专题14整体思想与求值（押题预测40题：与代数式、方程）-【临考预测】2023中考数学重难题型押题培优【全国通用】

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类型一、整体思想与代数式求值问题
1．若m﹣x＝3，n+y＝7，则（m﹣n）﹣（x+y）＝（ ）
A．﹣10B．﹣4C．4D．10
【分析】将（m﹣n）﹣（x+y）去括号化简整理，即可运用整体代入法求解．
【解答】解：当m﹣x＝3，n+y＝7时，
（m﹣n）﹣（x+y）＝m﹣n﹣x﹣y＝（m﹣x）﹣（n+y）＝3﹣7＝﹣4．
故选：B．
【点评】本题主要考查了整式的加减，几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
2．已知m，n满足3m﹣4n+1＝0，则代数式9m﹣12n﹣4的值为（ ）
A．0B．﹣1C．﹣7D．﹣10
【分析】将代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答即可．
【解答】解：∵3m﹣4n+1＝0，
∴3m﹣4n＝﹣1．
∴原式＝3（3m﹣4n）﹣4
＝3×（﹣1）﹣4
＝﹣3﹣4
＝﹣7．
故选：C．
【点评】本题主要考查了求代数式的值，将代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答是解题的关键．
3．若4a﹣6b＝﹣10，则代数式5+2a﹣3b的值为（ ）
A．0B．﹣5C．10D．无法确定
【分析】根据已知可得2a﹣3b＝﹣5，然后代入式子中进行计算即可解答．
【解答】解：∵4a﹣6b＝﹣10，
∴2a﹣3b＝﹣5，
∴5+2a﹣3b＝5+（﹣5）＝0，
故选：A．
【点评】本题考查了代数式求值，熟练掌握求代数式值中的整体思想是解题的关键．
4．已知代数式a2﹣2b+6的值为10，则代数式32b−34a2+5的值为（ ）
A．11B．8C．2D．﹣1
【分析】将代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答即可．
【解答】解：∵代数式a2﹣2b+6的值为10，
∴a2﹣2b+6＝10，
∴a2﹣2b＝4，
∴原式=−34（a2﹣2b）+5
=−34×4+5
＝﹣3+5
＝2．
故选：C．
【点评】本题主要考查了求代数式的值，将代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答是解题的关键．
5．当x＝1时，代数式px3+qx+1的值为2022，则当x＝﹣1时，代数式px3+qx+1的值为（ ）
A．﹣2019B．﹣2020C．﹣2021D．﹣2022
【分析】将x＝1代入代数式中，通过化简得到关于p，q的关系式，再将x＝﹣1代入后，利用整体代入的方法解答即可．
【解答】解：∵当x＝1时，代数式px3+qx+1的值为2022，
∴p+q+1＝2022，
∴p+q＝2021．
∴当x＝﹣1时，
代数式px3+qx+1
＝﹣p﹣q+1
＝﹣（p+q）+1
＝﹣2021+1
＝﹣2020．
故选：B．
【点评】本题主要考查了求代数式的值，利用整体代入的方法解答是解题的关键．
6．如果a﹣3b＝4，那么2a﹣6b﹣1的值是（ ）
A．﹣7B．5C．7D．﹣5
【分析】将代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答即可．
【解答】解：∵a﹣3b＝4，
∴原式＝2（a﹣3b）﹣1
＝2×4﹣1
＝8﹣1
＝7，
故选：C．
【点评】本题主要考查了求代数式的值，将代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答是解题的关键．
7．若2x2+3x﹣5＝0，则代数式﹣4x2﹣6x+9的值是（ ）
A．4B．5C．﹣1D．14
【分析】由题意可知2x2+3x的值，观察2x2+3x与﹣4x2﹣6x+9，得到﹣4x2﹣6x+9＝﹣2（2x2+3x）+9，将2x2+3x整体的值代入求解即可．
【解答】解：∵2x2+3x﹣5＝0，
∴2x2+3x＝5，
∴﹣4x2﹣6x+9＝﹣2（2x2+3x）+9＝﹣2×5+9＝﹣1．
故选：C．
【点评】此题考查了代数式求值的知识，解答本题的关键是求出2x2+3x的值，然后整体代入，整体思想是数学解题经常用到的，同学们要注意掌握．
8．若a2−aa=1，则a2﹣2a+2020的值为（ ）
A．2018B．2019C．2020D．2021
【分析】根据已知可得a2﹣a＝a，从而可得a2﹣2a＝0，然后代入式子中，进行计算即可解答．
【解答】解：∵a2−aa=1，
∴a2﹣a＝a，
∴a2﹣2a＝0，
∴a2﹣2a+2020＝0+2020＝2020，
故选：C．
【点评】本题考查了分式的值，代数式求值，熟练掌握求代数式值中的整体思想是解题的关键．
9．已知α，β是方程x2+2017x+1＝0的两个根，则（1+2020α+α2）（1+2020β+β2）的值为（ ）
A．9B．10C．12D．15
【分析】先利用一元二次方程的解的定义得到α2+1＝﹣2017α，β2+1＝﹣2017β，则（1+2020α+α2）（1+2020β+β2）可化为9αβ，接着利用根与系数的关系得到αβ＝1，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵α，β是方程x2+2017x+1＝0的两个根，
∴α2+2017α+1＝0，β2+2017β+1＝0，
即α2+1＝﹣2017α，β2+1＝﹣2017β，
∴（1+2020α+α2）（1+2020β+β2）
＝（2020α﹣2017α）（2020β﹣2017β）
＝3α•3β
＝9αβ，
∵α，β是方程x2+2017x+1＝0的两个根，
∴αβ＝1，
∴原式＝9×1＝9．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．也考查了一元二次方程的解．
10．若m+1m=3，则12m2−32m+1的值是（ ）
A．2B．0C．32D．12
【分析】先由题意求得m2＝3m﹣1，再将其整体代入进行求解．
【解答】解：∵m+1m=m2+1m=3，
∴m2＝3m﹣1，
∴12m2−32m+1
=12（3m﹣1）−32m+1
=32m−12−32m+1
=12，
故选：D．
【点评】此题考查了运用整体思想进行分式化简求值的能力，关键是能准确理解并运用以上知识和方法．
11．已知﹣2m+3n2+7＝0，则代数式﹣12n2+8m+4的值等于 32 ．
【分析】根据题意可得﹣2m+3n2＝﹣7，将﹣12n2+8m+4提取公因式﹣4得﹣4（﹣2m+3n2）+4，再整体代入即可解答．
【解答】解：∵﹣2m+3n2+7＝0，
∴﹣2m+3n2＝﹣7，
∴﹣12n2+8m+4
＝﹣4（﹣2m+3n2）+4
＝﹣4×（﹣7）+4
＝32．
故答案为：32．
【点评】本题主要考查代数式求值，观察代数式的特点，灵活变化系数，运用整体代入的思想计算是解题关键．
12．已知x2﹣3x﹣4＝0，则代数式﹣2x2+6x+9的值是 1 ．
【分析】根据题意可得x2﹣3x＝4，﹣2x2+6x+9提取公因式2得﹣2（x2﹣3x）+9，再整体代入即可求解．
【解答】解：∵x2﹣3x﹣4＝0，
∴x2﹣3x＝4，
∴﹣2x2+6x+9
＝﹣2（x2﹣3x）+9
＝﹣2×4+9
＝1．
【点评】本题主要考查代数式求值，利用整体代入思想解决问题是解题关键．
13．如果代数式2y﹣x的值是5，则代数式2x﹣4y+8的值是 ﹣2 ．
【分析】将代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答即可．
【解答】解：∵代数式2y﹣x的值是5，
∴2y﹣x＝5，
∴原式＝﹣2（2y﹣x）+8
＝﹣2×5+8
＝﹣10+8
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查了求代数式的值，将代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答是解题的关键．
14．已知m是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的一个根，则 m2﹣2m+3＝ 8 ．
【分析】根据题意可得：把x＝m代入方程x2﹣2x﹣5＝0中得：m2﹣2m﹣5＝0，从而可得m2﹣2m＝5，然后利用整体的思想进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
把x＝m代入方程x2﹣2x﹣5＝0中得：
m2﹣2m﹣5＝0，
∴m2﹣2m＝5，
∴m2﹣2m+3＝5+3＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．
15．若a2﹣2ab＝6，则2a2﹣4ab﹣3＝ 9 ．
【分析】将a2﹣2ab＝6两边同时乘上2得2a2﹣4ab＝12，再其整体代入即可求解．
【解答】解：∵a2﹣2ab＝6，
∴2（a2﹣2ab）＝4a2﹣4ab＝12，
∴2a2﹣4ab﹣3＝12﹣3＝9．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查代数式求值，解题关键在于利用整体思想解答．
16．已知当x＝﹣1时，代数式3ax2+4bx+2的值为5，则当x＝3时，代数式7+3ax﹣4bx的值为 16 ．
【分析】将x＝﹣1代入代数式求得关于a，b的代数式的值，将所求代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答即可．
【解答】解：∵当x＝﹣1时，代数式3ax2+4bx+2的值为5，
∴3a（﹣1）2+4b×（﹣1）+2＝5，
∴3a﹣4b＝3．
∴当x＝3时，
原式＝7+3a×3﹣4b×3
＝7+3（3a﹣4b）
＝7+3×3
＝7+9
＝16．
故答案为：16．
【点评】本题主要考查了求代数式的值，所求代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答是解题的关键．
17．已知1b−2a=2，则2a+3ab−4b4ab−3a+6b的值为 −72 ．
【分析】将已知条件适当变形，利用整体代入的方法解答即可．
【解答】解：∵1b−2a=2，
∴a﹣2b＝2ab．
∴原式=2a−4b+3ab−3a+6b+4ab
=2(a−2b)+3ab−3(a−2b)+4ab
=2×2ab+3ab−3×2ab+4ab
=7ab−2ab
=−72．
故答案为：−72．
【点评】本题主要考查了分式的加减法，求分式的值，利用等式的性质对已知条件适当变形，利用整体代入的方法解答是解题的关键．
18．定义：对于一个数x，我们把[x]称作x的相伴数；若x≥0，则[x]＝x﹣1；若x＜0，则[x]＝x+1．例[32]=12，[﹣2]＝﹣1；
已知当a＞0，b＜0时有[a]＝[b]+1，则代数式（b﹣a）3﹣3a+3b的值为 ﹣36 ．
【分析】根据定义的新运算可得a﹣1＝b+1+1，从而可得a﹣b＝3，然后利用整体的思想进行计算即可解答．
【解答】解：当a＞0，b＜0时，[a]＝[b]+1，
∴a﹣1＝b+1+1，
∴a﹣b＝3，
∴（b﹣a）3﹣3a+3b
＝﹣（a﹣b）3﹣3（a﹣b）
＝﹣33﹣3×3
＝﹣27﹣9
＝﹣36，
故答案为：﹣36．
【点评】本题考查了代数式求值，熟练掌握求代数式值中的整体思想是解题的关键．
19．已知m﹣n＝2，mn＝﹣5，则3（mn﹣n）﹣（mn﹣3m）的值为 ﹣4 ．
【分析】原式去括号，合并同类项进行化简，然后利用整体思想代入求值．
【解答】解：原式＝3mn﹣3n﹣mn+3m
＝3m﹣3n+2mn，
∵m﹣n＝2，mn＝﹣5，
∴原式＝3（m﹣n）+2mn
＝3×2+2×（﹣5）
＝6﹣10
＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查整式的加减—化简求值，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号的运算法则（括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“﹣”号，去掉“﹣”号和括号，括号里的各项都变号），利用整体思想求值是解题关键．
20．已知实数a是一元二次方程x2﹣2022x+1＝0的一实数根，则代数式a2−2021a−a2+12022的值为 ﹣1 ．
【分析】把x＝a代入方程，推出a2﹣2022a＝﹣1，a2+1＝2022a，然后整体代入所求的代数式求值即可．
【解答】解：∵实数a是一元二次方程x2﹣2022x+1＝0的一实数根，
∴a2﹣2022a+1＝0．
∴a2﹣2022a＝﹣1，a2+1＝2022a．
∴a2−2021a−a2+12022
＝a2﹣2022a+a−2022a2022
＝﹣1+a﹣a
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程解的定义．
类型二、整体思想与方程（组）问题
21．关于x、y的二元一次方程组y=x−53x−y=8，用代入法消去y后所得到的方程，正确的是（ ）
A．3x﹣x﹣5＝8B．3x+x﹣5＝8C．3x﹣x+5＝8D．3x+x+5＝8
【分析】利用整体思想，用x﹣5代替第二个方程中的y，从而消去y，把二元一次方程组转化成一元一次方程．
【解答】解：y=x−5①3x−y=8②，
把①代入②得3x﹣（x﹣5）＝8即3x﹣x+5＝8；
故选：C．
【点评】本题考查了解二元一次方程组代入消元法，关键要掌握整体代入后符号的变化．
22．已知实数x，y满足方程组3x−2y=3x+y=1，则4x﹣y的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】将方程组中的两个方程相加即可得出求值的代数式．
【解答】解：3x−2y=3①x+y=1②，
由①+②得4x﹣y＝4．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组解的定义．利用整体求值的方法是解答本题的关键．
23．已知x，y满足方程组3x−y=5−2mx+3y=m，则无论m取何值，x、y恒有关系式是（ ）
A．4x+2y＝5B．2x﹣2y＝5C．x+y＝1D．5x+7y＝5
【分析】求x与y的关系，使关于x，y的方程组与m的取值无关，就是利用消元的思想，消去m即可．
【解答】解：3x−y=5−2m①x+3y=m②，
由②×2得2x+6y＝2m③，
由③+①得5x+5y＝5，
整理得x+y＝1．
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，能理解二元一次方程组的解的定义是解此题的关键．
24．若二元一次方程组2x+y=45x−4y=0的解为x=ay=b，则a﹣b的值为（ ）
A．﹣15B．﹣25C．15D．25
【分析】由题意可得2a+b=45①a−4b=0②，则①+②得3a﹣3b＝45，再整理可得答案．
【解答】解：把x=ay=b代入方程组可得2a+b=45①a−4b=0②，
①+②得，3a﹣3b＝45，
∴a﹣b＝15，
故选：C．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系是解题的关键．
25．若关于x，y的二元一次方程组ax−by=32ax−3by=10的解为x=2y=−1，则关于x，y的二元一次方程组a(x+1)−b(y−2)=32a(x+1)−3b(y−2)=10的解为（ ）
A．x=2y=−1B．x=1y=1C．x=3y=−3D．x=1y=−3
【分析】根据方程组ax−by=32ax−3by=10的解，可得x+1=2y−2=−1，然后进行计算即可解答．
【解答】解：∵方程组ax−by=32ax−3by=10的解为x=2y=−1，
∴方程组a(x+1)−b(y−2)=32a(x+1)−3b(y−2)=10中，
x+1=2y−2=−1，
解得：x=1y=1，
故选：B．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键．
26．已知关于x、y的二元一次方程组x+3y=4−ax−y=3a，给出下列结论中正确的是（ ）
①当这个方程组的解x、y的值互为相反数时，a＝﹣2；
②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4+2a的解；
③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变；
④若用x表示y，则y=−x2+32．
A．①②B．②③C．①③④D．②③④
【分析】把两个方程相加，可以得出x+y＝2+a，从而可得2+a＝0，即可判断①，当a＝1时，原方程组的解满足x+y＝3，而方程x+y＝4+2a的解满足x+y＝6，即可判断②，先解方程组，可得x=2a+1y=1−a，然后再计算x+2y的值，即可判断③，将方程组中的字母a消去，即可判断④．
【解答】解：x+3y=4−a①x−y=3a②，
①+②得：2x+2y＝4+2a，
∴x+y＝2+a，
①当这个方程组的解x、y的值互为相反数时，即x+y＝0，
∴2+a＝0，
∴a＝﹣2，
故第1个结论正确；
②∵原方程组的解满足：x+y＝2+a，
∴当a＝1时，x+y＝3，
而当a＝1时，方程x+y＝4+2a的解满足x+y＝6，
故第2个结论不正确；
③x+3y=4−a①x−y=3a②，
解得：x=2a+1y=1−a，
∴x+2y＝2a+1+2﹣2a＝3，
∴无论a取什么实数，x+2y的值始终不变；
故第3个结论正确；
④x+3y=4−a①x−y=3a②，
由①得：a＝4﹣x﹣3y③，
把③代入②得：
x﹣y＝3（4﹣x﹣3y），
解得：y=−x2+32，
故第4个结论正确；
所以，上列结论中正确的有3个．
故选：C．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键．
27．已知方程组x+y=3y+z=−6z+x=9，则x+y+z的值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】把三个方程相加，进行计算即可解答．
【解答】解：x+y=3①y+z=−6②z+x=9③，
①+②+③得：
2x+2y+2z＝3+（﹣6）+9，
∴x+y+z＝3，
故选：A．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键．
28．若关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=2y=−3，则关于m，n的二元一次方程组a1(m−n)+b1(m+n)=c1a2(m−n)+b2(m+n)=c2的解是（ ）
A．m=−12n=−52B．m=12n=52
C．m=−52n=−12D．m=52n=12
【分析】把m+n当作x，m﹣n当作y，可得关于m，n的二元一次方程组m−n=2m+n=−3，然后进行计算即可解答．
【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=2y=−3，
∴m−n=2m+n=−3，
解得：m=−12n=−52，
故选：A．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键．
29．关于x、y的二元一次方程组的解3x−4y=5−k2x−y=2k+3满足x﹣3y＝10+k，则k的值是（ ）
A．2B．﹣2C．﹣3D．3
【分析】将两个方程作差，可得x﹣3y＝2﹣3k，从而解方程2﹣3k＝10+k即可．
【解答】解：原方程组中两个方程作差可得，
（3x﹣4y）﹣（2x﹣y）＝（5﹣k）﹣（2k+3），
整理得，x﹣3y＝2﹣3k，
由题意得方程，2﹣3k＝10+k，
解得，k＝﹣2，
故选：B．
【点评】此题考查了解决含有字母参数的二元一次方程组的能力，关键是能应用整体思想进行求解．
30．若（x2+y2）（x2+y2﹣3）＝40，则x2+y2＝ 8 ．
【分析】设x2+y2＝a，则原方程可化为a（a﹣3）＝40，整理得：a2﹣3a﹣40＝0，然后利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：设x2+y2＝a，则原方程可化为a（a﹣3）＝40，
整理得：a2﹣3a﹣40＝0，
（a﹣8）（a+5）＝0，
a﹣8＝0或a+5＝0，
a1＝8，a2＝﹣5，
∵x2+y2≥0，
∴x2+y2＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键．
31．已知关于x的一元一次方程x+2−12022x＝m的解是x＝71，那么关于y的一元一次方程y+3−12022（y+1）＝m的解是 y＝70 ．
【分析】由题意可得y+1＝71，求出y即可．
【解答】解：∵方程x+2−12022x＝m的解是x＝71，
∴y+3−12022（y+1）＝m的解是y＝71﹣1＝70，
∴y＝70，
故答案为：70．
【点评】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的根与一元一次方程的关系，利用整体思想解题是关键．
32．已知方程组17x+43y=3343x+17y=−19的解满足x﹣y＝3m+1，则m的值为 ﹣1 ．
【分析】利用加减法求得x﹣y的值，再利用整体的思想代入运算即可．
【解答】解：17x+43y=39①43x+17y=−19②，
②﹣①得：
26x﹣26y＝﹣52，
∴x﹣y＝﹣2，
∵x﹣y＝3m+1，
∴3m+1＝﹣2，
解得：m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组的方法，利用整体代入的方法解答是解题的关键．
33．已知关于x、y的方程组x+2y=2−a2x+y=a+7，则代数式（﹣2）x+y＝ ﹣8 ．
【分析】将方程组中的方程整体相加，求出x+y＝3，然后求代数式的值即可．
【解答】解：x+2y=2−a①2x+y=a+7②，
①+②得，3x+3y＝9，
所以x+y＝3，
所以（﹣2）x+y＝（﹣2）3＝﹣8．
【点评】本题考查了解二元一次方程组以及代数式求值，解题的关键是能够根据方程组求得x+y＝3，难度适中．
34．已知关于x和y的方程组ax+4y=32.45x−by=−0.6的解是x=2.4y=6.3，则另一关于x、y的方程组a(x+2)+4(y−3)=32.45(x+2)−b(y−3)=−0.6的解是 x=0.4y=9.3 ．
【分析】由题意可得x+2=2.4y−3=6.3，即可求方程组的解．
【解答】解：∵方程组ax+4y=32.45x−by=−0.6的解是x=2.4y=6.3，
∴x+2=2.4y−3=6.3，
解得x=0.4y=9.3，
故答案为：x=0.4y=9.3．
【点评】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法，用整体思想解题是关键．
35．已知S1=1a，S2＝1+1S1，S3＝1+1S2，……，Sn+1＝1+1Sn（n≥1，且n为正整数）．若S1•S2•S3•……•S7＝9，则a的值为 13 ．
【分析】分别用a表示出S1～S7，然后将S1～S7代入S1•S2•S3•……•S7＝9得到关于a的方程，解出a的值即可．
【解答】解：S1=1a，
则S2=1+1S1=1+a，
S3=1+1S2=1+11+a=a+2a+1，
S4=1+1S3=1+a+1a+2=2a+3a+2，
S5=1+1S4=1+a+22a+3=3a+52a+3，
S6=1+1S5=1+2a+33a+5=5a+83a+5，
S7=1+1S6=1+3a+55a+8=8a+135a+8，
∵S1•S2•S3•……•S7＝9，
∴1a⋅a+11⋅a+2a+1⋅2a+3a+2⋅3a+52a+3⋅5a+83a+5⋅8a+135a+8=9，
∴8a+13a=9，
解得a＝13．
故答案为：13．
【点评】本题考查了分式的加减乘除运算，解题的关键是运用分式加法法则用含有a的代数式表示出S．
36．已知关于x的方程xx−1−2=kx−1的解为正数，则k的取值范围为 k＜2且k≠1 ．
【分析】首先去分母，化分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后结合题目条件即可求出k的取值范围．
【解答】解：去分母得x﹣2（x﹣1）＝k，
∴x＝﹣k+2，
∵关于x的方程xx−1−2=kx−1的解为正数，
∴﹣k+2＞0，且x＝﹣k+2≠1，
∴k＜2且k≠1．
故答案为：k＜2且k≠1．
【点评】本题考查分式方程的解；熟练掌握分式方程的解法，对分式方程切勿遗漏增根的情况是解题的关键．
37．用换元法解方程x2+12x−3xx2+1=5，设x2+1x=y，则得到关于y的整式方程为 y2﹣10y﹣6＝0 ．
【分析】设x2+1x=y，则x2+12x=12y，3xx2+1=3y，转化后再进一步整理得到整式方程即可．
【解答】解：设x2+1x=y，
∴x2+12x=12y，3xx2+1=3y，
则原方程为：12y−3y=5，
整理得：y2﹣10y﹣6＝0．
故答案为：y2﹣10y﹣6＝0．
【点评】本题考查了用换元法解分式方程，换元法又称辅助元素法、变量代换法，通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化．
38．甲、乙两人同时从学校出发，去距离学校15千米的农场参加劳动．甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到10分钟，求甲和乙的速度各是多少？设乙的速度为x千米/小时，则根据题意可列方程为 15x−151.2x=16 ．
【分析】设乙的速度为x千米/小时，则甲的速度为1.2x千米/小时，根据时间＝路程÷速度结合甲比乙提前10分钟到达目的地，即可得出关于x的分式方程．
【解答】解：设乙的速度为x千米/小时，则甲的速度为1.2x千米/小时，
根据题意得：15x−151.2x=16．
故答案为：15x−151.2x=16．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
39．已知关于x，y的方程组x+2y=k2x+3y=3k−1．以下结论：①当k＝0时，方程组的解也是方程x﹣2y＝﹣4的解；②存在实数k，使得x+y＝0；③不论k取什么实数，x+3y的值始终不变；④若3x+2y＝6，则k＝1．其中正确的序号是 ①②③ ．
【分析】直接利用二元一次一次方程组的解法表示出方程组的解进而分别分析得出答案．
【解答】解：①当k＝0时，原方程组可整理得：x+2y=02x+3y=−1，
解得：x=−2y=1，
把x=−2y=1代入x﹣2y＝﹣4得：x﹣2y＝﹣2﹣2＝﹣4．
即①正确；
②x+2y=k①2x+3y=3k−1②，
由②﹣①得：x+y＝2k﹣1，
若x+y＝0，则2k﹣1＝0，
解得：k=12，
即存在实数k，使得x+y＝0，
即②正确；
③解方程组x+2y=k2x+3y=3k−1，
得x=3k−2y=1−k，
∴x+3y＝3k﹣2+3（1﹣k）＝1，
∴不论k取什么实数，x+3y的值始终不变，
故③正确；
④解方程组x+2y=k2x+3y=3k−1，
得x=3k−2y=1−k，
若3x+2y＝6
∴k=107，
故④错误．
所以正确的序号是①②③．
故答案为①②③．
【点评】本题主要考查解二元一次方程组的能力，熟练掌握解二元一次方程组的技能和二元一次方程的解得定义．
40．观察下列方程：①x+2x=3；②x+6x=5；③x+12x=7，可以发现它们的解分别是①x＝1或2；②x＝2或3；③x＝3或4．利用上述材料所反映出来的规律，可知关于x的方程x+n2+nx−3=2n+4（n为正整数）的解x＝ n+3或n+4 ．
【分析】将所求方程化为（x﹣3）+n2+nx−3=2n+4﹣3，再将x﹣3作为整体求解即可．
【解答】解：方程x+n2+nx−3=2n+4可化为（x﹣3）+n2+nx−3=2n+4﹣3，
∴（x﹣3）+n2+nx−3=2n+1，
令x﹣3＝t，
则t+n2+nt=2n+1，
由题意可得x﹣3＝n+1，x﹣3＝n，
∴x＝n+4或x＝n+3，
故答案为：n+3或n+4．
【点评】本题考查分式方程的解，通过观察发现方程的根与系数之间的关系，再由整体思想进行解方程即可．