2024年中考数学热点探究九 特殊三角形中的分类讨论、存在性问题练习附解析

这是一份2024年中考数学热点探究九 特殊三角形中的分类讨论、存在性问题练习附解析，共44页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm
2．在△ABC和△A'B'C'中，∠B=∠B'=30°,AB=A'B'=6,AC=A'C'=4.已知∠C=n°，则∠C'=（ ）
A．30°B．n°
C．n°或180°−n°D．30°或150°
3．已知m，n，4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m，n是关于x的一元二次方程.x2−6x+k+2=0的两个根，则k的值为（ ）
A．7B．7或6C．6或-7D．6
4．如图，在平面直角坐标系中，等边△OAB的顶点O(0,0)，B(1,0)，已知△OA'B'与△OAB位似，位似中心是原点O，且△OA'B'的面积是△OAB面积的16倍，则点A对应点A'的坐标为（ ）
A．(12,32)B．(23,2)或(−23,−2)
C．(4,43)D．(2,23)或(−2,−23)
5．已知直线y=-x+1与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是第一象限内的点.若△PAB为等腰直角三角形，则点P的坐标为（ ）
A．（1，1）
B．（1，1）或（1，2）
C．（1，1）或（1，2）或（2，1）
D．（0，0）或（1，1）或（1，2）或（2，1）
6．已知等腰△ABC，AD为BC边上的高，且AD=12BC.则等腰△ABC的底角的度数为（ ）
A．45°B．75°或60°C．45°或75°D．以上都不对
7．如图，BD是▱ABCD的对角线，BD⊥AD，AB=2AD=6，点E是CD的中点，点F、P分别是线段AB、BD上的动点，若△ABD∽△PBF，且△PDE是等腰三角形，则PF的长为（ ）
A．33−32或233B．3−1或3C．3或33−32D．233或3−1
8．如图，在矩形 ABCD 中， AB=4，BC=6， 点 E 是 AD 的中点，点 F 在 DC 上，且 CF=1， 若在此矩形上存在一点 P ，使得 △PEF 是等腰三角形，则点 P 的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
9．如图，在矩形ABCD中，AD=3AB=310，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN 是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN的值为（ ）
A．6或2B．3或158C．2或3D．6或158
二、填空题（每题2分，共18分）
10．一个等腰三角形的顶角为140°，则它一腰上的高与另一腰的夹角为 °．
11．如图，在 Rt△ABC 中， ∠ACB=90°，∠CBA=30°，AC=1 ，D是 AB 上一点（点D与点A不重合）.若在 Rt△ABC 的直角边上存在4个不同的点分别和点A、D成为直角三角形的三个顶点，则 AD 长的取值范围是 .
12．在△ABC中，∠ACB=90°,BC=2cm，AC=23cm，点D是AB边上一动点，将△ACD沿直线CD翻折，使点A落在点E处，连接CE交AB于点F（所给图形仅仅是示意图）．当△DEF是直角三角形时，AD= ．
13．如图，在△ABC中，AC=2，BC=4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A．D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为
14．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M（2，0），在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为： ．
15．平面直角坐标系xOy中，直线y=12(x+3)分别与函数y=kx(k>0)的图象交于A、B，若y轴负半轴上存在点C使得△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形，则k为 ．
16．已知，一次函数y=−x+1与反比例函数y=−2x的图象交于点A、B，在x轴上存在点P（n，0），使△ABP为直角三角形，则P点的坐标是 ．
17．如图，在等边三角形ABC中，D是AC的中点，P是边AB上的一个动点，过点P作PE⊥AB，交BC于点E，连接DP，DE.若AB＝8，△PDE是等腰三角形，则BP的长是 .
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，记x＝AC，y＝BC-AC，在平面直角坐标系xOy中，定义（x，y）为这个直角三角形的坐标，Rt△ABC为点（x，y）对应的直角三角形．有下列结论：①在x轴正半轴上的任意点（x，y）对应的直角三角形均满足AB＝2BC；②在函数y＝2019x（x＞0）的图象上存在两点P，Q，使得它们对应的直角三角形相似；③对于函数y＝（x-2020）2-1（x＞0）的图象上的任意一点P，都存在该函数图象上的另一点Q，使得这两个点对应的直角三角形相似；④在函数y＝-2x+2020（x＞0）的图象上存在无数对点P，Q（P与Q不重合），使得它们对应的直角三角形全等．所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（共8题，共84分）
19．对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ，给出如下定义：若存在△PQR使得S△PQR=PQ2，则称△PQR为线段PQ的“等幂三角形”，点R称为线段PQ的“等幂点”．
（1）已知A(2，0)，若存在等腰△OAB是线段OA的“等幂三角形”，求点B的坐标；
（2）已知点C的坐标为C(2，−1)，点D在直线y=x−3上，记图形M为以点T(1，0)为圆心，2为半径的⊙T位于x轴上方的部分．若图形M上存在点E，使得线段CD的“等幂三角形”△CDE为锐角三角形，直接写出点D的横坐标xD的取值范围．
20．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AC=5，AB=4.动点P从点C出发，沿CA以每秒3个单位长度的速度向终点A匀速运动．过点P作CA的垂线交射线CB于点M，当点M不和点B重合时，作点M关于AB的对称点N.设点P的运动时间为t秒(t>0)．
（1）BC= ；
（2）求MN的长．(用含t的代数式表示)
（3）取PC的中点Q．
①连结MQ、PN，当点M在边BC上，且MQ//PN时，求MN的长．
②连结NQ，当∠CNQ=∠A时，直接写出t的值．
21．在△ABC中，∠ABC=90∘，AB=3，BC=4.点Q在线段AC上运动，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．
图1 图2 备用图
（1）当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；
（2）当点P与点B重合时，求AQ的长；
（3）若点Q从点A以每秒2个单位长的速度向点C运动，求点P与点B的距离不大于1的时长；
（4）当△BPQ为等腰三角形时，直接写出AP的长．
22．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥CB，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21 ，动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（2）当t为何值时，四边形ABQP是平行四边形；
（3）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形?
23．对于平面直角坐标系xOy中的点C及图形G，有如下定义：若图形G上存在A，B两点，使得△ABC为等腰直角三角形，且∠ABC=90°，则称点C为图形G的“友好点”．
（1）已知点O(0，0)，M(4，0)，在点C1(0，4)，C2(1，4)，C3(2，−1)中，线段OM的“友好点”是 ；
（2）直线y=−x+b分别交x轴、y轴于P，Q两点，若点C(2，1)为线段PQ的“友好点”，求b的取值范围；
（3）已知直线y=x+d(d>0)分别交x轴、y轴于E，F两点，若线段EF上的所有点都是半径为2的⊙O的“友好点”，直接写出d的取值范围．
24．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(t，0)，B(t+2，0)，C(n，1) ，若射线 OC 上存在点P，使得 △ABP 是以 AB 为腰的等腰三角形，就称点P为线段 AB 关于射线 OC 的等腰点.
（1）如图， t=0 ，
①若 n=0 ，则线段 AB 关于射线 OC 的等腰点的坐标是 ▲ ；
②若 n<0 ，且线段 AB 关于射线 OC 的等腰点的纵坐标小于1，求n的取值范围；
（2）若 n=33 ，且射线 OC 上只存在一个线段 AB 关于射线 OC 的等腰点，求t的取值范围.
25． 如图甲，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，动点P从点B出发，沿BA方向向点A匀速运动，同时动点Q从点A出发，沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1个单位/s，连接PQ．设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：
（1）设△APQ的面积为S，则S＝ ；（用含t的代数式表示）
（2）如图乙，连接PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP’C，当四边形PQP’C为菱形时，求t的值；
（3）当△APQ是等腰三角形时，求t的值？
26．如图1，C，D是半圆ACB上的两点，若直径AB上存在一点P，满足∠APC=∠BPD，则称∠CPD是CD的“幸运角”.
（1）如图2，AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，D是BC上一点，连结ED交AB于点P，连结CP，∠CPD是CD的“幸运角”吗？请说明理由；
（2）设CD的度数为n，请用含n的式子表示CD的“幸运角”度数；
（3）在（1）的条件下，直径AB=10，CD的“幸运角”为90°.
①如图3，连结CD，求弦CD的长；
②当DE=72时，求CE的长.
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：若2cm为等腰三角形的腰长，则底边长为10﹣2﹣2=6（cm），2+2＜6，不符合三角形的三边关系；
若2cm为等腰三角形的底边，则腰长为（10﹣2）÷2=4（cm），此时三角形的三边长分别为2cm，4cm，4cm，符合三角形的三边关系；
故选A．
【分析】分为两种情况：2cm是等腰三角形的腰或2cm是等腰三角形的底边，然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．
2．【答案】C
【解析】【解答】解： 当BC=B'C'时，△ABC≌△A'B'C'（SSS），
∴∠C'=∠C=n°，
当BC≠B'C'时，如图，
∵A'C'=A'C″，
∴∠A'C″C'=∠C'=n°，
∴∠A'C″B'=180°-n°，
∴∠C'=n°或180°-n°，
故答案为：C.
【分析】 分“BC=B'C'与BC≠B'C'”两种情况讨论，利用等腰三角形的性质求得∠A'C″C'=∠C'=n°，从而求得∠A'C″B'=180°-n°．
3．【答案】B
【解析】【解答】解：∵m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，
∴当m=4或n=4时，即一元二次方程的其中一个解是x=4，
代入得：42-6×4+k+2=0，
解得：k=6，
故方程为：x2-6x+8=0，
解得：x1=4，x2=2，
∵2+4=6＞4，能构成等腰三角形，
∴k=6符合题意；
当m=n时，即一元二次方程有两个相等的实数根，
即Δ=（-6）2-4×（k+2）=0，
解得：k=7，
故方程为：x2-6x+9=0，
解得：x1=x2=3，
∵3+3=6＞4，能构成等腰三角形，
∴k=7符合题意；
综上所述，k的值等于6或7，
故答案为：B.
【分析】分情况讨论：当m=4或n=4时，即一元二次方程的其中一个解是x=4，代入方程求得k的值，得出一元二次方程，求解，结合三角形的两边之和大于第三边判断k是否是符合题意；当m=n时，即一元二次方程有两个相等的实数根，根据根的判别式Δ=0，求得k的值，得出一元二次方程，求解，结合三角形的两边之和大于第三边判断k是否是符合题意即可.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：过A作AC⊥x轴于C，
∵等边三角形OAB的顶点O（0，0），B（1，0），
∴OA=OB=1，
∵△AOB是等边三角形，AC⊥x轴
∴OC=12OB=12，AC=32OA=32，
∴A（12，32），
∵△OA'B'与△OAB位似，位似中心是原点O，且△OA'B'的面积是△OAB面积的4倍，
∴△OA'B'与△OAB的位似比为4：1，
∴点A的对应点A'的坐标是（12×4，32×4）或（12×（−4），32×（−4）），即（2，23）或（−2，−23），
故答案为：D.
【分析】先求出OC与AC的长，就可求得A点坐标，再结合位似图形的性质求得位似比，就可求得A点的对应点A'的坐标 .
5．【答案】C
【解析】【解答】解： 直线y=-x+1 ，当x=0时，y=1，故 B（0，1），
当y=0时，x=1，故A（1，0），
已知点P是第一象限内的点.若△PAB为等腰直角三角形，
①当∠PAB=90°时，P点坐标（2，1） ；
②当∠PBA=90°时，P点坐标（1，2） ；
③当∠APB=90°时，P点坐标（1，1） .
故答案为：C.
【分析】由直线y=-x+1 ，得出A（1，0），B（0，1），点P是第一象限内的点.若△PAB为等腰直角三角形，分类讨论：①当∠PAB=90°时，②当∠PBA=90°时，③当∠APB=90°时，分别求出点P的坐标 ，即可得解.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：由题意可得：
①当AB=AC时，则∠B=∠C
∵AD为B边上的高
∴BD=CD
∵AD=12BC.
∴AD=BD=CD
∴∠DAB=∠B，∠C=∠DAC
∴∠DAB=∠B=∠C=∠DAC
∵∠DAB+∠B+∠C+∠DAC=180°
∴∠B=∠C=45°
∴底角为45°
②当AB=BC时
∵AD=12BC.
∴AD=12AB
∴∠ABD=30°
∴∠BAC=∠BCA=75°
∴底角为75°
③当AB=BC时
∵AD=12BC.
∴AD=12AB
∴∠ABD=30°
∴∠BAC=∠BCA=15°
∴底角为15°
故答案为：D
【分析】根据等腰三角形性质分情况讨论，再根据含30°的直角三角形性质及三角形内角和定理即可求出答案.
7．【答案】C
【解析】【解答】△PDE是等腰三角形，可分成以下几种情况：当PD=PE时：过点P作PG⊥DE于点G，∴DG=32，
在△ABD中，∵∠ADB=90°，AB=2AD=6，
∴∠ABD=30°，BD=33，
∵AB∥CD，
∴∠PDG=∠ABD=30°，
∵∠DGP=90°，
∴PD=2PG，
∴PG=32，PD=3，
∴BP=23，
∵△ABD∽△PBF，
∴PFBP=ADAB=12，
∴PF=12BP=3；
当DE=DP=3时，BP=33−3，
∴PF=12BP=33−32；
当DE=PE=3时，点P与点B重合，这种情况不存在。
综上，PF的长为3或33−32.
故答案为：C。【分析】△PDE是等腰三角形可分成几种情况进行讨论：当PD=PE时，过点P作PG⊥DE于点G，可得DG=32，进而求得BP的长，然后根据相似三角形的性质得出PF=3；当DE=DP=3时，BP=33−3，PF=12BP=33−32；当DE=PE=3时，点P与点B重合，这种情况不存在
8．【答案】D
【解析】【解答】∵在矩形 ABCD 中， AB=4，BC=6，CF=1 ，点 E 是 AD 的中点，
∴EF=32=18>4 ．
∴△PEF 是等腰三角形，存在三种情况：
①当 EF 为腰， E 为顶角顶点时，根据矩形的轴对称性，可知：在 BC 上存在两个点P，在 AB 上存在一个点P，共 3 个，使 △PEF 是等腰三角形；
②当 EF 为腰， F 为顶角顶点时，
∵18<6，
∴ 在 BC 上存在一个点 P ，使 △PEF 是等腰三角形；
③当 EF 为底， P 为顶角顶点时，点 P 一定在 EF 的垂直平分线上，
∴EF 的垂直平分线与矩形的交点，即为点 P ，存在两个点．
综上所述，满足题意的点 P 的个数是 6 ．
故答案为： D ．
【分析】根据等腰三角形的定义，分三种情况讨论：①当 EF 为腰， E 为顶角顶点时，②当 EF 为腰， F 为顶角顶点时，③当 EF 为底， P 为顶角顶点时，分别确定点P的位置，即可得到答案．
9．【答案】D
【解析】【解答】解：①MN为等腰ΔPMN的底边时，作PF⊥MN于F，如图所示：
则∠PFM=∠PFN=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，BC=AD=3AB=310，∠A=∠C=90°，
∴AB=CD=10，BD=AB2+AD2=10，
∵点P是AD的中点，
∴PD=12AD=3102，
∵∠PDF=∠BDA，
∴ΔPDF∽ΔBDA，
∴PFAB=PDBD，即PF10=310210，
解得：PF=32，
∵CE=2BE，
∴BC=AD=3BE，
∴BE=CD，
∴CE=2CD，
∵ΔPMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，PF⊥MN，
∴MF=NF，∠PNF=∠DEC，
∵∠PFN=∠C=90°，
∴ΔPNF∽ΔDEC，
∴NFPF=CECD=2，
∴MF=NF=2PF=3，
∴MN=2NF=6；
②MN为等腰ΔPMN的腰时，作PF⊥BD于F，如图所示：
由①得：PF=32，MF=3，
设MN=PN=x，则FN=3−x，
在RtΔPNF中，(32)2+(3−x)2=x2，
解得：x=158，即MN=158；
综上所述，MN的长为6或158．
故答案为：D.
【分析】根据题意可知有两种情况：①MN为等腰ΔPMN的腰时，作PF⊥BD于F，由①得：PF=32，MF=3，设MN=PN=x，则FN=3−x，在RtΔPNF中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②MN为等腰ΔPMN的底边时，作PF⊥MN于F，则∠PFM=∠PFN=90°，由矩形的性质得出AB=CD，BC=AD=3AB=310，∠A=∠C=90°，得出AB=CD=10，BD=10，证明ΔPDF∽ΔBDA，得出利用相似三角形的性质求出PF=32，证出CE=2CD，由等腰三角形的性质得出MF=NF，∠PNF=∠DEC，证出ΔPNF∽ΔDEC，利用相似三角形的性质求出NF=2PF=3，即可得出答案；
10．【答案】50
【解析】【解答】
解：如图所示，
∵∠CAB=140°，
∴∠DCA=180°−140°=40°
∵CD是AB上的高，
∴∠D=90°
∴∠DCA=90°−∠DAC=50°
故答案为：50．
【分析】根据题意得出∠DCA=40°，再根据直角三角形的两锐角互余即可求解．
11．【答案】43 ＜AD＜2
【解析】【解答】解：以AD为直径，作 ⊙O 与BC相切于点M，连接OM，则OM⊥BC，此时，在 Rt△ABC 的直角边上存在3个不同的点分别和点A、D成为直角三角形，如图，
∵在 Rt△ABC 中， ∠ACB=90°，∠CBA=30°，AC=1 ，
∴AB=2，
∵OM⊥BC，
∴sin30°=OMOB=12 ，
设OM=x，则AO=x，
∴x2−x=12 ，解得： x=23 ，
∴AD=2× 23 = 43 ，
以AD为直径，作 ⊙O ，当点D与点B重合时，如图，此时AD=AB=2，
∴在 Rt△ABC 的直角边上存在4个不同的点分别和点A、D成为直角三角形的三个顶点，则 AD 长的取值范围是： 43 ＜AD＜2.
故答案是： 43 ＜AD＜2.
【分析】以AD为直径，作○O与BC相切于点M，连接OM，则OM⊥BC，在Rt△ABC的直角边上存在3个不同的点分别和点A、D成为直角三角形，易得AB的值，设OM=x，则AO=x，然后根据sin 30°=OMOB=12可得x的值，进而求得AD；以AD为直径，作○O，当点D与点B重合时，AD=AB=2，据此可得AD的范围.
12．【答案】2cm或(3−3)cm
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°,BC=2cm，AC=23cm，
∴∠E=∠A=30°，∠ACD=∠ECD，AD=DE，
∴∠B=60°，AB=2BC=4，
情况1如图：
当∠DFE=90°时，∠BFC=90°，
∴∠FCB=30°，
∴BF=12BC=1，
∴AF=3，
同理∵∠E=30°，
∴DF=12DE=12AD，
∴DF+AD=12AD+AD=32AD=AF=3，
∴AD=2cm；
情况2如图：
当∠EDF=90°时，∠EFD=60°，
∴∠BFC=60°，
又∠B=60°，
∴△BFC为等边三角形，
∴BC=BF=CF=2，
AC=EC=23，
∵∠EDF=90°，∠E=30°，
∴DF=12EF=12（EC−CF）=3−1，
∴AD=AB−BF−DF=3−3，
综上可得AD的值为2cm或（3−3）cm.
故答案为：2cm或（3−3）cm.
【分析】根据∠ACB=90°,BC=2cm，AC=23cm， 可得∠E=∠A=30°，∠ACD=∠ECD，AD=DE，再由直角三角形两锐角的关系可得∠B=60°，AB=2BC=4，然后分情况讨论，当∠DFE=90°时，当∠EDF=90°时的情况，分别进行计算即可得到答案.
13．【答案】32 或 65
【解析】【解答】解：如图，连接OA，过点A作AD⊥BC于点D，
∵圆与AC相切于点A，
∴OA⊥AC，
①当∠CAD为90°时，此时D点与O点重合，设圆的半径=r，
∴OA=r，OC=4-r，
∴ AC=4，
在Rt△AOC中，
∵OA2+AC2=OC2，即r2+4= (4-r)2，
解得：r=32，
∴AD=AO=32；
②当∠ADC=90°时，
∵S△AOC=12OC×AD=12OA×AC，
AD=AO.ACOC，
∵AO=32，AC=2，OC=4-r=52，
∴AD=65，
综上所述，AD的长为32 或 65.
故答案为：32 或 65.
【分析】连接OA，过点A作AD⊥BC于点D，分两种情况讨论，即①当∠CAD为90°时，此时D点与O点重合，设圆的半径=r，在Rt△AOC中，根据勾股定理建立方程求解，即可解答；②当∠ADC=90°时，根据等面积法解答即可.
14．【答案】(3，12)或(3，1)或(3，3)
【解析】【解答】解：由题可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM=90°或∠CMP=90°
设点P(3，a)，则AP=a，BP=4-a
①若∠CPM=90°，在Rt△BCP中，
CP2=BP2+CB2=9+(4−a)2
在Rt△MPA中，MP2=MA2+AP2=1+a2
在Rt△MCP中，CM2=MP2+CP2=9+(4−a)2+1+a2=2a2−8a+26
又∵CM2=OM2+CO2=20
∴2a2-8a+26=20
即(a-3)(a-1)=0
解得a=3或a=1
∴P(3，3)或(3，1)
②若∠CMP=90°，在Rt△BCP中
CP2=BP2+CB2=9+(4−a)2
在Rt△MPA中，MP2=MA2+AP2=1+a2
∵CM2=OM2+CO2=20
在Rt△MCP中，CM2+MP2=CP2=20+1+a2=9+(4−a)2
即a=12
∴P(3，12)
综上所述，点P的坐标为(3，12)或(3，1)或(3，3)
故答案为：(3，12)或(3，1)或(3，3).
【分析】由题可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM=90°或∠CMP=90°，设点P(3，a)，则AP=a，BP=4-a，进而分类讨论：①若∠CPM=90°，②若∠CMP=90°，从而运用勾股定理结合题意即可求解。
15．【答案】278​​​​​​​
【解析】【解答】解：如图：
∵ 直线y=12(x+3)分别与函数y=kx(k>0)的图象交于A、B ，
∴12(x+3)=kx.
即x2+3x－2k=0.
设点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1>0>x2.
∴x1+x2=－3.
∴y1+y2=12x1+x2+6=32
过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥y轴于点E，
∵△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形 ，
∴∠BCA=90°，BC=AC.
∵∠BCE+∠CBE=90°=∠BCE+∠ACD.
∴∠CBE=∠ACD.
又∵∠BEC=∠CDA=90°，
∴△BCE≌△CAD(AAS).
∴CE=AD=x1，BE=DC=－x2.
∴DC=DE+CE=y1－y2+x1.
∴y1－y2+x1=－x2.
故y1－y2=－（x2+x1）=3.
又y1+y2=12x1+x2=32
解得：y1=94，y2=−34
∵y1=94=12x1+3，
∴x1=32.
∴k=94×32=278.
故答案为：278.
【分析】联立y=12(x+3)和y=kx(k>0)得x2+3x－2k=0，表示出x1+x2和y1+y2.过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥y轴于点E，利用等腰直角三角形的性质和AAS证明△BCE≌△CAD，得到CE=AD=x1，BE=DC=－x2.表示出DC的长，根据BE=DC得y1－y2+x1=－x2.从而可求出y1－y2，根据y1+y2和y1－y2的值求出y1，再代入求出x1，即可得到k值.
16．【答案】（3，0）或（-3，0）或(1+172，0)或(1−172，0)
【解析】【解答】解：∵一次函数y=−x+1与反比例函数y=−2x 的图象交于点A、B，
∴y=−x+1y=−2x的解是点A、B的坐标，
解这个方程组得：x1=−1y1=2，x2=2y2=−1，
∴A（-1，2），B（2，-1），
设P（n，0），
∵A（-1，2），B（2，-1），P（n，0），
∴AB2=（2+1）2+（1+2）2=18，BP2=（n-2）2+1，AP2=（n+1）2+4，
∵△ABP为直角三角形，
∴①当∠ABP=90°
AB2+BP2=AP2
∴18+(n-2)2+1=(n+1)2 +4，
∴n= 3，
∴ P(3， 0)，
②当∠BAP= 90°时，
AB2+ AP2= BP2，
∴18+(n+1)2 +4=(n-2)2+1，
∴n= -3，
∴P(-3，0)，
③当∠APB= 90°时，
AP2+ BP2= AB2，
∴(n+1)2+4+(n-2)2+1= 18，
∴n=1±172
∴P(1+172，0)或P(1−172，0)，
故答案为：P点的坐标(3，0)、 (-3，0)、(1+172，0)或(1−172，0)．
【分析】根据一次函数y=−x+1与反比例函数y=−2x 的图象交于点A、B，得出点A、B的坐标，设P（n，0），根据A（-1，2），B（2，-1），P（n，0），得出△ABP为直角三角形，①当∠ABP=90°，②当∠BAP= 90°，③当∠APB= 90°，分类讨论即可。
17．【答案】12﹣4 6 或 33 ﹣3或4
【解析】【解答】解：如图，作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N.
∴∠AMD＝∠DNC＝90°，
则△AMD、△DNC都是直角三角形.
∵△ABC是等边三角形，且AB＝8，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.
∵D为AC中点，
∴AD＝CD＝ 12 AC＝4.
在Rt△AMD中，
AM＝AD•cs∠A＝4×cs60°＝2，
DM＝AD•sin∠A＝4×sin60°＝2 3 ，
同理可得CN＝2，DN＝2 3 .
∴BM＝AB﹣AM＝6，
BN＝BC﹣CN＝6.
设BP＝a，
∵EP⊥AB
∴∠EPB＝90°.
在Rt△EPB中，
PE＝BP•tan∠B＝a•tan60°＝ 3 a，
BE＝ BPCOS∠B ＝ acs60° ＝2a.
∴MP＝BM﹣BP＝6﹣a，
EN＝BN﹣BE＝6﹣2a.
当△PDE为等腰三角形时，
①当PE＝DE时，
在Rt△DEN中，由勾股定理得：
EN2+DN2＝DE2.
即（6﹣2a）2+（2 3 ）2＝（ 3a ）2.
解得：a1＝12﹣4 6 ，a2＝12+4 6 ＞8（不合题意，舍去）.
即BP＝12﹣4 6 .
②当PE＝PD时，
在Rt△DMP中，由勾股定理得：
MP2+DM2＝PD2.
即（6﹣a）2+（2 3 ）2＝（ 3a ）2.
解得：a1＝ 33 ﹣3，a2＝﹣ 33 ﹣3（不合题意，舍去）.
即BP＝ 33 ﹣3.
③当PD＝DE时，E点在N点右侧时 才能成立，此时 EN＝a﹣6，因为DM＝DN，DP＝DE，都是直角三角形，所以MP＝EN，即6﹣a＝2a﹣6，解得a＝4.
综上所述，BP的长为12﹣4 6 或 33 ﹣3或4.
故答案为：12﹣4 6 或 33 ﹣3或4.
【分析】作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，解直角三角形求出AM，DM，CN，DN的长，从而得BM，BN的长，设BP＝a，求出MP和EN的长，分三种情况讨论：①当PE＝DE时，②当PE＝PD时，③当PD＝DE时，分别求出a的值，即可得出答案.
18．【答案】①③④
【解析】【解答】解：①∵点（x，y）在x轴的正半轴上，
∴y=0，
∴BC−AC=0，即AC=BC，
∵∠C=90°，
∴AB=AC2+BC2=2BC，故此说法符合题意；
②设P点坐标为（x1，2019x1），Q点坐标为（x2，2019x2），
∴P、Q两点对应的直角三角形的两条直角边分别为：x1，x1+2019x1；x2，x2+2019x2，
若P、Q对应的两个三角形相似，
∴x1x1+2019x1=x2x2+2019x2或x1x1+2019x1=x2+2019x2x2
∴x12=x22或2019x2x1+2019x1x2+20192x1x2=0
∵x>0，
∴x1=x2，2019x2x1+2019x1x2+20192x1x2≠0，不符合题意，
∴在函数y=2019x上不存在两点P，Q，使得它们对应的直角三角形相似，故②不符合题意；
③设P点坐标为（x1，(x1−2020)2−1），Q点坐标为（x2，(x2−2020)2−1），
∴P、Q两点对应的直角三角形的两条直角边分别为：x1，x1+(x1−2020)2−1；x2，x2+(x2−2020)2−1，
若P、Q对应的两个三角形相似，
∴x1x1+(x1−2020)2−1=x2x2+(x2−2020)2−1
∴(x1−x2)(x1x2+1−20202)=0
∵x>0，
∴x1x2+1−20202=0，
∴图像上的任意一点P都存在另一点Q，使得这两个点对应的直角三角形相似，故③符合题意；
④设P点坐标为（x1，−2x1+2020），Q点坐标为（x2，−2x2+2020），
∴P、Q两点对应的直角三角形的两条直角边分别为：x1，x1−2x1+2020=−x1+2020；x2，x2−2x2+2020=−x2+2020，
若P、Q对应的两个三角形全等，
∴x1=−x2+2020
∵x>0，
∴在函数y＝-2x+2020（x＞0）的图象上存在无数对点P，Q（P与Q不重合），使得它们对应的直角三角形全等，故④符合题意；
故答案为：①③④．
【分析】利用勾股定理、相似三角形的判定和性质，函数图象上点坐标的特征及全等三角形的性质逐项判断即可。
19．【答案】（1）解：∵A(2，0)，∴OA=2，
∵存在等腰△OAB是线段OA的“等幂三角形”，
∴S△OAB=OA2=4，
设OA边上的高为h，则S△OAB=12OA⋅ℎ=12×2ℎ=4，∴ℎ=4，
∴点B的纵坐标为4或−4；
∵△OAB是等腰三角形”，
∴若OB=AB时，点B在OA的垂直平分线上，∴点B坐标为(1，4)或(1，−4)；
若OB=OA=2时，OB<4，满足题意的点B不存在，舍去；
当AB=OA=2时，AB<4，满足题意的点B不存在，舍去，
综上，满足题意的点B坐标为(1，4)或(1，−4)；
（2）3−22【解析】【解答】
（2）解：当E1和E2在 ⊙T上，
等幂三角形是直角三角形，
E1(1，2)，E1(−1，0)，
∴E1E2平行于 y=x−3，
过点E1和E2分别向直线作垂线，
垂足为D1、D2，
设CD1=m，E1D1=2m，
CE1=2−12+−1−22=10，
根据勾股定理可得，
CD12+D1E12=CE12，
解得：m=2，
∴CD1=2，
∴CD2=2，
作CM∥x轴，D1M∥y轴，
∴∠D1CM=45°，
∴CM=22CD1=1，
∴xD1=xM=3，
xD2=1，
第二个临界点，
E3E4平行于 y=x−3，
相切于E5，
等幂三角形是直角三角形，
CE5=2+2，
则E3E5=12CE5=2+22，
∴CE3=E3E5=2+22，
∴xD3=xc+22CD1=2+52，
xD4=3−22，
结合图形可知，
3−22 【分析】
当E1和E2在 ⊙T上，等幂三角形是直角三角形，E1(1，2)，E1(−1，0)，E1E2平行于 y=x−3，
过点E1和E2分别向直线作垂线，垂足为D1、D2，求出xD1，xD2.第二个临界点，E3E4平行于 y=x−3，相切于E5，等幂三角形是直角三角形，画出图形求出取值范围.
20．【答案】（1）3
（2）解：当0当35（3）解：①当MQ//PN时，CMMN=CQPQ，
∵CQ=PQ，
∴CM=MN，
∴5t=6−10t，
解得t=25，
此时MN=6−10×25=2；②45或6043
【解析】【解答】解：（1）在Rt△ABC中， ， ，
∴BC=AC2−AB2=52−42=3，
（3）②如图1中，当NQ⊥AC时，∠CNQ=∠A，此时CN=MN．
在Rt△CPM中，CP=3t，
∵△CPM∽△CBA，
∴CPCB=PMAB=CMAC，
∴3t3=PM4=CM5，
∴PM=4t，AM=5t，
∵M，N关于点B对称，
∴BM=BN=5t−3，
∴CN=5t−2(5t−3)，
∴5t−2(5t−3)=2(5t−3)，
∴t=45，
如图2中，当∠CNA=∠A时，过点Q作QH⊥BC于H．
∵CQ=1.5t，
∴CH=35CQ=910t，QH=45CQ=65t，
∵BN=BM=5t−3，
∴CN=5t−3−3=5t−6，
∴NH=CN+CH=5t−6+910t=5910t−6，
∵tan∠CNA=HQNH=34，
∴65t5910t−6=34，
∴t=6043，
经检验t=6043是分式方程的解，
综上所述，满足条件的t的值为45或6043．
【分析】(1)直接利用勾股定理即可求解；
（2）分 0（3）先证明CM=MA，由此建立方程，解方程即可得出结论；
分两种情况进行讨论：如图1，当NQ⊥AC时，∠CNQ=∠A，进一步得CN=MN，即可建立方程得出结论；
如图2，当∠CNA=∠A时，过点Q作QH⊥BC于H，根据tan∠CAN=HQNH=34，进一步建立方程，即可求解.
21．【答案】（1）证明：∵PQ⊥AQ，
∴∠AQP=90∘，
在△AQP与△ABC中，
∵∠AQP=∠ABC，∠A=∠A，
∴△AQP∽△ABC．
（2）解：在Rt△ABC中，AC=AB2+BC2=5，
由（1）知△AQP∽△ABC，
∴AQAB=APAC，即AQ3=35，解得：AQ=95．
（3）解：①当点P在线段AB上时，若BP=1，则AP=AB−BP=3−1=2，
∵△AQP∽△ABC，
∴AQAB=APAC，
∴AQ3=25，解得：AQ=65，
∴Q运动的时长为65÷2=35（秒）；
②当点P在线段AB的延长线上时，若BP=1，则AP=AB+BP=4，
∵△AQP∽△ABC，
∴AQAB=APAC，
∴AQ3=45，AQ=125
∴点Q运动的时长为125÷2=65（秒）；
综上，求点P与点B的距离不大于1的时长为65−35=35（秒）．
（4）解：AP=6．
【解析】【解答】解：（4）如图1，当点P在线段AB上时，
若△BPQ为等腰三角形，则PQ=BP，
∵△AQP∽△ABC，
∴APAC=PQBC，即3−BP5=BP4，解得：BP=43，
∴AP=3−43=53；
如图2，当点P在线段AB的延长线上时，若△BPQ为等腰三角形，则BQ=BP，
∵BQ=BP，
∴∠BQP=∠BPQ，
.∵∠A+∠BPQ=90°，∠AQB+∠BQP=90°，
∴∠A=∠AQB，
∴AB=BQ，
∴BP=AB=3，
∴AP=6．
【分析】（1）先证∠AQP=∠ABC，再结合∠A=∠A即可证相似；
（2）先用勾股定理求得AC的长度，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可；
（3）分两种情况：点P在线段AB上或点P在AB的延长线上，分别求得BP=1时所需的时间，然后作差即可；
（4）分两种情况：点P在线段AB上或点P在AB的延长线上，分别根据等腰三角形的性质以及相似三角形的性质列比例式求解即可．
22．【答案】（1）解：过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形，
∴PM=DC=12，
∵QB=16−t，
∴S=12QB⋅PM=12(16−t)×12=96−6t(0≤t＜16)．
（2）解：当四边形ABQP是平行四边形时，AP=BQ，
即21−2t=16−t，
解得：t=5，
∴当t=5时，四边形ABQP是平行四边形．
（3）解：由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若PQ=BQ=16−t，则MQ=CM−CQ=2t−t=t，
在Rt△PQM中，由勾股定理得：PQ2=PM2+MQ2，
即(16−t)2=122+t2，
解得：t=72；
②若BP=BQ，在Rt△PMB中，根据勾股定理得：PB2=(16−2t)2+122，
由PB2=BQ2得：(16−2t)2+122=(16−t)2，
即3t2−32t+144=0，
此时，Δ=(−32)2−4×3×144=−704<0，
∴此方程无解，
∴BP≠BQ．
③若PB=PQ，则PB2=PQ2，
根据勾股定理得：PB2=(16−2t)2+122，PQ2=122+t2，
∴t2+122=(16−2t)2+122，
解得：t1=163，t2=16（不合题意，舍去）．
综上所述，当t=72或t=163时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形．
【解析】【分析】（1）过点P作PM⊥BC于M，利用四边形PDCM为矩形得出PM=DC=12，再表示出QB=16−t，S=12PM×QB=96−6t；
（2）当四边形ABQP为平行四边形时，AP=BQ，建立方程21−2t=16−t，可将t求出；
（3）分三种情况进行，①PQ=BQ时，在Rt△PQM中，由PQ2=PM2+MQ2，PQ=QB，将各数据代入建立方程，求出时间t；
②BP=BQ时，在Rt△PMB中，由PB2=BM2+PM2，BP=BQ，将数据代入建立方程，求出时间t；
③PB=PQ时，PB2=PM2+BM2，PB=PQ，将数据代入建立方程，求出时间t．
23．【答案】（1）C1、C3
（2）解：分两种情况讨论，当直线PQ在C点上方时，过C作CB⊥PQ于B，延长BC交x轴于H，如图所示，
则△BPH为等腰直角三角形，BP=BH>BC，
故在线段PQ上必存在A点，使得∠ABC=90°，AB=BC，
将x=2，y=1代入y=－x+b得：b=3，
即b>3；
当直线PQ在C点下方时，过C作CB⊥PQ于B，CB延长线交x轴于H，
则当BQ≥BC时，符合题意，
当直线PQ过H点时，BQ=BC，如图所示，
此时，－1+b=0，即b=1，
即1≤b<3，
综上所述，b的取值范围为：1≤b<3或b>3．
（3）解：2≤d≤22+2
【解析】【解答】(1)解：如图所示，
由题意知三角形OC1M为等腰直角三角形，C1符合题意；
过C2作C2A⊥OM于A，则AM=3，C2A=4，三角形AMC2不是等腰三角形，C2不符合题意；
过C3作C3B⊥OM于B，则C3B=AB=1，三角形ABC3是等腰直角三角形，符合题意；
故答案为：C1、C3．
(3)解：通过分析可知，当直线EF在下图中的位置之间运动时，符合要求，
此时，OE=OF=2，即d=2，
此时，∠HEO=22.5°，即EH为∠EHF的平分线，
过H作HM⊥EF于M，则HM=OH=2，
∴FM=2，
由勾股定理得：FH=22，
即OE=OF=22+2，即d=22+2
∴2≤d≤22+2．
【分析】等腰直角三角形的性质是解题的关键。
24．【答案】（1）解：①（0，2）；
②如图，当OP=AB时，作PH⊥x轴于点H，
在Rt△POH中，PH=1，OP=AB=2，
∴OH=OP2−PH2=3 ，
故若n＜0，且线段AB关于射线OC的等腰点的纵坐标小于1时， n<−3 ；
（2）解：如图，作CH⊥y轴于点H，分别以点A、B为圆心，AB为半径作⊙A，⊙B，
如图，当⊙B与OC相切于点P时，连接BP，
∴OP⊥BP，
∴∠BPO=90°，
当 n=33 时， C(33，1) ，
故 HC=33，OH=1 ，由勾股定理可得 OC=233 ，
∴∠COH=30°，
∴∠POB=60°，
∵BP=2，
∴OB=2sin60°=433 ，
故 t=433−2 ，
如图，当⊙A与OC相切于点P时，连接AP，
同理可得 OA=433 ，
当⊙A经过原点时，此时OA=2，即t=2，观察图形可知，满足条件的t的值为 433−2综上所述，满足条件t的值为 −4【解析】【解答】解：（1）①由题意可得：点 A(0，0)，B(2，0)，C(0，1) ，如图所示：
∵点P为线段AB关于射线OC的等腰点，
∴OP=AB=2，
∴P(0，2) ；
故答案为： (0，2) ；
【分析】（1）①根据n=0，t=0找出点A、B、C的位置，根据等腰点的概念可得OP=AB=2，据此不难得到点P的坐标；
②当OP=AB时，作PH⊥x轴于点H，则PH=1，OP=AB=2，由勾股定理求出OH，据此可得n的范围；
（2）作CH⊥y轴于点H，分别以点A、B为圆心，AB为半径作⊙A，⊙B，当⊙B与OC相切于点P时，连接BP，则∠BPO=90°，根据点C的坐标可得HC、OH，由勾股定理求出OC，得∠COH=30°，∠POB=60°，然后根据三角函数的概念求出OB，据此可得t；当⊙A与OC相切于点P时，连接AP，同理可得OA；当⊙A经过原点时，此时OA=2，即t=2，据此不难得到t的范围.
25．【答案】（1）−310t2+32t
（2）解：如图，连接PP’，PP’交QC于点E，
当四边形PQP’C为菱形时，
PE垂直平分QC，
∴PE⊥AC，QE＝EC，
∵PE∥BC，
∴△APE∽△ABC，
∴AEAC=APAB，
∴AE4=5−t5，
∴AE＝−45t+4，
∴QE＝AE－AQ＝−45t+4－t＝−95t+4，
∴−95t+4＝2−12t，
∴t＝2013，
∵0＜t＜2013，
∴当四边形PQP’C为菱形时，t的值为2013；
（3）解：由（1）知，PE＝−35t+3，
由（2）知：QE＝−95t+4，
根据勾股定理可得PQ2＝PE2＋QE2＝185t2−18t+25，
在△APQ中，分三种情况讨论：
①当AQ＝AP时，
即t＝5－t时，
解得：t1＝52；
②当PQ＝AQ时，
即185t2−18t+25＝t2时，
解得：t2＝2513，t3＝5；
③当PQ＝AP时，
即185t2−18t+25＝(5－t)2时，
解得：t4＝4013，t5＝0；
∵0＜t＜4，
∴t3＝5，t5＝0不合题意，舍去，
∴当t的值为52或2513或4013时，△APQ是等腰三角形．
【解析】【解答】解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，
∵AC＝4，BC＝3，
∴AB＝AC2+BC2＝5，
根据题意可知：BP＝AQ＝t，
∴AP＝AB－BP＝5－t，
如图，过点P作PE⊥AC于点E，
∴∠PEC＝∠C＝90°，
∴PE∥BC，
∴△APE∽△ABC，
∴PEBC=APAB，
∴PE3=5−t5，
∴PE＝−35t+3，
∴△APQ的面积＝12×AQ·PE＝12×t·（−35t+3）＝−310t2+32t，
∴S＝−310t2+32t；
【分析】（1）过点P作PE⊥AC于点E，先证出△APE∽△ABC，可得PEBC=APAB，再将数据代入可得PE3=5−t5，求出PE＝−35t+3，最后利用三角形的面积公式求解即可；
（2）先证出△APE∽△ABC，可得AEAC=APAB，再求出 AE＝−45t+4， 利用线段的和差求出 QE＝AE－AQ＝−45t+4－t＝−95t+4， 再利用菱形的性质列出方程 −95t+4＝2−12t， 最后求出t的值即可；
（3）分类讨论： ①当AQ＝AP时，②当PQ＝AQ时，③当PQ＝AP时， 再分别列出方程求解即可.
26．【答案】（1）解：∠CPD是CD的“幸运角”，理由：
∵AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，
∴AB平分EC，
即AB为EC的垂直平分线，
∴PC=PE，
∵AB⊥EC，
∴∠CPA=∠EPA.
∵∠BPD=∠EPA，
∴∠CPA=∠BPD，
∴∠CPD是CD的“幸运角”；
（2）解：∵CD的度数为n，
∴∠CED=n2，
∵CE⊥AB，
∴∠APE=90°−∠CED=90°−n2.
∴∠BPD=∠APE=90°−n2，
∴∠APC=∠BPD=90°−n2.
∵CD的“幸运角”度数=∠CPD=180°−∠APC−∠BPD=n.
∴CD的“幸运角”度数为n；
（3）解：①连接OC，OD，如图，
∵CD的“幸运角”为90°，∴∠APC=∠BPD=180°−90°2=45°.∴∠APE=∠BPD=45°，
∵CE⊥AB，∴∠E=∠APE=45°，
∴∠COD=2∠E=90°.
∵直径AB=10，
∴OC=OD=5，
∴CD=2OC=52；
②∵∠CPD=90°，∠E=45°，
∴△CPE为等腰直角三角形，
∴PC=PE.
设PC=PE=x，则PD=DE−PE=72−x，
在Rt△PCD中，
∵PC2+PD2=CD2，
∴x2+(72−x)2=(52)2，
解得：x=32或x=42，∴PC=PE=32或42，
∴CE=2PC=6或8.
【解析】【分析】（1）由题意可得AB平分EC，则PC=PE，由等腰三角形的性质可得∠CPA=∠EPA，由对顶角的性质可得∠BPD=∠EPA，则∠CPA=∠BPD，据此判断；
（2）根据弧的度数为其所对圆周角的2倍可得∠CED=n2，由余角的性质可得∠APE=90°-n2，由（1）可得∠APC=∠BPD=90°-n2，然后根据CD的“幸运角”度数=180°-∠APC-∠BPD进行计算；
（3）①连接OC、OD，结合“幸运角”的概念可得∠APC=∠BPD=45°，则∠APE=∠BPD=45°，由圆周角定理可得∠COD=2∠E=90°，据此求解；
②易得△CPE为等腰直角三角形，PC=PE，设PC=PE=x，则PD=72-x，在Rt△PCD中，利用勾股定理可得x，进而可得CE的值.