【冲刺2024数学】中考真题(2023泰州)及变式题(江苏泰州2024中考专用)选择填空题部分
展开【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案.
【详解】解:.
故选:B.
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简,正确化简二次根式是解题关键.
2.C
【分析】本题主要考查了化简二次根式,根据公式进行求解即可.
【详解】解:
故选:C.
3.C
【分析】根据二次根式的运算法则可得出,再分情况计算a的值即可.
【详解】解:,
当时,;当时,;
故选C.
【点睛】本题考查了二次根式的运算法则,熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键.
4.B
【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案.
【详解】解:A、,原式计算错误,故本选项不符合题意;
B、,原式计算正确,故本选项符合题意;
C、,原式计算错误,故本选项不符合题意;
D、,原式计算错误,故本选项不符合题意;
故选:B.
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简,正确化简二次根式是解题关键.
5.C
【分析】分析题意,回想二次根式的性质;对于式子,有,其中;根据以上信息,结合题目中的式子,可令,进而即可求出结果.
【详解】解:由于,
故选:C.
【点睛】本题主要考查二次根式的求解,属于基础题.
6.C
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴进行分析即可.
【详解】解:A,B,D选项中的图形都不能找到这样的一条直线,使图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,所以不是轴对称图形;
C选项中的图形能找到这样的一条直线,使图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,所以是轴对称图形;
故选:C.
【点睛】本题考查了利用轴对称设计图案,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合.
7.B
【详解】【分析】根据轴对称图形的概念,在一个平面内,如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合,这样的图形叫做轴对称图形;四个字中只有两个字符合要求.
【详解】四个汉字中,可以看作轴对称图形的是美和合.
故选B
【点睛】本题考核知识点:轴对称图形. 解题关键点:根据轴对称图形的定义,逐个分析.
8.C
【分析】根据轴对称图形的定义:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁部分能够完全重合的图形;由此问题可求解.
【详解】解:C选项是轴对称图形,A、B、D选项都不是轴对称图形;
故选:C.
【点睛】本题主要考查轴对称图形的识别,熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键.
9.B
【分析】本题考查轴对称图形,解答本题的关键是明确轴对称图形的定义,一个图形沿着一条直线折叠,直线两旁的部分能够相互重合,那么这个图形叫做轴对称图形,根据定义,逐项判断即可求解.
【详解】解:A.该图形既不是中心对称图形,也不是轴对称图形,故本选项不符合题意;
B.该图形既是轴对称图形又是中心对称图形,故本选项符合题意;
C.该图形是中心对称图形,但不是轴对称图形,故本选项不符合题意;
D.该图形既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故本选项不符合题意;
故选:B.
10.D
【分析】本题考查了轴对称图形、中心对称图形的识别.熟练掌握:平面内,一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形;如果把一个图形绕某一点旋转后能与自身重合,这个图形是中心对称图形是解题的关键.
根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可.
【详解】解:A中既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故不符合要求;
B中是轴对称图形,不是中心对称图形,故不符合要求;
C中是轴对称图形,不是中心对称图形,故不符合要求;
D中既是轴对称图形,又是中心对称图形,故符合要求;
故选:D.
11.A
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及零指数幂的性质、合并同类项法则分别化简,进而得出答案.
【详解】解:A.,故此选项符合题意;
B.,故此选项不合题意;
C.,故此选项不合题意;
D.与无法合并,故此选项不合题意.
故选:A.
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及零指数幂的性质、合并同类项,正确掌握相关运算法则是解题关键.
12.D
【分析】本题考查整式的除法运算,负整数幂,零指数幂,熟练掌握整式的除法法则运算是解答本题的关键;
根据整式除法,负整数幂,零指数幂,的运算法则逐项进行判断即可;
【详解】A、,计算错误;
B、,计算错误;
C、,计算错误;
D、,计算正确,
故选:D.
13.B
【分析】根据幂的乘方的运算法则、积的乘方的运算法则、零指数幂及负整数指数幂的运算法则将各选项计算出来,然后进一步判断即可.
【详解】A:,A选项错误,所以A选项不符合题意;
B:,B选项正确,所以B选项符合题意;
C:,C选项错误,所以C选项不符合题意;
D:,D选项错误 ,所以D选项不符合题意.
故选:B.
【点睛】本题主要考查了幂的乘方的运算法则、积的乘方的运算法则、零指数幂及负整数指数幂的运算法则,解题关键是熟练掌握相关方法.
14.A
【分析】根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方以及积的乘方解决此题.
【详解】解:A.根据幂的乘方,,故此选项符合题意;
B.根据同底数幂的乘法,,故此选项不符合题意;
C.根据积的乘方,,故此选项不符合题意;
D.根据同底数幂的除法,,故此选项不符合题意.
故选:A.
【点睛】本题考查同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方以及积的乘方,熟练掌握同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方以及积的乘方是解题的关键.
15.D
【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法及积的乘方,解题的关键是熟练掌握各个运算法则;因此此题可根据同底数幂的乘除法及积的乘方可进行求解.
【详解】解:A、,原计算错误,故不符合题意;
B、,原计算错误,故不符合题意;
C、,原计算错误,故不符合题意;
D、,原计算正确,故符合题意;
故选D.
16.D
【分析】根据频率的稳定性解答即可.
【详解】解:在多次重复试验中,一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动,并且趋于稳定这个性质称为频率的稳定性.
故选:D.
【点睛】本题考查了频率与概率,掌握频率的稳定性是关键.
17.A
【分析】根据概率和频率的区别即可解题.
【详解】解:试验所得的概率被称为频率,代表一次试验中某次试验出现的次数与试验总数的比值,而概率是某一事件固有的性质,频率是变化的,每次试验都可能不同,概率是稳定不变的.
∴试验所得的概率可能等于理论概率,A项过于绝对,
故A错误.
【点睛】本题考查了概率和频率的区别,属于简单题,熟悉概率和频率的区别和联系是解题关键.
18.B
【分析】
本题考查了利用频率估计概率,能正确理解相关概念是解题的关键.根据图形和各个小题的说法可以判断是否正确,从而可以解答本题.
【详解】解:当投掷次数是500时,计算机记录“钉尖向上”的次数是308,所以此时“钉尖向上”的频率是:,但“钉尖向上”的概率不一定是0.616,故①错误;
随着实验次数的增加,“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动,显示出一定的稳定性,可以估计“钉尖向上”的概率是0.618.故②正确;
若再次用计算机模拟实验,则当投掷次数为1000时,“钉尖向上”的频率可能是0.620,但不一定是0.620,故③错误.
故选:B.
19.B
【分析】大量重复试验时,事件发生的频率在某个固定位置左右摆动,并且摆动的幅度越来越小,根据这个频率稳定性定理,可以用频率的集中趋势来估计概率,这个固定的近似值就是这个事件的概率即可得到答案.
【详解】解:由此估计这种幼苗在此条件下成活的概率约为0.9,故A选项正确;
如果在此条件下再移植这种幼苗20000株,则大约成活18000株,故B选项错误;
可以用试验次数累计最多时的频率作为概率的估计值,故C选项正确;
在大量重复试验中,随着试验次数的增加,幼苗成活的频率会越来越稳定,因此可以用频率估计概率,故D选项正确.
故选:B.
【点睛】本题主要考查的是利用频率估计概率,大量反复试验下频率稳定值即概率,掌握这个知识点是解题的关键.
20.D
【分析】根据频率概率的关系进行判断即可.
【详解】A.频率只能估计概率,故此选项错误;
B. 实验得到的频率与概率可能相等,故此选项错误;
C. 当实验次数很大时,频率稳定在概率附近,故此选项错误;
D. 当实验次数很大时,频率稳定在概率附近,正确.
故选D.
【点睛】本题考查频率与概率的关系,大量反复试验时,某事件发生的频率会稳定在某个常数附近,这个常数就叫做事件概率的估计值,而不是一种必然的结果.
21.C
【分析】根据反比例函数的坐标特征,一次函数的性质,二次函数的坐标特征即可判断.
【详解】解:A、若直线过点,
则,解得,
所以,
当时,,故不在直线上,故A不合题意;
B、由表格可知,y与x的每一组对应值的积是定值为4,所以y是x的反比例函数,,不合题意;
C、把表格中的函数y与自变量x的对应值代入得
,解得,符合题意;
D、由C可知,不合题意.
故选:C.
【点睛】主要考查反比例函数、一次函数以及二次函数图象上点的坐标特征,熟练掌握待定系数法是解题的关键.
22.D
【分析】根据表格中x和y的值,结合所学过的三种函数的性质判断出正确选项.
【详解】解:根据表格中x和y的值,可以推断出y的值并不随着x的增大而一直增大或一直减小,所以该函数不是一次函数,可以排除A选项,
又因为x和y的乘积也不是不变的,所以该函数不是反比例函数,可以排除B选项,
那么在C和D这两个二次函数中选一个,
当和时,y的值相等,所以图象的对称轴是,
在对称轴的左边,y随着x的增大而增大,在对称轴的右边,y随着x的增大而减小,所以抛物线开口向下,即D选项是正确的.
故选:D.
【点睛】本题考查二次函数图象的性质,解题的关键是能够根据表格中的点坐标的信息判断出函数解析式.
23.B
【分析】先根据矩形的周长和面积公式列出函数关系式,然后根据反比例函数和二次函数的定义即可解答.
【详解】解:①∵矩形的周长为20,一边长x
∴另一边长为
∴为二次函数;
②∵矩形的面积为20,矩形的长x
∴是反比例函数.
故选B.
【点睛】本题主要考查了反比例函数、二次函数解析式的判定等知识点,正确列出函数解析式是解答本题的关键.
24.C
【分析】根据表格中x和y值得变化规律判断即可.
【详解】解:根据表格数据判断xy=6,故有可能为反比例函数;x从-3到3,y的值在增加,然后x从3到6,y值在减小,所以也有可能是二次函数.
故选:C
【点睛】本题主要考查函数的基本关系,能够从自变量何因变量的数值变化判断函数类型是解题的关键.
25.A
【分析】根据可得,则与成一次函数,再根据正方形的面积公式可得,则S与x满足的函数关系是二次函数关系.
【详解】解:由题意得:、 ,
∴与,与满足的函数关系分别为一次函数关系,二次函数关系.
故选:A.
【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的定义,掌握正方形面积公式和线段的和差是解本题的关键.
26.A
【分析】分两种情况:①如图,将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转,连接,相交于点O,与交于点E,根据菱形的性质推出的长,再根据菱形的性质推出与的长,再根据重叠部分的面积求解即可.②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转,同①方法可得重叠部分的面积.
【详解】解:①如图,将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转30°,
连接,相交于点O,与交于点E,
∵四边形是菱形,,
∴,
∵,
∴,,
∴,
∵菱形绕点A顺时针旋转得到菱形,
∴,
∴A,,C三点共线,
∴,
又∵,
∴,,
∵重叠部分的面积,
∴重叠部分的面积;
②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转,同①方法可得重叠部分的面积,
故选:A.
【点睛】本题考查了旋转的性质,菱形的性质,正确作出图形是解题的关键.
27.B
【分析】用两个正方形面积和减去重叠部分面积即可,重叠部分可看作两个全等的直角三角形.
【详解】解:设交于点,连接,
∵,,,
∴,
∴,
旋转角,
,
,
∴,
在中,,
∴,
,
.
故选:B.
【点睛】本题考查正方形的性质,勾股定理的应用,化为最简二次根式,旋转的性质,四边形面积计算等知识,解题的关键是学会利用分割法求阴影部分面积,记住,属于中考常考题型.
28.D
【分析】由“”可证,可得,,,即可判断①②③,连接,由勾股定理可推出,故④正确,运用勾股定理求出,即可求解.
【详解】解:∵四边形和是正方形
∴,且,
∴,
∴
∴,,故①符合题意,
如图,设与交于点P,与交于点O,
∵,,
∴,
∴,故②符合题意,
如图2,过点G作,过点E作,
∴,且,
∴,且,
∴
∴,
∴,
∴,故③正确;
连接,如图所示,
∴,,
∴,故④正确;
如图,连接,交于点M,则
由勾股定理得,,
∴,
在中,
∴,故⑤正确,
所以,正确的结论有5个,
故选:D
【点睛】本题主要考查了正方形的性质,旋转的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,综合性较强,证明是解题的关键.
29.D
【分析】根据菱形的性质及中点的坐标公式可得点坐标,再根据旋转的性质可得旋转后点的坐标,进而可求出其纵坐标.
【详解】解:菱形的两个顶点,,
点坐标为,即,
菱形绕点以每秒的速度逆时针旋转,
第2018秒时,得,
周,
旋转了周,
菱形的对角线交点的坐标为,
菱形的对角线交点的纵坐标为1,
故选:D.
【点睛】本题主要考查菱形的性质及旋转的性质,熟练掌握菱形的性质及中点的坐标公式、中心对称的性质是解题的关键.
30.B
【分析】将绕点逆时针旋转得,连接,则是等腰直角三角形,,再利用三角形三边关系可得答案.
【详解】解:将绕点逆时针旋转得,连接,
则是等腰直角三角形,,
,
在中,,
的最大值为,
即的最大值为6,
故选:B.
【点睛】本题主要考查了正方形的性质,旋转的性质,三角形三边关系等知识,熟练掌握旋转的性质是解题的关键.
31.
【详解】解:由题意知:x-2≠0,解得x≠2;
故答案为x≠2.
32.
【分析】根据分式有意义的条件:分母不为0进行解答即可.
【详解】解:由题意得,即,
故答案为:.
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围问题,掌握分式有意义的条件:分母不为0是解题的关键.
33.x<1
【详解】根据x-1的绝对值与本身的比为-1,说明绝对值与本身互为相反数,故可知x-1<0,即x<1.
故答案为x<1.
34.x≠-4
【分析】由分式有意义的条件即可得到答案.
【详解】解:由分式有意义的条件有
解得
故答案为:.
【点睛】本题考查分式有意义的条件,熟练掌握相关知识是解题的关键.
35.x≠0且x≠±1
【分析】要想使分式有意义,那么分式的分母就不能为0,据此列出关于x的不等式组,解不等式组即可求得x的取值范围.
【详解】由题意可知,只有当:时,原分式才有意义,解得:,即当x≠0且x≠±1时,原分式有意义.
故答案为x≠0且x≠±1.
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件,要求掌握.对于任意一个分式,分母都不能为0,否则分式无意义.解此类问题,只要令分式中分母不等于0,求得字母的取值即可.本题的难点在于,题中是一个繁分式,需一层一层分析,x是的分母,所以x≠0; x﹣是的分母,所以x﹣≠0;1﹣又是整个分式的分母,因此1﹣≠0.繁分式的有关知识超出初中教材大纲要求,只在竞赛中出现.
36.
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
【详解】解:.
故答案为:.
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为,其中,为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
37.
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂,指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
【详解】解:将数用科学记数法表示正确的是,
故答案为:.
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为,其中,n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
38.
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
【详解】解.
故答案为:
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为,其中,n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
39. 6.307×108, 2.038×10-7, -0.0000519
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>10时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【详解】630 700 000=6.307×108,
0.000 000 203 8= 2.038×10-7,
5.19×10-5=-0.0000519.
故答案为6.307×108,2.038×10-7,-0.0000519
【点睛】此题考查的知识点是科学记数法-原数及科学记数法-表示较小的数,关键要明确用科学记数法表示的数还原成原数时,n<0时,|n|是几,小数点就向左移几位.用科学记数法表示较小的数,一般形式为a×10-n,其中1≤|a|<10,n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.用科学记数法表示数,一定要注意a的形式,以及指数n的确定方法.
40.
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
【详解】解:.
故答案为:.
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为,其中,n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
41.
【分析】由两个相似图形,其周长之比为,根据相似图形的周长的比等于相似比,即可求得其相似比,又由相似图形的面积的比等于相似比的平方,即可求得答案.
【详解】解:两个相似图形,其周长之比为,
其相似比为,
其面积比为.
故答案为:.
【点睛】此题考查了相似图形的性质.此题比较简单,注意熟记定理是关键.
42.
【分析】利用已知得出,进而利用相似三角形的性质求出即可.
【详解】解:由题意可得:,
∴,
∴.
∴像的长为,
故答案为:.
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用,熟练掌握相似三角形的性质是解题关键.
43.
【分析】根据相似三角形的性质求解即可.
【详解】解:∵两个相似三角形的周长比是,
∴这两个三角形的相似比为
∴这两个三角形的面积比是;
故答案为:.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质,熟知相似三角形的周长之比等于相似比,面积之比等于相似比的平方是解题的关键.
44.
【分析】本题考查了相似三角形的性质,两个相似三角形对应角平分线的比等于相似比,两个相似三角形对应高的比也等于相似比,据此即可求解.
【详解】解:∵两个相似三角形对应角平分线的比为,
∴ 相似比为
故这两个三角形对应高的比是,
故答案为:
45.4:9
【分析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出结论.
【详解】解:∵△ADE∽△ABC,AD:AB=2:3,
∴.
故答案为:4:9.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质,牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.
46.
【分析】由,可得,根据,计算求解即可.
【详解】解:由,可得,
∴,
故答案为:.
【点睛】本题考查了代数式求值.解题的关键在于正确的运算.
47.0
【分析】将原式变形为,将代入计算即可.
【详解】解:∵
∴
故答案为:0
【点睛】本题考查整式的变形求值,通过观察将所求进行变形与已知条件建立联系是解题关键.
48.
【分析】本题考查整式的加减.观察各系数可得,第一个式子加上第二个式子的3倍,得到,两边再乘以即可解答.
【详解】∵,,
∴,得,
∴.
故答案为:
49.
【分析】本题主要考查了因式分解的应用,将多项式因式分解,利用整体代入可得.
【详解】解:.
,,
原式.
故答案为:.
50.
【分析】此题考查了整式加减的化简求值,先去括号并合并同类项后,把字母的值代入化简结果计算即可.
【详解】解:
当,时,
原式
故答案为:
51.
【分析】根据正多边形和圆的性质,计算半径为的圆周长的五分之一即可.
【详解】解:由题意得,半径为的圆内接正五边形一边所对劣弧的长是半径为的圆周长的五分之一,
所以,
故答案为:.
【点睛】本题考查正多边形和圆,掌握弧长、圆周长计算方法是正确解答的关键.
52.
【分析】连接CF,DF,得到△CFD是等边三角形,得到∠FCD=60°,根据正五边形的内角和得到∠BCD=108°,求得∠BCF=48°,根据弧长公式即可得到结论.
【详解】解:如图,连接CF,DF,
则△CFD是等边三角形,
∴∠FCD=60°,
在正五边形ABCDE中,∠BCD=108°,
∴∠BCF=48°,
∴,
故答案为:.
【点睛】本题考查了正多边形与圆,弧长的计算,等边三角形的判定和性质,正确作出辅助线是解题的关键.
53.2π
【分析】设∠ADB=x°,则∠ACB=∠AOB=2x°,利用圆内接四边形对角互补,求得x的度数,根据弧长公式计算即可.
【详解】设∠ADB=x°,则∠ACB=∠AOB=2x°,
∵四边形ACBD内接于⊙O,,
则∠ACB=∠AOB=2x°,
∴∠ACB+∠ADB=180°,
∴2x+x=180°,
解得x=60,
∴∠AOB=2x°=120°,
∵⊙O的半径为3,
∴=2π,
故答案为:2π.
【点睛】本题考查了圆周角定理,圆内接四边形的性质,弧长公式,熟练掌握圆内接四边形的性质,灵活运用弧长公式是解题的关键.
54.
【分析】连接,,首先根据切线的性质和正五边形的性质求得圆心角的度数,然后利用弧长公式进行计算.
【详解】解:如图:连接,,
∵与正五边形的边、相切于点M、N,
∴,
在正五边形中,,
∴,
∴劣弧的长度为,
故答案为:.
【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识,解题的关键是能够连接,,从而求得劣弧所在扇形的圆心角,利用扇形弧长公式求解.
55.
【分析】根据圆周角定理及等边三角形性质进行求解.
【详解】∵半径为2,
∴周长=2πr=4π,
∵等边内接于,
∴弧=弧= 周长=
故答案为
【点睛】本题考查的是圆周角定理及等边三角形性质的知识点,熟练掌握知识点是本题的解题关键.
56.
【分析】根据中位数的意义解答即可.
【详解】解:因为有40个数据,中位数应是数据有小到大排列第20、21个数据的平均数,
由频数分布直方图可知:第组的人数分别为5,7,12,9,7,
所以第20、21个数据都在第3组,即,这两个数的平均数一定小于2.6,
故答案为:.
【点睛】本题考查频数分布直方图,中位数的概念,能从频数分布直方图中获取有用信息,明确中位数的确定方法是解题的关键.
57.23.5
【分析】根据中位数的概念求解.
【详解】这组数据按照从小到大的顺序排列为:22,22.5,23,23.5,24,24.5,25,则这组尺码数据的中位数是23.5,故答案为23.5.
【点睛】本题考查了中位数的知识,将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数,如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数,掌握中位数的求法是解决本题的关键.
58.7
【分析】先求出甲箱的球数,根据乙箱中位数30,得出乙箱中小于、大于30的球数,从而得出甲箱中小于30的球数.
【详解】解:甲箱中剩球90-45=45(颗),
∵乙箱内球的号码的中位数为30,
∴小于、大于30各有(颗),
∴甲箱中小于30的球有29-22=7(颗),即a=7,
故答案为:7.
【点睛】此题考查了中位数的应用,正确理解中位数的定义及确定中位数的方法是解题的关键.
59.
【分析】本题考查确定一组数据的中位数的能力.解题的关键是先把数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列,然后再根据奇数和偶数个数来确定中位数,如果数据有奇数个,则正中间的数字即为所求,如果是偶数个则找中间两位数的平均数.据此解答即可.
【详解】解:把这些数从小到大排列为:,,,,,,,
最中间的数是,
∴中位数是.
故答案为:.
60.5
【分析】根据中位数的定义求解可得.
【详解】解:∵这20个数据的中位数是第10、11个数据的平均数,且第10个、11个全部位于第三组(40≤x<50)内,
∴第10个、11个数据均为40,
∵小于40的有6个,
∴第7、8、9、10、11个数据一定为40,
∴仰卧起坐次数为40次的女生人数至少有5人,
故答案为5.
【点睛】本题主要考查频数分布直方图和中位数,解题的关键是掌握中位数的概念.
61.
【分析】利用根与系数的关系进行求值.
【详解】解:,
,
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系,熟练掌握.
62.
【分析】运用根与系数关系定理,具体化求解即可.
【详解】解:∵是关于x的方程x2﹣kx+k﹣2=0的两个根,,
∴=k,=k﹣2,
∴=1﹣2=﹣1.
故答案为﹣1.
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系,熟练掌握定理并灵活运用是解题的关键.
63.8
【分析】利用根与系数的关系求解即可.
【详解】解:利用根与系数的关系可知:,
故答案为:8.
【点睛】本题考查一元二次方程中根与系数的关系:,关键是要记住公式.
64.-3
【分析】根据一元二次方程的根与系数关系得到,,代入即可得到答案.
【详解】解:∵是方程的两根,
∴,,
∴,
故答案为:﹣3
【点睛】此题考查了一元二次方程的根与系数关系,熟练掌握一元二次方程的根与系数关系的内容是解题的关键.
65.
【分析】根据、是一元二次方程的两个根,则有,求解即可.
【详解】解:由题意得
,
原式.
故答案:.
【点睛】本题考查了韦达定理,掌握定理是解题的关键.
66.(答案不唯一)
【分析】根据根与系数的关系即可求解.
【详解】解:设二次函数的图象与轴交点的横坐标为、,
即二元一次方程的根为、,
由根与系数的关系得:,,
一次函数的图象与轴有一个交点在轴右侧,
,为异号,
,
故答案为:(答案不唯一).
【点睛】本题考查抛物线与轴的交点,根与系数之间的关系,关键是根与系数之间的关系的应用.
67.
【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系.理解二次函数图象与x轴的交点问题可转化为其相关一元二次方程的解的问题是解题关键.由题意可知方程有两个相等的实数根,再根据其根的判别式求解即可.
【详解】解:∵函数的图象与x轴有且只有一个交点,
∴方程有两个相等的实数根,
∴,
解得:.
故答案为:.
68.
【分析】根据一元二次方程根的判别式,即可求得.
【详解】解:∵二次函数的图象与轴无交点,
∴无实数根,
∴,
解得
故答案为:
【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程根的判别式,掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键.
69.
【分析】本题考查的是二次函数的性质,掌握顶点在x轴上即,然后根据对称轴在负半轴上计算是解题的关键.
【详解】解:抛物线的顶点在x轴上,
∴,
解得:,
又∵顶点在x轴的负半轴上,
∴,
∴,
∴,
故答案为:.
70.4
【分析】设交点式为y=﹣(x﹣m)(x﹣m﹣4),在把它配成顶点式得到y=﹣[x﹣(m+2)]2+4,则抛物线的顶点坐标为(m+2,4),然后利用抛物线的平移可确定n的值.
【详解】解:设抛物线解析式为y=﹣(x﹣m)(x﹣m﹣4),
∵y=﹣[x2﹣2(m+2)x+(m+2)2﹣4]
=﹣[x﹣(m+2)]2+4,
∴抛物线的顶点坐标为(m+2,4),
∴该函数图象向下平移4个单位长度时顶点落在x轴上,即抛物线与x轴有且只有一个交点,
即n=4,
故答案为:4.
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点:将求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程,也考查了二次函数的性质,熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键.
71.9
【分析】由切圆于D,切圆于C,连接,得到,里,由勾股定理求出,由,求出(里),即可得到答案.
【详解】解:如图,表示圆形城堡,
由题意知:切圆于D,切圆于C,连接,
∴,里,
∵里,
∴里,
∴,
∵,
∴,
∴(里).
∴城堡的外围直径为(里).
故答案为:9.
【点睛】本题考查勾股定理,解直角三角形,切线的性质,切线长定理,关键是理解题意,得到,求出长即可.
72.
【分析】设光盘的圆心为O,三角尺和光盘的切点为C,连接,经过圆外一点A的两条直线都与圆O相切,所以为的角平分线,,同时由切线的性质得到,在中,,求出,即为圆的半径,进而确定出圆的直径.
【详解】解:设光盘的圆心为O,三角尺和光盘的切点为C,连接,如下图所示:
∵分别为圆O的切线,
∴为的角平分线,即,
又∵,
∴,
在中,,,
∴,,
∴,
则这张光盘的半径为;
故答案为:.
【点睛】此题考查了切线的性质,切线长定理,锐角三角函数定义,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握性质及定理是解本题的关键.
73.60
【分析】由PA、PB分别切 O于A、B,由切线的性质,即可得OA⊥PA,OB⊥PB,又由圆周角定理,求得∠AOB的度数,继而求得∠APB的大小.
【详解】∵PA、PB分别切O于A. B,
∴OA⊥PA,OB⊥PB,
∴∠PAO=∠PBO=90,
∵∠C=60,
∴∠AOB=2∠C=2×60=120,
∴∠APB=360−∠PAO−∠PBO−∠AOB=60.
故答案为60.
【点睛】本题考查切线的性质, 圆周角定理.
74.18.9
【分析】在中,,可得,设,则,,,在中,,可得,解方程即可得到答案.
【详解】解:,
是直角三角形,
在中,,
,
设,则,
,,
在中,,
,
解得:,
即的长为,
故答案为:18.9.
【点睛】本题主要考查了解直角三角形及圆的基本性质的应用,熟练掌握解直角三角形的方法以及圆的性质是解题的关键.
75.或或
【分析】分情况讨论,利用折叠的性质知,,再画出图形,利用三角形的外角性质列式计算即可求解.
【详解】解:由折叠的性质知,,
当时,,
由三角形的外角性质得,即,
此情况不存在;
当时,
,,
由三角形的外角性质得,
解得;
当时,,
∴,
由三角形的外角性质得,
解得;
当时,,
∴,
∴;
综上,的度数为或或.
故答案为:或或.
【点睛】本题考查了折叠的性质,三角形的外角性质,等腰三角形的性质,画出图形,数形结合是解题的关键.
76.或
【分析】本题考查了翻折变换,等腰三角形的性质,三角形外角的性质和三角形内角和定理,利用分类讨论思想解决问题是解题的关键.由折叠的性质可求,,,分两种情况讨论,由等腰三角形的性质列出等式,即可求解.
【详解】解:将沿翻折至处,
,,,
,,
当,则,
,
;
当,则,
,
,
故答案为:或.
77.##
【分析】由翻折可得AD=BD=B′D,∠BDC=∠B′DC,所以∠BDB′=4∠A,所以∠ADF=180°-4∠A,∠AFD=∠DCF+∠CDF=3∠A,若∠ADF是等腰三角形,有三种情况:①当AD=AF时,∠ADF=∠AFD,②当AD=DF时,∠AFD=∠A,③当DF=AF时,∠ADF=∠A,然后分别列式计算即可解决问题.
【详解】由翻折可知:,,
,
,
,
,
,
,,
若是等腰三角形,有三种情况:
①当时,,
,
解得;
②当时,,
,
(不符合题意舍去);
③当时,,
,
解得.
综上所述:的度数可能是或.
故答案为:或.
【点睛】本题考查了翻折变换,三角形内角和定理,等腰三角形的性质,解决本题的关键是掌握翻折的性质.
78.7.5°或75°或97.5°或120°
【分析】设直线E′F′与直线AC、BC分别交于点P、Q,根据△CPQ为等腰三角形,分三种情况:①当∠PCQ为顶角时,∠CPQ=∠CQP,如图1,可求得α=7.5°;如图2,△CPQ为等腰三角形中,∠PCQ为顶角,可求得α=∠EDE′=90°+7.5°=97.5°;
②当∠CPQ为顶角时,∠CQP=∠PCQ=45°,可得∠CPQ=90°,如图3,进而求得α=90°-15°=75°;
③如图4,当∠CQP为顶角时,∠CPQ=∠PCQ=45°,可得∠CQP=90°,进而求得α=∠EDE′=∠EDQ+∠QDE′=90°+30°=120°.
【详解】解:设直线E′F′与直线AC、BC分别交于点P、Q,
∵△CPQ为等腰三角形,
∴∠PCQ为顶角或∠CPQ为顶角或∠CQP为顶角,
①当∠PCQ为顶角时,∠CPQ=∠CQP,如图1,
∵∠BAC=∠EDF=90°,∠B=45°,∠F=30°,
∴∠E′DF′=90°,∠ACB=45°,∠E′F′D=30°,
∵∠CPQ+∠CQP=∠ACB=45°,
∴∠CQP=22.5°,
∵∠E′F′D=∠CQP+∠F′DQ,
∴∠F′DQ=∠E′F′D-∠CQP=30°-22.5°=7.5°,
∴α=7.5°;
如图2,
∵△CPQ为等腰三角形中,∠PCQ为顶角,
∴∠CPQ=∠CQP=67.5°,
∵∠E′DF′=90°,∠F′=30°,
∴∠E′=60°,
∴∠E′DQ=∠CQP-∠E′=67.5°-60°=7.5°,
∴α=∠EDE′=90°+7.5°=97.5°;
②当∠CPQ为顶角时,∠CQP=∠PCQ=45°,
∴∠CPQ=90°,如图3,
∵∠DE′F′=∠CQP+∠QDE′,
∴∠QDE′=∠DE′F′-∠CQP=60°-45°=15°,
∴α=90°-15°=75°;
③如图4,
当∠CQP为顶角时,∠CPQ=∠PCQ=45°,
∴∠CQP=90°,
∴∠QDF′=90°-∠DF′E′=60°,
∴∠QDE′=∠E′DF′-∠QDF′=30°,
∴α=∠EDE′=∠EDQ+∠QDE′=90°+30°=120°;
综上所述,α的大小为7.5°或75°或97.5°或120°.
故答案为:7.5°或75°或97.5°或120°.
【点睛】本题考查了等腰三角形性质,直角三角形性质,旋转的性质,三角形内角和定理等,解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想思考解决问题.
79. 140°、120°或80°
【分析】(1)根据折叠性质可得∠A1B1B2=∠C,∠AA1B1=∠B,由三角形外角性质可得∠AA1B1=2∠C,根据等量代换可得∠B=2∠C;(2)先求出经过三次折叠,∠BAC是△ABC的好角时,∠B与∠C的等量关系为∠B=3∠C,进而可得经过n次折叠,∠BAC是△ABC的好角时∠B与∠C的等量关系为∠B=n∠C,因为最小角是20º,是△ABC的好角,根据好角定义,设另两角分别为20mº,4mn°,由题意得20m+20mn+20=180°,所以m(n+1)=8,再根据m、n都是正整数可得m与n+1是8的整数因子,从而可以求得结果.
【详解】(1)根据折叠性质得∠B=∠AA1B1,∠A1B1B2=∠C,
∵∠AA1B1=∠A1B1B2+∠C,
∴∠B=2∠C
故答案为∠B=2∠C
(2)如图:∵根据折叠的性质知,∠B=∠AA1B1,∠C=∠A2B2C,∠A1B1C=∠A1A2B2,
∴根据三角形的外角定理知,∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C;
∵根据四边形的外角定理知,∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1B1C=∠BAC+2∠B-2∠C=180°,
根据三角形ABC的内角和定理知,∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴∠B=3∠C;
∴当∠B=2∠C时,∠BAC是△ABC的好角;当∠B=3∠C时,∠BAC是△ABC的好角;
故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角,则∠B与∠C(不妨设∠B>∠C)之间的等量关系为∠B=n∠C;
∵最小角为20°,
∴设另两个角为20m°和20mn°,
∴20°+20m°+20mn°=180°,即m(1+n)=8,
∵m、n为整数,
∴m=1,1+n=8;或m=2,1+n=4;或m=4,1+n=2.
解得:m=1,n=7;m=2,n=3,m=4,n=1,
∴另两个角为20°、140°或40°、120°或80°、80°,
∴此三角形最大角为140°、120°或80°时,三个角均是此三角形的好角.
故答案为140°、120°或80°
【点睛】本题考查了翻折变换(折叠问题).充分利用三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质是解题关键.
80.13米
【分析】连接OF、OG,过点G作GH⊥AB于H,则BOGH是矩形.设半径为r,则OG=r,OF=r,OE=r+2,由FE是⊙O的切线,根据sin43°=≈0.68,求得半径,在AGH中,GH=OB=5+4.25=9.25,根据tan43°=≈0.93,解得AH≈8.60,即可求解.
【详解】解:连接OF、OG,过点G作GH⊥AB于H,则BOGH是矩形.
设半径为r,则OG=r,OF=r,OE=r+2,
∵由题意得:FE是⊙O的切线,
∴∠OFE=90°
∵∠DEF=43°
∴sin43°=≈0.68(m),
解得:r≈4.25.
∵太阳光线是平行光线,
∴AG∥EF,
又∵GH∥OE,
∴∠E=∠AGH.
又∵∠OFE=∠AHG=90°,
∴在AGH中,GH=OB=5+4.25=9.25
∴tan43°=≈0.93,
解得AH≈8.60
即AB=AH+HB≈8.60+4.25≈13(m),
答:电线杆的高度为13米.
【点睛】本题考查了切线的性质,解直角三角形的应用,根据题意作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.
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