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2024年中考真题数学热点探究九 特殊三角形中的分类讨论、存在性问题
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这是一份2024年中考真题数学热点探究九 特殊三角形中的分类讨论、存在性问题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷的注释
一、选择题（每题2分，共18分）(共9题；共18分)
---------------------------------------------------------------------
1. (2017·包头) 若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A . 2cm B . 4cm C . 6cm D . 8cm
---------------------------------------------------------------------
2. 在△ABC和中，.已知 ， 则（ ）
A . B . C . 或 D . 或
---------------------------------------------------------------------
3. 已知m，n，4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m，n是关于x的一元二次方程.的两个根，则k的值为（ ）
A . 7 B . 7或6 C . 6或-7 D . 6
---------------------------------------------------------------------
4. (2024·温州模拟) 如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点 ， ， 已知与位似，位似中心是原点O，且的面积是面积的16倍，则点A对应点的坐标为（ ）
A . B . 或 C . D . 或
---------------------------------------------------------------------
5. 已知直线y=-x+1与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是第一象限内的点.若△PAB为等腰直角三角形，则点P的坐标为（ ）
A . （1，1） B . （1，1）或（1，2） C . （1，1）或（1，2）或（2，1） D . （0，0）或（1，1）或（1，2）或（2，1）
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6. (2024九下·石家庄开学考) 已知等腰△ABC ， AD为BC边上的高，且则等腰△ABC的底角的度数为（ ）
A . 45° B . 75°或60° C . 45°或75° D . 以上都不对
---------------------------------------------------------------------
7. (2023九上·阜阳期中) 如图，BD是的对角线，BD⊥AD，AB=2AD=6，点E是CD的中点，点F、P分别是线段AB、BD上的动点，若△ABD∽△PBF，且△PDE是等腰三角形，则PF的长为（ ）
A . 或 B . 或 C . 或 D . 或
---------------------------------------------------------------------
8. (2020·濉溪模拟) 如图，在矩形 中， 点 是 的中点，点 在 上，且 若在此矩形上存在一点 ，使得 是等腰三角形，则点 的个数是（ ）
A . B . C . D .
---------------------------------------------------------------------
9. (2024·拱墅模拟) 如图，在矩形ABCD中， ， 点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN 是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN的值为（ ）
A . 6或2 B . 3或 C . 2或3 D . 6或
二、填空题（每题2分，共18分）(共9题；共18分)
---------------------------------------------------------------------
10. (2024·渝中模拟) 一个等腰三角形的顶角为140°，则它一腰上的高与另一腰的夹角为 ．
---------------------------------------------------------------------
11. (2021·常州) 如图，在 中， ，D是 上一点（点D与点A不重合）.若在 的直角边上存在4个不同的点分别和点A、D成为直角三角形的三个顶点，则 长的取值范围是.
---------------------------------------------------------------------
12. (2024·竹山会考) 在△ABC中， ， ， 点D是边上一动点，将△ACD沿直线翻折，使点A落在点E处，连接交于点F（所给图形仅仅是示意图）．当△DEF是直角三角形时，．
---------------------------------------------------------------------
13. (2022·宁波) 如图，在△ABC中，AC=2，BC=4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A．D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为
---------------------------------------------------------------------
14. (2023九上·锦江期中) 定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M（2，0），在边AB存在点P ， 使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为：．
---------------------------------------------------------------------
15. (2024·浙江模拟) 平面直角坐标系中，直线分别与函数的图象交于、 ， 若轴负半轴上存在点使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，则为．
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16. (2021九上·阳山期末) 已知，一次函数与反比例函数的图象交于点A、B，在x轴上存在点P（n，0），使△ABP为直角三角形，则P点的坐标是．
---------------------------------------------------------------------
17. (2021九上·隆昌期中) 如图，在等边三角形ABC中，D是AC的中点，P是边AB上的一个动点，过点P作PE⊥AB，交BC于点E，连接DP，DE.若AB＝8，△PDE是等腰三角形，则BP的长是.
---------------------------------------------------------------------
18. (2022九上·通州月考) 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，记x＝AC，y＝BC-AC，在平面直角坐标系xOy中，定义（x，y）为这个直角三角形的坐标，Rt△ABC为点（x，y）对应的直角三角形．有下列结论：①在x轴正半轴上的任意点（x，y）对应的直角三角形均满足AB＝BC；②在函数y＝（x＞0）的图象上存在两点P，Q，使得它们对应的直角三角形相似；③对于函数y＝（x-2020）2-1（x＞0）的图象上的任意一点P，都存在该函数图象上的另一点Q，使得这两个点对应的直角三角形相似；④在函数y＝-2x+2020（x＞0）的图象上存在无数对点P，Q（P与Q不重合），使得它们对应的直角三角形全等．所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（共8题，共84分）(共8题；共84分)
---------------------------------------------------------------------
19. (2023·北京模拟) 对于平面直角坐标系中的线段 ， 给出如下定义：若存在使得 ， 则称为线段的“等幂三角形”，点R称为线段的“等幂点”．
（1） 已知 ， 若存在等腰是线段的“等幂三角形”，求点B的坐标；
（2） 已知点C的坐标为 ， 点D在直线上，记图形M为以点为圆心，2为半径的位于x轴上方的部分．若图形M上存在点E，使得线段的“等幂三角形”为锐角三角形，直接写出点D的横坐标的取值范围．
---------------------------------------------------------------------
20. (2023九上·河北月考) 如图，在中， ， ， 动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动．过点作的垂线交射线于点 ， 当点不和点重合时，作点关于的对称点设点的运动时间为秒 ．
（1） BC=；
（2） 求的长．用含的代数式表示
（3） 取的中点 ．
连结、 ， 当点在边上，且时，求的长．
连结 ， 当时，直接写出的值．
---------------------------------------------------------------------
21. (2024九上·阜平期末) 在中， ， ， .点在线段上运动，过点作的垂线交线段（如图1）或线段的延长线（如图2）于点 ．
图1 图2 备用图
（1） 当点在线段上时，求证：；
（2） 当点与点重合时，求的长；
（3） 若点从点以每秒2个单位长的速度向点运动，求点与点的距离不大于1的时长；
（4） 当为等腰三角形时，直接写出的长．
---------------------------------------------------------------------
22. (2024九上·蛟河期末) 如图，在直角梯形中， ， ，动点P从点D出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P ， Q分别从点D ， C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
（1） 设的面积为S ， 求S与t之间的函数关系式；
（2） 当t为何值时，四边形是平行四边形；
（3） 当t为何值时，以B ， P ， Q三点为顶点的三角形是等腰三角形?
---------------------------------------------------------------------
23. (2022·东城模拟) 对于平面直角坐标系中的点C及图形G，有如下定义：若图形G上存在A，B两点，使得为等腰直角三角形，且 ， 则称点C为图形G的“友好点”．
（1） 已知点 ， ， 在点 ， ， 中，线段OM的“友好点”是；
（2） 直线分别交x轴、y轴于P，Q两点，若点为线段PQ的“友好点”，求b的取值范围；
（3） 已知直线分别交x轴、y轴于E，F两点，若线段EF上的所有点都是半径为2的的“友好点”，直接写出d的取值范围．
---------------------------------------------------------------------
24. (2021·苏州模拟) 在平面直角坐标系 中，点 ，若射线 上存在点P，使得 是以 为腰的等腰三角形，就称点P为线段 关于射线 的等腰点.
（1） 如图， ，
①若 ，则线段 关于射线 的等腰点的坐标是 ▲ ；
②若 ，且线段 关于射线 的等腰点的纵坐标小于1，求n的取值范围；
（2） 若 ，且射线 上只存在一个线段 关于射线 的等腰点，求t的取值范围.
---------------------------------------------------------------------
25. (2023九上·崂山期中) 如图甲，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，动点P从点B出发，沿BA方向向点A匀速运动，同时动点Q从点A出发，沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1个单位/s，连接PQ ． 设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：
（1） 设△APQ的面积为S ， 则S＝；（用含t的代数式表示）
（2） 如图乙，连接PC ， 将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP’C ， 当四边形PQP’C为菱形时，求t的值；
（3） 当△APQ是等腰三角形时，求t的值？
---------------------------------------------------------------------
26. (2022九上·慈溪期中) 如图1， ， 是半圆上的两点，若直径上存在一点 ， 满足 ， 则称是的“幸运角”.
（1） 如图2，是的直径，弦 ， 是上一点，连结交于点 ， 连结 ， 是的“幸运角”吗？请说明理由；
（2） 设的度数为 ， 请用含的式子表示的“幸运角”度数；
（3） 在（1）的条件下，直径 ， 的“幸运角”为.
①如图3，连结 ， 求弦的长；
②当时，求的长.
难度系数：0.4
第Ⅰ卷 客观题
一、选择题（每题2分，共18分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9
二、填空题（每题2分，共18分）
10 11 12 13 14 15 16 17 18
第Ⅱ卷 主观题
三、解答题（共8题，共84分）
19 20 21 22 23 24 25 26
第Ⅰ卷的注释
一、选择题（每题2分，共18分）(共9题；共18分)
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1. (2017·包头) 若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A . 2cm B . 4cm C . 6cm D . 8cm
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2. 在△ABC和中，.已知 ， 则（ ）
A . B . C . 或 D . 或
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3. 已知m，n，4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m，n是关于x的一元二次方程.的两个根，则k的值为（ ）
A . 7 B . 7或6 C . 6或-7 D . 6
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4. (2024·温州模拟) 如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点 ， ， 已知与位似，位似中心是原点O，且的面积是面积的16倍，则点A对应点的坐标为（ ）
A . B . 或 C . D . 或
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5. 已知直线y=-x+1与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是第一象限内的点.若△PAB为等腰直角三角形，则点P的坐标为（ ）
A . （1，1） B . （1，1）或（1，2） C . （1，1）或（1，2）或（2，1） D . （0，0）或（1，1）或（1，2）或（2，1）
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6. (2024九下·石家庄开学考) 已知等腰△ABC ， AD为BC边上的高，且则等腰△ABC的底角的度数为（ ）
A . 45° B . 75°或60° C . 45°或75° D . 以上都不对
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7. (2023九上·阜阳期中) 如图，BD是的对角线，BD⊥AD，AB=2AD=6，点E是CD的中点，点F、P分别是线段AB、BD上的动点，若△ABD∽△PBF，且△PDE是等腰三角形，则PF的长为（ ）
A . 或 B . 或 C . 或 D . 或
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8. (2020·濉溪模拟) 如图，在矩形 中， 点 是 的中点，点 在 上，且 若在此矩形上存在一点 ，使得 是等腰三角形，则点 的个数是（ ）
A . B . C . D .
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9. (2024·拱墅模拟) 如图，在矩形ABCD中， ， 点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN 是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN的值为（ ）
A . 6或2 B . 3或 C . 2或3 D . 6或
二、填空题（每题2分，共18分）(共9题；共18分)
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10. (2024·渝中模拟) 一个等腰三角形的顶角为140°，则它一腰上的高与另一腰的夹角为 ．
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11. (2021·常州) 如图，在 中， ，D是 上一点（点D与点A不重合）.若在 的直角边上存在4个不同的点分别和点A、D成为直角三角形的三个顶点，则 长的取值范围是.
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12. (2024·竹山会考) 在△ABC中， ， ， 点D是边上一动点，将△ACD沿直线翻折，使点A落在点E处，连接交于点F（所给图形仅仅是示意图）．当△DEF是直角三角形时，．
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13. (2022·宁波) 如图，在△ABC中，AC=2，BC=4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A．D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为
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14. (2023九上·锦江期中) 定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M（2，0），在边AB存在点P ， 使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为：．
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15. (2024·浙江模拟) 平面直角坐标系中，直线分别与函数的图象交于、 ， 若轴负半轴上存在点使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，则为．
抱歉，您未登录！暂时无法查看答案与解析，点击登录
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16. (2021九上·阳山期末) 已知，一次函数与反比例函数的图象交于点A、B，在x轴上存在点P（n，0），使△ABP为直角三角形，则P点的坐标是．
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17. (2021九上·隆昌期中) 如图，在等边三角形ABC中，D是AC的中点，P是边AB上的一个动点，过点P作PE⊥AB，交BC于点E，连接DP，DE.若AB＝8，△PDE是等腰三角形，则BP的长是.
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18. (2022九上·通州月考) 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，记x＝AC，y＝BC-AC，在平面直角坐标系xOy中，定义（x，y）为这个直角三角形的坐标，Rt△ABC为点（x，y）对应的直角三角形．有下列结论：①在x轴正半轴上的任意点（x，y）对应的直角三角形均满足AB＝BC；②在函数y＝（x＞0）的图象上存在两点P，Q，使得它们对应的直角三角形相似；③对于函数y＝（x-2020）2-1（x＞0）的图象上的任意一点P，都存在该函数图象上的另一点Q，使得这两个点对应的直角三角形相似；④在函数y＝-2x+2020（x＞0）的图象上存在无数对点P，Q（P与Q不重合），使得它们对应的直角三角形全等．所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（共8题，共84分）(共8题；共84分)
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19. (2023·北京模拟) 对于平面直角坐标系中的线段 ， 给出如下定义：若存在使得 ， 则称为线段的“等幂三角形”，点R称为线段的“等幂点”．
（1） 已知 ， 若存在等腰是线段的“等幂三角形”，求点B的坐标；
（2） 已知点C的坐标为 ， 点D在直线上，记图形M为以点为圆心，2为半径的位于x轴上方的部分．若图形M上存在点E，使得线段的“等幂三角形”为锐角三角形，直接写出点D的横坐标的取值范围．
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20. (2023九上·河北月考) 如图，在中， ， ， 动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动．过点作的垂线交射线于点 ， 当点不和点重合时，作点关于的对称点设点的运动时间为秒 ．
（1） BC=；
（2） 求的长．用含的代数式表示
（3） 取的中点 ．
连结、 ， 当点在边上，且时，求的长．
连结 ， 当时，直接写出的值．
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21. (2024九上·阜平期末) 在中， ， ， .点在线段上运动，过点作的垂线交线段（如图1）或线段的延长线（如图2）于点 ．
图1 图2 备用图
（1） 当点在线段上时，求证：；
（2） 当点与点重合时，求的长；
（3） 若点从点以每秒2个单位长的速度向点运动，求点与点的距离不大于1的时长；
（4） 当为等腰三角形时，直接写出的长．
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22. (2024九上·蛟河期末) 如图，在直角梯形中， ， ，动点P从点D出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P ， Q分别从点D ， C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
（1） 设的面积为S ， 求S与t之间的函数关系式；
（2） 当t为何值时，四边形是平行四边形；
（3） 当t为何值时，以B ， P ， Q三点为顶点的三角形是等腰三角形?
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23. (2022·东城模拟) 对于平面直角坐标系中的点C及图形G，有如下定义：若图形G上存在A，B两点，使得为等腰直角三角形，且 ， 则称点C为图形G的“友好点”．
（1） 已知点 ， ， 在点 ， ， 中，线段OM的“友好点”是；
（2） 直线分别交x轴、y轴于P，Q两点，若点为线段PQ的“友好点”，求b的取值范围；
（3） 已知直线分别交x轴、y轴于E，F两点，若线段EF上的所有点都是半径为2的的“友好点”，直接写出d的取值范围．
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24. (2021·苏州模拟) 在平面直角坐标系 中，点 ，若射线 上存在点P，使得 是以 为腰的等腰三角形，就称点P为线段 关于射线 的等腰点.
（1） 如图， ，
①若 ，则线段 关于射线 的等腰点的坐标是 ▲ ；
②若 ，且线段 关于射线 的等腰点的纵坐标小于1，求n的取值范围；
（2） 若 ，且射线 上只存在一个线段 关于射线 的等腰点，求t的取值范围.
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25. (2023九上·崂山期中) 如图甲，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，动点P从点B出发，沿BA方向向点A匀速运动，同时动点Q从点A出发，沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1个单位/s，连接PQ ． 设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：
（1） 设△APQ的面积为S ， 则S＝；（用含t的代数式表示）
（2） 如图乙，连接PC ， 将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP’C ， 当四边形PQP’C为菱形时，求t的值；
（3） 当△APQ是等腰三角形时，求t的值？
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26. (2022九上·慈溪期中) 如图1， ， 是半圆上的两点，若直径上存在一点 ， 满足 ， 则称是的“幸运角”.
（1） 如图2，是的直径，弦 ， 是上一点，连结交于点 ， 连结 ， 是的“幸运角”吗？请说明理由；
（2） 设的度数为 ， 请用含的式子表示的“幸运角”度数；
（3） 在（1）的条件下，直径 ， 的“幸运角”为.
①如图3，连结 ， 求弦的长；
②当时，求的长.
难度系数：0.4
第Ⅰ卷 客观题
一、选择题（每题2分，共18分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9
二、填空题（每题2分，共18分）
10 11 12 13 14 15 16 17 18
第Ⅱ卷 主观题
三、解答题（共8题，共84分）
19 20 21 22 23 24 25 26
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