点，需要再去掉最上面两个点，
因此共去掉了9个点．
故选：D。
【点评】本题考查了方阵问题的灵活应用，关键是明确任何去点，使去掉的点尽量少．
4．小虎在19×19的围棋盘的格点上摆棋子，先摆成了一个长方形的实心点阵．然后再加上45枚棋子，就正好摆成﹣边不变的较大的长方形的实心点阵．那么小虎最多用了（ ）枚棋子．
A．285B．171C．95D．57
【分析】45＝1×45＝3×15＝5×9，既然是长方形，1×45这种不用考虑，所以长方形不变的这条边长，可能是：3、5、9、15这四种．要使用最多棋子，则不变的边长只能是15，棋盘最长是19格，因此最终的较大点阵是15×19＝285枚棋子．
【解答】解：45＝1×45＝3×15＝5×9
既然是长方形，1×45这种不用考虑，所以长方形不变的这条边长，
可能是：3、5、9、15这四种，
要使用最多棋子，则不变的边长只能是15，棋盘最长是19格，
因此最终的较大点阵是：15×19＝285（枚）；
故选：A。
【点评】本题关键是得出长方形不变的这条边长，可能是：3、5、9、15这四种．
5．某校四年级的同学恰好排成一个行数和列数相等的方阵且行数、列数上都是奇数。如果将队形改变，变成8人一行的队形，那么最后一行的人数是（ ）
A．1B．3C．5D．7
【分析】排成一个行数和列数相等的方阵且行数、列数上都是奇数，设原来每行、每列上都是（2n+1）人，则共有（2n+1）2人，然后根据平方和公式拆分解答即可。
【解答】解：设原来每行、每列上都是（2n+1）人，则共有：
（2n+1）2＝4n2+4n+1＝4n（n+1）+1
因为不论n是奇数还是偶数，n（n+1）一定是偶数，即一定含有质因数2，那么4n（n+1）一定是8的倍数；
所以4n（n+1）+1除以8后余数一定是1，那么么最后一行的人数是1。
故选：A。
【点评】本题考查了方阵问题与平方和公式以及数的奇偶性的综合应用。
6．一个正方形平顶天花板上每边要装20盏彩灯，一共需要（ ）盏彩灯．
A．40B．76C．44D．50
【分析】这个问题可以看做是空心方阵问题：根据四周点数之和＝每边点数×4﹣4即可计算所需要的彩灯盏数．
【解答】解：20×4﹣4＝76（盏），
答：一共需要76盏灯．
故选：B。
【点评】此题考查了空心方阵问题中：四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用．
7．一个正方形池塘的边长是12米，要在池塘四周每隔2米栽一棵树，四个顶点各栽一棵，一共要栽（ ）棵树．
A．30B．28C．26D．24
【分析】（1）先求出12里面有几个2，再加1就是每边最多栽的棵数；
（2）再用每边栽的棵数×4﹣4即可解答．
【解答】解：12÷2+1＝7（棵），
7×4﹣4＝24（盆），
答：一共要栽24棵树．
故选：D。
【点评】此题主要考查空心方阵中：四周点数＝每边点数×4﹣4的计算应用．
8．一队学生围成一个正方形，每边站了12人（四个顶点都有人），共有（ ）名学生．
A．44B．48C．52D．40
【分析】因为每个顶点处的人数在每条边上重复相加，所以最外层人数＝每边人数×4﹣4，由此即可解答．
【解答】解：12×4﹣4
＝48﹣4
＝44（人）
答：共有44人．
故选：A。
【点评】此题考查了空心方阵问题中：四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用．
9．四年级的同学参加“六一”儿童节的团体操表演，每横排人数同样多，每竖排人数也同样多．王箐的位置是从左数第10人，从右数第8人，从前数第9人，从后数第7人．则参加表演的同学有（ ）人．
A．272B．255C．245D．210
【分析】由“王箐的位置是从左数第10人，从右数第8人”条件，得知王箐所在的这一横排中有10+8﹣1＝17人（10、8两个数字中都包括了王箐），即每横排有17人；同理得，每竖排有9+7﹣1＝15人，这样用17×15即可求出问题的答案了．
【解答】解：10+8﹣1＝17（人）
9+7﹣1＝15（人）
17×15＝255（人）
故选：B。
【点评】此题并不难，主要明白：10与8、9与7中都包括了王箐，也就是说横排、竖排都数了王箐2次．
10．某学校进行体操表演，五一班的同学排成5×5的方阵，则整个方阵的最外层一共有（ ）名同学．
A．16B．17C．18D．19
【分析】排成5×5的方阵，那么最外层每行5人，用每行的人数乘上4行，再减去4个顶点的人数即可求解．
【解答】解：5×4﹣4
＝20﹣4
＝16（名）
答：整个方阵的最外层一共有16名同学．
故选：A。
【点评】此题考查了方阵问题中：最外层点数＝每边点数×4﹣4．
11．同学们做操，排成一个正方形的队伍，从前，后，左，右数，小红都是第5个，问一共有（ ）人．
A．81B．25C．32D．120
【分析】因为从前、后、左、右数，小红都是第5个，所以每行都有：5×2﹣1＝9人，由此利用方阵问题中：总人数＝每边人数×每边人数，即可解答．
【解答】解：每边人数是：5×2﹣1＝9（人），
共有：9×9＝81（人），
故选：A。
【点评】此题考查了方阵问题中总点数＝每边点数×每边点数的灵活应用，关键是根据行、列排列特点求出每边人数．
12．用棋子摆成一个两层空心方阵，外层每边有10枚棋子，这个方阵一共用了（ ）枚棋子．
A．64B．16C．32D．128
【分析】根据方阵问题中：空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4解答即可．
【解答】解：（10﹣2）×2×4＝64（枚）；
故选：A。
【点评】此题考查了方阵问题中的数量关系：空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4．
二．填空题（共28小题）
13．学校举行文艺表演，四年级学生排成一个方阵，最外层的人数是40人，四年级参加表演的学生共有 121 人。
【分析】先根据“每边的人数＝四周的人数÷4+1”求出方阵外层每边有多少人，再根据“方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数”解答即可。
【解答】解：40÷4+1
＝10+1
＝11（人）
11×11＝121（人）
答：四年级参加表演的学生共有121人。
故答案为：121。
【点评】方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数。
14．如图是由圆和菱形组成的4行4列方阵，按同样的规律组成一个9行9列方阵，那么最外面一圈一共有 16 个圆。
【分析】根据“最外层四周点数＝每边点数×4﹣4”求出最外面一圈图形的个数，圆形占这个数的一半。
【解答】解：9×4﹣4
＝36﹣4
＝32（个）
32÷2＝16（个）
答：最外面一圈一共有16个圆。
故答案为：16。
【点评】此题考查了方阵问题中：最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用。
15．同学们排成整齐的长方形队列，A同学的位置在从左数第4个，从右数第5个，从前数第6个，从后数第7个。这个队列共有 96 名同学。
【分析】根据题意可知，A同学的位置在从左数第4个，从右数第5个，把左数的人数加上右数的人数，这样就把A同学多数了一次，再减去1就是每行的人数；同理，根据从前数第6个，从后数第7个，可以求出每列的人数，即6+7﹣1＝12；然后把每行与每列的人数相乘即可得出答案。
【解答】解：（4+5﹣1）×（6+7﹣1）
＝8×12
＝96（名）
答：这个队列共有96名同学。
故答案为：96。
【点评】解题的关键是找到每行和每列的人数，求每行和每列的人数时，把数重的人数减去，才能准确求出结果。
16．小明所在学校举办运动会，所有学生站成了一个12×12的实心方阵，这个方阵的最外层有 44 人．
【分析】所有学生站成了一个12×12的实心方阵，说明这个方阵的最外层每边有12人，然后根据最外层人数＝每边人数×4﹣4；代入数据即可解答．
【解答】解：12×4﹣4
＝48﹣4
＝44（人）
答：这个方阵的最外层有 44人．
故答案为：44．
【点评】此题考查了方阵问题中：最外层点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用．
17．有一个正方形的操场，在它的外面一圈插上小红旗，四个角上都插一面小红旗，每边都插23面，一共插了 88 面小红旗。
【分析】此题可以看作是一个空心方阵问题，已知每边点数是23，求四周的点数，利用四周点数＝每边点数×4﹣4即可解决问题。
【解答】解：23×4﹣4
＝92﹣4
＝88（面）
答：一共插了88面小红旗。
故答案为：88。
【点评】此题考查了方阵问题中：最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用。
18．学而思学校举办运动会，二年级（1）班排成了一个方阵，乐乐同学在方阵中，从前往后数，他是第5个，从后往前数，他也是第五个，请问二年级（1）班的方阵中共有 81 人．
【分析】从前往后数，他是第5个，从后往前数，他也是第五个，说明这一列共有5+5﹣1＝9（人）；因为是方阵，所以这个正方行方阵的最外层每边有9人，根据总人数＝每边人数×每边人数可求得总人数．
【解答】解：5+5﹣1＝9（人）
共有：9×9＝81人
答：二年级（1）班的方阵中共有 81人．
故答案为：81．
【点评】解答此题关键在于确定出每行、每列的人数，此题列式容易出错．
19．用同样大小的正方形瓷砖铺正方形的地面，周围用白瓷砖，中间用黑瓷砖（如图1和图2的铺法）．当正方形地面周围铺了80块白瓷砖时，黑瓷砖需要 361 块．
【分析】周围用白瓷砖，那么黑瓷砖最外层每边有（80﹣4）÷4＝19（块），然后再进一步解答即可．
【解答】解：（80﹣4）÷4＝19（块）
19×19＝361（块）
故答案为：361．
【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用．
20．一队学生站成19行19列的方阵，去掉5行5列，变成一个14行14列的方阵，要减少 165 学生．
【分析】根据“总点数＝每边点数×每边点数”分别求出19行19列的总人数和14行14列的总人数，再相减即可．
【解答】解：19×19﹣14×14
＝361﹣196
＝165（人）
故答案为：165．
【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数的灵活应用．
21．如图，一块绿地由3块相同的等边三角形草地和一个水池构成，现在要在草地上种花，要求在草地与草地的公共点处种上花（即图中的A、B、C点），且每块草地上的花朵排成一个三角形实心点阵，每块草地上最外层的每条边上有10朵花。请问：整个绿地一共要种 162 朵花。
【分析】根据题意，我们先看每个等边三角形草地种花的棵数是1+2+3+…+10＝55（棵），再乘3求出3块草地种植的总棵数，然后再减去图中的A、B、C点重复计算的棵数即可。
【解答】解：1+2+3+…+10
＝（1+10）×10÷2
＝55（棵）
55×3﹣3
＝165﹣3
＝162（棵）
答：整个绿地一共要种162朵花。
故答案为：162.
【点评】本题考查了三角方阵问题，关键是求出每个等边三角形草地种花的棵数，注意去掉公共顶点的3棵。
22．四百多名学生在操场上站成一个空心方阵，如果在方阵内部再增加一层变成新的空心方阵，就需要增加36名学生，那么原来一共有 476 名学生．
【分析】新的空心方阵最内一层有36人，没往外一层就多8人，所以原方阵最内一层有36+8＝44人，从44开始，依次累加上去，44+52+…+92＝476，然后根据学生人数在400～500之间判断即可．
【解答】解：原方阵最内一层有36+8＝44人，
从44开始，依次累加上去，44+52+…+92＝476，
加到92人的那层时，共476人，再往上加就超过了500人，所以原来为476人；
故答案为：476．
【点评】此题考查了方阵问题，注意每相邻的两层之间相差8人．
23．一群学生组成了一个两层空心方阵，在原有方阵的最外层再增加一层，增加后的总人数为原来人数的两倍．如果想让这个三层空心方阵变成一个实心方阵，至少还需要再补充 1 名学生．
【分析】由题意，新增加最外层人数和原来两层人数和相等，根据最外层和第二层相差8，所以最内层为8名学生，则要想变成一个实心方阵，至少需要在中间补充1名学生．
【解答】解：在原有方阵的最外层再增加一层，增加后的总人数为原来人数的两倍，则新增加最外层人数和原来两层人数和相等，
因为最外层和第二层相差8，所以最内层为8名学生，则要想变成一个实心方阵，至少需要在中间补充1名学生．
故答案为1．
【点评】本题考查方阵问题，考查了方阵问题中的数量关系：实心方阵的总人数＝每边人数×每边人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4的灵活应用．
24．小鱼老师站在一个9行9列的正方形队列中，她发现自己正前方有2个人；全体右转后，小鱼老师发现自己正前方变成了4个人；如果再全体右转，小鱼老师将发现自己正前方有 6 人．
【分析】对于小鱼老师来说，她连续向右转后，就相当于小鱼老师直接向后转，这样问题就简化为，小鱼老师后面有2个人，去掉小鱼老师自己，根据方阵问题的特点还有9﹣2﹣1＝6人；据此解答即可．
【解答】解：9﹣2﹣1＝6（人）
答：如果再全体右转，小鱼老师将发现自己正前方有 6人．
故答案为：6．
【点评】本题关键是理解方阵问题的特点和变化前后小鱼老师的位置变化．
25．要在一个正方形的花园四周的边上种树，每边都种10棵，并且四个角上都有种1棵，一共要准备 36 棵树苗．
【分析】根据方阵问题的公式：四周点数＝（每边点数﹣1）×4，代入数据解答即可．
【解答】解：（10﹣1）×4
＝9×4
＝36（棵）
答：一共要准备36棵树苗．
故答案为：36．
【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用．
26．某班同学可以排成一个正方形方阵，其中相同性别的学生不能相邻（仅指前后左右）。已知男生人数的5倍比女生人数的3倍多45人，那么这个班共有 49 人。
【分析】分两种情况讨论：（1）男女相等，则45÷（5﹣3）不能得到整数商，不符合要求；（2）男女不相等，要使已知男生人数的5倍比女生人数的3倍多45人，根据差倍关系要相差±5人，则（45±5）÷（5﹣3）＝25或20；然后根据方阵的特点，求出人数再进一步解答即可。
【解答】解：（1）男女相等，则45÷（5﹣3）不能得到整数商，不符合要求；
（2）男女不相等，则（45±5）÷（5﹣3）＝25或20；
即男生25人，女生24人，共25+24＝49人，符合题意；
或，男生20人，女生21人，共20+21＝41人，不符合题意；
答：这个班共有49人。
故答案为：49。
【点评】此题主要考查了差倍与方阵问题的综合应用，考查了分析推理能力的应用，要熟练掌握。
27．用同一规格的瓷砖铺一块正方形地面，铺的要求如图所示，正方形地面的两条对角线都用黑色，其余地方铺白色，而且黑色的瓷砖用了1001块，那么白色的瓷砖共用了 250000 块．
【分析】一条对角线上的块数等于正方形边长上的块数，由于两条对角线上的中心共用一块，所以，正方形边长上的块数是（1001+1）÷2＝501块，利用实心方阵总点数＝每边点数×每边点数，先求得黑白瓷砖的总块数为501×501＝251001块，然后用总块数减去黑色的瓷砖即为白色的瓷砖，据此解答即可．
【解答】解：每条边上的瓷砖块数为：（1001+1）÷2＝501（块）
黑白色瓷砖之和为：501×501＝251001（块），
所以白色瓷砖的块数为：251001﹣1001＝250000（块）
答：白色的瓷砖共用了250000块．
故答案为：250000．
【点评】此题考查了利用实心方阵问题解决实际问题的灵活应用，这里抓住对角线上的块数之和得出每边点数是解决此类问题的关键．
28．为纪念中国人民抗日战争暨反法西斯战争胜利70周年，2015年9月3日在天安门广场举行了盛大的阅兵式．受阅部队中有10个英模部队方队，已知每个英模部队方队有14排，每排25人．那么，受阅的10个英模方队共有 3500 人．
【分析】每个英模部队方队有14排，每排25人，每个方队就有14个25人，用25乘上14求出每个方队的人数，再乘10，即可求出10个方队一共有多少人．
【解答】解：25×14×10
＝350×10
＝3500（人）
答：受阅的10个英模方队共有 3500人．
故答案为：3500．
【点评】本题考查了乘法的意义：求几个几是多少，用乘法求解．
29．某小学三年级的部分学生排成一个实心正方形方阵，最外面3层有学生72人，这个方阵共有学生 81 人．
【分析】因为方阵中，从外向内每边的人数依次减少2人，所以依次相差：2×4＝8人，8×2＝16人，假设3层人数都和最外层人数相等，共有学生72+8+16＝96人，所以最外层的人数是：96÷3＝32人，则每边的人数是：32÷4+1＝9人，然后根据“实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数”解答即可．
【解答】解：（72+2×4+2×4×2）÷3÷4+1
＝96÷3÷4+1
＝32÷4+1
＝9（人）
9×9＝81（人）
答：这个方阵共有学生 81人．
故答案为：81．
【点评】此题考查了方阵问题，关键是明确方阵问题的结构特征，以及公式总点数＝每边点数×每边点数；每边人数＝四周人数÷4+1的灵活应用．
30．阳光小学的学生在操场上排成一个实心正方形方阵．已知方阵最外面一圈都是男生，向内相邻一圈都是女生，然后再向内相邻一圈都是男生…如此下去直到最里面一圈．如果男生总数比女生总数多28人，那么整个方阵共有学生 196 人．
【分析】根据方阵知识可知，相邻每边的人数相差2，所以相邻的内外圈相差2×4＝8人，28÷8＝3…4人，所以最后一圈是男生有4人，这一圈外面还有3×2＝6圈，所以最外圈有4+6×8＝52人，然后根据等差数列公式即可求出总人数．
【解答】解：相邻的内外圈相差：2×4＝8（人）
因为28÷8＝3…4（人），所以最后一圈是男生有4人，这一圈外面还有3×2＝6圈，
所以最外圈有：4+6×8＝52（人）
（4+52）×（6+1）÷2
＝56×7×2
＝196（人）
故答案为196．
【点评】本题考查了方阵问题与等差数列问题的综合应用，本题关键是求出最内层的人数，然后再根据等差数列公式解答即可．
31．方阵形桃园共10层，最里层共种16棵树，若每棵桃树结桃子60千克，那么这桃园共收桃 31200 千克．
【分析】“最里层共种16棵树，”先根据每边棵数＝（空心方阵的四周棵数+4）÷4，计算出最内层每边棵数是：（16+4）÷4＝5棵，因为每相邻的两层每边点数相差是2，所以最外层每边棵数是：5+2×9＝23棵，由此再根据关系式：中空方阵的桃树总棵数＝（每边棵数﹣层数）×层数×4来解答．在本题中，层数是10，每边棵数是23，把这两个数据代入并计算即可求出桃树的总棵数，再乘以60就是桃子的总重量．
【解答】解：最内层每边棵数是：（16+4）÷4＝5（棵），
所以最外层每边棵数是：5+2×9＝23（棵），
（23﹣10）×10×4，
＝13×10×4，
＝520（棵），
520×60＝31200（千克），
答：这个桃园共结桃子31200千克．
故答案为：31200．
【点评】此题考查了中空方阵问题，抓住公式：每边棵数＝（空心方阵的四周棵数+4）÷4，中空方阵的桃树总棵数＝（每边棵数﹣层数）×层数×4来解答．
32．圆圆将手中96枚围棋子排成了一个三层的空心方阵，最外层每边有 11 个棋子．
【分析】根据“总点数＝（每边点数﹣层数）×层数×4”逆推即可．
【解答】解：96÷4÷3+3
＝8+3
＝11（个）
故答案为：11．
【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝（每边点数﹣层数）×层数×4的灵活应用．
33．一个四层的空心方阵，如果最外层人数是最内层人数的2倍，那么，这个空心方阵一共有 144 个人．
【分析】在方阵问题中，相邻的里外两层每边的人数相差2人，所以四层的空心方阵最外层每边人数比最内层每边人数多：2×（4﹣1）＝6人，一共多6×4＝24人，根据差倍公式可得最内层人数是：24÷（2﹣1）＝24人，则最外层人数是：24×2＝48人，最外层每边的人数是：（48+4）÷4＝13人，然后再根据“空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4”解答即可．
【解答】解：最外层比最内层多：2×（4﹣1）×4
＝6×4
＝24（人）
最内层人数是：24÷（2﹣1）＝24（人）
最外层人数是：24×2＝48（人）
最外层每边的人数是：（48+4）÷4＝13（人）
总人数是：（13﹣4）×4×4
＝9×16
＝144（人）
答：这个空心方阵一共有 144个人．
故答案为：144．
【点评】本题考查了方阵问题，关键是明确方阵问题的结构特点，难点是根据差倍公式求得最内层人数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数，层数＝（最外层每边的人数﹣内层每边的人数）÷2+1．
34．何何有一些棋子．她把这些棋子摆成了一个三层空心方阵，还多出50枚棋子．于是她继续在三层空心方阵外面又摆了一层，变成一个四层空心方阵，此时还多出2枚棋子．那么，何何一共有 146 枚棋子．
【分析】摆成了一个三层空心方阵，还多出50枚棋子，又摆成了一个四层空心方阵，此时还多出2枚棋子．说明第四层有50﹣2＝48枚棋子，那么根据“每边的枚数＝四周的枚数÷4+1”可得：最外层每边棋子的枚数是48÷4+1＝13枚，任何再根据“空心方阵的总点数＝（最外层每边的点数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4”，代入数据解答即可．
【解答】解：第四层有：50﹣2＝48（枚）
最外层每边棋子的枚数是：48÷4+1＝13（枚）
四层空心方阵总数是：（13﹣4）×4×4＝144（枚）
何何一共有：144+2＝146（枚）
答：何何一共有 146枚棋子．
故答案为：146．
【点评】本题考查了方阵问题，关键是明确方阵问题的结构特点，关键是求得最外层棋子数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数，层数＝（最外层每边的人数﹣内层每边的人数）÷2+1．
35．学校大楼前摆放了一个方阵花坛．这个花坛的最外层每边各摆了10盆花，那么这个花坛最外层共摆了 36 盆花．
【分析】这个方阵花坛的最外层每边有花盆10盆，可以看做每边点数为10的方阵问题，根据最外层四周的总点数＝每边点数×4﹣4，即可解决问题．
【解答】解：10×4﹣4
＝40﹣4
＝36（盆），
答：最外层一共摆了36盆．
故答案为：36．
【点评】此题考查了空心方阵问题中：最外层四周的总点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用．
36．同学们排成一个方阵进行广播操表演．小海的位置从前、从后、从左、从右数都是第5个，参加广播操表演的共有 81 人．
【分析】小海的前后左右都是第5个，包括他自己在内，每行每列都是5+5﹣1＝9人；这个方队组成的是一个实心方阵，是一个正方形，最外层每条边上都有9个人，根据实心方阵的总点数＝每边点数×每边点数，即可解答问题．
【解答】解：根据题干分析可得：
5+5﹣1＝9（人）
9×9＝81（人）
答：参加广播操表演的共有81人．
故答案为：81．
【点评】此题考查了在实际问题中公式实心方阵的总点数＝每边点数×每边点数的灵活应用．
37．有一队学生排成一个空心方阵，最外层是52人，最内层是28人，这队学生有 160 人．
【分析】此题为空心方阵问题，每相邻的两层相差8人，已知最外层有52人，最内层有28人，则方阵的层数：（52﹣28）÷8+l＝4（层）；最外层每边的人数52÷4+1＝14人，共52人，由此根据“空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，”即可求出这个方阵的总人数．
【解答】解：方阵的层数：（52﹣28）÷8+l
＝3+1
＝4（层）；
最外层每边的人数：52÷4+1
＝13+1
＝14（人）；
总人数：（14﹣4）×4×4
＝10×16
＝160（人）；
答：这一队学生共有160人．
故答案为：160．
【点评】本题关键是求出方阵的层数和每边的人数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数．
38．体操表演者排成每一横行和每一竖列中的人数相同的方阵，每个方阵最外一圈有16人，若四个这样的方阵恰好可以并成一个大方阵，则大方阵的最外一圈有 36 人．
【分析】由于四个顶点上的人属于相邻的两个边公共的人，所以每边的人数是：16÷4+1＝5（人），因此每个方阵共有学生5×5＝25（人），四个这样的方阵恰好可以并成一个大方阵，则大方阵的总人数为25×4＝100（人），因为100＝10×10，所以每行就有10人，最外圈的人数就是10×4﹣4＝36（人）．据此解答．
【解答】解：16÷4+1＝5（人）
5×5＝25（人）
25×4＝100（人）
10×4﹣4＝36（人）
答：大方阵的最外一圈有36人．
故答案为：36．
【点评】本题关键是求出每边的人数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数．
39．48名学生做游戏，大家围成一个正方形，每边人数相等，四个顶点都有人，每边各有 13 名学生．
【分析】把48名学生看作48个点，利用空心方阵的最外围每边点数＝（最外层四周点数+4）÷4，即可解决问题．
【解答】解：（48+4）÷4，
＝52÷4，
＝13（人）；
答：每边各有13名学生．
故答案为：13．
【点评】此题考查了空心方阵中每边点数＝（四周点数+4）÷4这个公式的灵活应用．
40．十一届“走美”参加决赛的三年级学生排成正方形方阵，剩余15人，至少再增加18人才能组成一个更大的正方形方阵，三年级有 271 人参加十一届“走美”决赛．
【分析】方阵至少增加一行一列可以变成一个更大的正方形方阵，那么新方阵最外层增加一行一列，增加了15+18＝33人，所以原来的方阵最外层每边有（33﹣1）÷2＝16人，原来的总人数是16×16+15＝271人；据此解答即可．
【解答】解：15+18＝33（人）
（33﹣1）÷2
＝32÷2
＝16（人）
16×16+15
＝256+15
＝271（人）
答：三年级有 271人参加十一届“走美”决赛．
故答案为：271．
【点评】本题考查了方阵问题的结构特征，难点是求出原来的方阵最外层每边的人数．
三．解答题（共20小题）
41．长风公园有一块草地，草地的周围形成一个由520棵树苗组成的10层空心方阵．
（1）如果在中央的草地继续种树苗，形成一个实心方阵，那么这个实心方阵总共有多少棵树苗？
（2）如果在原来的10层空心方阵的基础上加1层，形成11层空心方阵，那么需要再种多少棵树苗？请求出所有可能值．
【分析】（1）根据方阵问题中：空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，可得出最外层每边人数＝空心方阵总人数÷4÷空心方阵的层数+空心方阵的层数，据此求出最外层每边树苗棵数，然后求出实心方阵的总棵数即可．
（2）如果在原来的10层空心方阵的基础上加1层，形成11层空心方阵，可以在里面增加一层，也可以在外面增加一层，再根据“每两层之间相差2棵”解答即可．
【解答】解：（1）520÷4÷10+10＝23（棵）
23×23＝529（棵）
答：这个实心方阵总共有529棵树苗．
（2）在外面增加一层：
23+2＝25（棵）
25×4﹣4＝96（棵）
在里面增加一层：
23﹣2×10＝3（棵）
3×4﹣4＝8（棵）
答：需要再种96棵或8棵树苗．
【点评】方阵问题的相关公式：
（1）方阵每边人数与四周人数的关系：
四周人数＝（每边人数﹣1）×4
每边人数＝四周人数÷4+1
（2）方阵总人数的求法：
实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数
空心方阵：总人数＝（外边人数）2﹣（内边人数）2
内边人数＝外边人数﹣层数×2
（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：
总人数＝（每边人数﹣层数）×层数×4．
42．大家要用若干盆花在空地上摆一个空心方阵花坛，最里面的一层每边摆10盆花，一共3层，一共要用多少盆花？
【分析】每相邻的两层，每边相差2盆，2×（3﹣1）＝4盆，所以最外层有10+4＝14盆，再利用方阵总点数＝（每边点数﹣层数）×层数×4计算出最外层四周点数即可．
【解答】解：2×（3﹣1）＝4（盆）
10+4＝14（盆）
（14﹣3）×3×4＝132（盆）
答：一共要用132盆花．
【点评】此题考查了方阵问题中：方阵总点数＝（每边点数﹣层数）×层数×4的灵活应用．
43．艺术节上，同学们用64盆花排出一个两层空心方阵，后来又决定在外面增加一层成为三层方阵，至少需要多少盆花？
【分析】由于方阵相邻两层每边相差2盆，共相差8盆，所以用（64+8）÷2可求得两层空心方阵的最外层有多少盆，再加上8盆就是在外面增加一层需要的盆数．
【解答】解：（64+8）÷2+8
＝72÷2+8
＝36+8
＝44（盆）
答：至少需要44盆花．
【点评】方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数．
44．小明用围棋子摆成一个三层空心方阵，如果最外层每边有15个围棋子，小明摆出的这个方阵最里层一周有多少个棋子？
【分析】先根据方阵最外层四周点数＝每边点数×4﹣4计算出最外层四周棋子数，再根据相邻两层的相差8个解答即可．
【解答】解：（15﹣1）×4＝56（个）
8×2＝16（个）
56﹣16＝40（个）
答：小明摆出的这个方阵最里层一周有40个棋子．
【点评】方阵问题的数量关系：
（1）方阵每边人数与四周人数的关系：
四周人数＝（每边人数﹣1）×4
每边人数＝四周人数÷4+1
（2）方阵总人数的求法：
实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数
空心方阵：总人数＝（外边人数）2﹣（内边人数）2
内边人数＝外边人数﹣层数×2
（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：
总人数＝（每边人数﹣层数）×层数×4．
45．有若干名学生，恰好组成一个八列长方形方阵．如果在队列中再增加120人或从队列中减去120人，都能组成一个方形方阵，那么原长方形方阵中有多少名学生呢？
【分析】可设原有战士8n人，8n+120＝a2，8n﹣120＝b2，则存在a2﹣b2＝240，根据奇偶性相同，即可求得a、b的值，进一步求得n的值．
【解答】解：设原有战士8n人，8n+120＝a2，8n﹣120＝b2，
则存在a2﹣b2＝240，
即（a+b）（a﹣b）＝240．但a+b与a﹣b的奇偶性相同，且a、b都为偶数，
故a+b＝120，a﹣b＝2，于是a＝61，b＝59（不合题意舍去）；
a+b＝60，a﹣b＝4，于是a＝32，b＝28，则8x＝904．因为904﹣120＝784，784为28的平方，即28行28列，与题意不符，即不是在原8列的方阵中减去120，而是减去120再排成队列，所以904不符条件，应舍去；
a+b＝40，a﹣b＝6，于是a＝23，b＝17（不合题意舍去）；
a+b＝30，a﹣b＝8，于是a＝19，b＝11（不合题意舍去）；
a+b＝24，a﹣b＝10，于是a＝17，b＝7（不合题意舍去）；
a+b＝20，a﹣b＝12，于是a＝16，b＝4，则8x＝136；
a+b＝16，a﹣b＝15，于是a＝15.5，b＝0.5（不合题意舍去）．
故原长方形队列共有136名战士．
【点评】本题考查了完全平方数在实际生活中的应用，考查了因式分解法求值的应用，考查了奇偶性的判定．
46．一队战士排成一个三层空心方阵多出16人，如果在空心部分再增加一层又缺28人，这队战士共有多少人？
【分析】由题意可知，增加的一层需要16+28＝44人，设此层每边为A人，可得44＝（A﹣1）×4，求得A＝12，则最外层人数为12+3×2＝18人，因为空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，据此解答．
【解答】解：设此增加的层每边为A人，由题意可得：
16+28＝（A﹣1）×4
44＝4A﹣4
4A＝48
A＝12
则最外层每边人数为12+3×2＝18人，
总人数：（18﹣3）×3×4+16
＝15×12+16
＝180+16
＝196（人）
答：这队战士共有196人．
【点评】本题关键是求出现在每边的人数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数．
47．如图：40个点组成一个两层的中空方阵，请去掉两个点，并用直线将其余的点连成两个大小相同的正方形．
【分析】可以去掉最外层相对的两个角上的点，然后用直线将其余的点连成两个大小相同的正方形；据此解答即可．
【解答】解：
【点评】解答本题关键结合图形的特征，确定在什么地方去掉两个点．
48．在一次团体操表演中，有一个中空方阵最外层有64人，最内层有32人，参加团体操表演的共有多少人？
【分析】因为每相邻的两层相差8人，据此可以求出这个方阵的层数是（64﹣32）÷8+1＝5层，又因为最外层每边人数＝最外层人数÷4+1，据此再利用空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，即可求出总人数．
【解答】解：这个方阵的层数是（64﹣32）÷8+1＝5（层），
最外层每边人数是：64÷4+1＝17（人），
总人数是：（17﹣5）×5×4，
＝12×20，
＝240（人），
答：参加体操表演的一共有240人．
【点评】此题考查了方阵问题中的数量关系：空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4．
49．奥斑马用240个棋子摆了一个6层的空心方阵，问最外一层每边有多少个棋子？
【分析】逆用空心方阵的总点数＝（每边点数﹣层数）×层数×4解答即可．
【解答】解：240÷4÷6+6＝16（个）
答：最外一层每边有16个棋子．
【点评】本题考查了空心方阵的总点数＝（每边点数﹣层数）×层数×4的灵活应用．
50．学校举行儿童节文艺演出，某班学生集体表演一个节目，站成了一个实心的方阵，最外层共有20人，那么这个班一共有多少人？
【分析】先根据方阵最外层四周人数＝每边人数×4﹣4，求出这个方阵的每边人数，再利用方阵总人数＝每边人数×每边人数计算出这个班一共的人数即可．
【解答】解：（20+4）÷4＝6（人）
6×6＝36（人）
答：这个班一共有36人．
【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用．
51．在一个正方形的池塘四边上种树，每边种10棵（四个角上都种一棵），四边一共种了多少棵？
【分析】四周植树时，如果每个角处都植树，那么正好围成了一个空心方阵，此时四周点数之和＝每边点数×4﹣4，由此即可解答．
【解答】解：10×4﹣4
＝40﹣4
＝36（棵）
答：四边一共种了36棵．
【点评】此题考查空心方阵中：四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用．
52．明明用棋子摆了一个五层图形，每两层棋子的个数相差5，最内层用了18个棋子，问一共用了多少个棋子？
【分析】因为每两层棋子的个数相差5，一共是5层，所以相差的总数为：5+5×2+5×3+5×4，再求出5个18是多少，最后相加即可．
【解答】解：18×5+（5+5×2+5×3+5×4），
＝90+50，
＝140（个），
答：一共用了140个棋子．
【点评】关键是理解题意，先求出相差棋子的个数，再求出5个18是多少，进而解决问题．
53．为了迎接3.15，光明社区居委会打算从林场采购一些小树苗．居委会李大妈发现，林场的一些小树苗排成一个三层的空心方阵，最里层每条边有6棵树．李大妈将这些小树苗全部买下来，发动小区居民将这些树苗种在小区南边的一条马路上，这条马路长400米，只在马路的一侧种树，并且两头都种，每隔5米种一棵．那么，最后还剩多少棵小树苗？
【分析】由题意知，这是一个三层空心方阵，最里层每条边有6棵树，因为每相邻的两层之间每边上都是相差2棵树，所以最外层每边有6+2+2＝10棵树，根据方阵问题中：空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4即可求得树苗的总棵数；再根据两头都种的植树问题，用间隔数+1求得在马路的一侧种树需要的棵数，最后二者相减就是还剩的棵数；据此解答即可．
【解答】解：最外层每边有6+2+2＝10棵树，
树苗总数：（10﹣3）×3×4＝84（棵），
马路植树的棵数：400÷5+1＝81（棵），
还剩：84﹣81＝3（棵），
答：最后还剩3棵小树苗．
【点评】此题综合考查了方阵问题和植树问题，求得树苗总数是关键．
54．用640个棋子围成正方形（空心或实心），可以有多少种围法？最外层每边的棋子数各是多少？
【分析】因为640不是完全平方数，所以不可能围成实心方阵，只能围成空心方阵，据此列举即可．
【解答】解：当围成空心时，只有一层的话，每层最外边的棋子应该有：640÷4+1＝160+1＝161（个）；
如果有两层的话，最外层就应该有（640+8）÷2＝324（个），最外层的每边就应该是324÷4+1＝82；
其他的都是按照这个方法进行．如下表：
所以，共有6种围法．
答：可以有6种围法，最外层每边的棋子数分别是161、82、44、37、28、26个．
【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用．
55．有360个棋子，将它们围成正方形（空心或实心的），请写出四种不同的摆法，并求四种情况下最外层每边棋子各是多少？
【分析】由题意，共有360个棋子，将它们围成正方形（空心的），可围成一层、两层、三层、五层的正方形空心方阵，根据“相邻两层点数相差8个，相邻两层边点数相差2个，以及总点数÷4+1＝每边点数”解答即可．
【解答】解：第一种情况：围成一层的正方形空心方阵，最外层每边棋子是：360÷4+1＝91个；
第二种情况：围成两层的正方形空心方阵，最外层每边棋子是：（360+8）÷2÷4+1＝47个；
第三种情况：围成三层的正方形空心方阵，最外层每边棋子是：（360÷3+8）÷4+1＝33个；
第四种情况：围成五层的正方形空心方阵，最外层每边棋子是：（360÷5+16）÷4+1＝23个．
【点评】本题考查了空心方阵的有关知识，计算公式是：（总点数+4）÷4＝每边点数，或总点数÷4+1＝每边点数．
56．一正方形苗圃，栽种桃树和李树，一圈一圈地相间种植，即最外一圈种的是桃树，往内一圈是李树，然后是桃树，…，最内一圈种了4棵李树．已知树苗的行距和列距都相等，桃树比李树多40棵．问：桃树和李树一共有多少棵？
【分析】如图画出苗圃的最里面3层，可以看出，苗圃所种果树的棵数为：4+12+20+28+…，每外一圈的桃树比相邻内一圈的李树多8棵，40÷8＝5，所以共有5×2＝10圈，最外圈的桃树为4+9×8＝76棵，然后根据高斯求和公式即可求出果树的总棵数．
【解答】解：果树的棵数排列为：4+12+20+28+…，
每外一圈的桃树比相邻内一圈的李树多8棵，
所以共有40÷8×2＝10圈，
最外圈的桃树为4+9×8＝76棵，
果树总棵数为：（4+76）×10÷2＝400（棵）
答：桃树和李树一共有400棵．
【点评】本题关键是求出最外层果树的棵数，然后根据高斯求和公式解答．
57．如图，这是一个围棋盘，还有一堆围棋子，将这堆棋子往棋盘上放，当按格点摆成某个正方阵时，尚多余12枚棋子，如果要将这个正方阵改摆成每边各加一枚棋子的正方阵，则差9枚棋子才能摆满．问：这堆棋子原有多少枚？
【分析】由题意，当按格点摆成某个正方阵时，尚多余12枚棋子，如果要将这个正方阵改摆成每边各加一枚棋子的正方阵，则差9枚棋子才能摆满，即两次摆法相差12+9＝21枚棋子，用（21﹣1）÷2即可求得原来正方阵的每边的点数，再据“每边的点数×每边的点数＝中实方阵的总点数”求得原正方阵的棋子数后再加12枚即可．
【解答】解：12+9＝21（枚），
（21﹣1）÷2＝10（枚），
10×10+12＝112（枚），
答：这堆棋子原有112枚．
【点评】先求得原来正方阵的每边的棋子数是解答此题的关键．
58．一些学生，如果排成三层空心方阵，则多24人，如果在中间空心部分接一层，则少8人，共有多少学生？
【分析】由题意知，空心部分接的这一层的总人数是24+8＝32人，进而求得其每边的人数是9人；由此可推出方阵的最外层每边人数是9+2×3＝15人，之后就可根据“求多层空心方阵总人数的公式”即可得到排成四层空心方阵需要的人数176人，实际还差8人，这样就可知道实际共有的学生人数了．
【解答】解：24+8＝32（人）
32÷4+1＝9（人）
9+3×2＝15（人）
（15﹣4）×4×4＝176（人）
176﹣8＝168（人）
答：共有168人．
【点评】此题并不难，只要能灵活运用“方阵问题中的公式”即可轻松解答．
59．国庆节期间，园林工人把40盆花排成二层中空方阵，这一方阵的外层每边摆多少盆？
【分析】此题为空心方阵问题，每相邻的两层相差8人，根据和差公式可求出最外层有（40+8）÷2＝24（盆）；由此根据“每边的点数＝四周的点数÷4+1，”这一方阵的外层每边摆多少盆．
【解答】解：（40+8）÷2
＝48÷2
＝24（盆）
24÷4+1＝7（盆）
答：这一方阵的外层每边摆7盆．
【点评】本题关键是求出方阵的最外层的盆数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1．
60．四年级参加军训的学生排成一个方阵进行汇报演习，这个方阵最外层每边有15名学生．
（1）最外层一共有多少名学生？
（2）这个方阵一共有多少名学生？
【分析】（1）根据公式：最外层人数＝每边人数×4﹣4；代入数据即可解答．
（2）根据公式：实心方阵中总人数＝每边人数×每边人数；代入数据即可解答．
【解答】解：（1）15×4﹣4
＝60﹣4
＝56（名），
15×15＝225（名），
答：最外层一共有56名学生，这个方阵一共有225名学生．
【点评】此题考查了方阵问题中：最外层点数＝每边点数×4﹣4；实心方阵中总点数＝每边点数×每边点数的灵活应用．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/3/16 10:02:44；用户：宁溪小学；邮箱：nxxx@qq.cm；学号：47186301最外层每边的棋子数
161
82
44
37
28
26
层数
1
2
4
5
8
10
1．有一个六边形点阵，如图，它的中心是一个点，算做第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，这个六边形点阵共10层，一共有（ ）点。
A．271B．330C．331D．336
2．三（2）班学生排成每行人数相同的队伍（正方形方阵），参加学校运动会入场式，梅红的位置从前数是第5个，从后数是第3个；从左数是第3个，从右数是第5个，那么该班有（ ）人参加入场式．
A．64B．63C．56D．49
3．如图是由15个点组成的三角形点阵，在右图中至少去掉（ ）个点，就不会再出现以图中的点为顶点的正三角形了．
A．6B．7C．8D．9
4．小虎在19×19的围棋盘的格点上摆棋子，先摆成了一个长方形的实心点阵．然后再加上45枚棋子，就正好摆成﹣边不变的较大的长方形的实心点阵．那么小虎最多用了（ ）枚棋子．
A．285B．171C．95D．57
5．某校四年级的同学恰好排成一个行数和列数相等的方阵且行数、列数上都是奇数。如果将队形改变，变成8人一行的队形，那么最后一行的人数是（ ）
A．1B．3C．5D．7
6．一个正方形平顶天花板上每边要装20盏彩灯，一共需要（ ）盏彩灯．
A．40B．76C．44D．50
7．一个正方形池塘的边长是12米，要在池塘四周每隔2米栽一棵树，四个顶点各栽一棵，一共要栽（ ）棵树．
A．30B．28C．26D．24
8．一队学生围成一个正方形，每边站了12人（四个顶点都有人），共有（ ）名学生．
A．44B．48C．52D．40
9．四年级的同学参加“六一”儿童节的团体操表演，每横排人数同样多，每竖排人数也同样多．王箐的位置是从左数第10人，从右数第8人，从前数第9人，从后数第7人．则参加表演的同学有（ ）人．
A．272B．255C．245D．210
10．某学校进行体操表演，五一班的同学排成5×5的方阵，则整个方阵的最外层一共有（ ）名同学．
A．16B．17C．18D．19
11．同学们做操，排成一个正方形的队伍，从前，后，左，右数，小红都是第5个，问一共有（ ）人．
A．81B．25C．32D．120
12．用棋子摆成一个两层空心方阵，外层每边有10枚棋子，这个方阵一共用了（ ）枚棋子．
A．64B．16C．32D．128
二．填空题（共28小题）
13．学校举行文艺表演，四年级学生排成一个方阵，最外层的人数是40人，四年级参加表演的学生共有 人。
14．如图是由圆和菱形组成的4行4列方阵，按同样的规律组成一个9行9列方阵，那么最外面一圈一共有 个圆。
15．同学们排成整齐的长方形队列，A同学的位置在从左数第4个，从右数第5个，从前数第6个，从后数第7个。这个队列共有 名同学。
16．小明所在学校举办运动会，所有学生站成了一个12×12的实心方阵，这个方阵的最外层有 人．
17．有一个正方形的操场，在它的外面一圈插上小红旗，四个角上都插一面小红旗，每边都插23面，一共插了 面小红旗。
18．学而思学校举办运动会，二年级（1）班排成了一个方阵，乐乐同学在方阵中，从前往后数，他是第5个，从后往前数，他也是第五个，请问二年级（1）班的方阵中共有 人．
19．用同样大小的正方形瓷砖铺正方形的地面，周围用白瓷砖，中间用黑瓷砖（如图1和图2的铺法）．当正方形地面周围铺了80块白瓷砖时，黑瓷砖需要 块．
20．一队学生站成19行19列的方阵，去掉5行5列，变成一个14行14列的方阵，要减少 学生．
21．如图，一块绿地由3块相同的等边三角形草地和一个水池构成，现在要在草地上种花，要求在草地与草地的公共点处种上花（即图中的A、B、C点），且每块草地上的花朵排成一个三角形实心点阵，每块草地上最外层的每条边上有10朵花。请问：整个绿地一共要种 朵花。
22．四百多名学生在操场上站成一个空心方阵，如果在方阵内部再增加一层变成新的空心方阵，就需要增加36名学生，那么原来一共有 名学生．
23．一群学生组成了一个两层空心方阵，在原有方阵的最外层再增加一层，增加后的总人数为原来人数的两倍．如果想让这个三层空心方阵变成一个实心方阵，至少还需要再补充 名学生．
24．小鱼老师站在一个9行9列的正方形队列中，她发现自己正前方有2个人；全体右转后，小鱼老师发现自己正前方变成了4个人；如果再全体右转，小鱼老师将发现自己正前方有 人．
25．要在一个正方形的花园四周的边上种树，每边都种10棵，并且四个角上都有种1棵，一共要准备 棵树苗．
26．某班同学可以排成一个正方形方阵，其中相同性别的学生不能相邻（仅指前后左右）。已知男生人数的5倍比女生人数的3倍多45人，那么这个班共有 人。
27．用同一规格的瓷砖铺一块正方形地面，铺的要求如图所示，正方形地面的两条对角线都用黑色，其余地方铺白色，而且黑色的瓷砖用了1001块，那么白色的瓷砖共用了 块．
28．为纪念中国人民抗日战争暨反法西斯战争胜利70周年，2015年9月3日在天安门广场举行了盛大的阅兵式．受阅部队中有10个英模部队方队，已知每个英模部队方队有14排，每排25人．那么，受阅的10个英模方队共有 人．
29．某小学三年级的部分学生排成一个实心正方形方阵，最外面3层有学生72人，这个方阵共有学生 人．
30．阳光小学的学生在操场上排成一个实心正方形方阵．已知方阵最外面一圈都是男生，向内相邻一圈都是女生，然后再向内相邻一圈都是男生…如此下去直到最里面一圈．如果男生总数比女生总数多28人，那么整个方阵共有学生 人．
31．方阵形桃园共10层，最里层共种16棵树，若每棵桃树结桃子60千克，那么这桃园共收桃 千克．
32．圆圆将手中96枚围棋子排成了一个三层的空心方阵，最外层每边有 个棋子．
33．一个四层的空心方阵，如果最外层人数是最内层人数的2倍，那么，这个空心方阵一共有 个人．
34．何何有一些棋子．她把这些棋子摆成了一个三层空心方阵，还多出50枚棋子．于是她继续在三层空心方阵外面又摆了一层，变成一个四层空心方阵，此时还多出2枚棋子．那么，何何一共有 枚棋子．
35．学校大楼前摆放了一个方阵花坛．这个花坛的最外层每边各摆了10盆花，那么这个花坛最外层共摆了 盆花．
36．同学们排成一个方阵进行广播操表演．小海的位置从前、从后、从左、从右数都是第5个，参加广播操表演的共有 人．
37．有一队学生排成一个空心方阵，最外层是52人，最内层是28人，这队学生有 人．
38．体操表演者排成每一横行和每一竖列中的人数相同的方阵，每个方阵最外一圈有16人，若四个这样的方阵恰好可以并成一个大方阵，则大方阵的最外一圈有 人．
39．48名学生做游戏，大家围成一个正方形，每边人数相等，四个顶点都有人，每边各有 名学生．
40．十一届“走美”参加决赛的三年级学生排成正方形方阵，剩余15人，至少再增加18人才能组成一个更大的正方形方阵，三年级有 人参加十一届“走美”决赛．
三．解答题（共20小题）
41．长风公园有一块草地，草地的周围形成一个由520棵树苗组成的10层空心方阵．
（1）如果在中央的草地继续种树苗，形成一个实心方阵，那么这个实心方阵总共有多少棵树苗？
（2）如果在原来的10层空心方阵的基础上加1层，形成11层空心方阵，那么需要再种多少棵树苗？请求出所有可能值．
42．大家要用若干盆花在空地上摆一个空心方阵花坛，最里面的一层每边摆10盆花，一共3层，一共要用多少盆花？
43．艺术节上，同学们用64盆花排出一个两层空心方阵，后来又决定在外面增加一层成为三层方阵，至少需要多少盆花？
44．小明用围棋子摆成一个三层空心方阵，如果最外层每边有15个围棋子，小明摆出的这个方阵最里层一周有多少个棋子？
45．有若干名学生，恰好组成一个八列长方形方阵．如果在队列中再增加120人或从队列中减去120人，都能组成一个方形方阵，那么原长方形方阵中有多少名学生呢？
46．一队战士排成一个三层空心方阵多出16人，如果在空心部分再增加一层又缺28人，这队战士共有多少人？
47．如图：40个点组成一个两层的中空方阵，请去掉两个点，并用直线将其余的点连成两个大小相同的正方形．
48．在一次团体操表演中，有一个中空方阵最外层有64人，最内层有32人，参加团体操表演的共有多少人？
49．奥斑马用240个棋子摆了一个6层的空心方阵，问最外一层每边有多少个棋子？
50．学校举行儿童节文艺演出，某班学生集体表演一个节目，站成了一个实心的方阵，最外层共有20人，那么这个班一共有多少人？
51．在一个正方形的池塘四边上种树，每边种10棵（四个角上都种一棵），四边一共种了多少棵？
52．明明用棋子摆了一个五层图形，每两层棋子的个数相差5，最内层用了18个棋子，问一共用了多少个棋子？
53．为了迎接3.15，光明社区居委会打算从林场采购一些小树苗．居委会李大妈发现，林场的一些小树苗排成一个三层的空心方阵，最里层每条边有6棵树．李大妈将这些小树苗全部买下来，发动小区居民将这些树苗种在小区南边的一条马路上，这条马路长400米，只在马路的一侧种树，并且两头都种，每隔5米种一棵．那么，最后还剩多少棵小树苗？
54．用640个棋子围成正方形（空心或实心），可以有多少种围法？最外层每边的棋子数各是多少？
55．有360个棋子，将它们围成正方形（空心或实心的），请写出四种不同的摆法，并求四种情况下最外层每边棋子各是多少？
56．一正方形苗圃，栽种桃树和李树，一圈一圈地相间种植，即最外一圈种的是桃树，往内一圈是李树，然后是桃树，…，最内一圈种了4棵李树．已知树苗的行距和列距都相等，桃树比李树多40棵．问：桃树和李树一共有多少棵？
57．如图，这是一个围棋盘，还有一堆围棋子，将这堆棋子往棋盘上放，当按格点摆成某个正方阵时，尚多余12枚棋子，如果要将这个正方阵改摆成每边各加一枚棋子的正方阵，则差9枚棋子才能摆满．问：这堆棋子原有多少枚？
58．一些学生，如果排成三层空心方阵，则多24人，如果在中间空心部分接一层，则少8人，共有多少学生？
59．国庆节期间，园林工人把40盆花排成二层中空方阵，这一方阵的外层每边摆多少盆？
60．四年级参加军训的学生排成一个方阵进行汇报演习，这个方阵最外层每边有15名学生．
（1）最外层一共有多少名学生？
（2）这个方阵一共有多少名学生？
方阵问题（提高卷）小学数学思维拓展高频考点培优卷（通用版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．有一个六边形点阵，如图，它的中心是一个点，算做第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，这个六边形点阵共10层，一共有（ ）点。
A．271B．330C．331D．336
【分析】分析可知规律，从第二层开始，每增加一层就增加六个点。
【解答】解：观察点阵中各层点数的规律，然后归纳出点阵共有的点数．
第一层有点数：1；
第二层有点数：1×6；
第三层有点数：2×6；
第四层有点数：3×6；
…
第n层有点数：（n﹣1）×6。
因此，这个点阵的第n层有点（n﹣1）×6个，n层共有点数为：
1+1×6+2×6+3×6+…+（n﹣1）×6
＝1+6×[1+2+3+…+（n﹣1）]
＝1+6×[1+(n−1)]×(n−1)2
＝1+3（n﹣1）n
所以，1+3×（10﹣1）×10
＝1+3×9×10
＝271（个）
故选：A。
【点评】本题主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力。对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的。通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。
2．三（2）班学生排成每行人数相同的队伍（正方形方阵），参加学校运动会入场式，梅红的位置从前数是第5个，从后数是第3个；从左数是第3个，从右数是第5个，那么该班有（ ）人参加入场式．
A．64B．63C．56D．49
【分析】要解决这道题我们需要两个条件：
一：每行有多少人？5+3＝8个，这时候梅红加了两次，所以每行应该有5+3﹣1人；
二：队伍的行数？用同样的方法，共有5+3﹣1（人），
最后用每行人数×行数，即可．
【解答】解：（5+3﹣1）×（5+3﹣1）
＝7×7
＝49（人）
答：该班有49人参加入场式．
故选：D。
【点评】本道题目就是利用排队方法找到每一行的人数，以及行数，同学们不应该因为数据比较多而乱找数量关系．
3．如图是由15个点组成的三角形点阵，在右图中至少去掉（ ）个点，就不会再出现以图中的点为顶点的正三角形了．
A．6B．7C．8D．9
【分析】
设最小正三角形的边长为1，即两个相邻格点的距离为1，要使不会再出现以图中的点为顶点的正三角形，就必须使任何三个点都不能组成正三角形，并且为使最少，尽量去掉公共点，据此解答即可．
【解答】解：设最小正三角形的边长为1，如图1所示，以A为顶点可以组成边长为4、3、2、1的等边三角形，所以A点必须去掉，同理B、C也必须去掉．
如图2所示（空白表示必须去掉的点），围成了四个边长为2的等边三角形和若干个边长为1的等边三角形，所以必须去掉O、D、E、F．
此时还存在两个正三角形，且这两个正三角形没有公共点，需要再去掉最上面两个点，
因此共去掉了9个点．
故选：D。
【点评】本题考查了方阵问题的灵活应用，关键是明确任何去点，使去掉的点尽量少．
4．小虎在19×19的围棋盘的格点上摆棋子，先摆成了一个长方形的实心点阵．然后再加上45枚棋子，就正好摆成﹣边不变的较大的长方形的实心点阵．那么小虎最多用了（ ）枚棋子．
A．285B．171C．95D．57
【分析】45＝1×45＝3×15＝5×9，既然是长方形，1×45这种不用考虑，所以长方形不变的这条边长，可能是：3、5、9、15这四种．要使用最多棋子，则不变的边长只能是15，棋盘最长是19格，因此最终的较大点阵是15×19＝285枚棋子．
【解答】解：45＝1×45＝3×15＝5×9
既然是长方形，1×45这种不用考虑，所以长方形不变的这条边长，
可能是：3、5、9、15这四种，
要使用最多棋子，则不变的边长只能是15，棋盘最长是19格，
因此最终的较大点阵是：15×19＝285（枚）；
故选：A。
【点评】本题关键是得出长方形不变的这条边长，可能是：3、5、9、15这四种．
5．某校四年级的同学恰好排成一个行数和列数相等的方阵且行数、列数上都是奇数。如果将队形改变，变成8人一行的队形，那么最后一行的人数是（ ）
A．1B．3C．5D．7
【分析】排成一个行数和列数相等的方阵且行数、列数上都是奇数，设原来每行、每列上都是（2n+1）人，则共有（2n+1）2人，然后根据平方和公式拆分解答即可。
【解答】解：设原来每行、每列上都是（2n+1）人，则共有：
（2n+1）2＝4n2+4n+1＝4n（n+1）+1
因为不论n是奇数还是偶数，n（n+1）一定是偶数，即一定含有质因数2，那么4n（n+1）一定是8的倍数；
所以4n（n+1）+1除以8后余数一定是1，那么么最后一行的人数是1。
故选：A。
【点评】本题考查了方阵问题与平方和公式以及数的奇偶性的综合应用。
6．一个正方形平顶天花板上每边要装20盏彩灯，一共需要（ ）盏彩灯．
A．40B．76C．44D．50
【分析】这个问题可以看做是空心方阵问题：根据四周点数之和＝每边点数×4﹣4即可计算所需要的彩灯盏数．
【解答】解：20×4﹣4＝76（盏），
答：一共需要76盏灯．
故选：B。
【点评】此题考查了空心方阵问题中：四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用．
7．一个正方形池塘的边长是12米，要在池塘四周每隔2米栽一棵树，四个顶点各栽一棵，一共要栽（ ）棵树．
A．30B．28C．26D．24
【分析】（1）先求出12里面有几个2，再加1就是每边最多栽的棵数；
（2）再用每边栽的棵数×4﹣4即可解答．
【解答】解：12÷2+1＝7（棵），
7×4﹣4＝24（盆），
答：一共要栽24棵树．
故选：D。
【点评】此题主要考查空心方阵中：四周点数＝每边点数×4﹣4的计算应用．
8．一队学生围成一个正方形，每边站了12人（四个顶点都有人），共有（ ）名学生．
A．44B．48C．52D．40
【分析】因为每个顶点处的人数在每条边上重复相加，所以最外层人数＝每边人数×4﹣4，由此即可解答．
【解答】解：12×4﹣4
＝48﹣4
＝44（人）
答：共有44人．
故选：A。
【点评】此题考查了空心方阵问题中：四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用．
9．四年级的同学参加“六一”儿童节的团体操表演，每横排人数同样多，每竖排人数也同样多．王箐的位置是从左数第10人，从右数第8人，从前数第9人，从后数第7人．则参加表演的同学有（ ）人．
A．272B．255C．245D．210
【分析】由“王箐的位置是从左数第10人，从右数第8人”条件，得知王箐所在的这一横排中有10+8﹣1＝17人（10、8两个数字中都包括了王箐），即每横排有17人；同理得，每竖排有9+7﹣1＝15人，这样用17×15即可求出问题的答案了．
【解答】解：10+8﹣1＝17（人）
9+7﹣1＝15（人）
17×15＝255（人）
故选：B。
【点评】此题并不难，主要明白：10与8、9与7中都包括了王箐，也就是说横排、竖排都数了王箐2次．
10．某学校进行体操表演，五一班的同学排成5×5的方阵，则整个方阵的最外层一共有（ ）名同学．
A．16B．17C．18D．19
【分析】排成5×5的方阵，那么最外层每行5人，用每行的人数乘上4行，再减去4个顶点的人数即可求解．
【解答】解：5×4﹣4
＝20﹣4
＝16（名）
答：整个方阵的最外层一共有16名同学．
故选：A。
【点评】此题考查了方阵问题中：最外层点数＝每边点数×4﹣4．
11．同学们做操，排成一个正方形的队伍，从前，后，左，右数，小红都是第5个，问一共有（ ）人．
A．81B．25C．32D．120
【分析】因为从前、后、左、右数，小红都是第5个，所以每行都有：5×2﹣1＝9人，由此利用方阵问题中：总人数＝每边人数×每边人数，即可解答．
【解答】解：每边人数是：5×2﹣1＝9（人），
共有：9×9＝81（人），
故选：A。
【点评】此题考查了方阵问题中总点数＝每边点数×每边点数的灵活应用，关键是根据行、列排列特点求出每边人数．
12．用棋子摆成一个两层空心方阵，外层每边有10枚棋子，这个方阵一共用了（ ）枚棋子．
A．64B．16C．32D．128
【分析】根据方阵问题中：空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4解答即可．
【解答】解：（10﹣2）×2×4＝64（枚）；
故选：A。
【点评】此题考查了方阵问题中的数量关系：空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4．
二．填空题（共28小题）
13．学校举行文艺表演，四年级学生排成一个方阵，最外层的人数是40人，四年级参加表演的学生共有 121 人。
【分析】先根据“每边的人数＝四周的人数÷4+1”求出方阵外层每边有多少人，再根据“方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数”解答即可。
【解答】解：40÷4+1
＝10+1
＝11（人）
11×11＝121（人）
答：四年级参加表演的学生共有121人。
故答案为：121。
【点评】方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数。
14．如图是由圆和菱形组成的4行4列方阵，按同样的规律组成一个9行9列方阵，那么最外面一圈一共有 16 个圆。
【分析】根据“最外层四周点数＝每边点数×4﹣4”求出最外面一圈图形的个数，圆形占这个数的一半。
【解答】解：9×4﹣4
＝36﹣4
＝32（个）
32÷2＝16（个）
答：最外面一圈一共有16个圆。
故答案为：16。
【点评】此题考查了方阵问题中：最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用。
15．同学们排成整齐的长方形队列，A同学的位置在从左数第4个，从右数第5个，从前数第6个，从后数第7个。这个队列共有 96 名同学。
【分析】根据题意可知，A同学的位置在从左数第4个，从右数第5个，把左数的人数加上右数的人数，这样就把A同学多数了一次，再减去1就是每行的人数；同理，根据从前数第6个，从后数第7个，可以求出每列的人数，即6+7﹣1＝12；然后把每行与每列的人数相乘即可得出答案。
【解答】解：（4+5﹣1）×（6+7﹣1）
＝8×12
＝96（名）
答：这个队列共有96名同学。
故答案为：96。
【点评】解题的关键是找到每行和每列的人数，求每行和每列的人数时，把数重的人数减去，才能准确求出结果。
16．小明所在学校举办运动会，所有学生站成了一个12×12的实心方阵，这个方阵的最外层有 44 人．
【分析】所有学生站成了一个12×12的实心方阵，说明这个方阵的最外层每边有12人，然后根据最外层人数＝每边人数×4﹣4；代入数据即可解答．
【解答】解：12×4﹣4
＝48﹣4
＝44（人）
答：这个方阵的最外层有 44人．
故答案为：44．
【点评】此题考查了方阵问题中：最外层点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用．
17．有一个正方形的操场，在它的外面一圈插上小红旗，四个角上都插一面小红旗，每边都插23面，一共插了 88 面小红旗。
【分析】此题可以看作是一个空心方阵问题，已知每边点数是23，求四周的点数，利用四周点数＝每边点数×4﹣4即可解决问题。
【解答】解：23×4﹣4
＝92﹣4
＝88（面）
答：一共插了88面小红旗。
故答案为：88。
【点评】此题考查了方阵问题中：最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用。
18．学而思学校举办运动会，二年级（1）班排成了一个方阵，乐乐同学在方阵中，从前往后数，他是第5个，从后往前数，他也是第五个，请问二年级（1）班的方阵中共有 81 人．
【分析】从前往后数，他是第5个，从后往前数，他也是第五个，说明这一列共有5+5﹣1＝9（人）；因为是方阵，所以这个正方行方阵的最外层每边有9人，根据总人数＝每边人数×每边人数可求得总人数．
【解答】解：5+5﹣1＝9（人）
共有：9×9＝81人
答：二年级（1）班的方阵中共有 81人．
故答案为：81．
【点评】解答此题关键在于确定出每行、每列的人数，此题列式容易出错．
19．用同样大小的正方形瓷砖铺正方形的地面，周围用白瓷砖，中间用黑瓷砖（如图1和图2的铺法）．当正方形地面周围铺了80块白瓷砖时，黑瓷砖需要 361 块．
【分析】周围用白瓷砖，那么黑瓷砖最外层每边有（80﹣4）÷4＝19（块），然后再进一步解答即可．
【解答】解：（80﹣4）÷4＝19（块）
19×19＝361（块）
故答案为：361．
【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用．
20．一队学生站成19行19列的方阵，去掉5行5列，变成一个14行14列的方阵，要减少 165 学生．
【分析】根据“总点数＝每边点数×每边点数”分别求出19行19列的总人数和14行14列的总人数，再相减即可．
【解答】解：19×19﹣14×14
＝361﹣196
＝165（人）
故答案为：165．
【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数的灵活应用．
21．如图，一块绿地由3块相同的等边三角形草地和一个水池构成，现在要在草地上种花，要求在草地与草地的公共点处种上花（即图中的A、B、C点），且每块草地上的花朵排成一个三角形实心点阵，每块草地上最外层的每条边上有10朵花。请问：整个绿地一共要种 162 朵花。
【分析】根据题意，我们先看每个等边三角形草地种花的棵数是1+2+3+…+10＝55（棵），再乘3求出3块草地种植的总棵数，然后再减去图中的A、B、C点重复计算的棵数即可。
【解答】解：1+2+3+…+10
＝（1+10）×10÷2
＝55（棵）
55×3﹣3
＝165﹣3
＝162（棵）
答：整个绿地一共要种162朵花。
故答案为：162.
【点评】本题考查了三角方阵问题，关键是求出每个等边三角形草地种花的棵数，注意去掉公共顶点的3棵。
22．四百多名学生在操场上站成一个空心方阵，如果在方阵内部再增加一层变成新的空心方阵，就需要增加36名学生，那么原来一共有 476 名学生．
【分析】新的空心方阵最内一层有36人，没往外一层就多8人，所以原方阵最内一层有36+8＝44人，从44开始，依次累加上去，44+52+…+92＝476，然后根据学生人数在400～500之间判断即可．
【解答】解：原方阵最内一层有36+8＝44人，
从44开始，依次累加上去，44+52+…+92＝476，
加到92人的那层时，共476人，再往上加就超过了500人，所以原来为476人；
故答案为：476．
【点评】此题考查了方阵问题，注意每相邻的两层之间相差8人．
23．一群学生组成了一个两层空心方阵，在原有方阵的最外层再增加一层，增加后的总人数为原来人数的两倍．如果想让这个三层空心方阵变成一个实心方阵，至少还需要再补充 1 名学生．
【分析】由题意，新增加最外层人数和原来两层人数和相等，根据最外层和第二层相差8，所以最内层为8名学生，则要想变成一个实心方阵，至少需要在中间补充1名学生．
【解答】解：在原有方阵的最外层再增加一层，增加后的总人数为原来人数的两倍，则新增加最外层人数和原来两层人数和相等，
因为最外层和第二层相差8，所以最内层为8名学生，则要想变成一个实心方阵，至少需要在中间补充1名学生．
故答案为1．
【点评】本题考查方阵问题，考查了方阵问题中的数量关系：实心方阵的总人数＝每边人数×每边人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4的灵活应用．
24．小鱼老师站在一个9行9列的正方形队列中，她发现自己正前方有2个人；全体右转后，小鱼老师发现自己正前方变成了4个人；如果再全体右转，小鱼老师将发现自己正前方有 6 人．
【分析】对于小鱼老师来说，她连续向右转后，就相当于小鱼老师直接向后转，这样问题就简化为，小鱼老师后面有2个人，去掉小鱼老师自己，根据方阵问题的特点还有9﹣2﹣1＝6人；据此解答即可．
【解答】解：9﹣2﹣1＝6（人）
答：如果再全体右转，小鱼老师将发现自己正前方有 6人．
故答案为：6．
【点评】本题关键是理解方阵问题的特点和变化前后小鱼老师的位置变化．
25．要在一个正方形的花园四周的边上种树，每边都种10棵，并且四个角上都有种1棵，一共要准备 36 棵树苗．
【分析】根据方阵问题的公式：四周点数＝（每边点数﹣1）×4，代入数据解答即可．
【解答】解：（10﹣1）×4
＝9×4
＝36（棵）
答：一共要准备36棵树苗．
故答案为：36．
【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用．
26．某班同学可以排成一个正方形方阵，其中相同性别的学生不能相邻（仅指前后左右）。已知男生人数的5倍比女生人数的3倍多45人，那么这个班共有 49 人。
【分析】分两种情况讨论：（1）男女相等，则45÷（5﹣3）不能得到整数商，不符合要求；（2）男女不相等，要使已知男生人数的5倍比女生人数的3倍多45人，根据差倍关系要相差±5人，则（45±5）÷（5﹣3）＝25或20；然后根据方阵的特点，求出人数再进一步解答即可。
【解答】解：（1）男女相等，则45÷（5﹣3）不能得到整数商，不符合要求；
（2）男女不相等，则（45±5）÷（5﹣3）＝25或20；
即男生25人，女生24人，共25+24＝49人，符合题意；
或，男生20人，女生21人，共20+21＝41人，不符合题意；
答：这个班共有49人。
故答案为：49。
【点评】此题主要考查了差倍与方阵问题的综合应用，考查了分析推理能力的应用，要熟练掌握。
27．用同一规格的瓷砖铺一块正方形地面，铺的要求如图所示，正方形地面的两条对角线都用黑色，其余地方铺白色，而且黑色的瓷砖用了1001块，那么白色的瓷砖共用了 250000 块．
【分析】一条对角线上的块数等于正方形边长上的块数，由于两条对角线上的中心共用一块，所以，正方形边长上的块数是（1001+1）÷2＝501块，利用实心方阵总点数＝每边点数×每边点数，先求得黑白瓷砖的总块数为501×501＝251001块，然后用总块数减去黑色的瓷砖即为白色的瓷砖，据此解答即可．
【解答】解：每条边上的瓷砖块数为：（1001+1）÷2＝501（块）
黑白色瓷砖之和为：501×501＝251001（块），
所以白色瓷砖的块数为：251001﹣1001＝250000（块）
答：白色的瓷砖共用了250000块．
故答案为：250000．
【点评】此题考查了利用实心方阵问题解决实际问题的灵活应用，这里抓住对角线上的块数之和得出每边点数是解决此类问题的关键．
28．为纪念中国人民抗日战争暨反法西斯战争胜利70周年，2015年9月3日在天安门广场举行了盛大的阅兵式．受阅部队中有10个英模部队方队，已知每个英模部队方队有14排，每排25人．那么，受阅的10个英模方队共有 3500 人．
【分析】每个英模部队方队有14排，每排25人，每个方队就有14个25人，用25乘上14求出每个方队的人数，再乘10，即可求出10个方队一共有多少人．
【解答】解：25×14×10
＝350×10
＝3500（人）
答：受阅的10个英模方队共有 3500人．
故答案为：3500．
【点评】本题考查了乘法的意义：求几个几是多少，用乘法求解．
29．某小学三年级的部分学生排成一个实心正方形方阵，最外面3层有学生72人，这个方阵共有学生 81 人．
【分析】因为方阵中，从外向内每边的人数依次减少2人，所以依次相差：2×4＝8人，8×2＝16人，假设3层人数都和最外层人数相等，共有学生72+8+16＝96人，所以最外层的人数是：96÷3＝32人，则每边的人数是：32÷4+1＝9人，然后根据“实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数”解答即可．
【解答】解：（72+2×4+2×4×2）÷3÷4+1
＝96÷3÷4+1
＝32÷4+1
＝9（人）
9×9＝81（人）
答：这个方阵共有学生 81人．
故答案为：81．
【点评】此题考查了方阵问题，关键是明确方阵问题的结构特征，以及公式总点数＝每边点数×每边点数；每边人数＝四周人数÷4+1的灵活应用．
30．阳光小学的学生在操场上排成一个实心正方形方阵．已知方阵最外面一圈都是男生，向内相邻一圈都是女生，然后再向内相邻一圈都是男生…如此下去直到最里面一圈．如果男生总数比女生总数多28人，那么整个方阵共有学生 196 人．
【分析】根据方阵知识可知，相邻每边的人数相差2，所以相邻的内外圈相差2×4＝8人，28÷8＝3…4人，所以最后一圈是男生有4人，这一圈外面还有3×2＝6圈，所以最外圈有4+6×8＝52人，然后根据等差数列公式即可求出总人数．
【解答】解：相邻的内外圈相差：2×4＝8（人）
因为28÷8＝3…4（人），所以最后一圈是男生有4人，这一圈外面还有3×2＝6圈，
所以最外圈有：4+6×8＝52（人）
（4+52）×（6+1）÷2
＝56×7×2
＝196（人）
故答案为196．
【点评】本题考查了方阵问题与等差数列问题的综合应用，本题关键是求出最内层的人数，然后再根据等差数列公式解答即可．
31．方阵形桃园共10层，最里层共种16棵树，若每棵桃树结桃子60千克，那么这桃园共收桃 31200 千克．
【分析】“最里层共种16棵树，”先根据每边棵数＝（空心方阵的四周棵数+4）÷4，计算出最内层每边棵数是：（16+4）÷4＝5棵，因为每相邻的两层每边点数相差是2，所以最外层每边棵数是：5+2×9＝23棵，由此再根据关系式：中空方阵的桃树总棵数＝（每边棵数﹣层数）×层数×4来解答．在本题中，层数是10，每边棵数是23，把这两个数据代入并计算即可求出桃树的总棵数，再乘以60就是桃子的总重量．
【解答】解：最内层每边棵数是：（16+4）÷4＝5（棵），
所以最外层每边棵数是：5+2×9＝23（棵），
（23﹣10）×10×4，
＝13×10×4，
＝520（棵），
520×60＝31200（千克），
答：这个桃园共结桃子31200千克．
故答案为：31200．
【点评】此题考查了中空方阵问题，抓住公式：每边棵数＝（空心方阵的四周棵数+4）÷4，中空方阵的桃树总棵数＝（每边棵数﹣层数）×层数×4来解答．
32．圆圆将手中96枚围棋子排成了一个三层的空心方阵，最外层每边有 11 个棋子．
【分析】根据“总点数＝（每边点数﹣层数）×层数×4”逆推即可．
【解答】解：96÷4÷3+3
＝8+3
＝11（个）
故答案为：11．
【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝（每边点数﹣层数）×层数×4的灵活应用．
33．一个四层的空心方阵，如果最外层人数是最内层人数的2倍，那么，这个空心方阵一共有 144 个人．
【分析】在方阵问题中，相邻的里外两层每边的人数相差2人，所以四层的空心方阵最外层每边人数比最内层每边人数多：2×（4﹣1）＝6人，一共多6×4＝24人，根据差倍公式可得最内层人数是：24÷（2﹣1）＝24人，则最外层人数是：24×2＝48人，最外层每边的人数是：（48+4）÷4＝13人，然后再根据“空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4”解答即可．
【解答】解：最外层比最内层多：2×（4﹣1）×4
＝6×4
＝24（人）
最内层人数是：24÷（2﹣1）＝24（人）
最外层人数是：24×2＝48（人）
最外层每边的人数是：（48+4）÷4＝13（人）
总人数是：（13﹣4）×4×4
＝9×16
＝144（人）
答：这个空心方阵一共有 144个人．
故答案为：144．
【点评】本题考查了方阵问题，关键是明确方阵问题的结构特点，难点是根据差倍公式求得最内层人数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数，层数＝（最外层每边的人数﹣内层每边的人数）÷2+1．
34．何何有一些棋子．她把这些棋子摆成了一个三层空心方阵，还多出50枚棋子．于是她继续在三层空心方阵外面又摆了一层，变成一个四层空心方阵，此时还多出2枚棋子．那么，何何一共有 146 枚棋子．
【分析】摆成了一个三层空心方阵，还多出50枚棋子，又摆成了一个四层空心方阵，此时还多出2枚棋子．说明第四层有50﹣2＝48枚棋子，那么根据“每边的枚数＝四周的枚数÷4+1”可得：最外层每边棋子的枚数是48÷4+1＝13枚，任何再根据“空心方阵的总点数＝（最外层每边的点数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4”，代入数据解答即可．
【解答】解：第四层有：50﹣2＝48（枚）
最外层每边棋子的枚数是：48÷4+1＝13（枚）
四层空心方阵总数是：（13﹣4）×4×4＝144（枚）
何何一共有：144+2＝146（枚）
答：何何一共有 146枚棋子．
故答案为：146．
【点评】本题考查了方阵问题，关键是明确方阵问题的结构特点，关键是求得最外层棋子数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数，层数＝（最外层每边的人数﹣内层每边的人数）÷2+1．
35．学校大楼前摆放了一个方阵花坛．这个花坛的最外层每边各摆了10盆花，那么这个花坛最外层共摆了 36 盆花．
【分析】这个方阵花坛的最外层每边有花盆10盆，可以看做每边点数为10的方阵问题，根据最外层四周的总点数＝每边点数×4﹣4，即可解决问题．
【解答】解：10×4﹣4
＝40﹣4
＝36（盆），
答：最外层一共摆了36盆．
故答案为：36．
【点评】此题考查了空心方阵问题中：最外层四周的总点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用．
36．同学们排成一个方阵进行广播操表演．小海的位置从前、从后、从左、从右数都是第5个，参加广播操表演的共有 81 人．
【分析】小海的前后左右都是第5个，包括他自己在内，每行每列都是5+5﹣1＝9人；这个方队组成的是一个实心方阵，是一个正方形，最外层每条边上都有9个人，根据实心方阵的总点数＝每边点数×每边点数，即可解答问题．
【解答】解：根据题干分析可得：
5+5﹣1＝9（人）
9×9＝81（人）
答：参加广播操表演的共有81人．
故答案为：81．
【点评】此题考查了在实际问题中公式实心方阵的总点数＝每边点数×每边点数的灵活应用．
37．有一队学生排成一个空心方阵，最外层是52人，最内层是28人，这队学生有 160 人．
【分析】此题为空心方阵问题，每相邻的两层相差8人，已知最外层有52人，最内层有28人，则方阵的层数：（52﹣28）÷8+l＝4（层）；最外层每边的人数52÷4+1＝14人，共52人，由此根据“空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，”即可求出这个方阵的总人数．
【解答】解：方阵的层数：（52﹣28）÷8+l
＝3+1
＝4（层）；
最外层每边的人数：52÷4+1
＝13+1
＝14（人）；
总人数：（14﹣4）×4×4
＝10×16
＝160（人）；
答：这一队学生共有160人．
故答案为：160．
【点评】本题关键是求出方阵的层数和每边的人数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数．
38．体操表演者排成每一横行和每一竖列中的人数相同的方阵，每个方阵最外一圈有16人，若四个这样的方阵恰好可以并成一个大方阵，则大方阵的最外一圈有 36 人．
【分析】由于四个顶点上的人属于相邻的两个边公共的人，所以每边的人数是：16÷4+1＝5（人），因此每个方阵共有学生5×5＝25（人），四个这样的方阵恰好可以并成一个大方阵，则大方阵的总人数为25×4＝100（人），因为100＝10×10，所以每行就有10人，最外圈的人数就是10×4﹣4＝36（人）．据此解答．
【解答】解：16÷4+1＝5（人）
5×5＝25（人）
25×4＝100（人）
10×4﹣4＝36（人）
答：大方阵的最外一圈有36人．
故答案为：36．
【点评】本题关键是求出每边的人数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数．
39．48名学生做游戏，大家围成一个正方形，每边人数相等，四个顶点都有人，每边各有 13 名学生．
【分析】把48名学生看作48个点，利用空心方阵的最外围每边点数＝（最外层四周点数+4）÷4，即可解决问题．
【解答】解：（48+4）÷4，
＝52÷4，
＝13（人）；
答：每边各有13名学生．
故答案为：13．
【点评】此题考查了空心方阵中每边点数＝（四周点数+4）÷4这个公式的灵活应用．
40．十一届“走美”参加决赛的三年级学生排成正方形方阵，剩余15人，至少再增加18人才能组成一个更大的正方形方阵，三年级有 271 人参加十一届“走美”决赛．
【分析】方阵至少增加一行一列可以变成一个更大的正方形方阵，那么新方阵最外层增加一行一列，增加了15+18＝33人，所以原来的方阵最外层每边有（33﹣1）÷2＝16人，原来的总人数是16×16+15＝271人；据此解答即可．
【解答】解：15+18＝33（人）
（33﹣1）÷2
＝32÷2
＝16（人）
16×16+15
＝256+15
＝271（人）
答：三年级有 271人参加十一届“走美”决赛．
故答案为：271．
【点评】本题考查了方阵问题的结构特征，难点是求出原来的方阵最外层每边的人数．
三．解答题（共20小题）
41．长风公园有一块草地，草地的周围形成一个由520棵树苗组成的10层空心方阵．
（1）如果在中央的草地继续种树苗，形成一个实心方阵，那么这个实心方阵总共有多少棵树苗？
（2）如果在原来的10层空心方阵的基础上加1层，形成11层空心方阵，那么需要再种多少棵树苗？请求出所有可能值．
【分析】（1）根据方阵问题中：空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，可得出最外层每边人数＝空心方阵总人数÷4÷空心方阵的层数+空心方阵的层数，据此求出最外层每边树苗棵数，然后求出实心方阵的总棵数即可．
（2）如果在原来的10层空心方阵的基础上加1层，形成11层空心方阵，可以在里面增加一层，也可以在外面增加一层，再根据“每两层之间相差2棵”解答即可．
【解答】解：（1）520÷4÷10+10＝23（棵）
23×23＝529（棵）
答：这个实心方阵总共有529棵树苗．
（2）在外面增加一层：
23+2＝25（棵）
25×4﹣4＝96（棵）
在里面增加一层：
23﹣2×10＝3（棵）
3×4﹣4＝8（棵）
答：需要再种96棵或8棵树苗．
【点评】方阵问题的相关公式：
（1）方阵每边人数与四周人数的关系：
四周人数＝（每边人数﹣1）×4
每边人数＝四周人数÷4+1
（2）方阵总人数的求法：
实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数
空心方阵：总人数＝（外边人数）2﹣（内边人数）2
内边人数＝外边人数﹣层数×2
（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：
总人数＝（每边人数﹣层数）×层数×4．
42．大家要用若干盆花在空地上摆一个空心方阵花坛，最里面的一层每边摆10盆花，一共3层，一共要用多少盆花？
【分析】每相邻的两层，每边相差2盆，2×（3﹣1）＝4盆，所以最外层有10+4＝14盆，再利用方阵总点数＝（每边点数﹣层数）×层数×4计算出最外层四周点数即可．
【解答】解：2×（3﹣1）＝4（盆）
10+4＝14（盆）
（14﹣3）×3×4＝132（盆）
答：一共要用132盆花．
【点评】此题考查了方阵问题中：方阵总点数＝（每边点数﹣层数）×层数×4的灵活应用．
43．艺术节上，同学们用64盆花排出一个两层空心方阵，后来又决定在外面增加一层成为三层方阵，至少需要多少盆花？
【分析】由于方阵相邻两层每边相差2盆，共相差8盆，所以用（64+8）÷2可求得两层空心方阵的最外层有多少盆，再加上8盆就是在外面增加一层需要的盆数．
【解答】解：（64+8）÷2+8
＝72÷2+8
＝36+8
＝44（盆）
答：至少需要44盆花．
【点评】方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数．
44．小明用围棋子摆成一个三层空心方阵，如果最外层每边有15个围棋子，小明摆出的这个方阵最里层一周有多少个棋子？
【分析】先根据方阵最外层四周点数＝每边点数×4﹣4计算出最外层四周棋子数，再根据相邻两层的相差8个解答即可．
【解答】解：（15﹣1）×4＝56（个）
8×2＝16（个）
56﹣16＝40（个）
答：小明摆出的这个方阵最里层一周有40个棋子．
【点评】方阵问题的数量关系：
（1）方阵每边人数与四周人数的关系：
四周人数＝（每边人数﹣1）×4
每边人数＝四周人数÷4+1
（2）方阵总人数的求法：
实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数
空心方阵：总人数＝（外边人数）2﹣（内边人数）2
内边人数＝外边人数﹣层数×2
（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：
总人数＝（每边人数﹣层数）×层数×4．
45．有若干名学生，恰好组成一个八列长方形方阵．如果在队列中再增加120人或从队列中减去120人，都能组成一个方形方阵，那么原长方形方阵中有多少名学生呢？
【分析】可设原有战士8n人，8n+120＝a2，8n﹣120＝b2，则存在a2﹣b2＝240，根据奇偶性相同，即可求得a、b的值，进一步求得n的值．
【解答】解：设原有战士8n人，8n+120＝a2，8n﹣120＝b2，
则存在a2﹣b2＝240，
即（a+b）（a﹣b）＝240．但a+b与a﹣b的奇偶性相同，且a、b都为偶数，
故a+b＝120，a﹣b＝2，于是a＝61，b＝59（不合题意舍去）；
a+b＝60，a﹣b＝4，于是a＝32，b＝28，则8x＝904．因为904﹣120＝784，784为28的平方，即28行28列，与题意不符，即不是在原8列的方阵中减去120，而是减去120再排成队列，所以904不符条件，应舍去；
a+b＝40，a﹣b＝6，于是a＝23，b＝17（不合题意舍去）；
a+b＝30，a﹣b＝8，于是a＝19，b＝11（不合题意舍去）；
a+b＝24，a﹣b＝10，于是a＝17，b＝7（不合题意舍去）；
a+b＝20，a﹣b＝12，于是a＝16，b＝4，则8x＝136；
a+b＝16，a﹣b＝15，于是a＝15.5，b＝0.5（不合题意舍去）．
故原长方形队列共有136名战士．
【点评】本题考查了完全平方数在实际生活中的应用，考查了因式分解法求值的应用，考查了奇偶性的判定．
46．一队战士排成一个三层空心方阵多出16人，如果在空心部分再增加一层又缺28人，这队战士共有多少人？
【分析】由题意可知，增加的一层需要16+28＝44人，设此层每边为A人，可得44＝（A﹣1）×4，求得A＝12，则最外层人数为12+3×2＝18人，因为空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，据此解答．
【解答】解：设此增加的层每边为A人，由题意可得：
16+28＝（A﹣1）×4
44＝4A﹣4
4A＝48
A＝12
则最外层每边人数为12+3×2＝18人，
总人数：（18﹣3）×3×4+16
＝15×12+16
＝180+16
＝196（人）
答：这队战士共有196人．
【点评】本题关键是求出现在每边的人数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数．
47．如图：40个点组成一个两层的中空方阵，请去掉两个点，并用直线将其余的点连成两个大小相同的正方形．
【分析】可以去掉最外层相对的两个角上的点，然后用直线将其余的点连成两个大小相同的正方形；据此解答即可．
【解答】解：
【点评】解答本题关键结合图形的特征，确定在什么地方去掉两个点．
48．在一次团体操表演中，有一个中空方阵最外层有64人，最内层有32人，参加团体操表演的共有多少人？
【分析】因为每相邻的两层相差8人，据此可以求出这个方阵的层数是（64﹣32）÷8+1＝5层，又因为最外层每边人数＝最外层人数÷4+1，据此再利用空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，即可求出总人数．
【解答】解：这个方阵的层数是（64﹣32）÷8+1＝5（层），
最外层每边人数是：64÷4+1＝17（人），
总人数是：（17﹣5）×5×4，
＝12×20，
＝240（人），
答：参加体操表演的一共有240人．
【点评】此题考查了方阵问题中的数量关系：空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4．
49．奥斑马用240个棋子摆了一个6层的空心方阵，问最外一层每边有多少个棋子？
【分析】逆用空心方阵的总点数＝（每边点数﹣层数）×层数×4解答即可．
【解答】解：240÷4÷6+6＝16（个）
答：最外一层每边有16个棋子．
【点评】本题考查了空心方阵的总点数＝（每边点数﹣层数）×层数×4的灵活应用．
50．学校举行儿童节文艺演出，某班学生集体表演一个节目，站成了一个实心的方阵，最外层共有20人，那么这个班一共有多少人？
【分析】先根据方阵最外层四周人数＝每边人数×4﹣4，求出这个方阵的每边人数，再利用方阵总人数＝每边人数×每边人数计算出这个班一共的人数即可．
【解答】解：（20+4）÷4＝6（人）
6×6＝36（人）
答：这个班一共有36人．
【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用．
51．在一个正方形的池塘四边上种树，每边种10棵（四个角上都种一棵），四边一共种了多少棵？
【分析】四周植树时，如果每个角处都植树，那么正好围成了一个空心方阵，此时四周点数之和＝每边点数×4﹣4，由此即可解答．
【解答】解：10×4﹣4
＝40﹣4
＝36（棵）
答：四边一共种了36棵．
【点评】此题考查空心方阵中：四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用．
52．明明用棋子摆了一个五层图形，每两层棋子的个数相差5，最内层用了18个棋子，问一共用了多少个棋子？
【分析】因为每两层棋子的个数相差5，一共是5层，所以相差的总数为：5+5×2+5×3+5×4，再求出5个18是多少，最后相加即可．
【解答】解：18×5+（5+5×2+5×3+5×4），
＝90+50，
＝140（个），
答：一共用了140个棋子．
【点评】关键是理解题意，先求出相差棋子的个数，再求出5个18是多少，进而解决问题．
53．为了迎接3.15，光明社区居委会打算从林场采购一些小树苗．居委会李大妈发现，林场的一些小树苗排成一个三层的空心方阵，最里层每条边有6棵树．李大妈将这些小树苗全部买下来，发动小区居民将这些树苗种在小区南边的一条马路上，这条马路长400米，只在马路的一侧种树，并且两头都种，每隔5米种一棵．那么，最后还剩多少棵小树苗？
【分析】由题意知，这是一个三层空心方阵，最里层每条边有6棵树，因为每相邻的两层之间每边上都是相差2棵树，所以最外层每边有6+2+2＝10棵树，根据方阵问题中：空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4即可求得树苗的总棵数；再根据两头都种的植树问题，用间隔数+1求得在马路的一侧种树需要的棵数，最后二者相减就是还剩的棵数；据此解答即可．
【解答】解：最外层每边有6+2+2＝10棵树，
树苗总数：（10﹣3）×3×4＝84（棵），
马路植树的棵数：400÷5+1＝81（棵），
还剩：84﹣81＝3（棵），
答：最后还剩3棵小树苗．
【点评】此题综合考查了方阵问题和植树问题，求得树苗总数是关键．
54．用640个棋子围成正方形（空心或实心），可以有多少种围法？最外层每边的棋子数各是多少？
【分析】因为640不是完全平方数，所以不可能围成实心方阵，只能围成空心方阵，据此列举即可．
【解答】解：当围成空心时，只有一层的话，每层最外边的棋子应该有：640÷4+1＝160+1＝161（个）；
如果有两层的话，最外层就应该有（640+8）÷2＝324（个），最外层的每边就应该是324÷4+1＝82；
其他的都是按照这个方法进行．如下表：
所以，共有6种围法．
答：可以有6种围法，最外层每边的棋子数分别是161、82、44、37、28、26个．
【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用．
55．有360个棋子，将它们围成正方形（空心或实心的），请写出四种不同的摆法，并求四种情况下最外层每边棋子各是多少？
【分析】由题意，共有360个棋子，将它们围成正方形（空心的），可围成一层、两层、三层、五层的正方形空心方阵，根据“相邻两层点数相差8个，相邻两层边点数相差2个，以及总点数÷4+1＝每边点数”解答即可．
【解答】解：第一种情况：围成一层的正方形空心方阵，最外层每边棋子是：360÷4+1＝91个；
第二种情况：围成两层的正方形空心方阵，最外层每边棋子是：（360+8）÷2÷4+1＝47个；
第三种情况：围成三层的正方形空心方阵，最外层每边棋子是：（360÷3+8）÷4+1＝33个；
第四种情况：围成五层的正方形空心方阵，最外层每边棋子是：（360÷5+16）÷4+1＝23个．
【点评】本题考查了空心方阵的有关知识，计算公式是：（总点数+4）÷4＝每边点数，或总点数÷4+1＝每边点数．
56．一正方形苗圃，栽种桃树和李树，一圈一圈地相间种植，即最外一圈种的是桃树，往内一圈是李树，然后是桃树，…，最内一圈种了4棵李树．已知树苗的行距和列距都相等，桃树比李树多40棵．问：桃树和李树一共有多少棵？
【分析】如图画出苗圃的最里面3层，可以看出，苗圃所种果树的棵数为：4+12+20+28+…，每外一圈的桃树比相邻内一圈的李树多8棵，40÷8＝5，所以共有5×2＝10圈，最外圈的桃树为4+9×8＝76棵，然后根据高斯求和公式即可求出果树的总棵数．
【解答】解：果树的棵数排列为：4+12+20+28+…，
每外一圈的桃树比相邻内一圈的李树多8棵，
所以共有40÷8×2＝10圈，
最外圈的桃树为4+9×8＝76棵，
果树总棵数为：（4+76）×10÷2＝400（棵）
答：桃树和李树一共有400棵．
【点评】本题关键是求出最外层果树的棵数，然后根据高斯求和公式解答．
57．如图，这是一个围棋盘，还有一堆围棋子，将这堆棋子往棋盘上放，当按格点摆成某个正方阵时，尚多余12枚棋子，如果要将这个正方阵改摆成每边各加一枚棋子的正方阵，则差9枚棋子才能摆满．问：这堆棋子原有多少枚？
【分析】由题意，当按格点摆成某个正方阵时，尚多余12枚棋子，如果要将这个正方阵改摆成每边各加一枚棋子的正方阵，则差9枚棋子才能摆满，即两次摆法相差12+9＝21枚棋子，用（21﹣1）÷2即可求得原来正方阵的每边的点数，再据“每边的点数×每边的点数＝中实方阵的总点数”求得原正方阵的棋子数后再加12枚即可．
【解答】解：12+9＝21（枚），
（21﹣1）÷2＝10（枚），
10×10+12＝112（枚），
答：这堆棋子原有112枚．
【点评】先求得原来正方阵的每边的棋子数是解答此题的关键．
58．一些学生，如果排成三层空心方阵，则多24人，如果在中间空心部分接一层，则少8人，共有多少学生？
【分析】由题意知，空心部分接的这一层的总人数是24+8＝32人，进而求得其每边的人数是9人；由此可推出方阵的最外层每边人数是9+2×3＝15人，之后就可根据“求多层空心方阵总人数的公式”即可得到排成四层空心方阵需要的人数176人，实际还差8人，这样就可知道实际共有的学生人数了．
【解答】解：24+8＝32（人）
32÷4+1＝9（人）
9+3×2＝15（人）
（15﹣4）×4×4＝176（人）
176﹣8＝168（人）
答：共有168人．
【点评】此题并不难，只要能灵活运用“方阵问题中的公式”即可轻松解答．
59．国庆节期间，园林工人把40盆花排成二层中空方阵，这一方阵的外层每边摆多少盆？
【分析】此题为空心方阵问题，每相邻的两层相差8人，根据和差公式可求出最外层有（40+8）÷2＝24（盆）；由此根据“每边的点数＝四周的点数÷4+1，”这一方阵的外层每边摆多少盆．
【解答】解：（40+8）÷2
＝48÷2
＝24（盆）
24÷4+1＝7（盆）
答：这一方阵的外层每边摆7盆．
【点评】本题关键是求出方阵的最外层的盆数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1．
60．四年级参加军训的学生排成一个方阵进行汇报演习，这个方阵最外层每边有15名学生．
（1）最外层一共有多少名学生？
（2）这个方阵一共有多少名学生？
【分析】（1）根据公式：最外层人数＝每边人数×4﹣4；代入数据即可解答．
（2）根据公式：实心方阵中总人数＝每边人数×每边人数；代入数据即可解答．
【解答】解：（1）15×4﹣4
＝60﹣4
＝56（名），
15×15＝225（名），
答：最外层一共有56名学生，这个方阵一共有225名学生．
【点评】此题考查了方阵问题中：最外层点数＝每边点数×4﹣4；实心方阵中总点数＝每边点数×每边点数的灵活应用．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/3/16 10:02:44；用户：宁溪小学；邮箱：nxxx@qq.cm；学号：47186301最外层每边的棋子数
161
82
44
37
28
26
层数
1
2
4
5
8
10
相关试卷
六年级数学小升初思维拓展高频考点培优卷（通用版）差倍问题（提高卷）（附参考答案）： 这是一份六年级数学小升初思维拓展高频考点培优卷（通用版）差倍问题（提高卷）（附参考答案），共17页。试卷主要包含了一个书架有上、下两层等内容，欢迎下载使用。
六年级数学小升初思维拓展高频考点培优卷（通用版）圆柱与圆锥（提高卷）（附参考答案）： 这是一份六年级数学小升初思维拓展高频考点培优卷（通用版）圆柱与圆锥（提高卷）（附参考答案），共41页。
六年级数学小升初思维拓展高频考点培优卷（通用版）和差问题（提高卷）（附参考答案）： 这是一份六年级数学小升初思维拓展高频考点培优卷（通用版）和差问题（提高卷）（附参考答案），共15页。
