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2024年中考真题数学热点探究二 整体思想在求值中的运用
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这是一份2024年中考真题数学热点探究二 整体思想在求值中的运用，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷的注释
一、选择题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)
---------------------------------------------------------------------
1. 已知x-y=4， xy=5，则 的值为（ ）
A . 25 B . 20 C . 15 D . 10
---------------------------------------------------------------------
2. (2024七下·肇源开学考) 如果代数式的值是 ， 那么代数式的值等于（ ）
A . B . C . D .
---------------------------------------------------------------------
3. (2024八下·长兴月考) 若是关于的方程的一个根，则的值是（ ）
A . 2024 B . 2023 C . 2022 D . 2021
---------------------------------------------------------------------
4. (2024八下·桐乡市月考) 已知a是方程的一个解，则的值为（ ）
A . 2023 B . 2022 C . 2021 D . 2020
---------------------------------------------------------------------
5. (2024七下·揭西月考) 若为正整数．且 ， 则的值为（ ）
A . 4 B . 16 C . 64 D . 192
---------------------------------------------------------------------
6. (2024七上·遵义期末) 若x、y二者满足等式 ， 且x、y互为倒数，则代数式的值为（ ）
A . 1 B . 4 C . 5 D . 9
---------------------------------------------------------------------
7. (2024七上·隆回期末) 若 ， 则代数式的值是（ ）
A . 2021 B . 2022 C . 2023 D . 2024
---------------------------------------------------------------------
8. (2024七上·广水期末) 若m，n互为相反数，p，q互为倒数，t的绝对值等于4，则的值是（ ）
A . B . 65 C . 或65 D . 63或
---------------------------------------------------------------------
9. 已知m为方程的根，那么的值为（ ）
A . -2024 B . 0 C . 2024 D . 4048
---------------------------------------------------------------------
10. (2024七下·深圳开学考) 已知一列数的和 ， 且 ， 则的值是（ ）
A . 2 B . C . 3 D .
二、填空题（每题3分，共15分）(共5题；共15分)
---------------------------------------------------------------------
11. (2024七下·桂林月考) 若 ， 代数式的值为 ．
---------------------------------------------------------------------
12. (2024七上·越城期末) 已知 ， ， 则代数式．
---------------------------------------------------------------------
13. (2024七下·秦都月考) 给等式中的某些字母赋予一定的特殊值，可以解决一些问题．比如对于等式 ， 当时，可得 ， 计算得；请你再给x赋不同的值，可计算得．
---------------------------------------------------------------------
14. (2024七下·东阳月考) 图1，由两个相同的小长方形组成的图形周长为10，图2中在长方形ABCD内放置了若干个相同的小长方形，则长方形ABCD的周长为.
---------------------------------------------------------------------
15. (2024七上·钟山期末) “整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．已知是方程的解，则的值为．
三、解答题（共9题，共75分）(共9题；共75分)
---------------------------------------------------------------------
16. (2024九下·新疆维吾尔自治区开学考) 已知：数a与b互为相反数，c与d互为倒数， ． 求式子的值．
---------------------------------------------------------------------
17. (2024八上·从江月考) 先阅读下列材料，再解答问题：
材料：因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1.
解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=(A+1)2.
再将“A”还原，得原式=(x+y+1)2.
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请解答下列问题：
（1） 因式分解：1+2(2x-3y)+(2x-3y)2；
（2） 因式分解：(a+b)(a+b-4)+4.
---------------------------------------------------------------------
18. (2024七上·雨花期末) 整体代换是数学的一种思想方法，例如：已知 ， 求的值，我们将作为一个整体代入，则原式 ． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题：
（1） 如果 ， 求的值；
（2） 若 ， 求的值．
---------------------------------------------------------------------
19. (2024七上·贵阳月考) 阅读材料：我们知道，4x-2x+x=(4-2+1)x=3x，类似地，我们把(a+b)看成一个整体，则4(a+b)-2(a+b)+(a+b)=(4-2+1)(a+b)=3(a+b).“整体思想”是中学学习中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.
尝试应用：
（1） 把(a-b)2看成一个整体，合并3(a-b)2-6(a-b)2+2(a-b)2的结果是；
（2） 已知x2-2y=4，求3x2-6y-21的值；
（3） 拓展探索：
已知a-2b=3，2b-c=-5，c-d=10，求(a-c)+(2b-d)-(2b-c)的值.
---------------------------------------------------------------------
20. (2023九上·资中期中) 换元法是数学中的一种解题方法．若我们把其中某些部分看成一个整体，用一个新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．如：解二元一次方程组 ， 按常规思路解方程组计算量较大．可设 ， ， 那么方程组可化为 ， 从而将方程组简单化，解出和的值后，再利用 ， 解出和的值即可．用上面的思想方法解方程：
（1） ；
（2）
---------------------------------------------------------------------
21. (2024九上·黔南期末) 阅读材料：
解方程： ． 我们可以将视为一个整体，然后设 ， 则 ， 原方程化为①，解得 ．
当时， ．
当时， ．
原方程的解为 ．
根据上面的解答，解决下面的问题：
（1） 填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到降次的目的，体现了的数学思想；
（2） 解方程； ．
---------------------------------------------------------------------
22. (2020·吕梁模拟) 阅读理解，并解决问题：
“整体思想”是中学数学中的一种重要思想，贯穿于中学数学的全过程，比如整体代入，整体换元，整体约减，整体求和，整体构造，…，有些问题若从局部求解，采取各个击破的方式，很难解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，复杂问题也能迎刃而解．
例：当代数式 的值为7时，求代数式 的值．
解：因为 ，所以 ．
所以．
以上方法是典型的整体代入法．
请根据阅读材料，解决下列问题：
（1） 已知 ，求 的值．
（2） 我们知道方程 的解是 ，现给出另一个方程 ，则它的解是．
---------------------------------------------------------------------
23. (2024七下·高州月考) 两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2
（1） 用含a ， b的代数式分别表示S1 ， S2；
（2） 若a+b＝10，ab＝23，求S1+S2的值；
（3） 当S1+S2＝28时，求出图3中的阴影部分的面积S3.
---------------------------------------------------------------------
24. (2023九上·广水月考) 阅读下面材料，然后解答问题：
解方程：(x2-6)3-(x2-6)-2=0.
分析：本题实际上为一元四次方程，若展开按常规方法解答，对同学们来说具有一定的挑战性.解高次方程的基本方法是“降次”，我们发现本方程是以为基本结构搭建的，所以我们可以把视为一个整体，设为另外一个未知数，就可以把原方程降次为一元二改方程来继续解答.我们把这种换元解方程的方法叫做换元法.
解：设 ， 则原方程换元为.
或
解得
或
解得：
请参考例题解法，解下列方程：
（1） ；
（2） .
难度系数：0.57
第Ⅰ卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
二、填空题（每题3分，共15分）
11 12 13 14 15
三、解答题（共9题，共75分）
16 17 18 19 20 21 22 23 24
第Ⅱ卷
第Ⅰ卷的注释
一、选择题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)
---------------------------------------------------------------------
1. 已知x-y=4， xy=5，则 的值为（ ）
A . 25 B . 20 C . 15 D . 10
---------------------------------------------------------------------
2. (2024七下·肇源开学考) 如果代数式的值是 ， 那么代数式的值等于（ ）
A . B . C . D .
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3. (2024八下·长兴月考) 若是关于的方程的一个根，则的值是（ ）
A . 2024 B . 2023 C . 2022 D . 2021
---------------------------------------------------------------------
4. (2024八下·桐乡市月考) 已知a是方程的一个解，则的值为（ ）
A . 2023 B . 2022 C . 2021 D . 2020
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5. (2024七下·揭西月考) 若为正整数．且 ， 则的值为（ ）
A . 4 B . 16 C . 64 D . 192
---------------------------------------------------------------------
6. (2024七上·遵义期末) 若x、y二者满足等式 ， 且x、y互为倒数，则代数式的值为（ ）
A . 1 B . 4 C . 5 D . 9
---------------------------------------------------------------------
7. (2024七上·隆回期末) 若 ， 则代数式的值是（ ）
A . 2021 B . 2022 C . 2023 D . 2024
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8. (2024七上·广水期末) 若m，n互为相反数，p，q互为倒数，t的绝对值等于4，则的值是（ ）
A . B . 65 C . 或65 D . 63或
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9. 已知m为方程的根，那么的值为（ ）
A . -2024 B . 0 C . 2024 D . 4048
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10. (2024七下·深圳开学考) 已知一列数的和 ， 且 ， 则的值是（ ）
A . 2 B . C . 3 D .
二、填空题（每题3分，共15分）(共5题；共15分)
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11. (2024七下·桂林月考) 若 ， 代数式的值为 ．
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12. (2024七上·越城期末) 已知 ， ， 则代数式．
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13. (2024七下·秦都月考) 给等式中的某些字母赋予一定的特殊值，可以解决一些问题．比如对于等式 ， 当时，可得 ， 计算得；请你再给x赋不同的值，可计算得．
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14. (2024七下·东阳月考) 图1，由两个相同的小长方形组成的图形周长为10，图2中在长方形ABCD内放置了若干个相同的小长方形，则长方形ABCD的周长为.
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15. (2024七上·钟山期末) “整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．已知是方程的解，则的值为．
三、解答题（共9题，共75分）(共9题；共75分)
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16. (2024九下·新疆维吾尔自治区开学考) 已知：数a与b互为相反数，c与d互为倒数， ． 求式子的值．
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17. (2024八上·从江月考) 先阅读下列材料，再解答问题：
材料：因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1.
解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=(A+1)2.
再将“A”还原，得原式=(x+y+1)2.
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请解答下列问题：
（1） 因式分解：1+2(2x-3y)+(2x-3y)2；
（2） 因式分解：(a+b)(a+b-4)+4.
---------------------------------------------------------------------
18. (2024七上·雨花期末) 整体代换是数学的一种思想方法，例如：已知 ， 求的值，我们将作为一个整体代入，则原式 ． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题：
（1） 如果 ， 求的值；
（2） 若 ， 求的值．
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19. (2024七上·贵阳月考) 阅读材料：我们知道，4x-2x+x=(4-2+1)x=3x，类似地，我们把(a+b)看成一个整体，则4(a+b)-2(a+b)+(a+b)=(4-2+1)(a+b)=3(a+b).“整体思想”是中学学习中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.
尝试应用：
（1） 把(a-b)2看成一个整体，合并3(a-b)2-6(a-b)2+2(a-b)2的结果是；
（2） 已知x2-2y=4，求3x2-6y-21的值；
（3） 拓展探索：
已知a-2b=3，2b-c=-5，c-d=10，求(a-c)+(2b-d)-(2b-c)的值.
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20. (2023九上·资中期中) 换元法是数学中的一种解题方法．若我们把其中某些部分看成一个整体，用一个新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．如：解二元一次方程组 ， 按常规思路解方程组计算量较大．可设 ， ， 那么方程组可化为 ， 从而将方程组简单化，解出和的值后，再利用 ， 解出和的值即可．用上面的思想方法解方程：
（1） ；
（2）
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21. (2024九上·黔南期末) 阅读材料：
解方程： ． 我们可以将视为一个整体，然后设 ， 则 ， 原方程化为①，解得 ．
当时， ．
当时， ．
原方程的解为 ．
根据上面的解答，解决下面的问题：
（1） 填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到降次的目的，体现了的数学思想；
（2） 解方程； ．
---------------------------------------------------------------------
22. (2020·吕梁模拟) 阅读理解，并解决问题：
“整体思想”是中学数学中的一种重要思想，贯穿于中学数学的全过程，比如整体代入，整体换元，整体约减，整体求和，整体构造，…，有些问题若从局部求解，采取各个击破的方式，很难解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，复杂问题也能迎刃而解．
例：当代数式 的值为7时，求代数式 的值．
解：因为 ，所以 ．
所以．
以上方法是典型的整体代入法．
请根据阅读材料，解决下列问题：
（1） 已知 ，求 的值．
（2） 我们知道方程 的解是 ，现给出另一个方程 ，则它的解是．
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23. (2024七下·高州月考) 两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2
（1） 用含a ， b的代数式分别表示S1 ， S2；
（2） 若a+b＝10，ab＝23，求S1+S2的值；
（3） 当S1+S2＝28时，求出图3中的阴影部分的面积S3.
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24. (2023九上·广水月考) 阅读下面材料，然后解答问题：
解方程：(x2-6)3-(x2-6)-2=0.
分析：本题实际上为一元四次方程，若展开按常规方法解答，对同学们来说具有一定的挑战性.解高次方程的基本方法是“降次”，我们发现本方程是以为基本结构搭建的，所以我们可以把视为一个整体，设为另外一个未知数，就可以把原方程降次为一元二改方程来继续解答.我们把这种换元解方程的方法叫做换元法.
解：设 ， 则原方程换元为.
或
解得
或
解得：
请参考例题解法，解下列方程：
（1） ；
（2） .
难度系数：0.57
第Ⅰ卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
二、填空题（每题3分，共15分）
11 12 13 14 15
三、解答题（共9题，共75分）
16 17 18 19 20 21 22 23 24
第Ⅱ卷
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