高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第二章 圆锥曲线1 椭圆1.2 椭圆的简单几何性质课后测评

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第二章 圆锥曲线1 椭圆1.2 椭圆的简单几何性质课后测评，共16页。试卷主要包含了点P与椭圆C，若椭圆C，以椭圆C，已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。

题组一 由椭圆方程研究其简单几何性质
1.(2021吉林长春第三中学高二上月考)点P(4csα,23sinα)(α∈R)与椭圆C:x24+y23=1的位置关系是( )
A.点P在椭圆C上
B.不能确定,与α的取值有关
C.点P在椭圆C内
D.点P在椭圆C外
2.(2021河北正定弘文中学高二上月考)椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,且长轴长是短轴长的2倍,则m的值为 ( )
A.2 B.4 C.12 D.14
3.(2021福建罗源第一中学高二月考)椭圆x225+y29=1与x29-k+y225-k=1(0A.有相等的长轴长和短轴长
B.有相等的焦距
C.有相同的焦点
D.有相同的顶点
4.(2021新高考八省(市)1月联考)椭圆x2m2+1+y2m2=1(m>0)的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为A,若∠F1AF2=π3,则m= ( )
A.1 B.2 C.3 D.2
5.(2020河北张家口康保衡水一中联合中学高二上期中)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点是圆x2+y2-6x+8=0的圆心,且短轴长为8,则该椭圆的左顶点为( )
A.(-2,0) B.(-3,0) C.(-4,0) D.(-5,0)
6.(多选题)(2021湖南怀化高二上联考)若椭圆C:x2m+y2m2-1=1的一个焦点坐标为(0,1),则下列结论中正确的是( )
A.m=2
B.C的长轴长为3
C.C的短轴长为22
D.C的离心率为33
7.(2021内蒙古赤峰二中高二上月考)在椭圆x225+y216=1中,A1,A2分别为椭圆的左、右顶点,F1为左焦点,M是椭圆上的点,则△MF1A2的面积的最大值为( )
A.16 B.32 C.162 D.322
8.(2020广西兴安第三中学高二下开学适应性检测)求椭圆4x2+9y2=36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标.
题组二 由椭圆的简单几何性质求椭圆的方程
9.(2021黑龙江哈尔滨第三中学高二上阶段性测试)以椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为正三角形,且椭圆C上的点到焦点的最短距离为1,则椭圆C的标准方程为( )
A.x24+y23=1 B.x24+y22=1
C.x24+y2=1 D.x28+y24=1
10.(2020广东普通高中招生全国统一考试模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,上、下顶点分别为A,B,若四边形AF2BF1是正方形且面积为4,则椭圆C的方程为( )
A.x24+y22=1 B.x22+y2=1
C.x23+y22=1 D.x24+y23=1
11.(多选题)(2021山东济南商河第一中学高二月考)F1,F2为椭圆C的两个焦点,椭圆C上存在点P,使得∠F1PF2=90°,则椭圆C的方程可以是( )
A.x225+y29=1 B.x225+y216=1
C.x218+y29=1 D.x216+y28=1
12.(2021安徽蚌埠高三上第一次质量监测)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),A,B为椭圆C的左、右顶点,且|AF|=3|FB|,则椭圆C的方程为 .
13.(2020天津和平耀华中学高二上期末)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),A(-2,0),B(1,2),C1,32,D1,-32四个点中恰有三个点在椭圆C上,求椭圆C的标准方程.
题组三 椭圆的离心率
14.(2021黑龙江大庆铁人中学高二上第一次月考)椭圆x2+4y2=1的离心率为( )
A.32 B.34 C.22 D.23
15.(2020四川宜宾高二上期末)已知直线l:x+y-1=0经过椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点和上顶点,则椭圆的离心率为( )
A.2-12 B.2-1 C.12 D.22
16.(多选题)(2021江苏镇江中学高二上期末)已知椭圆x25+y2m=1(m>0)的离心率e=105,则m的值可以为( )
A.3 B.253 C.5 D.5153
17.(2021四川棠湖中学高二上第一次月考)已知P为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点,F1,F2分别为C的左、右焦点,且PF1⊥PF2,若tan∠PF2F1=7,则C的离心率为( )
A.528 B.427
C.325 D.223
18.(2021山东济宁嘉祥第一中学高二上期中)比较下列四个椭圆的形状,其中更接近于圆的是( )
A.9x2+y2=36 B.3x2+4y2=48
C.x2+9y2=36 D.5x2+3y2=30
19.(2021江苏新沂第一中学高二上抽测)设F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,M为AF2的中点,若MF1⊥AF2,则该椭圆的离心率为 .
20.(2020湖北潜江文昌中学高三上期末)椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的中心在原点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A,B分别是椭圆的上顶点和右顶点,P是椭圆上一点,且PF1⊥x轴,PF2∥AB,求椭圆的离心率.
能力提升练
题组一 椭圆的简单几何性质及其应用
1.(2021河北沧州第一中学高二上月考,)过点(2,1),焦点在x轴上且与椭圆x24+y23=1有相同的离心率的椭圆方程为( )
A.x216+y243=1 B.x212+y29=1
C.x216+y212=1 D.x2163+y24=1
2.(2020河南豫西名校高二上联考,)已知P是椭圆x28+y24=1上的一点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,若△F1PF2为直角三角形,则满足条件的点P共有( )
A.8个 B.6个
C.4个 D.2个
3.(2021重庆第八中学高二上月考,)椭圆x2a+y2b=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为A,△AF1F2的面积为3,且∠F1AF2=∠AF1F2,则椭圆的方程为( )
A.x24+y23=1 B.x23+y22=1
C.x2a2+y2=1 D.y2a2+x2=1
4.(2020四川凉山高二上期中,)已知椭圆x24+y2=1经过点P(m,n),则m2+n2的取值范围是( )
A.(0,1] B.(0,4]
C.[4,+∞) D.[1,4]
5.(2021重庆八中高三上月考,)已知水平地面上有一篮球,球的中心为O',在斜平行光线的照射下,其阴影为一椭圆(如图),在平面直角坐标系中,椭圆中心O为原点,设椭圆的方程为x24+y22=1,篮球与地面的接触点为H,则|OH|的长为( )
A.62 B.2
C.32 D.103
6.(2020安徽六安一中高二下开学测试,)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为22,离心率为22.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若点A(0,1),点B在椭圆C上,求线段AB长度的最大值.
题组二 椭圆的离心率
7.(多选题)(2021江苏南京六合大厂高级中学高二上学情调研,)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,若椭圆上存在点P使得∠F1PF2是直角,则满足条件的一个e(e为椭圆的离心率)的值可以是 ( )
A.12 B.22 C.33 D.45
8.(2020浙江金华永康高三下高考适应性考试,)已知P为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点,F1,F2为椭圆的两个焦点,且|PF1|=3|PF2|,则椭圆的离心率的取值范围是( )
A.0,13 B.13,1 C.0,12 D.12,1
9.()已知F1,F2是椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,若△ABF2是正三角形,求该椭圆的离心率.
答案全解全析
1.2 椭圆的简单几何性质
基础过关练
1.D 把点P(4csα,23sinα)(α∈R)代入椭圆方程的左边为(4csα)24+(23sinα)23=4(cs2α+sin2α)=4>1,因此点P在椭圆C外.故选D.
2.D 椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,即有0将椭圆方程化为x2+y21m=1,可得b=1,a=1m,
由长轴长是短轴长的2倍,可得21m=4,解得m=14.故选D.
3.B 对于椭圆x225+y29=1,a=5,b=3,c=4,焦点为F1(-4,0),F2(4,0),长轴长2a=10,短轴长2b=6,焦距2c=8.
对于椭圆x29-k+y225-k=1(0a=25-k,b=9-k,
c=25-k-(9-k)=4,焦点为F1(0,-4),F2(0,4),长轴长2a=225-k,短轴长2b=29-k,与k的取值有关,焦距2c=8.
故两个椭圆有相等的焦距,故选B.
4.C ∵a2=m2+1,b2=m2,∴c2=a2-b2=1,由题意得b=3c,∴b2=3c2=3,∴m2=3,又m>0,∴m=3.故选C.
5.D x2+y2-6x+8=0可化为(x-3)2+y2=1,故其圆心为(3,0),∴椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为F(3,0),∴c=3,又∵短轴长2b=8,∴b=4,∴a=b2+c2=5,∴椭圆的左顶点为(-5,0).故选D.
6.ACD 由已知可得m2-m-1=1,解得m=2或m=-1(舍去),
∴椭圆C的方程为y23+x22=1,
∴a2=3,b2=2,c2=1,
∴a=3,b=2,c=1.
∴长轴长2a=23,短轴长2b=22,离心率e=ca=13=33.
故选ACD.
7.A 由题意可知当M为短轴端点时,△MF1A2的面积取最大值.
因为椭圆方程为x225+y216=1,
所以a=5,b=4,c=3,
即有12(a+c)×b=12×8×4=16.故选A.
8.解析 4x2+9y2=36可化为x29+y24=1,
∴a=3,b=2,c=a2-b2=9-4=5.
∴椭圆的长轴长为2a=6,焦距为2c=25,
焦点坐标为F1(-5,0),F2(5,0),
顶点坐标为A1(-3,0),A2(3,0),B1(0,-2),B2(0,2).
9.A 因为以椭圆短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为正三角形,
所以b=32a,c=12a.
因为椭圆C上的点到焦点的最短距离为1,
所以a-c=1,所以a=2,c=1,b=3,
所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1,故选A.
10.A 由题意知|F1F2|=2c,|AB|=2b.
∵四边形AF2BF1是正方形且面积为4,
∴b=c,且12×2c×2b=4,即bc=2,
∴b=c=2,∴a2=b2+c2=4,
∴椭圆C的方程为x24+y22=1.故选A.
11.ACD 结合选项设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),椭圆的上顶点为B.
∵椭圆C上存在点P,使得∠F1PF2=90°,
∴需使∠F1BF2≥90°,
则需|BF1|2+|BF2|2≤|F1F2|2,
即a2+a2≤4c2,∵c2=a2-b2,∴a2≥2b2,
∴A、C、D中方程满足.故选ACD.
12.答案 x24+y23=1
解析 因为|AF|=a+c,|FB|=a-c,
所以a+c=3(a-c),而c=1,所以a=2,
又b2=a2-c2=3,
所以椭圆C的方程为x24+y23=1.
13.解析 由于椭圆是对称图形,且四个点中恰有三个点在椭圆上,所以点C1,32,D1,-32必在椭圆上,
于是有1a2+94b2=1,①
而1a2+4b2=1-94b2+4b2=1+74b2>1,
所以点B(1,2)不在椭圆上,
所以点A(-2,0)在椭圆上,即4a2=1,②
由①②,解得a=2,b=3,
故椭圆C的标准方程为x24+y23=1.
14.A 椭圆的标准方程为x2+y214=1,
所以a2=1,b2=14,
所以e2=a2-b2a2=34,
又因为015.D 椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为(c,0),上顶点为(0,b),
因为直线l:x+y-1=0经过椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点和上顶点,
所以c=1,b=1,所以e=ca=cb2+c2=22,故选D.
16.AB 当0∴e=ca=5-m5=105,解得m=3;
当m>5时,a=m,b=5,c=m-5,
∴e=ca=m-5m=105,解得m=253.
综上,m的值为3或253.故选AB.
17.A 设|PF2|=m,因为PF1⊥PF2,tan∠PF2F1=7,所以|PF1|=7m,|F1F2|=52m,
故e=ca=2c2a=|F1F2||PF1|+|PF2|=528.
故选A.
18.B A.由9x2+y2=36,得x24+y236=1,a2=36,b2=4,c2=32,离心率e=ca=426=223;
B.由3x2+4y2=48,得x216+y212=1,a2=16,b2=12,c2=4,离心率e=ca=24=12;
C.由x2+9y2=36,得x236+y24=1,a2=36,b2=4,c2=32,离心率e=ca=426=223;
D.由5x2+3y2=30,得x26+y210=1,a2=10,b2=6,c2=4,离心率e=ca=210=105.
因为223>105>12,且e越接近于0,椭圆就越接近于圆,所以3x2+4y2=48更接近于圆.故选B.
19.答案 12
解析 根据题意得△AF1F2为等腰三角形,且|AF1|=|F1F2|,所以a=2c,故e=ca=12.
20.解析 如图所示,A(0,b),B(a,0),F2(c,0).
因为PF1⊥x轴,所以P-c,b2a.
PF2=2c,-b2a,AB=(a,-b).
因为PF2∥AB,
所以-2bc+a·b2a=0,化简得b=2c.
所以a=b2+c2=(2c)2+c2=5c,
所以e=ca=55.
能力提升练
1.D 因为所求椭圆与椭圆x24+y23=1有相同的离心率,
所以可设所求椭圆的方程为x24+y23=λ(λ>0).
又由椭圆过点(2,1),代入所求椭圆的方程,可得224+123=λ,解得λ=43,
故所求椭圆的方程为x24+y23=43,即x2163+y24=1.故选D.
2.B 当点P在短轴端点时,由于b=c=2,所以∠F1PF2=π2,此时满足条件的点P有2个;
当∠PF1F2=π2或∠PF2F1=π2时,满足条件的点P有4个.
所以满足条件的点P共有6个.故选B.
3.A 在△AF1F2中,|AF1|=|AF2|,
又∠F1AF2=∠AF1F2,所以|AF2|=|F1F2|,所以|AF1|=|AF2|=|F1F2|=2c.
又因为△AF1F2的面积为3,
所以有12×2c×2c×sin60°=3,解得c=1,
所以|AF1|+|AF2|=2a=4c=4,解得a=2,所以b2=a2-c2=4-1=3,
所以椭圆的方程为x24+y23=1.故选A.
4.D 因为椭圆x24+y2=1经过点P(m,n),
所以m24+n2=1,所以n2=1-m24,
则m2+n2=m2+1-m24=3m24+1.
又-2≤m≤2,所以0≤m2≤4,
故m2+n2的取值范围是[1,4].故选D.
5.答案 B
信息提取 ①根据平行光线照射特点可知,|AB|为椭圆的长轴长,球的直径为椭圆的短轴长;②椭圆的方程为x24+y22=1;③三角形O'HO为直角三角形.
数学建模 通过一个关于椭圆与球的实际问题,结合平行光线照射的特点与球的性质建立关于椭圆的方程与性质的数学模型.在平行光线照射过程中,椭圆的短半轴长是球的半径,球心到椭圆中心的距离是椭圆的长半轴,过球心向地面作垂线,垂足即为接触点H,得到一个直角三角形,求|OH|的长即可.
解析 连接OO',O'H,O'A,O'B.
由椭圆方程可知,长轴长为4,短轴长为22.在平行光线照射的过程中,椭圆的短半轴长是球的半径,所以球的半径为2.
因为AA',AB,BB'均与球相切,
所以∠O'AB+∠O'BA=12(∠A'AB+∠B'BA)=π2,所以∠AO'B=π2.
又O是AB的中点,故|OO'|=12|AB|=2.
在直角三角形O'HO中,|OH|=2,∠O'HO=π2,
所以|OH|=22-(2)2=2.故选B.
6.解析 (1)依题意,得2c=22,所以c=2,离心率e=ca=2a=22,所以a=2,
所以b=a2-c2=2,
所以椭圆C的标准方程为x24+y22=1.
(2)设B(x,y),则x24+y22=1,
所以x2=41-y22=4-2y2,y∈[-2,2].
由两点间的距离公式,得|AB|=x2+(y-1)2=4-2y2+y2-2y+1
=-y2-2y+5=-(y+1)2+6,
所以当y=-1,x=±2时,线段AB的长度最大,为6.
7.BD ∵F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,
∴F1(-c,0),F2(c,0),且c2=a2-b2.
设点P(x,y),因为椭圆上存在点P使得∠F1PF2是直角,所以PF1⊥PF2,
所以PF1·PF2=0,即(-c-x,-y)·(c-x,-y)=0,化简得x2+y2=c2,
联立方程,得x2+y2=c2,x2a2+y2b2=1,整理得
x2=(2c2-a2)·a2c2≥0,所以2c2-a2≥0,
解得e≥22,又0故选BD.
8.D 由P为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点,F1,F2为椭圆的两个焦点,得|PF1|+|PF2|=2a.
又|PF1|=3|PF2|,所以|PF2|=a2,
又a-c≤|PF2|≤a+c,即a-c≤a2≤a+c,
得a2≤c,所以e=ca≥12,
又09.解析 根据椭圆的对称性,不妨设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),焦点坐标为F1(-c,0),F2(c,0).
依题意,设点A的坐标为-c,b2a,则点B的坐标为-c,-b2a,所以|AB|=2b2a.
由△ABF2是正三角形得2c=32·2b2a,
即3b2=2ac.
又因为b2=a2-c2,所以3a2-3c2-2ac=0,
两边同时除以a2,得3-3·ca2-2·ca=0,即3e2+2e-3=0,
解得e=33(负值舍去).