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初中数学人教版八年级上册11.2.1 三角形的内角课堂检测
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这是一份初中数学人教版八年级上册11.2.1 三角形的内角课堂检测，共11页。试卷主要包含了三角形内角和定理的证明思路等内容，欢迎下载使用。
第1课时 三角形的内角和
【知识重点】
1.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° .
几何语言：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180° .
解读：
（1）三角形内角和定理揭示了三角形三个内角之间的数量关系.
（2）三角形的三个内角中最多只有一个钝角或直角，或者说至少有两个锐角.
2.三角形内角和定理的证明思路
思路一：利用“两直线平行，内错角或同位角相等”将三角形的三个内角转化为一个平角，如下图①②所示.
思路二：利用“两直线平行，内错角相等”将三角形的三个内角转化为两平行线间的一组同旁内角，如下图①②所示.
【经典例题】
【例1】∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角.
(1)已知∠A＝40°，∠B＝∠C，求∠B，∠C的度数；
(2)已知∠A－∠B＝16°，∠C＝54°，求∠A，∠B 的度数；
(3)已知∠A＝12∠B＝13∠C，求∠A，∠B，∠C的度数.
解题秘方：紧扣三角形内角和定理建立方程(组)求解.
提示：三角形中求角的度数问题一般用方程思想求解. 当角之间存在数量关系时，一般根据三角形内角和为180°列方程(组) 求解.
【例2】一个零件的形状如图，按规定∠A 应等于90°，∠ABD，∠ACD应分别是34°和18° . 李叔叔量得∠BDC＝146°，请你帮李叔叔判断这个零件是否合格，并说明理由.
解题秘方：建立三角形的模型利用三角形内角和定理求出角度，再用三角形内角和定理进行验证.
【同步练习】
一、选择题
1．在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，则∠A的度数为 ( )
A．30° B．40° C．50°D．60°
2．【2021·梧州】在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4∠C，则∠C等于( )
A．32° B．36° C．40° D．128°
3．一个三角形的两个内角之和小于第三个内角，那么该三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．都有可能
4．下列各组角中属于同一个三角形的内角的是 ( )
A．85°，80°，15° B．60°，70°，68°
C．37°，33°，50°D．26°，160°，140°
5．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是( )
A．85° B．80° C．75° D．70°
第5题图 第6题图 第7题图
6．如图，AB∥CD，∠DEC＝100°，∠C＝40°，则∠B的大小是 ( )
A．30° B．40° C．50°D．60°
7．如图，某同学在课桌上无意中将一块三角板叠放在直尺上，则∠1＋∠2等于 ( )
A．60° B．75° C．90°D．105°
8．如图，李明同学在东西方向的滨海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，他向东走400米至B处，测得灯塔P在北偏东30°方向上，则从灯塔P观测A，B两处的视角∠P的度数是 ( )
A．30° B．32° C．35° D．40°
第8题图 第9题图 第10题图
9．【2021·松北区期末】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠使点A落在BC边上的点A′处，折痕为CD，则∠A′DC＝( )
A．10° B．30° C．65° D．85°
10．如图，点O是△ABC内一点，∠A＝80°，∠1＝15°，∠2＝40°，则∠BOC等于 ( )
A．95° B．120° C．135° D．无法确定
11．如图，在△ABC中，BP，CP分别平分∠ABC和∠ACB，若∠BPC＝115°，则∠A的度数为( )
A.70° B．65° C．60°D．50°
第11题图 第14题图 第15题图
二、填空题
12．三角形三个内角的和等于________．一个三角形中，最多有________个直角或________个钝角．
13．已知三角形三个内角的度数之比是2∶3∶4，则这个三角形中最大角的度数是 .
14．直线l1∥l2，一块含45°角的直角三角尺如图放置，∠1＝85°，则∠2＝________．
15．【2021·常州】如图，在△ABC中，点D，E分别在BC，AC上，∠B＝40°，∠C＝60°，若DE∥AB，则∠AED＝________°.
16．如图，轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则∠A的度数为 .
三、解答题
17．在△ABC中，∠A＝∠B＋20°，∠C＝∠A＋50°，求△ABC各内角的度数.
18．【2022·贵阳十七中月考】∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，且分别满足下列条件，求未知角的度数：
(1)∠A＝80°，∠B＝∠C；
(2)∠A－∠B＝16°，∠C＝54°；
(3)∠A：∠B：∠C＝3：4：5.
19．某地有A，B，C三个村庄， 如图，B村庄在C村庄的正西方向，A村庄在B村庄的北偏东20°方向，同时A 村庄又在C村庄的北偏西45°方向， 那么， 在A村庄看B，C两个村庄的视角∠BAC为多少？
20．【2022·泉州第五中学期末】当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．
(1)已知一个“特征三角形”的“特征角”为100°，求这个“特征三角形”的最小内角的度数．
(2)是否存在“特征角”为120°的“特征三角形”？若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由．
21．如图所示，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，三角板的两条直角边XY和XZ恰好分别经过点B和点C.
(1)若∠A＝30°，则∠ABX＋∠ACX的大小是多少？
(2)若改变三角板的位置，但仍使点B，点C在三角板的边XY和边XZ上，此时∠ABX＋∠ACX的大小有变化吗？请说明你的理由．
22．如图，请猜想∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数，并说明你的理由．
参考答案
【经典例题】
【例1】∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角.
(1)已知∠A＝40°，∠B＝∠C，求∠B，∠C的度数；
(2)已知∠A－∠B＝16°，∠C＝54°，求∠A，∠B 的度数；
(3)已知∠A＝12∠B＝13∠C，求∠A，∠B，∠C的度数.
解题秘方：紧扣三角形内角和定理建立方程(组)求解.
解：(1)设∠B＝∠C＝m°.
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴ 40＋m＋m＝180，解得m＝70.
∴∠B＝∠C＝70°.
(2)设∠A＝x°，∠B＝y°.
∵∠A－∠B＝16°，∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∠C＝54°，
∴x－y＝16， x＋y＋54＝180，解得x＝71，y＝55.
∴∠A＝71°，∠B＝55°.
(3)∵∠ A＝12∠B＝13∠C，
∴∠B＝2∠A，∠C＝3∠A.
设∠A＝n°，则∠B＝2n°，∠C＝3n°.
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴ n＋2n＋3n＝180，解得n＝30.
∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°.
提示：三角形中求角的度数问题一般用方程思想求解. 当角之间存在数量关系时，一般根据三角形内角和为180°列方程(组) 求解.
【例2】一个零件的形状如图，按规定∠A 应等于90°，∠ABD，∠ACD应分别是34°和18° . 李叔叔量得∠BDC＝146°，请你帮李叔叔判断这个零件是否合格，并说明理由.
解题秘方：建立三角形的模型利用三角形内角和定理求出角度，再用三角形内角和定理进行验证.
解：这个零件不合格. 理由如下：
如图，连接BC.
在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°.
∵∠A＝90°，∠ACD＝18°，∠ABD＝34°，
∴∠DCB＋∠DBC＝38° .
在△DCB 中， ∠BDC＋∠DCB＋∠DBC＝146 °＋38 °＝184°≠ 180°，∴这个零件不合格.
【同步练习】
一、选择题
1．在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，则∠A的度数为 ( D )
A．30° B．40° C．50°D．60°
2．【2021·梧州】在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4∠C，则∠C等于( A )
A．32° B．36° C．40° D．128°
3．一个三角形的两个内角之和小于第三个内角，那么该三角形是( C )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．都有可能
4．下列各组角中属于同一个三角形的内角的是 ( A )
A．85°，80°，15° B．60°，70°，68°
C．37°，33°，50°D．26°，160°，140°
5．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是( A )
A．85° B．80° C．75° D．70°
第5题图 第6题图 第7题图
6．如图，AB∥CD，∠DEC＝100°，∠C＝40°，则∠B的大小是 ( B )
A．30° B．40° C．50°D．60°
7．如图，某同学在课桌上无意中将一块三角板叠放在直尺上，则∠1＋∠2等于 ( C )
A．60° B．75° C．90°D．105°
8．如图，李明同学在东西方向的滨海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，他向东走400米至B处，测得灯塔P在北偏东30°方向上，则从灯塔P观测A，B两处的视角∠P的度数是 ( A )
A．30° B．32° C．35° D．40°
第8题图 第9题图 第10题图
9．【2021·松北区期末】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠使点A落在BC边上的点A′处，折痕为CD，则∠A′DC＝( D )
A．10° B．30° C．65° D．85°
10．如图，点O是△ABC内一点，∠A＝80°，∠1＝15°，∠2＝40°，则∠BOC等于 ( C )
A．95° B．120° C．135° D．无法确定
11．如图，在△ABC中，BP，CP分别平分∠ABC和∠ACB，若∠BPC＝115°，则∠A的度数为( D )
A.70° B．65° C．60°D．50°
第11题图 第14题图 第15题图
二、填空题
12．三角形三个内角的和等于________．一个三角形中，最多有________个直角或________个钝角．
【答案】180° 一 一
13．已知三角形三个内角的度数之比是2∶3∶4，则这个三角形中最大角的度数是 .
【答案】80°
14．直线l1∥l2，一块含45°角的直角三角尺如图放置，∠1＝85°，则∠2＝________．
【答案】40°
15．【2021·常州】如图，在△ABC中，点D，E分别在BC，AC上，∠B＝40°，∠C＝60°，若DE∥AB，则∠AED＝________°.
【答案】100
【解析】在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.
∵∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠A＝180°－∠B－∠C＝180°－40°－60°＝80°.
∵DE∥AB，∴∠A＋∠AED＝180°.
∴∠AED＝180°－80°＝100°.
16．如图，轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则∠A的度数为 .
【答案】45°
三、解答题
17．在△ABC中，∠A＝∠B＋20°，∠C＝∠A＋50°，求△ABC各内角的度数.
解：∵∠A＝∠B＋20°，∠C＝∠A＋50°，
∴∠C＝∠B＋20°＋50°＝∠B＋70°.
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠B＋20°＋∠B＋70°＋∠B＝180°.
∴∠B＝30°.∴∠A＝50°，∠C＝100°.
18．【2022·贵阳十七中月考】∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，且分别满足下列条件，求未知角的度数：
(1)∠A＝80°，∠B＝∠C；
解：∵∠A＝80°，
∴∠B＋∠C＝180°－80°＝100°.
∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠C＝eq \f(1,2)×100°＝50°.
(2)∠A－∠B＝16°，∠C＝54°；
解：设∠A＝x，则∠B＝x－16°.
由题意得x＋x－16°＋54°＝180°，
解得x＝71°.∴∠A＝71°，∠B＝71°－16°＝55°.
(3)∠A：∠B：∠C＝3：4：5.
设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x.
由题意得3x＋4x＋5x＝180°，解得x＝15°.
∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°.
19．某地有A，B，C三个村庄， 如图，B村庄在C村庄的正西方向，A村庄在B村庄的北偏东20°方向，同时A 村庄又在C村庄的北偏西45°方向， 那么， 在A村庄看B，C两个村庄的视角∠BAC为多少？
解：由题意知∠ABC＝90°－∠PBA＝70°，
∠ACB＝90°－∠ACQ＝45°.
由三角形内角和定理得∠A＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－70°－45°＝65°，即在A村庄看B，C两个村庄的视角∠BAC为65°.
20．【2022·泉州第五中学期末】当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．
(1)已知一个“特征三角形”的“特征角”为100°，求这个“特征三角形”的最小内角的度数．
解：设三角形的三个内角分别为α，β，γ.
∵α＝2β，且α＋β＋γ＝180°，
∴当α＝100°时，β＝50°，则γ＝30°.
∴这个“特征三角形”的最小内角的度数为30°.
(2)是否存在“特征角”为120°的“特征三角形”？若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由．
解：不存在．理由如下：
∵α＝2β，且α＋β＋γ＝180°，
∴当α＝120°时，β＝60°，则γ＝0°，
此时不能构成三角形．
∴不存在“特征角”为120°的“特征三角形”．
21．如图所示，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，三角板的两条直角边XY和XZ恰好分别经过点B和点C.
(1)若∠A＝30°，则∠ABX＋∠ACX的大小是多少？
解：60°.
(2)若改变三角板的位置，但仍使点B，点C在三角板的边XY和边XZ上，此时∠ABX＋∠ACX的大小有变化吗？请说明你的理由．
解：没有变化，理由如下：
∵∠A＝30°，
∴∠ABC＋∠ACB＝
180°－30°＝150°.
∵∠BXC＝90°，
∴∠XBC＋∠XCB＝90°，
∴∠ABX＋∠ACX＝60°，
∴∠ABX＋∠ACX的大小没有变化．
22．如图，请猜想∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数，并说明你的理由．
解：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°.
理由：∵∠A＋∠B＋∠AMB＋∠C＋∠D＋∠CPD＋∠E＋∠F＋∠ENF＝180°＋180°＋180°＝540°，
∠AMB＝∠NMP，∠CPD＝∠MPN，∠ENF＝∠MNP，
∴∠AMB＋∠CPD＋∠ENF＝180°.
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝540°－180°＝360°.
第1课时 三角形的内角和
【知识重点】
1.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° .
几何语言：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180° .
解读：
（1）三角形内角和定理揭示了三角形三个内角之间的数量关系.
（2）三角形的三个内角中最多只有一个钝角或直角，或者说至少有两个锐角.
2.三角形内角和定理的证明思路
思路一：利用“两直线平行，内错角或同位角相等”将三角形的三个内角转化为一个平角，如下图①②所示.
思路二：利用“两直线平行，内错角相等”将三角形的三个内角转化为两平行线间的一组同旁内角，如下图①②所示.
【经典例题】
【例1】∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角.
(1)已知∠A＝40°，∠B＝∠C，求∠B，∠C的度数；
(2)已知∠A－∠B＝16°，∠C＝54°，求∠A，∠B 的度数；
(3)已知∠A＝12∠B＝13∠C，求∠A，∠B，∠C的度数.
解题秘方：紧扣三角形内角和定理建立方程(组)求解.
提示：三角形中求角的度数问题一般用方程思想求解. 当角之间存在数量关系时，一般根据三角形内角和为180°列方程(组) 求解.
【例2】一个零件的形状如图，按规定∠A 应等于90°，∠ABD，∠ACD应分别是34°和18° . 李叔叔量得∠BDC＝146°，请你帮李叔叔判断这个零件是否合格，并说明理由.
解题秘方：建立三角形的模型利用三角形内角和定理求出角度，再用三角形内角和定理进行验证.
【同步练习】
一、选择题
1．在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，则∠A的度数为 ( )
A．30° B．40° C．50°D．60°
2．【2021·梧州】在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4∠C，则∠C等于( )
A．32° B．36° C．40° D．128°
3．一个三角形的两个内角之和小于第三个内角，那么该三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．都有可能
4．下列各组角中属于同一个三角形的内角的是 ( )
A．85°，80°，15° B．60°，70°，68°
C．37°，33°，50°D．26°，160°，140°
5．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是( )
A．85° B．80° C．75° D．70°
第5题图 第6题图 第7题图
6．如图，AB∥CD，∠DEC＝100°，∠C＝40°，则∠B的大小是 ( )
A．30° B．40° C．50°D．60°
7．如图，某同学在课桌上无意中将一块三角板叠放在直尺上，则∠1＋∠2等于 ( )
A．60° B．75° C．90°D．105°
8．如图，李明同学在东西方向的滨海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，他向东走400米至B处，测得灯塔P在北偏东30°方向上，则从灯塔P观测A，B两处的视角∠P的度数是 ( )
A．30° B．32° C．35° D．40°
第8题图 第9题图 第10题图
9．【2021·松北区期末】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠使点A落在BC边上的点A′处，折痕为CD，则∠A′DC＝( )
A．10° B．30° C．65° D．85°
10．如图，点O是△ABC内一点，∠A＝80°，∠1＝15°，∠2＝40°，则∠BOC等于 ( )
A．95° B．120° C．135° D．无法确定
11．如图，在△ABC中，BP，CP分别平分∠ABC和∠ACB，若∠BPC＝115°，则∠A的度数为( )
A.70° B．65° C．60°D．50°
第11题图 第14题图 第15题图
二、填空题
12．三角形三个内角的和等于________．一个三角形中，最多有________个直角或________个钝角．
13．已知三角形三个内角的度数之比是2∶3∶4，则这个三角形中最大角的度数是 .
14．直线l1∥l2，一块含45°角的直角三角尺如图放置，∠1＝85°，则∠2＝________．
15．【2021·常州】如图，在△ABC中，点D，E分别在BC，AC上，∠B＝40°，∠C＝60°，若DE∥AB，则∠AED＝________°.
16．如图，轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则∠A的度数为 .
三、解答题
17．在△ABC中，∠A＝∠B＋20°，∠C＝∠A＋50°，求△ABC各内角的度数.
18．【2022·贵阳十七中月考】∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，且分别满足下列条件，求未知角的度数：
(1)∠A＝80°，∠B＝∠C；
(2)∠A－∠B＝16°，∠C＝54°；
(3)∠A：∠B：∠C＝3：4：5.
19．某地有A，B，C三个村庄， 如图，B村庄在C村庄的正西方向，A村庄在B村庄的北偏东20°方向，同时A 村庄又在C村庄的北偏西45°方向， 那么， 在A村庄看B，C两个村庄的视角∠BAC为多少？
20．【2022·泉州第五中学期末】当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．
(1)已知一个“特征三角形”的“特征角”为100°，求这个“特征三角形”的最小内角的度数．
(2)是否存在“特征角”为120°的“特征三角形”？若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由．
21．如图所示，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，三角板的两条直角边XY和XZ恰好分别经过点B和点C.
(1)若∠A＝30°，则∠ABX＋∠ACX的大小是多少？
(2)若改变三角板的位置，但仍使点B，点C在三角板的边XY和边XZ上，此时∠ABX＋∠ACX的大小有变化吗？请说明你的理由．
22．如图，请猜想∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数，并说明你的理由．
参考答案
【经典例题】
【例1】∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角.
(1)已知∠A＝40°，∠B＝∠C，求∠B，∠C的度数；
(2)已知∠A－∠B＝16°，∠C＝54°，求∠A，∠B 的度数；
(3)已知∠A＝12∠B＝13∠C，求∠A，∠B，∠C的度数.
解题秘方：紧扣三角形内角和定理建立方程(组)求解.
解：(1)设∠B＝∠C＝m°.
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴ 40＋m＋m＝180，解得m＝70.
∴∠B＝∠C＝70°.
(2)设∠A＝x°，∠B＝y°.
∵∠A－∠B＝16°，∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∠C＝54°，
∴x－y＝16， x＋y＋54＝180，解得x＝71，y＝55.
∴∠A＝71°，∠B＝55°.
(3)∵∠ A＝12∠B＝13∠C，
∴∠B＝2∠A，∠C＝3∠A.
设∠A＝n°，则∠B＝2n°，∠C＝3n°.
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴ n＋2n＋3n＝180，解得n＝30.
∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°.
提示：三角形中求角的度数问题一般用方程思想求解. 当角之间存在数量关系时，一般根据三角形内角和为180°列方程(组) 求解.
【例2】一个零件的形状如图，按规定∠A 应等于90°，∠ABD，∠ACD应分别是34°和18° . 李叔叔量得∠BDC＝146°，请你帮李叔叔判断这个零件是否合格，并说明理由.
解题秘方：建立三角形的模型利用三角形内角和定理求出角度，再用三角形内角和定理进行验证.
解：这个零件不合格. 理由如下：
如图，连接BC.
在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°.
∵∠A＝90°，∠ACD＝18°，∠ABD＝34°，
∴∠DCB＋∠DBC＝38° .
在△DCB 中， ∠BDC＋∠DCB＋∠DBC＝146 °＋38 °＝184°≠ 180°，∴这个零件不合格.
【同步练习】
一、选择题
1．在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，则∠A的度数为 ( D )
A．30° B．40° C．50°D．60°
2．【2021·梧州】在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4∠C，则∠C等于( A )
A．32° B．36° C．40° D．128°
3．一个三角形的两个内角之和小于第三个内角，那么该三角形是( C )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．都有可能
4．下列各组角中属于同一个三角形的内角的是 ( A )
A．85°，80°，15° B．60°，70°，68°
C．37°，33°，50°D．26°，160°，140°
5．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是( A )
A．85° B．80° C．75° D．70°
第5题图 第6题图 第7题图
6．如图，AB∥CD，∠DEC＝100°，∠C＝40°，则∠B的大小是 ( B )
A．30° B．40° C．50°D．60°
7．如图，某同学在课桌上无意中将一块三角板叠放在直尺上，则∠1＋∠2等于 ( C )
A．60° B．75° C．90°D．105°
8．如图，李明同学在东西方向的滨海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，他向东走400米至B处，测得灯塔P在北偏东30°方向上，则从灯塔P观测A，B两处的视角∠P的度数是 ( A )
A．30° B．32° C．35° D．40°
第8题图 第9题图 第10题图
9．【2021·松北区期末】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠使点A落在BC边上的点A′处，折痕为CD，则∠A′DC＝( D )
A．10° B．30° C．65° D．85°
10．如图，点O是△ABC内一点，∠A＝80°，∠1＝15°，∠2＝40°，则∠BOC等于 ( C )
A．95° B．120° C．135° D．无法确定
11．如图，在△ABC中，BP，CP分别平分∠ABC和∠ACB，若∠BPC＝115°，则∠A的度数为( D )
A.70° B．65° C．60°D．50°
第11题图 第14题图 第15题图
二、填空题
12．三角形三个内角的和等于________．一个三角形中，最多有________个直角或________个钝角．
【答案】180° 一 一
13．已知三角形三个内角的度数之比是2∶3∶4，则这个三角形中最大角的度数是 .
【答案】80°
14．直线l1∥l2，一块含45°角的直角三角尺如图放置，∠1＝85°，则∠2＝________．
【答案】40°
15．【2021·常州】如图，在△ABC中，点D，E分别在BC，AC上，∠B＝40°，∠C＝60°，若DE∥AB，则∠AED＝________°.
【答案】100
【解析】在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.
∵∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠A＝180°－∠B－∠C＝180°－40°－60°＝80°.
∵DE∥AB，∴∠A＋∠AED＝180°.
∴∠AED＝180°－80°＝100°.
16．如图，轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则∠A的度数为 .
【答案】45°
三、解答题
17．在△ABC中，∠A＝∠B＋20°，∠C＝∠A＋50°，求△ABC各内角的度数.
解：∵∠A＝∠B＋20°，∠C＝∠A＋50°，
∴∠C＝∠B＋20°＋50°＝∠B＋70°.
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠B＋20°＋∠B＋70°＋∠B＝180°.
∴∠B＝30°.∴∠A＝50°，∠C＝100°.
18．【2022·贵阳十七中月考】∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，且分别满足下列条件，求未知角的度数：
(1)∠A＝80°，∠B＝∠C；
解：∵∠A＝80°，
∴∠B＋∠C＝180°－80°＝100°.
∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠C＝eq \f(1,2)×100°＝50°.
(2)∠A－∠B＝16°，∠C＝54°；
解：设∠A＝x，则∠B＝x－16°.
由题意得x＋x－16°＋54°＝180°，
解得x＝71°.∴∠A＝71°，∠B＝71°－16°＝55°.
(3)∠A：∠B：∠C＝3：4：5.
设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x.
由题意得3x＋4x＋5x＝180°，解得x＝15°.
∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°.
19．某地有A，B，C三个村庄， 如图，B村庄在C村庄的正西方向，A村庄在B村庄的北偏东20°方向，同时A 村庄又在C村庄的北偏西45°方向， 那么， 在A村庄看B，C两个村庄的视角∠BAC为多少？
解：由题意知∠ABC＝90°－∠PBA＝70°，
∠ACB＝90°－∠ACQ＝45°.
由三角形内角和定理得∠A＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－70°－45°＝65°，即在A村庄看B，C两个村庄的视角∠BAC为65°.
20．【2022·泉州第五中学期末】当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．
(1)已知一个“特征三角形”的“特征角”为100°，求这个“特征三角形”的最小内角的度数．
解：设三角形的三个内角分别为α，β，γ.
∵α＝2β，且α＋β＋γ＝180°，
∴当α＝100°时，β＝50°，则γ＝30°.
∴这个“特征三角形”的最小内角的度数为30°.
(2)是否存在“特征角”为120°的“特征三角形”？若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由．
解：不存在．理由如下：
∵α＝2β，且α＋β＋γ＝180°，
∴当α＝120°时，β＝60°，则γ＝0°，
此时不能构成三角形．
∴不存在“特征角”为120°的“特征三角形”．
21．如图所示，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，三角板的两条直角边XY和XZ恰好分别经过点B和点C.
(1)若∠A＝30°，则∠ABX＋∠ACX的大小是多少？
解：60°.
(2)若改变三角板的位置，但仍使点B，点C在三角板的边XY和边XZ上，此时∠ABX＋∠ACX的大小有变化吗？请说明你的理由．
解：没有变化，理由如下：
∵∠A＝30°，
∴∠ABC＋∠ACB＝
180°－30°＝150°.
∵∠BXC＝90°，
∴∠XBC＋∠XCB＝90°，
∴∠ABX＋∠ACX＝60°，
∴∠ABX＋∠ACX的大小没有变化．
22．如图，请猜想∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数，并说明你的理由．
解：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°.
理由：∵∠A＋∠B＋∠AMB＋∠C＋∠D＋∠CPD＋∠E＋∠F＋∠ENF＝180°＋180°＋180°＝540°，
∠AMB＝∠NMP，∠CPD＝∠MPN，∠ENF＝∠MNP，
∴∠AMB＋∠CPD＋∠ENF＝180°.
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝540°－180°＝360°.
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