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初中人教版11.2.1 三角形的内角当堂检测题
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这是一份初中人教版11.2.1 三角形的内角当堂检测题，文件包含专题12与三角形有关的角八大题型原卷版docx、专题12与三角形有关的角八大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。
【题型1 运用三角形内角和直接求角的度数】
【题型2 三角形内角和定理与角平分线、高的综合运算】
【题型3 三角形内角和定理与平分线的性质综合运用】
【题型4三角形内角和定理与折叠问题综合】
【题型5三角形内角和定理与新定义问题综合】
【题型6 运用三角形内角和定理探究角的数量关系】
【题型7 判断直角三角形】
【题型8 运用直角三角形两锐角互余的性质】
【题型1 运用三角形内角和直接求角的度数】
1．（2023•石家庄三模）根据图中的数据，可得x+y的值为（ ）
A．180B．110C．100D．70
【答案】B
【解答】解：由图可知，
x+y＝180°﹣70°＝110°．
故选：B．
2．（2023春•渝中区校级期中）△ABC中，若∠A+∠B＝4∠C，则∠C度数为（ ）
A．32°B．34°C．36°D．38°
【答案】C
【解答】解：∵△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠B＝4∠C，
∴5∠C＝180°，解得∠C＝36°．
故选：C．
3．（2023春•沈北新区期中）△ABC中，∠A＝45°，∠B＝63°，则∠C＝（ ）
A．72°B．92°C．108°D．180°
【答案】A
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，
又∵∠A＝45°，∠B＝63°，
∴45°+63°+∠C＝180°，
∴∠C＝72°，
故选：A．
4．（2023春•历下区期中）如图，在△ABC中，∠B的度数是（ ）
A．20°B．30°C．40°D．60°
【答案】C
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴3x+2x+4x＝180°，
∴x＝20°，
∴∠B＝2x＝40°．
故选：C．
【题型2 三角形内角和定理与角平分线、高的综合运算】
5．（2023•合肥模拟）如图，△ABC中，BD⊥AC，BE平分∠ABC，若∠A＝2∠C，∠DBE＝20°，则∠ABC＝（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【答案】B
【解答】解：∵△ABC中，∠A＝2∠C，
∴设∠C＝α，那么∠A＝2α，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣3α，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠ABC＝（180°﹣3α），
∵BD⊥AC，∠DBE＝20°，
∴∠ABD＝∠ABE﹣∠DBE＝（180°﹣3α）﹣20°＝70°﹣α，
∴∠A+∠ABD＝2α+70°﹣α＝90°，
∴α＝40°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣3α＝60°．
故选：B．
6．（2023春•东台市月考）如图，AD是△ABC的角平分线，且AD⊥BC，E为CA延长线上的点，过E作EG⊥BC于G，交AB于点F．
（1）试说明∠3＝∠E；
（2）若∠B＝32°，求∠E的度数．
【答案】（1）见解答过程；
（2）58°．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，EG⊥BC，
∴∠DGE＝∠CDA＝90°，
∴AD∥EG，
∴∠2＝∠E，∠1＝∠3，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠1＝∠2，
∴∠3＝∠E；
（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝32°，
∴∠1＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝58°，
∵∠1＝∠3，∠3＝∠E，
∴∠E＝58°．
7．（2023春•朝阳区校级期中）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE为角平分线，若∠BFC＝114°，求∠BCF的度数．
【答案】42°．
【解答】解：∵CD是AB边上高，∠BFC＝114°，
∴∠BDF＝90°，
∴∠ABE＝∠BFC﹣∠BDF＝114°﹣90°＝24°，
∵BE为角平分线，
∴∠CBF＝∠ABE＝24°，
∴∠BCF＝180°﹣∠BFC﹣∠CBF＝180°﹣114°﹣24°＝42°．
8．（2023春•建湖县期中）如图，AD是△ABC的高，AE平分∠BAC．
（1）若∠B＝76°，∠C＝48°，求∠DAE的度数；
（2）若∠B﹣∠C＝42°，求∠DAE的度数．
【答案】（1）14°；
（2）21°．
【解答】解：（1）∵AD是△ABC的高，∠B＝76°，∠C＝48°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣76°﹣48°＝56°，∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣76°＝14°，
∵AE平分∠BAC，
∴，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝28°﹣14°＝14°；
（2）∵∠B﹣∠C＝42°，
∴∠B＝∠C+42°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣（∠C+42°）﹣∠C＝138°﹣2∠C，
∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣（∠C+42°）＝48°﹣∠C，
∵AE平分∠BAC，
∴，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝69°﹣∠C﹣（48°﹣∠C）＝21°．
9．（2023春•济南期中）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝56°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F，求∠CDF的度数．
【答案】82°．
【解答】解：在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝56°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣40°﹣56°＝84°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE＝∠ACB＝×84°＝42°．
∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣56°＝34°，
∴∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD＝42°﹣34°＝8°．
∵DF⊥CE，
∴∠CFD＝90°，
∴∠CDF＝90°﹣∠DCF＝90°﹣8°＝82°．
【题型3 三角形内角和定理与平分线的性质综合运用】
10．（2023•蜀山区模拟）如图，一副直角三角尺如图摆放，点D在BC的延长线上．EF∥BD，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，则∠CED的度数是（ ）
A．5°B．10°C．15°D．25°
【答案】C
【解答】解：∵一副直角三角尺如图摆放，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴∠DEF＝∠F＝45°，
∵EF∥BD，
∴∠CDE＝∠DEF＝45°．
∵∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，
∴∠ACB＝60°，
∴∠ECD＝180°﹣60°＝120°，
∴∠CED＝180°﹣∠ECD﹣∠CDE＝180°﹣120°﹣45°＝15°．
故选：C．
11．（2023•陕西模拟）如图，在△ABC中，点D为AB边上一点，CE平分∠ACM，DE∥BC．若∠B＝43°，∠E＝52°，则∠A的度数为（ ）
A．51°B．61°C．65°D．75°
【答案】B
【解答】解：∵DE∥BC，∠B＝43°，
∴∠ADE＝∠B＝43°，
∵△ABC的外角∠ACM的平分线于点E．
∴∠ACM＝∠B+∠A＝43°+∠A，
∴∠ACE＝，
∵∠A+∠ADE＝∠ACE+∠E，
∵，
∴∠A＝61°．
故选：B．
12．（2023•滑县二模）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，过点C的射线CE与AD平行，若∠B＝60°，∠ACB＝30°，则∠ACE的度数为（ ）
A．40°B．45°C．55°D．60°
【答案】B
【解答】解：∵∠B＝60°，∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠DAC＝45°，
∵AD∥CE，
∴∠ACE＝∠DAC＝45°，
故选：B．
13．（2023春•泗阳县期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、BC上，且DE∥AC，∠BDE＝60°，∠C＝55°，求∠B的度数（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
【答案】B
【解答】解：∵DE∥AC，
∴∠BED＝∠C＝55°，
又∵∠B+∠BED+∠BDE＝180°，
∴∠B＝180°﹣55°﹣60°＝65°．
故选：B．
14．（2023•长沙一模）如图，过三角形ABC顶点C作EF∥AB，∠ACE＝65°，∠B＝30°，则∠ACB的度数是（ ）
A．105°B．85°C．80°D．75°
【答案】B
【解答】解：∵EF∥AB，∠ACE＝65°，
∴∠A＝∠ACE＝65°，
∵∠B＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣65°﹣30°＝85°．
故选：B．
15．（2023•定远县二模）如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝58°，∠2＝24°，则∠B的度数为（ ）
A．56°B．34°C．36°D．24°
【答案】A
【解答】解：如图，
∵a∥b，∠1＝58°，
∴∠CDE＝∠1＝58°，
∵∠CDE＝∠2+∠A，∠2＝24°，
∴∠A＝∠CDE﹣∠2＝34°，
∵△ABC为直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣34°＝56°，
故选：A．
16．（2023春•长沙期中）如图，△ABC中，D是AC上一点，过D作DE∥BC交AB于E点，F是BC上一点，连接DF．若∠1＝∠AED．
（1）求证：DF∥AB．
（2）若∠1＝55°，DF平分∠CDE，求∠C的度数．
【答案】（1）见解答；（2）70°．
【解答】解：（1）∵DE∥BC，
∴∠B＝∠AED，
∵∠1＝∠AED，
∴∠1＝∠B，
∴DF∥AB．
（2）∵DE∥BC，
∴∠EDF＝∠1＝55°，
∵DF平分∠CDE，
∴∠EDC＝2∠EDF＝110°，
∴∠A＝∠EDC﹣∠AED＝∠EDC﹣∠1＝110°﹣55°＝55°，
∵DE∥BC，
∴∠A＝∠CDF＝55°，
∴∠C＝180°﹣∠1﹣∠CDF＝70°．
17．（2023春•锡山区校级期中）如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在 AB，BC 上，且 DE∥AC，∠1＝∠2．
（1）求证：AF∥BC；
（2）若 AC 平分∠BAF，∠B＝36°，求∠1 的度数．
【答案】（1）见解析；
（2）72°．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠1＝∠C，
∵∠1＝∠2，
∴∠C＝∠2，
∴AF∥BC；
（2）解：∵AF∥BC，
∴∠B+∠BAF＝180°，
∵∠B＝36°，
∴∠BAF＝144°，
∵AC平分∠BAF，
∴∠2＝∠BAF＝72°，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝72°．
18．（2023春•南康区期中）已知△ABC中，CD平分∠ACB，∠2＝∠3，∠B＝70°，求∠1的度数．
【答案】70°．
【解答】解：∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠3，
∵∠2＝∠3，
∴∠BCD＝∠2，
∴DE∥BC，
∴∠1＝∠B，
∵∠B＝70°，
∴∠1＝70°．
19．（2023春•盐城月考）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，ED∥CF，∠1＝∠2．
（1）问：FG∥BC吗？为什么？
（2）若∠A＝60°，∠AGF＝70°，求∠B的度数．
【答案】（1）见解答；（2）50°．
【解答】（1）证明：∵DE∥FC，
∴∠1＝∠BCF．
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠BCF，
∴FG∥BC；
（2）解：∵在△AFG中，∠A＝60°，∠AGF＝70°，
∴∠AFG＝180°﹣∠A﹣∠AGF＝50°．
又由（1）知，FG∥BC，
∴∠B＝∠AFG＝50°．
20．（2023春•夏邑县月考）如图，点D，E分别在三角形ABC的边AB，AC上，点F在线段CD上，且∠3＝∠B，DE∥BC．
（1）求证：∠1+∠2＝180°；
（2）若DE平分∠ADC，∠2＝2∠B，求∠1的度数．
【答案】（1）见解答过程；
（2）90°．
【解答】（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
∵∠3＝∠B，
∴∠3＝∠ADE，
∴EF∥AB，
∴∠2＝∠DFE，
∵∠1+∠DFE＝180°，
∴∠1+∠2＝180°；
（2）解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADC＝2∠ADE，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
∴∠ADC＝2∠B，
∵∠2＝2∠B，∠2+∠ADC＝180°，
∴2∠B+2∠B＝180°，
解得：∠B＝45°，
由（1）得AB∥EF，
∴∠1＝∠ADC＝2∠B＝90°．
21．（2023春•开福区校级月考）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC交BC于点F，点D、E分别在CA，BA的延长线上，AF∥CE，∠D＝∠E．
（1）求证：BD∥AF；
（2）若∠BAD＝80°，∠ABD＝2∠ABC，求∠ACF的度数．
【答案】（1）见解析；
（2）55°．
【解答】（1）证明：∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAF，
∵AF∥CE，
∴∠E＝∠BAF，
∴∠E＝∠CAF，
又∵∠D＝∠E，
∴∠D＝∠CAF，
∴BD∥AF；
（2）解：由（1）知BD∥AF，
∴∠ABD＝∠BAF，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAF＝2∠ABD，
∵∠ABD＝2∠ABC，
∴∠BAC＝4∠ABC，
∵∠BAD＝80°，
∴∠BAC＝180°﹣∠BAD＝100°，
∴，
∴∠ACF＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝55°．
【题型4三角形内角和定理与折叠问题综合】
22．（2022秋•邯山区校级期末）如图，将△ABC一角折叠，若∠1+∠2＝80°，则∠B+∠C＝（ ）
A．40°B．100°C．140°D．160°
【答案】C
【解答】解：连接AA′．
∵∠1＝∠3+∠4，∠2＝∠5+∠6，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4+∠5+∠6＝∠EAD+∠EA′D，
∵∠EAD＝∠EA′D，
∴∠1+∠2＝2∠EAD＝160°，
∴∠EAD＝40°，
∴∠B+∠C＝180°﹣40°＝140°，
故选：C．
23．（2022秋•靖西市期末）如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC的平分线AE交BC于点E，将△CED沿DE折叠，使点C落在点A处．
（1）求证：∠BAE＝∠C．
（2）若∠BAE＝32°，求∠B的度数．
【答案】（1）详见解答；
（2）84°．
【解答】（1）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠EAD．
∵将△CDE沿DE对折后，点C落在点A处，
∴DE垂直平分AC．
∴EA＝EC．
∴∠EAD＝∠C．
∴∠BAE＝∠C．
（2）解：由（1）可得，∠EAD＝∠BAE＝∠C，
∴∠EAD＝∠BAE＝∠C＝32°．
∵∠BAC+∠C+∠B＝180°．
∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）
＝180°﹣（∠EAD+∠BAE+∠C）
＝180°﹣3×32°
＝84°．
24．（2022春•交城县校级期末）如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，∠B＝50°，∠BAD＝30°，将△ABD沿AD折叠得到△AED，AE与BC交于点F．
（1）求∠AFC的度数；
（2）求∠EDF的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵△ABD沿AD折叠得到△AED，
∴∠BAD＝∠DAF，
∵∠B＝50°，∠BAD＝30°，
∴∠AFC＝∠B+∠BAD+∠DAF＝110°；
（2）∵∠B＝50°，∠BAD＝30°，
∴∠ADB＝180°﹣50°﹣30°＝100°，
∠ADC＝50°+30°＝80°，
∵△ABD沿AD折叠得到△AED，
∴∠ADE＝∠ADB＝100°，
∴∠EDF＝∠ADE﹣∠ADC
＝100°﹣80°＝20°．
25．（2022秋•沂水县期末）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度数．
【答案】28°．
【解答】解：如图所示：
∵∠1是△ADF的外角，
∴∠A+∠AFD＝∠1；
又∵∠AFD是△EFA'的外角，
∴∠2+∠A'＝∠AFD，
∴∠A+∠2+∠A'＝∠1，
由折叠可知∠A＝∠A'，且∠1＝80°，∠2＝24°，
∴∠A+24°+∠A＝80°，
即：2∠A＝56°，
解得：∠A＝28°．
26．（2023春•镇江期中）已知△ABC，∠ABC＝80°，点E在BC边上，点D是射线AB上的一个动点，将△BDE沿DE折叠，使点B落在点B'处．
（1）如图1，若∠ADB'＝110°，则∠CEB'的度数是 50 ；
（2）利用备用图画图并探究当CB'∥AB时，∠CB'E与∠ADB'满足的数量关系，并说明理由；
【答案】（1）50°；
（2）∠CB'E+80°＝∠ADB'或∠CB'E+∠ADB'＝80°．
【解答】解：（1）如图，连接BB'，
由翻折的性质可知，∠DBE＝∠DB'E＝80°，
∴∠ADB'＝∠DBB'+∠DB'B＝110°，
∴∠EBB'+∠EB'B＝160°﹣110°＝50°，
∴∠CEB'＝∠EBB'+∠EB'B＝50°，
故答案为：50；
（2）①如图，当点D线段AB上时，结论：∠CB'E+80°＝∠ADB'，
理由：连接CB'，
∵CB'∥AB，∴∠ADB'＝∠CB'D，
由翻折可知，∠B＝∠DB'E＝80°，
∴∠CB'E+80°＝∠CB'D＝∠ADB'；
②如图，当点D在AB的延长线上时，结论：∠CB'E+∠ADB'＝80°，
理由：连接CB'，
∵CB'∥AD，
∴∠ADB'+∠DB'C＝180°，
∵∠ABC＝80°，
∴∠DBE＝∠DB'E＝100°，
∴∠CB'E+100°+∠ADB'＝180°，
∴∠CB'E+∠ADB'＝80°；
综上所述，∠CB'E与∠ADB'的数量关系为∠CB'E+80°＝∠ADB'或∠CB'E+∠ADB'＝80°．
27．（2022秋•城关区校级期末）如图1，一张三角形ABC纸片，点D，E分别是△ABC边上两点．
研究（1）：如果沿直线DE折叠，使点A落在CE上的点A'处，则∠BDA'与∠A的数量关系是 ∠BDA′＝2∠A ；
研究（1）：如果折成图2的形状，猜想∠BDA'，∠CEA'和∠A的数量关系是 ∠BDA′+∠CEA′＝2∠A ；
研究（3）：如果折成图3的形状，猜想∠BDA'，∠CEA'和∠A的数量关系是什么，并说明理由．
【答案】（1）∠BDA′＝2∠A；
（2）∠BDA′+∠CEA′＝2∠A；
（3）∠BDA′﹣∠CEA′＝2∠A．
【解答】解：（1）∠BDA′与∠A的数量关系是∠BDA′＝2∠A；
故答案为：∠BDA′＝2∠A；
（2）∠BDA′+∠CEA′＝2∠A，
理由：在四边形ADA′E中，∠A+∠DA′E+∠ADA′+∠A′EA＝360°，
∴∠A+∠DA′E＝360°﹣∠ADA′﹣∠A′EA，
∵∠BDA′+∠ADA′＝180°，∠CEA′+∠A′EA＝180°，
∴∠BDA′+∠CEA′＝360°﹣∠ADA′﹣∠A′EA，
∴∠BDA′+∠CEA′＝∠A+∠DA′E，
∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，
∴∠A＝∠DA′E，
∴∠BDA′+∠CEA′＝2∠A；
故答案为：∠BDA′+∠CEA′＝2∠A；
（3）∠BDA′﹣∠CEA′＝2∠A．
理由：DA′交AC于点F，
∵∠BDA′＝∠A+∠DFA，∠DFA＝∠A′+∠CEA′，
∴∠BDA′＝∠A+∠A′+∠CEA′，
∴∠BDA′﹣∠CEA′＝∠A+∠A′，
∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，
∴∠A＝∠DA′E，
∴∠BDA′﹣∠CEA′＝2∠A．
28．（2022春•福山区期中）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．已知在△ABC中，∠A＝80°，请根据题意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1﹣∠2）与∠A的数量关系．
（1）如图①，若沿图中虚线DE截去∠A，则∠1+∠2＝ 260° ．
（2）如图②，若沿图中虚线DE将∠A翻折，使点A落在BC上的点A′处，则∠1+∠2＝ 160° ．
（3）如图③，翻折后，点A落在点A′处，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C的度数．
（4）如图④，△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度数．
【答案】（1）260°；
（2）160°；
（3）∠B+∠C＝140°；
（4）∠A＝28°．
【解答】解：（1）∵∠A＝80°，
∴∠ADE+∠AED＝180°﹣80°＝100°，
∴∠1+∠2＝360°﹣∠ADE﹣∠AED＝260°，
故答案为：260°；
（2）∵∠A＝80°，
∴∠ADE+∠AED＝180°﹣80°＝100°，
∵翻折，
∴∠EDA’＝∠ADE，∠AED＝∠DEA’，
∴∠ADA’+∠AEA’＝2（∠ADE+∠AED）＝200°，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠ADA′+∠AEA′）＝160°，
故答案为：160°；
（3）连接AA'．如图所示：
∵∠1＝∠DAA′+∠DA′A，∠2＝∠EAA′+∠EA′A，
∴∠1+∠2＝∠DAA′+∠DA′A+∠EAA′+∠EA′A＝∠EAD+∠EA′D，
∵∠EAD＝∠EA'D，
∴∠1+∠2＝2∠EAD＝80°，
∴∠EAD＝40°，
∴∠B+∠C＝180°﹣40°＝140°．
（4）如图，设AB与DA'交于点F，
∵∠1＝∠DFA+∠A，∠DFA＝∠A'+∠2，
由折叠可得，∠A＝∠A'，
∴∠1＝∠A+∠A'+∠2＝2∠A+∠2，
又∵∠1＝80°，∠2＝24°，
∴80°＝2∠A+24°，
∴∠A＝28°．
【题型5三角形内角和定理与新定义问题综合】
29．（2023春•青羊区校级期中）我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的7倍，则这样的三角形称之为“德馨三角形”．如：三个内角分别为100°，70°，10°的三角形是“德馨三角形”．
如图，点E在△ABC的边AC上，连结BE，作∠AEB的平分线交AB于点D，在BE上取点F，使∠BFD+∠BEC＝180°，∠EDF＝∠C．若△BCE是“德馨三角形”，则∠C的度数为 20°或84°． ．
【答案】20°或84°．
【解答】解：∵∠BFD+∠BEC＝180°，∠BEC+∠AEB＝180°，
∴∠BFD＝∠AEB，
∴AC∥DF，
∴∠AED＝∠EDF，
∵∠EDF＝∠C，
∴∠C＝∠AED，
∴DE∥BC，
∴∠BED＝∠CBE，
∵DE平分∠AEB，
∴∠AED＝∠BED，
∴∠C＝∠CBE，
∵△BCE是“德馨三角形”，
∴当7∠C＝∠BEC时，则∠C+∠C+∠BEC＝180°，
解得：∠C＝20°；
当7∠BEC＝∠C时，∠C+∠C+∠C＝180°，
解得：∠C＝84°．
故答案为：20°或84°．
30．（2022•西城区校级开学）定义：当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，其中α称为“倍角”，如果一个“倍角三角形”的一个内角为90°，那么倍角α的度数是 90°或60° ．
【答案】90°或60°．
【解答】解：若90°的角为倍角，则倍角α＝90°，
若另外两个内角中较大角为倍角，其角度为α，则较小内角角度为，
三角形内角和180°，
∴，
解得α＝60°．
综上，倍角α的度数是90°或60°．
故答案为：90°或60°．
31．（2022春•宛城区校级月考）当三角形中的一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们定义此三角形为“特征三角形”．其中α称为“特征角”，若一个“特征三角形”恰好是直角三角形，则这个“特征三角形”的“特征角”的度数为 45°或30° ．
【答案】90°或60°．
【解答】解：①“特征角”的2倍是直角时，“特征角”＝×90°＝45°；
②“特征角”的2倍与“特征角”都不是直角时，设“特征角是x”，
由题意得，x+2x＝90°，
【题型1 运用三角形内角和直接求角的度数】
【题型2 三角形内角和定理与角平分线、高的综合运算】
【题型3 三角形内角和定理与平分线的性质综合运用】
【题型4三角形内角和定理与折叠问题综合】
【题型5三角形内角和定理与新定义问题综合】
【题型6 运用三角形内角和定理探究角的数量关系】
【题型7 判断直角三角形】
【题型8 运用直角三角形两锐角互余的性质】
【题型1 运用三角形内角和直接求角的度数】
1．（2023•石家庄三模）根据图中的数据，可得x+y的值为（ ）
A．180B．110C．100D．70
【答案】B
【解答】解：由图可知，
x+y＝180°﹣70°＝110°．
故选：B．
2．（2023春•渝中区校级期中）△ABC中，若∠A+∠B＝4∠C，则∠C度数为（ ）
A．32°B．34°C．36°D．38°
【答案】C
【解答】解：∵△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠B＝4∠C，
∴5∠C＝180°，解得∠C＝36°．
故选：C．
3．（2023春•沈北新区期中）△ABC中，∠A＝45°，∠B＝63°，则∠C＝（ ）
A．72°B．92°C．108°D．180°
【答案】A
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，
又∵∠A＝45°，∠B＝63°，
∴45°+63°+∠C＝180°，
∴∠C＝72°，
故选：A．
4．（2023春•历下区期中）如图，在△ABC中，∠B的度数是（ ）
A．20°B．30°C．40°D．60°
【答案】C
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴3x+2x+4x＝180°，
∴x＝20°，
∴∠B＝2x＝40°．
故选：C．
【题型2 三角形内角和定理与角平分线、高的综合运算】
5．（2023•合肥模拟）如图，△ABC中，BD⊥AC，BE平分∠ABC，若∠A＝2∠C，∠DBE＝20°，则∠ABC＝（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【答案】B
【解答】解：∵△ABC中，∠A＝2∠C，
∴设∠C＝α，那么∠A＝2α，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣3α，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠ABC＝（180°﹣3α），
∵BD⊥AC，∠DBE＝20°，
∴∠ABD＝∠ABE﹣∠DBE＝（180°﹣3α）﹣20°＝70°﹣α，
∴∠A+∠ABD＝2α+70°﹣α＝90°，
∴α＝40°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣3α＝60°．
故选：B．
6．（2023春•东台市月考）如图，AD是△ABC的角平分线，且AD⊥BC，E为CA延长线上的点，过E作EG⊥BC于G，交AB于点F．
（1）试说明∠3＝∠E；
（2）若∠B＝32°，求∠E的度数．
【答案】（1）见解答过程；
（2）58°．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，EG⊥BC，
∴∠DGE＝∠CDA＝90°，
∴AD∥EG，
∴∠2＝∠E，∠1＝∠3，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠1＝∠2，
∴∠3＝∠E；
（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝32°，
∴∠1＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝58°，
∵∠1＝∠3，∠3＝∠E，
∴∠E＝58°．
7．（2023春•朝阳区校级期中）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE为角平分线，若∠BFC＝114°，求∠BCF的度数．
【答案】42°．
【解答】解：∵CD是AB边上高，∠BFC＝114°，
∴∠BDF＝90°，
∴∠ABE＝∠BFC﹣∠BDF＝114°﹣90°＝24°，
∵BE为角平分线，
∴∠CBF＝∠ABE＝24°，
∴∠BCF＝180°﹣∠BFC﹣∠CBF＝180°﹣114°﹣24°＝42°．
8．（2023春•建湖县期中）如图，AD是△ABC的高，AE平分∠BAC．
（1）若∠B＝76°，∠C＝48°，求∠DAE的度数；
（2）若∠B﹣∠C＝42°，求∠DAE的度数．
【答案】（1）14°；
（2）21°．
【解答】解：（1）∵AD是△ABC的高，∠B＝76°，∠C＝48°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣76°﹣48°＝56°，∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣76°＝14°，
∵AE平分∠BAC，
∴，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝28°﹣14°＝14°；
（2）∵∠B﹣∠C＝42°，
∴∠B＝∠C+42°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣（∠C+42°）﹣∠C＝138°﹣2∠C，
∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣（∠C+42°）＝48°﹣∠C，
∵AE平分∠BAC，
∴，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝69°﹣∠C﹣（48°﹣∠C）＝21°．
9．（2023春•济南期中）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝56°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F，求∠CDF的度数．
【答案】82°．
【解答】解：在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝56°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣40°﹣56°＝84°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE＝∠ACB＝×84°＝42°．
∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣56°＝34°，
∴∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD＝42°﹣34°＝8°．
∵DF⊥CE，
∴∠CFD＝90°，
∴∠CDF＝90°﹣∠DCF＝90°﹣8°＝82°．
【题型3 三角形内角和定理与平分线的性质综合运用】
10．（2023•蜀山区模拟）如图，一副直角三角尺如图摆放，点D在BC的延长线上．EF∥BD，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，则∠CED的度数是（ ）
A．5°B．10°C．15°D．25°
【答案】C
【解答】解：∵一副直角三角尺如图摆放，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴∠DEF＝∠F＝45°，
∵EF∥BD，
∴∠CDE＝∠DEF＝45°．
∵∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，
∴∠ACB＝60°，
∴∠ECD＝180°﹣60°＝120°，
∴∠CED＝180°﹣∠ECD﹣∠CDE＝180°﹣120°﹣45°＝15°．
故选：C．
11．（2023•陕西模拟）如图，在△ABC中，点D为AB边上一点，CE平分∠ACM，DE∥BC．若∠B＝43°，∠E＝52°，则∠A的度数为（ ）
A．51°B．61°C．65°D．75°
【答案】B
【解答】解：∵DE∥BC，∠B＝43°，
∴∠ADE＝∠B＝43°，
∵△ABC的外角∠ACM的平分线于点E．
∴∠ACM＝∠B+∠A＝43°+∠A，
∴∠ACE＝，
∵∠A+∠ADE＝∠ACE+∠E，
∵，
∴∠A＝61°．
故选：B．
12．（2023•滑县二模）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，过点C的射线CE与AD平行，若∠B＝60°，∠ACB＝30°，则∠ACE的度数为（ ）
A．40°B．45°C．55°D．60°
【答案】B
【解答】解：∵∠B＝60°，∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠DAC＝45°，
∵AD∥CE，
∴∠ACE＝∠DAC＝45°，
故选：B．
13．（2023春•泗阳县期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、BC上，且DE∥AC，∠BDE＝60°，∠C＝55°，求∠B的度数（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
【答案】B
【解答】解：∵DE∥AC，
∴∠BED＝∠C＝55°，
又∵∠B+∠BED+∠BDE＝180°，
∴∠B＝180°﹣55°﹣60°＝65°．
故选：B．
14．（2023•长沙一模）如图，过三角形ABC顶点C作EF∥AB，∠ACE＝65°，∠B＝30°，则∠ACB的度数是（ ）
A．105°B．85°C．80°D．75°
【答案】B
【解答】解：∵EF∥AB，∠ACE＝65°，
∴∠A＝∠ACE＝65°，
∵∠B＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣65°﹣30°＝85°．
故选：B．
15．（2023•定远县二模）如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝58°，∠2＝24°，则∠B的度数为（ ）
A．56°B．34°C．36°D．24°
【答案】A
【解答】解：如图，
∵a∥b，∠1＝58°，
∴∠CDE＝∠1＝58°，
∵∠CDE＝∠2+∠A，∠2＝24°，
∴∠A＝∠CDE﹣∠2＝34°，
∵△ABC为直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣34°＝56°，
故选：A．
16．（2023春•长沙期中）如图，△ABC中，D是AC上一点，过D作DE∥BC交AB于E点，F是BC上一点，连接DF．若∠1＝∠AED．
（1）求证：DF∥AB．
（2）若∠1＝55°，DF平分∠CDE，求∠C的度数．
【答案】（1）见解答；（2）70°．
【解答】解：（1）∵DE∥BC，
∴∠B＝∠AED，
∵∠1＝∠AED，
∴∠1＝∠B，
∴DF∥AB．
（2）∵DE∥BC，
∴∠EDF＝∠1＝55°，
∵DF平分∠CDE，
∴∠EDC＝2∠EDF＝110°，
∴∠A＝∠EDC﹣∠AED＝∠EDC﹣∠1＝110°﹣55°＝55°，
∵DE∥BC，
∴∠A＝∠CDF＝55°，
∴∠C＝180°﹣∠1﹣∠CDF＝70°．
17．（2023春•锡山区校级期中）如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在 AB，BC 上，且 DE∥AC，∠1＝∠2．
（1）求证：AF∥BC；
（2）若 AC 平分∠BAF，∠B＝36°，求∠1 的度数．
【答案】（1）见解析；
（2）72°．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠1＝∠C，
∵∠1＝∠2，
∴∠C＝∠2，
∴AF∥BC；
（2）解：∵AF∥BC，
∴∠B+∠BAF＝180°，
∵∠B＝36°，
∴∠BAF＝144°，
∵AC平分∠BAF，
∴∠2＝∠BAF＝72°，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝72°．
18．（2023春•南康区期中）已知△ABC中，CD平分∠ACB，∠2＝∠3，∠B＝70°，求∠1的度数．
【答案】70°．
【解答】解：∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠3，
∵∠2＝∠3，
∴∠BCD＝∠2，
∴DE∥BC，
∴∠1＝∠B，
∵∠B＝70°，
∴∠1＝70°．
19．（2023春•盐城月考）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，ED∥CF，∠1＝∠2．
（1）问：FG∥BC吗？为什么？
（2）若∠A＝60°，∠AGF＝70°，求∠B的度数．
【答案】（1）见解答；（2）50°．
【解答】（1）证明：∵DE∥FC，
∴∠1＝∠BCF．
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠BCF，
∴FG∥BC；
（2）解：∵在△AFG中，∠A＝60°，∠AGF＝70°，
∴∠AFG＝180°﹣∠A﹣∠AGF＝50°．
又由（1）知，FG∥BC，
∴∠B＝∠AFG＝50°．
20．（2023春•夏邑县月考）如图，点D，E分别在三角形ABC的边AB，AC上，点F在线段CD上，且∠3＝∠B，DE∥BC．
（1）求证：∠1+∠2＝180°；
（2）若DE平分∠ADC，∠2＝2∠B，求∠1的度数．
【答案】（1）见解答过程；
（2）90°．
【解答】（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
∵∠3＝∠B，
∴∠3＝∠ADE，
∴EF∥AB，
∴∠2＝∠DFE，
∵∠1+∠DFE＝180°，
∴∠1+∠2＝180°；
（2）解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADC＝2∠ADE，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
∴∠ADC＝2∠B，
∵∠2＝2∠B，∠2+∠ADC＝180°，
∴2∠B+2∠B＝180°，
解得：∠B＝45°，
由（1）得AB∥EF，
∴∠1＝∠ADC＝2∠B＝90°．
21．（2023春•开福区校级月考）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC交BC于点F，点D、E分别在CA，BA的延长线上，AF∥CE，∠D＝∠E．
（1）求证：BD∥AF；
（2）若∠BAD＝80°，∠ABD＝2∠ABC，求∠ACF的度数．
【答案】（1）见解析；
（2）55°．
【解答】（1）证明：∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAF，
∵AF∥CE，
∴∠E＝∠BAF，
∴∠E＝∠CAF，
又∵∠D＝∠E，
∴∠D＝∠CAF，
∴BD∥AF；
（2）解：由（1）知BD∥AF，
∴∠ABD＝∠BAF，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAF＝2∠ABD，
∵∠ABD＝2∠ABC，
∴∠BAC＝4∠ABC，
∵∠BAD＝80°，
∴∠BAC＝180°﹣∠BAD＝100°，
∴，
∴∠ACF＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝55°．
【题型4三角形内角和定理与折叠问题综合】
22．（2022秋•邯山区校级期末）如图，将△ABC一角折叠，若∠1+∠2＝80°，则∠B+∠C＝（ ）
A．40°B．100°C．140°D．160°
【答案】C
【解答】解：连接AA′．
∵∠1＝∠3+∠4，∠2＝∠5+∠6，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4+∠5+∠6＝∠EAD+∠EA′D，
∵∠EAD＝∠EA′D，
∴∠1+∠2＝2∠EAD＝160°，
∴∠EAD＝40°，
∴∠B+∠C＝180°﹣40°＝140°，
故选：C．
23．（2022秋•靖西市期末）如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC的平分线AE交BC于点E，将△CED沿DE折叠，使点C落在点A处．
（1）求证：∠BAE＝∠C．
（2）若∠BAE＝32°，求∠B的度数．
【答案】（1）详见解答；
（2）84°．
【解答】（1）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠EAD．
∵将△CDE沿DE对折后，点C落在点A处，
∴DE垂直平分AC．
∴EA＝EC．
∴∠EAD＝∠C．
∴∠BAE＝∠C．
（2）解：由（1）可得，∠EAD＝∠BAE＝∠C，
∴∠EAD＝∠BAE＝∠C＝32°．
∵∠BAC+∠C+∠B＝180°．
∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）
＝180°﹣（∠EAD+∠BAE+∠C）
＝180°﹣3×32°
＝84°．
24．（2022春•交城县校级期末）如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，∠B＝50°，∠BAD＝30°，将△ABD沿AD折叠得到△AED，AE与BC交于点F．
（1）求∠AFC的度数；
（2）求∠EDF的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵△ABD沿AD折叠得到△AED，
∴∠BAD＝∠DAF，
∵∠B＝50°，∠BAD＝30°，
∴∠AFC＝∠B+∠BAD+∠DAF＝110°；
（2）∵∠B＝50°，∠BAD＝30°，
∴∠ADB＝180°﹣50°﹣30°＝100°，
∠ADC＝50°+30°＝80°，
∵△ABD沿AD折叠得到△AED，
∴∠ADE＝∠ADB＝100°，
∴∠EDF＝∠ADE﹣∠ADC
＝100°﹣80°＝20°．
25．（2022秋•沂水县期末）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度数．
【答案】28°．
【解答】解：如图所示：
∵∠1是△ADF的外角，
∴∠A+∠AFD＝∠1；
又∵∠AFD是△EFA'的外角，
∴∠2+∠A'＝∠AFD，
∴∠A+∠2+∠A'＝∠1，
由折叠可知∠A＝∠A'，且∠1＝80°，∠2＝24°，
∴∠A+24°+∠A＝80°，
即：2∠A＝56°，
解得：∠A＝28°．
26．（2023春•镇江期中）已知△ABC，∠ABC＝80°，点E在BC边上，点D是射线AB上的一个动点，将△BDE沿DE折叠，使点B落在点B'处．
（1）如图1，若∠ADB'＝110°，则∠CEB'的度数是 50 ；
（2）利用备用图画图并探究当CB'∥AB时，∠CB'E与∠ADB'满足的数量关系，并说明理由；
【答案】（1）50°；
（2）∠CB'E+80°＝∠ADB'或∠CB'E+∠ADB'＝80°．
【解答】解：（1）如图，连接BB'，
由翻折的性质可知，∠DBE＝∠DB'E＝80°，
∴∠ADB'＝∠DBB'+∠DB'B＝110°，
∴∠EBB'+∠EB'B＝160°﹣110°＝50°，
∴∠CEB'＝∠EBB'+∠EB'B＝50°，
故答案为：50；
（2）①如图，当点D线段AB上时，结论：∠CB'E+80°＝∠ADB'，
理由：连接CB'，
∵CB'∥AB，∴∠ADB'＝∠CB'D，
由翻折可知，∠B＝∠DB'E＝80°，
∴∠CB'E+80°＝∠CB'D＝∠ADB'；
②如图，当点D在AB的延长线上时，结论：∠CB'E+∠ADB'＝80°，
理由：连接CB'，
∵CB'∥AD，
∴∠ADB'+∠DB'C＝180°，
∵∠ABC＝80°，
∴∠DBE＝∠DB'E＝100°，
∴∠CB'E+100°+∠ADB'＝180°，
∴∠CB'E+∠ADB'＝80°；
综上所述，∠CB'E与∠ADB'的数量关系为∠CB'E+80°＝∠ADB'或∠CB'E+∠ADB'＝80°．
27．（2022秋•城关区校级期末）如图1，一张三角形ABC纸片，点D，E分别是△ABC边上两点．
研究（1）：如果沿直线DE折叠，使点A落在CE上的点A'处，则∠BDA'与∠A的数量关系是 ∠BDA′＝2∠A ；
研究（1）：如果折成图2的形状，猜想∠BDA'，∠CEA'和∠A的数量关系是 ∠BDA′+∠CEA′＝2∠A ；
研究（3）：如果折成图3的形状，猜想∠BDA'，∠CEA'和∠A的数量关系是什么，并说明理由．
【答案】（1）∠BDA′＝2∠A；
（2）∠BDA′+∠CEA′＝2∠A；
（3）∠BDA′﹣∠CEA′＝2∠A．
【解答】解：（1）∠BDA′与∠A的数量关系是∠BDA′＝2∠A；
故答案为：∠BDA′＝2∠A；
（2）∠BDA′+∠CEA′＝2∠A，
理由：在四边形ADA′E中，∠A+∠DA′E+∠ADA′+∠A′EA＝360°，
∴∠A+∠DA′E＝360°﹣∠ADA′﹣∠A′EA，
∵∠BDA′+∠ADA′＝180°，∠CEA′+∠A′EA＝180°，
∴∠BDA′+∠CEA′＝360°﹣∠ADA′﹣∠A′EA，
∴∠BDA′+∠CEA′＝∠A+∠DA′E，
∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，
∴∠A＝∠DA′E，
∴∠BDA′+∠CEA′＝2∠A；
故答案为：∠BDA′+∠CEA′＝2∠A；
（3）∠BDA′﹣∠CEA′＝2∠A．
理由：DA′交AC于点F，
∵∠BDA′＝∠A+∠DFA，∠DFA＝∠A′+∠CEA′，
∴∠BDA′＝∠A+∠A′+∠CEA′，
∴∠BDA′﹣∠CEA′＝∠A+∠A′，
∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，
∴∠A＝∠DA′E，
∴∠BDA′﹣∠CEA′＝2∠A．
28．（2022春•福山区期中）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．已知在△ABC中，∠A＝80°，请根据题意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1﹣∠2）与∠A的数量关系．
（1）如图①，若沿图中虚线DE截去∠A，则∠1+∠2＝ 260° ．
（2）如图②，若沿图中虚线DE将∠A翻折，使点A落在BC上的点A′处，则∠1+∠2＝ 160° ．
（3）如图③，翻折后，点A落在点A′处，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C的度数．
（4）如图④，△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度数．
【答案】（1）260°；
（2）160°；
（3）∠B+∠C＝140°；
（4）∠A＝28°．
【解答】解：（1）∵∠A＝80°，
∴∠ADE+∠AED＝180°﹣80°＝100°，
∴∠1+∠2＝360°﹣∠ADE﹣∠AED＝260°，
故答案为：260°；
（2）∵∠A＝80°，
∴∠ADE+∠AED＝180°﹣80°＝100°，
∵翻折，
∴∠EDA’＝∠ADE，∠AED＝∠DEA’，
∴∠ADA’+∠AEA’＝2（∠ADE+∠AED）＝200°，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠ADA′+∠AEA′）＝160°，
故答案为：160°；
（3）连接AA'．如图所示：
∵∠1＝∠DAA′+∠DA′A，∠2＝∠EAA′+∠EA′A，
∴∠1+∠2＝∠DAA′+∠DA′A+∠EAA′+∠EA′A＝∠EAD+∠EA′D，
∵∠EAD＝∠EA'D，
∴∠1+∠2＝2∠EAD＝80°，
∴∠EAD＝40°，
∴∠B+∠C＝180°﹣40°＝140°．
（4）如图，设AB与DA'交于点F，
∵∠1＝∠DFA+∠A，∠DFA＝∠A'+∠2，
由折叠可得，∠A＝∠A'，
∴∠1＝∠A+∠A'+∠2＝2∠A+∠2，
又∵∠1＝80°，∠2＝24°，
∴80°＝2∠A+24°，
∴∠A＝28°．
【题型5三角形内角和定理与新定义问题综合】
29．（2023春•青羊区校级期中）我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的7倍，则这样的三角形称之为“德馨三角形”．如：三个内角分别为100°，70°，10°的三角形是“德馨三角形”．
如图，点E在△ABC的边AC上，连结BE，作∠AEB的平分线交AB于点D，在BE上取点F，使∠BFD+∠BEC＝180°，∠EDF＝∠C．若△BCE是“德馨三角形”，则∠C的度数为 20°或84°． ．
【答案】20°或84°．
【解答】解：∵∠BFD+∠BEC＝180°，∠BEC+∠AEB＝180°，
∴∠BFD＝∠AEB，
∴AC∥DF，
∴∠AED＝∠EDF，
∵∠EDF＝∠C，
∴∠C＝∠AED，
∴DE∥BC，
∴∠BED＝∠CBE，
∵DE平分∠AEB，
∴∠AED＝∠BED，
∴∠C＝∠CBE，
∵△BCE是“德馨三角形”，
∴当7∠C＝∠BEC时，则∠C+∠C+∠BEC＝180°，
解得：∠C＝20°；
当7∠BEC＝∠C时，∠C+∠C+∠C＝180°，
解得：∠C＝84°．
故答案为：20°或84°．
30．（2022•西城区校级开学）定义：当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，其中α称为“倍角”，如果一个“倍角三角形”的一个内角为90°，那么倍角α的度数是 90°或60° ．
【答案】90°或60°．
【解答】解：若90°的角为倍角，则倍角α＝90°，
若另外两个内角中较大角为倍角，其角度为α，则较小内角角度为，
三角形内角和180°，
∴，
解得α＝60°．
综上，倍角α的度数是90°或60°．
故答案为：90°或60°．
31．（2022春•宛城区校级月考）当三角形中的一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们定义此三角形为“特征三角形”．其中α称为“特征角”，若一个“特征三角形”恰好是直角三角形，则这个“特征三角形”的“特征角”的度数为 45°或30° ．
【答案】90°或60°．
【解答】解：①“特征角”的2倍是直角时，“特征角”＝×90°＝45°；
②“特征角”的2倍与“特征角”都不是直角时，设“特征角是x”，
由题意得，x+2x＝90°，
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