数学选择性必修 第一册第二章 圆锥曲线1 椭圆1.2 椭圆的简单几何性质教学课件ppt

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基础落实·必备知识全过关
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知识点　椭圆的简单几何性质
B1(0,-b),B2(0,b)
F1(0,-c),F2(0,c)　
过关自诊[人教A版教材习题]求下列椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标,并画出图形.(1)x2+4y2=16;(2)9x2+y2=81.
探究点一　　椭圆的简单几何性质
【例1】 求椭圆m2x2+4m2y2=1(m>0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.
规律方法 从椭圆的标准方程出发,分清其焦点位置,然后再写出相应的性质.
变式训练1已知椭圆C1: ,设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等,且椭圆C2的焦点在y轴上.(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率;(2)写出椭圆C2的方程,并写出它的长轴长、短轴长及离心率.
探究点二　　由几何性质求椭圆的标准方程
【例2】 求符合下列条件的椭圆的标准方程.(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为6.
如图所示,由题知△A1FA2为等腰直角三角形,OF为斜边A1A2的中线(高),且|OF|=c,|A1A2|=2b,所以c=b=3,所以a2=b2+c2=18,故所求椭圆的标准方程为
规律方法　利用椭圆的几何性质求其方程的一般步骤
变式训练2(1)焦点在x轴上,右焦点到短轴端点的距离为2,到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是(　　)
(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴,O为坐标原点,F是其中一个焦点,A是一个顶点,椭圆的长轴长为6,且cs∠OFA= ,则椭圆的标准方程是　　　　　　　　　　. 
探究点三　　求椭圆的离心率或其范围
【例3】 (1)椭圆 (a>b>0)的两焦点为F1,F2,以F1F2为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的另两条边,则椭圆的离心率为　　　　. 
解析 如图,∵△DF1F2为正三角形,N为DF2的中点,∴F1N⊥F2N.∵|NF2|=|OF2|=c,
(2)设椭圆C: (a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则椭圆的离心率为　　　　　. 
变式探究1若将本例(2)中“PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°”改为“∠PF2F1=75°, ∠PF1F2=45°”,求椭圆C的离心率.
解 在△PF1F2中,∵∠PF1F2=45°,∠PF2F1=75°,∴∠F1PF2=60°,设|PF1|=m,|PF2|=n, 由题得,|F1F2|=2c,m+n=2a,则在△PF1F2中,根据正弦定理知
变式探究2若将本例(2)中“PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°”改为“C上存在点P,使∠F1PF2为钝角”,求椭圆C的离心率的取值范围.
解 由题意,知c>b,∴c2>b2.又b2=a2-c2,∴c2>a2-c2,即2c2>a2.
规律方法　求椭圆离心率及范围的两种方法
1.知识清单:(1)椭圆的简单几何性质.(2)由椭圆的几何性质求标准方程.(3)求椭圆的离心率.2.方法归纳:分类讨论、方程法(不等式法).3.常见误区:忽略椭圆离心率的范围01.[2023山东烟台高三统考期末]设A,B分别为椭圆C: (a>b>0)的左顶点和上顶点,点F为椭圆C的右焦点,若点F到直线AB的距离为b,则该椭圆的离心率为(　　)
2.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于 ,则C的方程是(　　)
4.如图所示,椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,A,B是椭圆的顶点,P是椭圆上一点,且PF1⊥x轴,PF2∥AB,则椭圆的离心率为　　　　. 
5.已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率e= ,求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标和顶点坐标.