中考数学三轮冲刺《二次函数压轴题》强化练习四（含答案）

中考数学三轮冲刺《二次函数压轴题》强化练习四

1.如图：已知二次函数y＝x2＋(1﹣m)x﹣m(其中0＜m＜1)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，对称轴为直线L设P为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA＝PC.

(1)∠ABC的度数为　   　°；

(2)求点P坐标(用含m的代数式表示)；

(3)在x轴上是否存在点Q(与原点O不重合)，使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ的长度最小，如果存在，求满足条件的Q的坐标及对应的二次函数解析式，并求出PQ的最小值；如果不存在，请说明理由.

2.如图，二次函数y＝ax2＋bx﹣8(a≠0)的图象交x轴于点A(﹣2，0)，B(4，0)两点，交y轴于点C.

(1)求二次函数的解析式；

(2)点M为直线BC下方二次函数图象上一个动点，连接MB，MC，求△MBC面积的最大值；

(3)点P为直线BC上一个动点，将点P向右平移6个单位长度得到点Q，设点P的横坐标为m，若线段PQ与二次函数的图象只有一个交点，直接写出m的取值范围.

3.已知抛物线y＝ax2﹣2ax＋c的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴正半轴交于C点，顶点为M，直线MD⊥x轴于点D．

(1)当a>0时，知OC＝MD，求AB的长；

(2)当a<0时，若OC＝OB，tan∠ACB＝2，求抛物线的解析式；

4.已知二次函数y=ax2﹣2ax＋c(a＜0)的最大值为4，且抛物线过点(3.5，﹣2.25)，点P(t，0)是x轴上的动点，抛物线与y轴交点为C，顶点为D．

(1)求该二次函数的解析式，及顶点D的坐标；

(2)求|PC﹣PD|的最大值及对应的点P的坐标；

(3)设Q(0，2t)是y轴上的动点，若线段PQ与函数y=a|x|2﹣2a|x|＋c的图象只有一个公共点，求t的取值．

5.如图，在平面直角坐标系中，点A、点B分别在x的正半轴和y的正半轴上，tan∠OAB＝3，抛物线y＝x2＋mx＋3经过A、B两点，顶点为D．

(1)求抛物线的表达式；

(2)将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置，求四边形ABCD的面积；

(3)将该抛物线沿y轴向上或向下平移，使其经过点C，若点P在平移后的抛物线上，且满足∠ACP＝∠ABO，求点P的坐标．

6.已知抛物线L1：y＝ax2＋bx﹣3与x轴交于点A(﹣3，0)，B(1，0)．

(1)求抛物线的表达式；

(2)若两个抛物线的交点在x轴上，且顶点关于x轴对称，则称这两个抛物线为“对称抛物线”，求抛物线L1对称抛物线L2的解析式；

(3)在(2)的条件下，点M是x轴上方的抛物线L2上一动点，过点M作MN⊥x轴于点N，设M的横坐标为m，记W＝MN﹣2ON，求W的最大值．

7.如图，已知抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和点B(﹣3，0)，与y轴交于点C，且OC=OB．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；

(3)点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标．

8.如图(1)，△ABC中，AC＝BC＝6，∠C＝90°，点P在线段AC上，从C点向A点运动，∠PBE＝90°，BP＝BE，PE交BC于点D，完成下列问题：

(1)①点E到BC边的距离为 　 　；

②若CD＝x，△BDE的面积为S，则S与x的函数关系式为 　  　；(不写自变量取值范围)

(2)当△BDE的面积为15时，若PC＜AC，以C为原点，AC、BC所在直线分别为x、y轴建立坐标系如图(2)，抛物线C1过点A、D、B；

①点Q在抛物线C1上，且位于线段PB的下方，过点Q作QN⊥PB，垂足为点N，是否存在点Q，使得QN最长，若存在，请求出QN的长度和Q点坐标；若不存在，请说明理由；

②将抛物线C1绕原点C旋转180°，得到抛物线C2，当﹣2a≤x≤﹣a时(a＞0)，抛物线C2有最大值2a，求a值．

0.中考数学三轮冲刺《二次函数压轴题》强化练习四（含答案）答案解析

一         、综合题

1.解：(1)令x＝0，则y＝﹣m，C点坐标为：(0，﹣m)，

令y＝0，则x2＋(1﹣m)x﹣m＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝m，

∵0＜m＜1，点A在点B的左侧，

∴B点坐标为：(m，0)，

∴OB＝OC＝m，

∵∠BOC＝90°，

∴△BOC是等腰直角三角形，∠ABC＝45°；

故答案为：45°；

(2)如图1，作PD⊥y轴，垂足为D，设l与x轴交于点E，

由题意得，抛物线的对称轴为：x＝，

设点P坐标为：(，n)，

∵PA＝PC，

∴PA2＝PC2，

即AE2＋PE2＝CD2＋PD2，

∴(＋1)2＋n2＝(n＋m)2＋()2，解得：n＝，

∴P点的坐标为：(，)；

(3)存在点Q满足题意，

∵P点的坐标为：(，)，

∴PA2＋PC2＝AE2＋PE2＋CD2＋PD2，

＝(＋1)2＋()2＋(＋m)2＋()2＝1＋m2，

∵AC2＝1＋m2，

∴PA2＋PC2＝AC2，

∴∠APC＝90°，

∴△PAC是等腰直角三角形，

∵以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，

∴△QBC是等腰直角三角形，

∴由题意可得满足条件的点Q的坐标为：(﹣m，0)

若PQ与x轴垂直，则＝﹣m，解得：m＝，PQ＝，

若PQ与x轴不垂直，

则PQ2＝PE2＋EQ2＝()2＋(＋m)2＝m2﹣2m＋＝(m﹣)2＋，

∵0＜m＜1，

∴当m＝时，PQ2取得最小值，PQ取得最小值，

∵<，∴当m＝，即Q点的坐标为：(﹣，0)时，PQ的长度最小.

2.解：(1)将A(﹣2，0)，B(4，0)代入y＝ax2＋bx﹣8，

得：，解得：，

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣8；

(2)当x＝0时，y＝﹣8，∴C(0，﹣8)，

设直线BC的解析式为：y＝kx﹣8，

将B(4，0)代入，得：

0＝4k﹣8，解得：k＝2，

∴直线BC的解析式为：y＝2x﹣8，

∵B(4，0)，

∴OB＝4.

过点M作MH⊥x轴，垂足为H，交直线BC于点N，设H(x，0)，如图，

∴N(x，2x﹣8)，M(x，x2﹣2x﹣8)，

∴MN＝(2x﹣8)﹣(x2﹣2x﹣8)＝﹣x2＋4x，

∴S△MBC＝S△MNC＋S△MNB＝MN•OB＝(﹣x2＋4x)×4＝﹣2x2＋8x＝﹣2(x﹣2)2＋8，

∵0＜x＜4，﹣2＜0，

∴当x＝2时，△MBC面积的最大值为8；

(3)若线段PQ与二次函数的图象只有一个交点，则m的取值范围0＜m≤4或m＝-.理由：

①当点P在线段BC上时，

∵P，Q的距离为6，而C，B的水平距离是4，

∴此时只有一个交点，即0＜m≤4；

∴线段PQ与抛物线只有一个公共点；

②当点P在点B的右侧时，线段PQ与抛物线没有公共点；

③当点P在点C的左侧时，

∵y＝x2﹣2x﹣8＝(x﹣1)2﹣9，

∴抛物线的顶点为(1，﹣9)，

令y＝2x﹣8＝﹣9，解得：x＝﹣，

∵1﹣(﹣)＝＜6，

∴当m＝﹣时，抛物线和PQ交于抛物线的顶点(1，﹣9)，

即m＝﹣时，线段PQ与抛物线只有一个公共点，

综上，0＜m≤4或m＝﹣.

3.解：(1)，

顶点，，令，则，

，

，

，

，

，

令，则，

或，，，，，；

(2)过点作交于点，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，，

，，，

，

，

，，

将代入中，，解得，

．

4.解：(1)∵y=ax2﹣2ax＋c的对称轴为：x=﹣=1，

∴抛物线过(1，4)和(，﹣)两点，

代入解析式得：，解得：a=﹣1，c=3，

∴二次函数的解析式为：y=﹣x2＋2x＋3，

∴顶点D的坐标为(1，4)；

(2)∵C、D两点的坐标为(0，3)、(1，4)；

由三角形两边之差小于第三边可知：

|PC﹣PD|≤|CD|，

∴P、C、D三点共线时|PC﹣PD|取得最大值，此时最大值.

|CD|=，

由于CD所在的直线解析式为y=x＋3，

将P(t，0)代入得t=﹣3，

∴此时对应的点P为(﹣3，0)；

(3)y=a|x|2﹣2a|x|＋c的解析式可化为：

y=

设线段PQ所在的直线解析式为y=kx＋b，将P(t，0)，Q(0，2t)代入得：

线段PQ所在的直线解析式：y=﹣2x＋2t，

∴①当线段PQ过点(0，3)，即点Q与点C重合时，线段PQ与函数

y=有一个公共点，此时t=，

当线段PQ过点(3，0)，即点P与点(3，0)重合时，t=3，此时线段PQ与

y=有两个公共点，所以当≤t＜3时，

线段PQ与y=有一个公共点，

②将y=﹣2x＋2t代入y=﹣x2＋2x＋3(x≥0)得：

﹣x2＋2x＋3=﹣2x＋2t，﹣x2＋4x＋3﹣2t=0，

令△=16﹣4(﹣1)(3﹣2t)=0，t=＞0，

所以当t=时，线段PQ与y=也有一个公共点，

③当线段PQ过点(﹣3，0)，即点P与点(﹣3，0)重合时，线段PQ只与

y=﹣x2﹣2x＋3(x＜0)有一个公共点，此时t=﹣3，

所以当t≤﹣3时，线段PQ与y=也有一个公共点，

综上所述，t的取值是≤t＜3或t=或t≤﹣3．

5.解：(1)抛物线经过点，

，

，

，

，

，

将代入抛物线，得，解得：，

抛物线的表达式为．

(2)将绕点顺时针旋转后，得到△，

，，，

，

，

，

，，，

，，

，

，

又，且，

，

即四边形的面积为7．

(3)当时，，

可知抛物线经过点，

将原抛物线沿轴向下平移2个单位过点，

平移后得抛物线解析式为：；

①若点在轴上方时，作轴，交抛物线于点，易证，

点与点关于抛物线的对称轴直线对称，

；

②若点在轴下方时，如图2，作的中垂线，与轴交与点，联结并延长，交抛物线于点，

根据线段的垂直平分线的性质可得，

，

轴，

，

，

作轴，垂足为，则，，

设，则，，

在中，，

，解得，

，，，，

设直线的解析式为，

则，解得：，直线的解析式为，

，解得：(舍去)，，

当时，，，，

综上所述，满足条件得点坐标为或．

6.解：(1)将点A(﹣3，0)，B(1，0)代入y＝ax2＋bx﹣3，

∴，解得，

∴y＝x2＋2x﹣3；

(2)令y＝0，则x2＋2x﹣3＝0，

解得x＝﹣3或x＝1，

∴抛物线与x轴的交点为(﹣3，0)或(1，0)，

∵y＝x2＋2x﹣3＝(x＋1)2﹣4，

∴顶点为(﹣1，﹣4)，

∴顶点关于x轴的对称点为(﹣1，4)，

设抛物线L2的解析式为y＝n(x＋1)2＋4，

∵抛物线经过点(﹣3，0)或(1，0)，

∴n＝﹣1，

∴y＝﹣x2﹣2x＋3；    

(3)∵点M是x轴上方的抛物线L2上一动点，

∴﹣3＜x＜1，

∵M的横坐标为m，

∴M(m，﹣m2﹣2m＋3)，N(m，0)，

∴MN＝﹣m2﹣2m＋3，ON＝|m|，

当﹣3＜x≤0时，W＝MN﹣2ON＝﹣m2﹣2m＋3＋2m＝﹣m2＋3，

∴当m＝0时，W有最大值3；

当0≤x＜1时，W＝MN﹣2ON＝﹣m2﹣2m＋3﹣2m＝﹣m2﹣4m＋3＝﹣(m＋2)2＋7，

∴当m＝0时，W有最大值3；

综上所述：W的最大值为3．

7.解：(1)∵抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和点B(﹣3，0)，

∴OB=3，

∵OC=OB，

∴OC=3，

∴c=3，

∴，解得：，

∴所求抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x＋3；

(2)如图2，过点E作EF⊥x轴于点F，设E(a，﹣a2﹣2a＋3)(﹣3＜a＜0)，

∴EF=﹣a2﹣2a＋3，BF=a＋3，OF=﹣a，

∴S四边形BOCE=BF•EF＋(OC＋EF)•OF，

=(a＋3)•(﹣a2﹣2a＋3)＋(﹣a2﹣2a＋6)•(﹣a)，

=﹣a2﹣a＋=﹣(a＋)2＋7，

∴当a=﹣时，S四边形BOCE最大，且最大值为7．

此时，点E坐标为(﹣，)；

(3)∵抛物线y=﹣x2﹣2x＋3的对称轴为x=﹣1，点P在抛物线的对称轴上，

∴设P(﹣1，m)，

∵线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，

①当m≥0时，

∴PA=PA1，∠APA1=90°，

如图3，过A1作A1N⊥对称轴于N，设对称轴于x轴交于点M，

∴∠NPA1＋∠MPA=∠NA1P＋∠NPA1=90°，

∴∠NA1P=∠NPA，

在△A1NP与△PMA中，

，

∴△A1NP≌△PMA，

∴A1N=PM=m，PN=AM=2，

∴A1(m﹣1，m＋2)，

代入y=﹣x2﹣2x＋3得：m＋2=﹣(m﹣1)2﹣2(m﹣1)＋3，

解得：m=1，m=﹣2(舍去)，

②当m＜0时，要使P2A=P2A，2，由图可知A2点与B点重合，

∵∠AP2A2=90°，∴MP2=MA=2，

∴P2(﹣1，﹣2)，

∴满足条件的点P的坐标为P(﹣1，1)或(﹣1，﹣2)．

8.解：(1)①过点E作EH⊥BC于点H，如图，

∵∠PBE＝90°，

∴∠PBC＋∠CBE＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠CPB＋∠PBC＝90°，

∴∠CPB＝∠CBE，

在△PCB 和△BHE中，

，

∴△PCB≌△BHE(AAS)，

∴EH＝CB＝6，

∴点E到BC边的距离为6，

故答案为：6；

②∵CD＝x，BD＝6﹣x，

∴S△BDE＝BD×EH＝×(6﹣x)×6＝18﹣3x，

故答案为：S＝18﹣3x；

(2)①由题知点A(0，6)，点B(6，0)，

∵S△BDE＝18﹣3x＝15，

∴x＝1，

∴点D的坐标是(1，0)，

设抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c，

将点A、D、B的坐标分别代入得，

，解得：，

∴抛物线C1的解析式为：y＝x2﹣7x＋6，

当Q与E重合，点E在抛物线上时，QN＝BE取最大值，

∵EH＝6，

∴将y＝﹣6代入抛物线得：﹣6＝x2﹣7x＋6，

解得：x1＝3，x₂＝4，

当x＝3时，BH＝6﹣3＝3＝PC，与题干PC＜AC相矛盾，故x＝3舍去，

∴BH＝6﹣4＝2，

∴QN＝2，

∴Q点的坐标为(4，﹣6)，

∴QN的最大值为2，故QN的长度为2，Q点的坐标是(4，﹣6)；

②将抛物线C1绕原点C旋转180°，得到抛物线C2为y＝﹣x2﹣7x﹣6，

∵y＝﹣x2﹣7x﹣6＝﹣(x＋)2＋，

∴抛物线C2的项点坐标为(﹣，)，

当﹣2a≤﹣≤﹣a时，2a＝，解得：a＝，

当﹣a＜﹣时，即﹣2a≤x≤﹣a，在抛物线对称轴左侧，y随x的增大而增大，

∴当x＝﹣a时，取最大值，即﹣a2＋7a﹣6＝2a，

解得a1＝2，a2＝3均不在﹣a＜﹣范围内，故均舍去，

当﹣2a＞﹣时，即﹣2a≤x≤a，在抛物线对称轴右侧，y随x的增大而减小，

∴当x＝﹣2a 时，取最大值，

即﹣4a2＋14a﹣6＝2a，解得a＝，

∵﹣2a＞﹣，即0，∴a＝舍去，

∴a＝，∴a＝或a＝．