高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.2 椭圆的简单几何性质精品达标测试

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一、单选题
1．已知椭圆的离心率为，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【分析】根据离心率公式直接列方程求解
【详解】因为椭圆的离心率为，
所以，所以.
故选：B
2．已知椭圆经过点，且的离心率为，则的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意求出即可得解.
【详解】由题可知，，解得，
所以椭圆的方程为.
故选：A.
3．方程表示的曲线是（ ）
A．焦点为点与，离心率为的椭圆
B．焦点为点与，离心率为的椭圆
C．焦点为点与，离心率为的椭圆
D．焦点为点与，离心率为的椭圆
【答案】A
【分析】由方程判断曲线为椭圆，再确定椭圆的焦点位置，再确定长半轴和短半轴，半焦距的大小，由此可得焦点坐标，离心率，并判断结论.
【详解】方程表示的曲线为焦点在轴上，中心为原点的椭圆，
设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为，
则，所以其焦点坐标为与，离心率为
故选：A.
4．已知，分别是椭圆：的左、右焦点，是椭圆在第一象限内的一点，若，则（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【分析】由椭圆的方程可得，的值，进而求出的值，由椭圆的定义及勾股定理可得，的值，再求出的正切值．
【详解】由椭圆的方程可得，，所以，
设，则，由在第一象限可得，即，
因为，所以，
整理可得，
解得或2（舍，
即，，
所以在中，，
故选：A．

5．已知椭圆C：的右焦点为，P为椭圆的左顶点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意列式解得，进而可得.
【详解】由题意可得：，解得，
所以C的离心率为.
故选：A.
6．我们把离心率为的椭圆称为“最美椭圆”.已知椭圆C为“最美椭圆”，焦点在轴上，且以椭圆C上一点P和椭圆两焦点和为顶点的三角形的面积最大值为4，则椭圆C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先由得到与，再由的最大值得，进而求得，，故可得到椭圆C的方程.
【详解】由已知，得，故，
∵，即，
∴，得，故，
所以椭圆C的方程为.
故选：D.
二、多选题
7．已知椭圆与椭圆，则（ ）
A．B．短轴长相等C．焦距相等D．离心率相等
【答案】AC
【分析】分别对两个椭圆进行分析，得到对应的短轴长，焦距，离心率等，即可得出结论.
【详解】由题意，在中，有，，，
∴短半轴为3，长半轴为5，焦距为，离心率，
在中，有，，，
∴长半轴为，短半轴为，焦距为，
，解得：，离心率，
∴AC正确，BD错误.
故选：AC.
8．关于椭圆，以下说法正确的是（ ）
A．长轴长为4B．焦距为
C．离心率为D．左顶点的坐标为
【答案】ABC
【分析】根据椭圆方程确定，再根据椭圆的性质，即可求解.
【详解】由条件可知，，，那么，
所以长轴长，焦距，离心率，左顶点，
故ABC正确，D错误.
故选：ABC
三、填空题
9．若点在椭圆的内部，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由在椭圆的内部有，即可求参数m的范围.
【详解】∵点在椭圆的内部，
∴，整理得，解得．
故答案为：
10．已知椭圆的上动点,左、右焦点分别为、，当点运动时，的最大角为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为 ．
【答案】
【分析】点在椭圆的上、下顶点处时最大，若最大角为钝角，的一半大于，从而可得结果.
【详解】点在上、下顶点处时最大，
若最大角为钝角，此时的一半大于，
即，
所以，即，解得，
又，，
故答案为:.
四、解答题
11．根据下列条件，求椭圆的离心率：
(1)长轴与短轴之比为；
(2)以短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等边三角形.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题设得、，应用椭圆离心率公式求离心率即可.
（2）由题设得、，应用椭圆离心率公式求离心率即可.
【详解】（1）由题设，，则，又，
所以椭圆的离心率.
（2）由题设知：，又，
所以椭圆的离心率.
12．已知椭圆经过点，.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线交椭圆于，两点，是坐标原点，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆经过的两点可求，即可得椭圆方程；
（2）联立直线和椭圆方程，求出交点坐标即可求面积.
【详解】（1）因为椭圆经过点，所以，
把点的坐标代入方程，得，解得.
所以椭圆的方程为.
（2）联立方程组消去，得.
解得或不妨设，，则.
1．法国数学家加斯帕·蒙日发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用特殊法，找过右顶点的切线和过上顶点的切线，得交点在蒙日圆上，从而可求解.
【详解】直线与椭圆分别相切，显然直线与直线垂直，且交点为，

由题意点在圆上，所以，所以，
故椭圆的离心率．
故选：A.
2．已知斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中点为，直线（为坐标原点）的斜率为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设点，则，根据椭圆的方程，求得，结合斜率公式，即可求解.
【详解】设点，则，
因为，可得，
又因为，所以.
故选：D.
3．2022年6月，我国在酒泉卫星发射中心用快舟一号甲运载火箭，成功发射一颗试验卫星.该卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为，若其近地点、远地点离地面的距离大约分别是，则该卫星运行轨道（椭圆）的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意得到所以求解.
【详解】解：设该卫星运行轨道（椭圆）的长轴长和焦距分别为，因为其近地点、远地点离地面的距离大约分别是，
所以，
解得，
所以 ，
故选：B
4．椭圆（）的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点P满足，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据焦点三角形的顶角范围，求出椭圆特征三角形顶角的范围，继而求出离心率的范围.
【详解】设椭圆的上顶点为,则令,
则,

且，
,
,
故选：B.
5．椭圆的离心率为，若直线与椭圆的一个交点的横坐标，则的值可以为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】根据题意，结合椭圆的离心率定义和计算方法，即可求解.
【详解】根据椭圆的离心率为，可得，
因为，可得，所以，
所以.
故答案为：AD.
6．设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)平面上点B满足，过与平行的直线交于两点，若，求椭圆的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出点坐标，即可求出的方程，利用点到直线的距离公式得到，整理即可求出离心率；
（2）由（1）问可设椭圆方程为，即可得到点坐标，从而得到的斜率，即可得到直线的方程，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式求出，即可求出、，即可得到方程.
【详解】（1）由题设及，不妨设，
所以，，解得或（舍去），从而，
直线的方程为，整理得，
原点到直线的距离为，将代入整理得，
即，
所以离心率.
（2）由（1）问可设椭圆方程为，则，
因为，所以为平行四边形，
所以直线过点，则斜率为，
则设直线方程为，
联立椭圆方程得，显然，则，
则，解得（负值舍去），
所以，所以椭圆方程为.

1．（多选）点为椭圆C的两个焦点，椭圆C上存在点P，使得，则椭圆C的方程可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】设椭圆上顶点为B，由题满足即，可得，结合选项可得出答案.
【详解】设椭圆方程为，
设椭圆上顶点为B，椭圆上存在点，使得，

则需，由余弦定理可得，
，
即，，，
则，检验可得选项A，C，D满足.
故选：ACD.
2．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别是，左、右顶点分别是，点是椭圆上异于的任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．若的面积为，则点的横坐标为
C．存在点满足D．直线与直线的斜率之积为
【答案】BD
【分析】结合椭圆的定义、直线斜率、椭圆中三角形的面积等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】依题意，
所以，A选项错误.
，，
，B选项正确.

，“” 中的等号成立的条件是，
所以不存在满足，C选项错误.
设，，
，
，D选项正确.
故选：BD.
3．已知椭圆的上、下顶点分别为，已知点在直线：上，且椭圆的离心率．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设是椭圆上异于的任意一点，轴，为垂足，为线段的中点，直线交直线于点，为线段的中点，求的值．
【答案】(1)
(2)0
【分析】（1）根据上下顶点的定义，结合离心率的定义，建立方程，可得答案；
（2）设，，则点满足椭圆方程，根据题意，易得、，计算即可
【详解】（1）
且点在直线：上，，
又， ，，
椭圆的标准方程为.
（2）
设，，则，且，
为线段的中点，，
，直线的方程为：，
令，得，
，为线段的中点，，
，，



4．已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)延长，并与椭圆分别相交于两点，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由数量积关系建立关于的方程，再由点在椭圆上，联立关于的方程组求解即可；
（2）由（1）知轴，由对称性可得点坐标，再联立直线与椭圆的方程，解出坐标，进而求得面积.
【详解】（1），
则，解得.
由解得，
故椭圆的方程为.
（2）由（1）可知，直线的方程为，根据对称性可知.
直线的方程为，
联立方程组整理得，
解得或，则.
.