2024年中考数学二轮复习 二次函数压轴题 专项练习四（含答案）

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已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，且(x1＜0＜x2)，交y轴于点C，顶点为D．
(1)a＝﹣1，b＝2，c＝4，
①求该二次函数的对称轴方程及顶点坐标；
②定义：若点P在某函数图象上，且点P的横纵坐标互为相反数，则称点P为这个函数的“零和点”，求证：此二次函数有两个不同的“零和点”；
(2)如图，过D、C两点的直线交x轴于点E，满足∠ACE＝∠CBE，求ac的值．
已知，抛物线y＝ax2＋ax＋b(a≠0)与直线y＝2x＋m有一个公共点M(1，0)，且a＜b.
(1)求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标(用a的代数式表示)；
(2)直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；
(3)a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位(t＞0)，若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围.
在平面直角坐标系xOy中，对于二次函数y＝﹣x2＋2mx﹣m2＋4(m是常数)，当m＝1时，记二次函数的图象为C1；m≠1时，记二次函数的图象为C2．如图1，图象C1与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C；如图2，图象C2与x轴交于D、E两点(点D在点E的左侧)．
(1)请直接写出点A、B、C的坐标；
(2)当点O、D、E中恰有一点是其余两点组成线段的中点时，m＝ ；
(3)如图3，C2与C1交于点P，当以点A、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值．
如图,抛物线与x轴相交于B.C两点,与y轴相交于点A,P(a,﹣a2＋eq \f(7,2)a＋m)(a为任意实数)在抛物线上,直线y＝kx＋b经过A.B两点,平行于y轴直线x＝2交AB于点D,交抛物线于点E.
(1)当代数式﹣a2＋eq \f(7,2)a＋m的值随a的增大而减小时,求a的取值范围.
(2)当m＝2时,直线x＝t(0≤t≤4)交AB于点F,交抛物线于点G.若FG：DE＝1：2,求t值.
(3)连结EO,当EO平分∠AED时,求m的值.
九(1)班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践一一应用一一探究的过程：
(1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为10m，隧道顶部最高处距地面6.25m，并画出了隧道截面图，建立了如图①所示的直角坐标系，则该抛物线的解析式为 ．
(2)应用：按规定，机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m．为了确保安全，问该隧道能否让最宽3m、最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶(两车并列行驶时不考虑两车之间的空隙)？
(3)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了以下两个问题，请予解答：
Ⅰ．如图②，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在抛物线上，顶点A、B落在x轴上．设矩形ABCD的周长为l，求l的最大值．
Ⅱ．如图③，过原点作一条y＝x的直线OM，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P为直线OM上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．问：在直线OM上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，顶点为D，点B的坐标为(3，0)．
(1)填空：点A的坐标为 ，点D的坐标为 ，抛物线的解析式为 ；
(2)当二次函数y＝x2＋bx＋c的自变量x满足m≤x≤m＋2时，函数y的最小值为eq \f(5,4)，求m的值；
(3)P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使△PAC是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点分别为A(﹣6，0)和点B(4，0)，与y轴的交点为C(0，3).
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是线段OA上一动点(不与点A重合)，过P作平行于y轴的直线与AC交于点Q，点D、M在线段AB上，点N在线段AC上.
①是否同时存在点D和点P，使得△APQ和△CDO全等，若存在，求点D的坐标，若不存在，请说明理由；
②若∠DCB＝∠CDB，CD是MN的垂直平分线，求点M的坐标.
已知抛物线y=ax2﹣4a(a＞0)与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，点P是抛物线上一点，且PB=AB，∠PBA=120°，如图所示．
(1)求抛物线的解析式．
(2)设点M(m，n)为抛物线上的一个动点，且在曲线PA上移动．
①当点M在曲线PB之间(含端点)移动时，是否存在点M使△APM的面积为eq \f(5,2)eq \r(3)？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
②当点M在曲线BA之间(含端点)移动时，求|m|+|n|的最大值及取得最大值时点M的坐标．
\s 0 答案
解：(1)①当a＝﹣1，b＝2，c＝4时，
抛物线解析式为y＝﹣x2＋2x＋4，
∵y＝﹣x2＋2x＋4＝﹣(x﹣1)2＋5，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点为D(1，5)；
②当y＝﹣x时，﹣x2＋2x＋4＝﹣x，
整理得：x2﹣3x﹣4＝0，
∵Δ＝(﹣3)2﹣4×1×(﹣4)＝25＞0，
∴二次函数y＝﹣x2＋2x＋4有两个不同的“零和点”；
(2)如图，连接AC，
∵y＝ax2＋bx＋c，
∴C(0，c)，顶点D(﹣，)，
设直线CD的解析式为y＝kx＋n，
则，解得：，
∴直线CD的解析式为y＝x＋c，∴E(﹣，0)，
∵A(，0)，B(，0)，
∴AE＝﹣(﹣)＝＋，
BE＝﹣(﹣)＝＋，
∵∠ACE＝∠CBE，∠AEC＝∠CEB，
∴△EAC∽△ECB，
∴＝，
∴CE2＝AE•BE，
在Rt△CEO中，CE2＝OC2＋OE2＝c2＋()2＝c2＋，
∴c2＋＝(＋)(＋)，化简得：ac＝﹣1，
故ac的值为﹣1．
解：(1)∵抛物线y＝ax2＋ax＋b有一个公共点M(1，0)，
∴a＋a＋b＝0，即b＝﹣2a，
∴y＝ax2＋ax＋b＝ax2＋ax﹣2a＝a(x＋eq \f(1,2))2﹣eq \f(9,4)a，
∴抛物线顶点D的坐标为(﹣eq \f(1,2)，﹣eq \f(9,4)a)；
(2)∵直线y＝2x＋m经过点M(1，0)，
∴0＝2×1＋m，解得m＝﹣2，
∴y＝2x﹣2，
则，
得ax2＋(a﹣2)x﹣2a＋2＝0，
∴(x﹣1)(ax＋2a﹣2)＝0，解得x＝1或x＝﹣2，
∴N点坐标为(﹣2，﹣6)，
∵a＜b，即a＜﹣2a，
∴a＜0，
如图1，设抛物线对称轴交直线于点E，
∵抛物线对称轴为x＝﹣eq \f(1,2)，
∴E(﹣eq \f(1,2)，﹣3)，
∵M(1，0)，N(﹣2，﹣6)，
设△DMN的面积为S，
∴S＝S△DEN＋S△DEM＝eq \f(1,2)|(﹣2)﹣1|•|﹣﹣(﹣3)|＝，
(3)当a＝﹣1时，
抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣x＋2＝﹣(x＋eq \f(1,2))2＋eq \f(9,4)，
有，
﹣x2﹣x＋2＝﹣2x，解得：x1＝2，x2＝﹣1，
∴G(﹣1，2)，
∵点G、H关于原点对称，
∴H(1，﹣2)，
设直线GH平移后的解析式为：y＝﹣2x＋t，
﹣x2﹣x＋2＝﹣2x＋t，
x2﹣x﹣2＋t＝0，
△＝1﹣4(t﹣2)＝0，
t＝eq \f(9,4)，
当点H平移后落在抛物线上时，坐标为(1，0)，
把(1，0)代入y＝﹣2x＋t，
t＝2，
∴当线段GH与抛物线有两个不同的公共点，t的取值范围是2≤t＜eq \f(9,4).
解：(1)当m＝1时，y＝﹣x2＋2x＋3，
令y＝0则﹣x2＋2x＋3＝0，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴A(﹣1，0)，B(3，0)，
令x＝0则y＝3，
∴C(0，3)；
(2)令﹣x2＋2mx﹣m2＋4＝0，解得x＝m﹣2或x＝m＋2，
∴D(m﹣2，0)，E(m＋2，0)，
①当O为中点时，m﹣2＋m＋2＝0，∴m＝0；
②当D为中点时，2(m﹣2)＝m＋2，解得m＝6；
③当E为中点时，2(m＋2)＝m﹣2，解得m＝﹣6；
综上所述：m的值为0或6或﹣6，
故答案为：0或6或﹣6；
(3)联立方程组，
A(﹣1，0)，C(0，3)；D(m﹣2，0)，
解得x＝，∴P点的横坐标为，∴P(，)，
①当AC为平行四边形的对角线时，﹣1＝m﹣2＋，3＝，
此时m无解；
②当AD为平行四边形的对角线时，﹣1＋m﹣2＝，0＝3＋，
此时无解；
③当AP为平行四边形的对角线时，﹣1＋＝m﹣2，＝3，
解得m＝3；
综上所述：m的值为3．
解：(1)y＝﹣a2＋eq \f(7,2)a＋m，对称轴a＝﹣eq \f(7,4)，
﹣1＜0，开口向下所以a≥eq \f(7,4)时，代数式﹣a2＋eq \f(7,2)a＋m的值随a的增大而减小；
(2)m＝2时，抛物线：y＝﹣x2＋eq \f(7,2)x＋2，
当x＝0时，y＝2，即A(0，2)，当y＝0时，x＝4，x＝﹣eq \f(1,2)，即B(4，0)，
将A、B点坐标代入函数解析式，得直线AB：y＝﹣eq \f(1,2)x＋2，
当x＝2时,y＝﹣22＋eq \f(7,2)×2＋2＝5,即E(2,5)，
当x＝2时,y＝﹣eq \f(1,2)×2＋2＝1,即D(2,1)，DE＝4.
当x＝t时,y＝﹣t2＋eq \f(7,2)×t＋2，即E(2,﹣t2＋eq \f(7,2)×t＋2)，
当x＝t时，y＝﹣eq \f(1,2)×t＋2,即D(2,1)，
FG═﹣t2＋eq \f(7,2)×t＋2(﹣eq \f(1,2)t＋2)＝﹣t2＋4t.
若FG：DE＝1：2,则t2﹣4t＋2＝0,所以t＝2±eq \r(2)，满足0≤t≤4，
∴FG：DE＝1：2，t的值为2±eq \r(2)；
(3)如图，
OA＝m.当x＝2时，y=﹣22＋eq \f(7,2)×2＋m＝3＋m，E(2，3＋m).
当EO平分∠AED时，∠1＝∠2，
∵AO∥DE，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴OA＝AE，m2＝22＋(3＋m﹣m)2，解得m＝eq \r(13).
解：(1)根据坐标系可知此函数顶点坐标为(5，6.25)，且图象过(10，0)点，
代入顶点式得：
y＝a(x﹣5)2＋6.25，
∴0＝a(10﹣5)2＋6.25，解得：a＝﹣0.25，
∴y＝﹣0.25(x﹣5)2＋6.25；
故答案为：y＝﹣0.25(x﹣5)2＋6.25．
(2)当最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶时，
∴10﹣3×2＝4，
4÷2＝2，
∴x＝2代入解析式得：
y＝﹣0.25(2﹣5)2＋6.25；
y＝4，
4﹣3.5＝0.5，
∴隧道能让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶；
(3)I．假设AO＝x，可得AB＝10﹣2x，
∴AD＝﹣0.25(x﹣5)2＋6.25；
∴矩形ABCD的周长为l为：l＝2[﹣0.25(x﹣5)2＋6.25]＋2(10﹣2x)＝﹣0.5x2＋x＋20，
∴l的最大值为：＝＝20.5．
Ⅱ如图④，当以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，
∵P在y＝x的图象上，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．
∴∠POA＝∠OPA＝45°，
∴Q点的纵坐标为5，
∴5＝，解得：m＝5±eq \r(5)，
如图⑤，当∠P3NQ3＝90°时，过点Q3作Q3K1⊥对称轴，
当△NQ3K1为等腰直角三角形时，△NP3Q3为等腰直角三角形，
Q点在OM的上方时，P3Q3＝2Q3K1，P3Q3＝﹣eq \f(1,4)x2＋﹣x＋eq \f(5,2)，Q3K1＝5﹣x，
Q点在OM的下方时，P4Q4＝2Q4K2，P4Q4＝x﹣(﹣eq \f(1,4)x2＋eq \f(5,2))，Q4K2＝x﹣5，
∴eq \f(1,4)x2﹣eq \f(7,2)x＋10＝0，解得：x1＝4，x2＝10，
P3(4，4)，P4(10，10)．
∴使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，P点的坐标为：
(5﹣eq \r(5)，5﹣eq \r(5))或(5＋eq \r(5)，5＋eq \r(5))或(4，4)或(10，10)．
解：(1)∵对称轴为直线x＝2，
∴b＝﹣4，
∴y＝x2﹣4x＋c，
∵点B(3，0)是抛物线与x轴的交点，
∴9﹣12＋c＝0，
∴c＝3，
∴y＝x2﹣4x＋3，
令y＝0，x2﹣4x＋3＝0，
∴x＝3或x＝1，
∴A(1，0)，
∵D是抛物线的顶点，
∴D(2，﹣1)，
故答案为(1，0)，(2，﹣1)，y＝x2﹣4x＋3；
(2)当m＋2＜2时，即m＜0，
此时当x＝m＋2时，y有最小值，
则(m＋2)2﹣4(m＋2)＋3＝eq \f(5,4)，解得m＝±eq \f(5,4)，
∴m＝﹣eq \f(3,2)；
当m＞2时，此时当x＝m时，y有最小值，
则m2﹣4m＋3＝eq \f(5,4)，解得m＝eq \f(7,2)或m＝eq \f(1,2)，∴m＝eq \f(7,2)；
当0≤m≤2时，此时当x＝2时，y有最小值为﹣1，与题意不符；
综上所述：m的值为eq \f(7,2)或﹣eq \f(3,2)；
(3)存在，理由如下：A(1，0)，C(0，3)，
∴AC＝eq \r(10)，AC的中点为E(eq \f(1,2)，eq \f(3,2))，设P(2，t)，
∵△PAC是以AC为斜边的直角三角形，
∴PE＝eq \f(1,2)AC，
∴＝，
∴t＝2或t＝1，
∴P(2，2)或P(2，1)，
∴使△PAC是以AC为斜边的直角三角形时，P点坐标为(2，2)或(2，1)．
解：(1)将点(﹣6，0)，C(0，3)，B(4，0)代入y＝ax2＋bx＋c，得
解得：
∴抛物线解析式为：y＝﹣eq \f(1,8)x2﹣eq \f(1,4)x＋3
(2)①存在点D，使得△APQ和△CDO全等
当D在线段OA上，∠QAP＝∠DCO，AP＝OC＝3时，△APQ和△CDO全等
∴tan∠QAP＝tan∠DCO
∴
∴OD＝eq \f(3,2)∴点D坐标为(﹣eq \f(3,2)，0)
由对称性，当点D坐标为(eq \f(3,2)，0)时，
由点B坐标为(4，0)
此时点D(eq \f(3,2)，0)在线段OB上满足条件.
②∵OC＝3，OB＝4
∴BC＝5
∵∠DCB＝∠CDB
∴BD＝BC＝5
∴OD＝BD﹣OB＝1
则点D坐标为(﹣1，0)且AD＝BD＝5，连DN，CM
则DN＝DM，∠NDC＝∠MDC
∴∠NDC＝∠DCB
∴DN∥BC
∴则点N为AC中点.
∴DN时△ABC的中位线
∵DN＝DM＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(5,2)
∴OM＝DM﹣OD＝eq \f(3,2)
∴点M(eq \f(3,2)，0)
解：(1)如图1，令y=0代入y=ax2﹣4a，∴0=ax2﹣4a，
∵a＞0，∴x2﹣4=0，∴x=±2，
∴A(﹣2，0)，B(2，0)，∴AB=4，
过点P作PC⊥x轴于点C，∴∠PBC=180°﹣∠PBA=60°，
∵PB=AB=4，
∴cs∠PBC=，∴BC=2，由勾股定理可求得：PC=2eq \r(3)，
∵OC=OC+BC=4，
∴P(4，2eq \r(3))，把P(4，2eq \r(3))代入y=ax2﹣4a，
∴2eq \r(3)=16a﹣4a，∴a=eq \f(1,6)eq \r(3)，
∴抛物线解析式为；y=eq \f(1,6)eq \r(3)x2﹣eq \f(2\r(3),3)；
(2)∵点M在抛物线上，
∴n=eq \f(1,6)eq \r(3)m2﹣eq \f(2\r(3),3)，∴M的坐标为(m，eq \f(1,6)eq \r(3)m2﹣eq \f(2\r(3),3))，
①当点M在曲线PB之间(含端点)移动时，∴2≤m≤4，
如图2，过点M作ME⊥x轴于点E，交AP于点D，
设直线AP的解析式为y=kx+b，
把A(﹣2，0)与P(4，2eq \r(3))代入y=kx+b，
得：，解得∴直线AP的解析式为：y=eq \f(\r(3),3)x+eq \f(2\r(3),3)，
令x=m代入y=eq \f(\r(3),3)x+eq \f(2\r(3),3)，∴y=eq \f(\r(3),3)m+eq \f(2\r(3),3)，
∴D的坐标为(m，eq \f(\r(3),3) m+eq \f(2\r(3),3))，
∴DM=(eq \f(\r(3),3)m+eq \f(2\r(3),3))﹣(eq \f(1,6)eq \r(3)m2﹣eq \f(2\r(3),3))=﹣eq \f(1,6)eq \r(3)m2+eq \f(\r(3),3)m+eq \f(4\r(3),3)，
∴S△APM=eq \f(1,2)DM×AE+eq \f(1,2)DM×CE=eq \f(1,2)DM(AE+CE)=eq \f(1,2)DM×AC=﹣eq \f(\r(3),2)m2+eq \r(3)m+4eq \r(3)
当S△APM=eq \f(5,2)eq \r(3)时，∴eq \f(5,2)eq \r(3)=﹣eq \f(\r(3),2)m2+eq \r(3)m+4eq \r(3)，∴解得m=3或m=﹣1，
∵2≤m≤4，∴m=3，此时，M的坐标为(3，eq \f(5,6)eq \r(3))；
②当点M在曲线BA之间(含端点)移动时，∴﹣2≤m≤2，n＜0，
当﹣2≤m≤0时，
∴|m|+|n|=﹣m﹣n=﹣eq \f(1,6)eq \r(3)m2﹣m+eq \f(2\r(3),3)=﹣eq \f(1,6)eq \r(3)(m+eq \r(3))2+eq \f(7,6)eq \r(3)，
当m=﹣eq \r(3)时，∴|m|+|n|可取得最大值，最大值为eq \f(7,6)eq \r(3)，
此时，M的坐标为(﹣eq \r(3)，﹣eq \f(1,6)eq \r(3))，当0＜m≤2时，
∴|m|+|n|=m﹣n=﹣eq \f(1,6)eq \r(3)m2+m+eq \f(2\r(3),3)=﹣eq \f(1,6)eq \r(3)(m﹣eq \r(3))2+eq \f(7,6)eq \r(3)，
当m=时，∴|m|+|n|可取得最大值，最大值为eq \f(7,6)eq \r(3)，
此时，M的坐标为(eq \r(3)，﹣eq \f(1,6)eq \r(3))，
综上所述，当点M在曲线BA之间(含端点)移动时，
M的坐标为(eq \r(3)，﹣eq \f(1,6)eq \r(3))或(﹣eq \r(3)，﹣eq \f(1,6)eq \r(3))时，|m|+|n|的最大值为eq \f(7,6)eq \r(3)．