高中物理人教版 (2019)选择性必修 第一册4 单摆优秀课后练习题

这是一份高中物理人教版 (2019)选择性必修 第一册4 单摆优秀课后练习题，共12页。试卷主要包含了如图所示，房顶上固定一根长2，2π s　　　　　　　　B．0，0 m　lb＝2等内容，欢迎下载使用。


学习目标
02
预习导学
（一）课前阅读：
单摆是一种理想的物理模型，它由理想化的摆球和摆线组成．摆线由质量不计、不可伸缩的细线提供；摆球密度较大，而且球的半径比摆线的长度小得多，这样才可以将摆球看做质点，由摆线和摆球构成单摆．在满足偏角小于10°的条件下，单摆的周期为
从公式中可看出，单摆周期与振幅和摆球质量无关．从受力角度分析，单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的分力，偏角越大，回复力越大，对应的加速度越大，在相等时间内走过的弧长也越大，所以周期与振幅、质量无关，只与摆长l和重力加速度g有关．在有些振动系统中l不一定是绳长，g也不一定为9.8m/s2，因此出现了等效摆长和等效重力加速度的问题．
物理上有些问题与单摆类似，经过一些等效可以套用单摆的周期公式，这类问题称为“等效单摆”．等效单摆在生活中比较常见．除等效单摆外，单摆模型在其他问题中也有应用．
（二）基础梳理
（三）预习作业
1．(多选)学校实验室中有甲、乙两单摆，其振动图像为如图所示的正弦曲线，则下列说法中正确的是( )
A．甲、乙两单摆的摆球质量之比是1∶2
B．甲、乙两单摆的摆长之比是1∶4
C．t＝1.5 s时，两摆球的加速度方向相同
D．3～4 s内，两摆球的势能均减少
答案 BCD
解析 单摆的周期与振幅与摆球的质量无关，无法求出甲、乙两单摆摆球的质量关系，A错误；由题图图像可知甲、乙两单摆的周期之比为1∶2，根据单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))可知，周期与摆长的二次方根成正比，所以甲、乙两单摆的摆长之比是1∶4，B正确；由加速度公式a＝eq \f(F回,m)＝eq \f(－kx,m)，t＝1.5 s时，两摆球位移方向相同，所以它们的加速度方向相同，C正确；3～4 s内，两摆球均向平衡位置运动，两摆球的势能均减少，D正确．
2．（多选）下列说法正确的是( )
A．在同一地点，单摆做简谐振动的周期的平方与其摆长成正比
B．弹簧振子做简谐振动时，振动系统的势能与动能之和保持不变
C．在同一地点，当摆长不变时，摆球质量越大，单摆做简谐振动的周期越小
D．已知弹簧振子初始时刻的位置及其振动周期，就可知振子在任意时刻运动速度的方向
解析：选AB 在同一地点，重力加速度g为定值，根据单摆周期公式T＝2π eq \r(\f(l,g))可知，周期的平方与摆长成正比，故选项A正确；弹簧振子做简谐振动时，只有动能和势能相互转化，根据机械能守恒条件可知，振动系统的势能与动能之和保持不变，故选项B正确；根据单摆周期公式T＝2π eq \r(\f(l,g))可知，单摆的周期与质量无关，故选项C错误；若弹簧振子初始时刻在波峰或波谷位置，知道周期后，可以确定任意时刻运动速度的方向，若弹簧振子初始时刻不在波峰或波谷位置，则无法确定任意时刻运动的方向，故选项D错误。
03
探究提升
环节一 认识单摆
思考：单摆理想化的表现？
答案：摆线：轻、细、刚，摆球：质点，运动过程不计阻尼。
环节二 单摆的回复力
问题探究1：（多选）一单摆做简谐运动，在偏角增大的过程中，摆球的( )
A.位移增大 B.速度增大
C.回复力增大 D.机械能增大
答案 AC
解析 摆球做简谐运动，在平衡位置处位移为零，在摆角增大的过程中，摆球的位移增大，速度减小，选项A正确，B错误；在摆角增大的过程中，摆球受到的回复力增大，选项C正确；单摆做简谐运动，机械能守恒，所以在摆角增大的过程中，摆球机械能保持不变，选项D错误.
环节三 单摆的周期
问题探究2：（多选）关于单摆，下列说法正确的是( )
A.将单摆由沈阳移至广州，单摆周期变大
B.将单摆的摆角从4°改为2°，单摆的周期变小
C.当单摆的摆球运动到平衡位置时，摆球的速度最大
D.当单摆的摆球运动到平衡位置时，受到的合力为零
答案 AC
解析 将单摆由沈阳移至广州，因重力加速度减小，根据T＝2πeq \r(\f(l,g))可知，单摆周期变大，选项A正确；单摆的周期与摆角无关，将单摆的摆角从4°改为2°，单摆的周期不变，选项B错误；当单摆的摆球运动到平衡位置时，摆球的速度最大，有向心加速度，则受到的合力不为零，选项C正确，D错误.
问题探究3：（多选）如图所示是甲、乙两个单摆做简谐运动的图象，则下列说法中正确的是( )
A.甲、乙两摆的振幅之比为2∶1
B.t＝2 s时，甲摆的重力势能最小，乙摆的动能为零
C.甲、乙两摆的摆长之比为4∶1
D.甲、乙两摆摆球在最低点时摆线的拉力大小一定相等
答案 AB
解析 由题图知甲、乙两摆的振幅分别为2 cm、1 cm，故A正确；t＝2 s时，甲摆在平衡位置处，重力势能最小，乙摆在正的最大位移处，动能为零，B正确；甲、乙两摆的周期之比为1∶2，由单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))，得到甲、乙两摆的摆长之比为1∶4，C错误；由题目中的条件不能比较甲、乙两摆摆球在最低点时摆线的拉力大小，D错误.
04
体系构建
05
记忆清单
一、单摆
★学习聚焦：理想化
二、单摆的回复力
★学习聚焦：θ<5°，F回＝mgsin θ＝－eq \f(mg,l)x＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反.
三、单摆简谐运动的周期
★学习聚焦：单摆的振动周期取决于摆长l和 重力加速度g，与振幅和振子(小球)质量无关.
0601
强化训练
1．如图，长为l的细绳下方悬挂一小球a，绳的另一端固定在天花板上O点处，在O点正下方eq \f(3,4)l的O′处有一固定细铁钉.将小球向右拉开，使细绳与竖直方向成一小角度(约为2°)后由静止释放，并从释放时开始计时.当小球a摆至最低位置时，细绳会受到铁钉的阻挡.设小球相对于其平衡位置的水平位移为x，向右为正.下列图像中，能描述小球在开始一个周期内的x－t关系的是( )
答案 A
解析 由单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))可知，小球在钉子右侧时的振动周期为在钉子左侧时振动周期的2倍，故B、D项错误；由机械能守恒定律可知，小球在左、右最大位移处距离最低点的高度相同，但由于摆长不同，所以小球在左、右两侧摆动时相对平衡位置的最大水平位移不同，当小球在钉子右侧摆动时，最大水平位移较大，故A项正确，C项错误.
2.如图所示，房顶上固定一根长2.5 m的细线沿竖直墙壁垂到窗沿下，细线下端系了一个小球(可视为质点)。打开窗子，让小球在垂直于窗子的竖直平面内小幅度摆动，窗上沿到房顶的高度为1.6 m，不计空气阻力，g取10 m/s2，则小球从最左端运动到最右端的最短时间为( )
A．0.2π s B．0.4π s
C．0.6π s D．0.8π s
解析：选B 小球的摆动可视为单摆运动，摆长为线长时对应的周期：T1＝2π eq \r(\f(l1,g))＝π s，摆长为线长减去墙体长时对应的周期T2＝2π eq \r(\f(l1－l2,g))＝0.6π s，故小球从最左端到最右端所用的最短时间为t＝eq \f(T1＋T2,4)＝0.4π s，B正确。
3．已知在单摆a完成10次全振动的时间内，单摆b完成6次全振动，两摆长之差为1.6 m．则两单摆摆长la与lb分别为( )
A．la＝2.5 m lb＝0.9 m
B．la＝0.9 m lb＝2.5 m
C．la＝2.4 m lb＝4.0 m
D．la＝4.0 m lb＝2.4 m
解析：设单摆a、b振动的时间为t.
根据单摆振动周期公式，
有Ta＝eq \f(t,10)＝2π eq \r(\f(la,g)) ①
Tb＝eq \f(t,6)＝2π eq \r(\f(lb,g)) ②
由①②式看出eq \f(t,6)>eq \f(t,10)，所以lb>la，
则有lb－la＝1.6 m ③
由①②式联立，解得100la＝36lb ④
由③④式联立，解得la＝0.9 m，lb＝2.5 m.
答案：B
4．一单摆的摆球质量为m、摆长为l，球心离地心为r．已知地球的质量为M，引力常量为G，关于单摆做简谐运动的周期T与r的关系，下列公式中正确的是（ ）
A． T=2πr B．T=2πr C．T=2πlD．T=2πl
解析：在地球表面，重力等于万有引力，故：mg=G
解得：g= ①
单摆的周期为：T=2π ②
联立①②解得：T=2πr
故选：B．
5．如图所示，圆弧AO是半径为2 m的光滑圆弧面的一部分，圆弧与水平面相切于点O，AO弧长为10 cm，现将一小球先后从圆弧的点A和点B无初速度地释放，到达底端O的速度分别为v1和v2，所经历的时间分别为t1和t2，那么( )
A．v1＜v2，t1＜t2 B．v1＞v2，t1＝t2
C．v1＞v2，t1＞t2 D．上述三种都有可能
答案 B
解析 小球在滑动中机械能守恒，易知v1＞v2，小球在圆弧面上的受力类似于单摆的受力，且AO弧长为10 cm，远小于圆弧的半径，故小球的摆角很小，小球的运动是简谐运动，而简谐运动的周期与振幅无关，这样小球从点A运动到点O和从点B运动到点O的时间相等，t1＝t2.
6.如图所示，在两根等长的细线下悬挂一个小球(体积可忽略)组成了所谓的双线摆，若摆线长为l，两线与天花板的左右两侧夹角均为α，当小球垂直纸面做简谐运动时，周期为( )
A．2π eq \r(\f(l,g)) B．2π eq \r(\f(2l,g))
C．2π eq \r(\f(2lcsα,g)) D．2π eq \r(\f(lsinα,g))
答案：D
解析：这是一个变形的单摆，可以用单摆的周期公式T＝2π eq \r(\f(l,g))求解，但注意此处的l与题中的摆线长不同，公式中的l指质点到悬点(等效悬点)的距离，即做圆周运动的半径．单摆的等效摆长为lsinα，所以周期T＝2π eq \r(\f(lsinα,g)).
7.（多选）如图所示，长度为l的轻绳上端固定在点O，下端系一小球(小球可以看成质点)。在点O正下方，距点O为eq \f(3l,4)处的点P固定一颗小钉子。现将小球拉到点A处，轻绳被拉直，然后由静止释放小球。点B是小球运动的最低位置，点C(图中未标出)是小球能够到达的左方最高位置。已知点A与点B之间的高度差为h，h≪l。A、B、C、P、O在同一竖直平面内。当地的重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法正确的是( )
A．点C与点B高度差小于h
B．点C与点B高度差等于h
C．小球摆动的周期等于eq \f(3π,2) eq \r(\f(l,g))
D．小球摆动的周期等于eq \f(3π,4) eq \r(\f(l,g))
解析：选BC 由于h≪l，故小球的运动可看成单摆运动，其周期T＝eq \f(1,2)·2π eq \r(\f(l,g))＋eq \f(1,2)·2π eq \r(\f(\f(1,4)l,g))＝eq \f(3π,2) eq \r(\f(l,g))，故C正确，D错误；小球摆动过程不计空气阻力，其机械能守恒，点A、C应等高，故A错误，B正确。
8．（多选）如图所示为同一地点的两单摆甲、乙的振动图象，下列说法中正确的是( )
A．甲、乙两单摆的摆长相等
B．甲摆的振幅比乙摆大
C．甲摆的机械能比乙摆大
D．在t＝0.5 s时有正向最大加速度的是乙摆
E．由图象可以求出当地的重力加速度
答案 ABD
解析 由振动图象可知，两单摆的周期相同，根据T＝2πeq \r(\f(l,g))可知甲、乙两单摆的摆长相等，选项A正确；由题图可知，甲摆的振幅为10 cm，乙摆的振幅为7 cm，甲摆的振幅比乙摆大，选项B正确；由于两球的质量不确定，所以两球的机械能无法比较，选项C错误；在t＝0.5 s时，乙摆在负的最大位移处，所以乙摆有正向最大加速度，甲摆的位移为零，所以加速度为零，选项D正确；由题图能读出周期，因为不知道摆长，所以无法根据T＝2πeq \r(\f(l,g))求出当地的重力加速度，选项E错误．
9．如图所示，ACB为光滑弧形槽，弧形槽半径为R，C为弧形槽最低点，R≫Aeq \x\t(B)。甲球从弧形槽的球心处自由下落，乙球从A点由静止释放，问：
(1)两球第1次到达C点的时间之比；
(2)若在弧形槽的最低点C的正上方h处由静止释放甲球，让其自由下落，同时将乙球从弧形槽左侧由静止释放，欲使甲、乙两球在弧形槽最低点C处相遇，则甲球下落的高度h是多少？
解析：(1)甲球做自由落体运动
R＝eq \f(1,2)gt12，所以t1＝ eq \r(\f(2R,g))
乙球沿弧形槽做简谐运动(由于Aeq \x\t(C)≪R，可认为偏角θ<5°)。此运动与一个摆长为R的单摆运动模型相同，故此等效摆长为R，因此乙球第1次到达C处的时间为
t2＝eq \f(1,4)T＝eq \f(1,4)×2π eq \r(\f(R,g))＝eq \f(π,2) eq \r(\f(R,g))，
所以t1∶t2＝2eq \r(2)∶π。
(2)甲球从离弧形槽最低点h高处自由下落，到达C点的时间为t甲＝ eq \r(\f(2h,g))
由于乙球运动的周期性，所以乙球到达C点的时间为
t乙＝eq \f(T,4)＋neq \f(T,2)＝eq \f(π,2) eq \r(\f(R,g))(2n＋1) (n＝0,1,2，…)
由于甲、乙两球在C点相遇，故t甲＝t乙
联立解得h＝eq \f(2n＋12π2R,8) (n＝0,1,2，…)。
答案：(1)2eq \r(2)∶π (2)eq \f(2n＋12π2R,8) (n＝0,1,2，…)
10、如图甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置．设向右为正方向．图乙是这个单摆的振动图象．根据图象回答：
(1)单摆振动的频率是多大？
(2)开始时摆球在何位置？
(3)若当地的重力加速度为10 m/s2，试求这个摆的摆长是多少？(计算结果保留两位有效数字)
答案 (1)1.25 Hz (2)B点 (3)0.16 m
解析 (1)由题图乙知周期T＝0.8 s，则频率f＝eq \f(1,T)＝1.25 Hz.
(2)由题图乙知，t＝0时摆球在负向最大位移处，因向右为正方向，所以开始时摆球在B点．
(3)由T＝2πeq \r(\f(l,g))，得l＝eq \f(gT2,4π2)≈0.16 m.
11.如图所示，两个摆长均为L的单摆，摆球A、B质量分别为m1、m2，悬点均为O。在O点正下方0.19L处固定一小钉。初始时刻B静止于最低点，其摆线紧贴小钉右侧，A从图示位置由静止释放(θ足够小)，在最低点与B发生弹性正碰。两摆在整个运动过程中均满足简谐运动条件，悬线始终保持绷紧状态且长度不变，摆球可视为质点，不计碰撞时间及空气阻力，重力加速度为g。下列选项正确的是( )
A．若m1＝m2，则A、B在摆动过程中最大振幅之比为9∶10
B．若m1＝m2，则每经过1.9π eq \r(\f(L,g))时间A回到最高点
C．若m1>m2，则A与B第二次碰撞不在最低点
D．m1解析：选D 若m1＝m2，则两球碰撞后交换速度，所以A、B在摆动过程中最大振幅相等，两球的振动完全一样，所以每经过2π eq \r(\f(L,g))时间A回到最高点，A、B错误；摆长为L的周期为T＝2π eq \r(\f(L,g))，摆长为0.81L的周期为T′＝1.8π eq \r(\f(L,g))，若m1>m2，则碰后A球向右运动，摆长变为0.81L，B球摆回最低点后向左运动时，摆长为0.81L，所以两摆的周期均为T″＝eq \f(1,2)T＋eq \f(1,2)T′＝1.9π eq \r(\f(L,g))，即第一次在最低点碰撞后，经过一个周期发生第二次碰撞，位置仍然在最低点，C错误；若m1学习目标
通过实验，探究单摆的周期与摆长的定量关系。知道单摆周期与摆长、重力加速度的关系。
1．通过实验收集单摆的正确和摆长关系的数据，尝试用不同的曲线拟合实验曲线，得出周期与摆长的二次根成正比的关系。
2．练习用计算机处理实验数据，发展分析和处理实验数据的能力，进而发展科学探究能力。
3．经历建构模型的过程，发展学生的建模能力。
一、单摆
如果细线的长度 改变，细线的质量与小球相比可以 ，球的直径与线的长度相比也可以 ，这样的装置叫作单摆.
答案：如果细线的长度不可改变，细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置叫作单摆.
【概念衔接】圆锥摆、单摆
【拓展补充】类单摆、等效单摆
【微点拨】碰到重力以外的恒力，归入重力；碰到一直不做功的力，归入绳的拉力。
二、单摆的回复力
1.回复力：F＝ （填“G1”或者“G2”）＝ .
摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力充当 ，F向＝ .（绳的拉力为FT）
2.视为简谐运动的条件：θ< .
此时，F回＝mgsin θ＝－eq \f(mg,l)x＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向 .
答案：1.回复力：F＝G2＝Gsin θ.
摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力充当向心力，F向＝FT－Gcs θ.（绳的拉力为FT）
2.视为简谐运动的条件：θ<5°.
此时，F回＝mgsin θ＝－eq \f(mg,l)x＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反.
【即学即练】
1．单摆在任何情况下的运动都是简谐运动．( × )
2．当单摆的摆球运动到最低点时，回复力为零，所受合力为零．( × )
【微点拨】单摆的受力特征
(1)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F回＝mgsin θ＝－eq \f(mg,l)x＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反，故单摆做简谐运动．
(2)向心力：摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力充当向心力，FT－mgcs θ＝meq \f(v2,l).
①当摆球在最高点时，v＝0，FT＝mgcs θ.
②当摆球在最低点时，FT最大，FT＝mg＋meq \f(vmax2,l).
(3)单摆处于月球上时，重力加速度为g月；单摆处在电梯中处于超重、失重状态时，重力加速度为等效重力加速度．
三、单摆的周期
1.单摆简谐运动时的周期公式：T＝2πeq \r(\f(l,g)).
(1)l为等效摆长，表示从悬点到摆球 的距离.
(2)g为当地的重力加速度.
2.单摆的等时性：单摆的振动周期取决于 和 ，与振幅和振子(小球)质量 .
答案：1.单摆简谐运动时的周期公式：T＝2πeq \r(\f(l,g)).
(1)l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离.
(2)g为当地的重力加速度.
2.单摆的等时性：单摆的振动周期取决于摆长l和 重力加速度g，与振幅和振子(小球)质量无关.
【概念衔接】周期、频率、角速度、转速
【拓展补充】类单摆的周期
【即学即练】1．做简谐运动的单摆摆长不变，若摆球质量减小为原来的eq \f(1,4)，摆球经过平衡位置时速度增大为原来的2倍，则单摆振动的( )
A．频率、振幅都不变
B．频率、振幅都改变
C．频率不变、振幅改变
D．频率改变、振幅不变
解析：选C 由单摆的周期公式T＝2π eq \r(\f(l,g))，单摆摆长不变，则周期不变，频率不变；振幅A是反映单摆运动过程中的能量大小的物理量，据动能公式可知，摆球经过平衡位置时的动能不变，但质量减小，所以摆动最大高度增加，因此振幅改变，故A、B、D错误，C正确。
2．单摆的振动周期由摆球的质量和摆角共同决定．( × )
模型
弹簧振子(水平)
单摆
示意图
简谐运动条件
①弹簧质量要忽略
②无摩擦力等阻力
③在弹簧弹性限度内
①摆线为不可伸缩的轻细线
②无空气阻力等阻力
③最大摆角小于等于5°
回复力
弹簧的弹力提供
摆球重力沿与摆线垂直方向(即切向)的分力
平衡位置
弹簧处于原长处
最低点
周期
与振幅无关
T＝2π eq \r(\f(l,g))
能量转化
弹性势能与动能的相互转化，机械能守恒
重力势能与动能的相互转化，机械能守恒