数学3.1 椭圆第1课时同步训练题

3.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质

 基 础 练                                                                                 

巩固新知    夯实基础

1.已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆C的离心率为(　　)

A.               B.               C.             D.

2.(多选)已知椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆＋＝1的短轴长与椭圆＋＝1的短轴长相等，则(　　)

A．a2＝25         B．b2＝25         C．a2＝9         D．b2＝9

3.焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为(　　)

A.＋＝1       B.＋＝1       C.＋＝1        D.＋＝1

4.椭圆：的左、右焦点分别为，，经过点的直线与椭圆相交于A，两点，若的周长为16，则椭圆的离心率为（    ）

A．           B．        C．          D．

5.中心在原点，焦点在x轴上，过点，且离心率为的椭圆的标准方程为______．

6.已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e≤，则长轴长的取值范围为________．

7.已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．

8.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，若椭圆C的中心到直线AB的距离为|F1F2|，求椭圆C的离心率．

 能 力 练                                                                                

综合应用   核心素养

9. (多选)某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F为焦点的椭圆(地球看作是球体)，测得近地点A距离地面m km，远地点B距离地面n km，地球半径为R km，关于这个椭圆有下列说法，正确的有(　　)

A．长轴长为m＋n＋2R                            B．焦距为n－m

C．短轴长为                      D．离心率e＝

10.已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为(　　)

A．        B．         C．         D．

11.设e是椭圆＋＝1的离心率，且e∈，则实数k的取值范围是(　　)

A．(0,3)      B．     C．(0,3)∪  D．(0,2)

12.已知椭圆上存在点，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ）

A．   B．      C．           D．

13.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，左焦点为F，若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e＝，则椭圆的标准方程是________．

14.已知P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，则m2＋n2的取值范围是________．

15.椭圆的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足．求椭圆的离心率.

16.设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.

(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；

(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．

【参考答案】

1.C解析:　∵a2＝4＋22＝8，∴a＝2，∴e＝＝＝.

2.AD解析: 椭圆＋＝1的长轴长为10，椭圆＋＝1的短轴长为6，

由题意可知椭圆＋＝1的焦点在x轴上，即有a＝5，b＝3.

3.A 解析:设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，依题意得c＝2，a＋b＝10，又a2＝b2＋c2，

解得a＝6，b＝4.则椭圆的方程为＋＝1.

4.A 解析：由题可知，即，所以椭圆的离心率.故选：A.

5. 解析：设椭圆的标准方程为，椭圆过点，，则，又，解得，因此椭圆的标准方程为.故答案为：

6.D　解析: 在Rt△ABF中，|AB|＝，|BF|＝a，|AF|＝a＋c，由|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2.将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，即e2＋e－1＝0, 解得e＝，因为0<e<1，所以e＝.

7.解　椭圆方程可化为＋＝1(m>0)，

∵m－＝>0，∴m>.

∴a2＝m，b2＝，c＝＝.

由e＝，得＝，∴m＝1.

∴椭圆的标准方程为x2＋＝1.

∴a＝1，b＝，c＝.

∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；

两焦点坐标分别为F1，F2；

四个顶点坐标分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1，B2.

8.解：由题意知A(a,0)，B(0，b)，从而直线AB的方程为＋＝1，

即bx＋ay－ab＝0，又|F1F2|＝2c，∴＝c.∵b2＝a2－c2，∴3a4－7a2c2＋2c4＝0，

解得a2＝2c2或3a2＝c2(舍去)，∴e＝.

9.ABD　解析: 由题意，得n＋R＝a＋c，m＋R＝a－c，可解得2c＝n－m，a＝，2a＝m＋n＋2R.∴2b＝2＝2，e＝，故ABD正确，C不正确．

10.D解析: 在Rt△ABF中，|AB|＝，|BF|＝a，|AF|＝a＋c，由|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2.将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，即e2＋e－1＝0, 解得e＝，因为0<e<1，所以e＝.]

11.C解析:当0＜k＜4时，e＝＝∈，即＜＜1⇒1＜4－k＜4，即0＜k＜3.

当k＞4时，e＝＝∈，即＜＜1⇒＜＜1⇒＜1－＜1⇒0＜＜⇒k＞.

综上，实数k的取值范围为(0,3)∪.

12.D 解析：由椭圆的定义得，又∵，∴，，

而，当且仅当点在椭圆右顶点时等号成立，

即，即，则，即.故选：D．

13.＋＝1　解析: 因为椭圆的上顶点到焦点的距离为2，所以a＝2.因为离心率e＝，所以c＝1，b＝＝，则椭圆的方程为＋＝1，

14.[1,2]　解析: 因为P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，所以m2＋＝1，即n2＝2－2m2，所以m2＋n2＝2－m2，又－1≤m≤1，所以1≤2－m2≤2，所以1≤m2＋n2≤2.

15.解：，离心率为.

16.解：(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1.

因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.

故|AF2|＝8－3＝5.

(2)设|F1B|＝k，则k＞0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.

由椭圆定义可得，|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.

在△ABF2中，由余弦定理可得，|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B，

即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)．

化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k＞0，故a＝3k.

于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.

因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，

故△AF1F2为等腰直角三角形．从而c＝a，

所以椭圆E的离心率e＝＝.