2025年中考数学二轮复习《压轴题》专项练习四（含答案）

这是一份2025年中考数学二轮复习《压轴题》专项练习四（含答案），共18页。
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接BC，在直线BC上方的抛物线上有一动点D，连接AD，与直线BC相交于点E，当DE：AE＝4：5时，求tan∠DAB的值；
(3)点P是直线BC上一点，在平面内是否存在点Q，使以点P，Q，C，A为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
如图1，抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于A(﹣4，0)，B(1，0)两点，过点B的直线y＝kx＋eq \f(2,3)分别与y轴及抛物线交于点C，D．
(1)求直线和抛物线的表达式；
(2)动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；
(3)如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM＋MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，直线l：y＝﹣m与y轴交于点A，直线a：y＝x＋m与y轴交于点B，抛物线y＝x2＋mx的顶点为C，且与x轴左交点为D(其中m＞0)．
(1)当AB＝12时，在抛物线的对称轴上求一点P使得△BOP的周长最小；
(2)当点C在直线l上方时，求点C到直线l距离的最大值；
(3)若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当m＝2022时，求出在抛物线和直线a所围成的封闭图形的边界上的“整点”的个数．
已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过点A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，OC＝3．
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)过点A作AM⊥BC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；
(3)若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ＋eq \f(1,2)QC是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
如图，抛物线y＝x2＋bx＋12(b＜0)与x轴交于A，B两点(A点在B点左侧)，且OB＝3OA．
(1)请直接写出b＝ ，A点的坐标是 ，B点的坐标是 ；
(2)如图(1)，D点从原点出发，向y轴正方向运动，速度为2个单位长度/秒，直线BD交抛物线于点E，若BE＝5DE，求D点运动时间；
(3)如图(2)，F点是抛物线顶点，过点F作x轴平行线MN，点C是对称轴右侧的抛物线上的一定点，P点在直线MN上运动．若恰好存在3个P点使得△PAC为直角三角形，请求出C点坐标，并直接写出P点的坐标．
已知直线L:y1=(m﹣1)x+2m+1与抛物线y2=a(x+1)(x﹣3)交于A点，且直线L满足：无论m取何值，直线L始终经过定点A点.
(1)求A点坐标及a的值；
(2)当m=0时.
①定义：M={y1，y2}，当y1y2时，M=y2.
找出M与x之间的函数关系式，并求出当M=﹣3.5时x的值；
②已知直线y=m与图象M有3个交点，求m的取值范围.

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(﹣1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C(0，﹣3)．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若点M是抛物线上B，C之间的一个动点，线段MA绕点M逆时针旋转90°得到MN，当点N恰好落在y轴上时，求点M，点N的坐标．
(3)如图2，若点E坐标为(2，0)，EF⊥x轴交直线BC于点F，将△BEF沿直线BC平移得到△B'E'F'，在△B'E'F'移动过程中，是否存在使△ACE'为直角三角形的情况？若存在，请直接写出所有符合条件的点E′的坐标；若不存在，请说明理由．
如图1，已知抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t.
(1)求抛物线的表达式；
(2)设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D.在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
(3)如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S.
①求S关于t的函数表达式；
②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标.
如图，抛物线C1：y=x2+bx+c经过原点，与x轴的另一个交点为(2，0)，将抛物线C1向右平移m(m＞0)个单位得到抛物线C2，C2交x轴于A、B两点(点A在点B的左边)，交y轴于点c．
(1)求抛物线C1的解析式及顶点坐标．
(2)以AC为直角边向上作直角三角形ACD(∠CAD是直角)，且tan∠DCA=eq \f(1,2)，当点D落在抛物线C2的对称轴上时，求抛物线C3的解析式．
(3)若抛物线C2的对称轴上存在点P，并且以P为圆心AC长为半径的圆经过A，C两点，求m的值．
如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(﹣3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，P为y轴上的动点，连接AP，以AP为对角线作正方形AMPN．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当正方形AMPN与△AOP面积之比为5：2时，求点P的坐标；
(3)当正方形AMPN有两个顶点在抛物线上时，直接写出点P的坐标．
\s 0 答案
解：将A(﹣1，0)，B(4，0)代入y＝ax2＋bx＋3，
得，解得，
∴解析式为；
(2)当x＝0时，，
∴C(0，3)，
设直线BC的解析式为y＝kx＋b，
将B(4，0)，C(0，3)分别代入得，解得：，
∴直线BC的解析式为：y=﹣eq \f(3,4)+3，
过点D作y轴的平行线，交直线BC与点F，交x轴于点H，
过点A作y轴的平行线，交直线BC与点G，
∵A(﹣1，0)，
∴当x＝﹣1时，y＝eq \f(15,4)，
∴G(-1,eq \f(15,4))，AG=eq \f(15,4)，
∵AG∥y轴∥DF，
∴△DEF∽△AEG，
∴，∴＝，∴DF＝3，
设，，
∴，解得：t1＝t2＝2，
∴D(2,eq \f(9,2))，
∴DH=eq \f(9,2)，AH＝1＋2＝3，
在Rt△ADH中，tan∠DAB=eq \f(3,2)；
(3)存在，分三种情况：①如图2，四边形ACPQ是菱形，则PC＝AC，
设P(x，﹣eq \f(3,4)x＋3)，
∵A(﹣1，0)，C(0，3)，
∴得：x＝±eq \f(4,5)eq \r(10)，
当x＝﹣eq \f(4,5)eq \r(10)时，P(﹣eq \f(4,5)eq \r(10)，eq \f(3,5)eq \r(10)+3)，
∴Q(﹣eq \f(4,5)eq \r(10)﹣1，eq \f(3,5)eq \r(10))，
当x＝eq \f(4,5)eq \r(10)时，P(eq \f(4,5)eq \r(10)，﹣eq \f(3,5)eq \r(10)+3)，
∴Q(eq \f(4,5)eq \r(10)﹣1，﹣eq \f(3,5)eq \r(10))；
②如图3，四边形APCQ是菱形，
∵BC＝AB＝5，
∴B在AC的垂直平分线上，
∴P与B重合，
∴Q(﹣5，3)；
③如图4，四边形ACQP是菱形，同理得P(1.6，eq \f(9,5))，
∴Q(2.6，eq \f(24,5))；
综上，点Q的坐标为(﹣eq \f(4,5)eq \r(10)﹣1，eq \f(3,5)eq \r(10))或(eq \f(4,5)eq \r(10)﹣1，﹣eq \f(3,5)eq \r(10))或(﹣5，3)或(2.6，eq \f(24,5))．
解：(1)把A(﹣4，0)，B(1，0)代入y＝ax2＋2x＋c，得
，解得：，
∴抛物线解析式为：y＝eq \f(2,3)x2＋2x﹣eq \f(8,3)，
∵过点B的直线y＝kx＋eq \f(2,3)，
∴代入(1，0)，得：k＝﹣eq \f(2,3)，
∴BD解析式为y＝﹣eq \f(2,3)x＋eq \f(2,3)；
(2)由得交点坐标为D(﹣5，4)，
如图1，过D作DE⊥x轴于点E，作DF⊥y轴于点F，
当P1D⊥P1C时，△P1DC为直角三角形，
则△DEP1∽△P1OC，
∴＝，即＝，解得t＝，
当P2D⊥DC于点D时，△P2DC为直角三角形
由△P2DB∽△DEB得＝，即＝，解得：t＝；
当P3C⊥DC时，△DFC∽△COP3，
∴＝，即＝，解得：t＝，
∴t的值为、、．
(3)由已知直线EF解析式为：y＝﹣x﹣，
在抛物线上取点D的对称点D′，过点D′作D′N⊥EF于点N，交抛物线对称轴于点M
过点N作NH⊥DD′于点H，此时，DM＋MN＝D′N最小．
则△EOF∽△NHD′
设点N坐标为(a，﹣eq \f(2,3)a﹣eq \f(10,3))，
∴＝，即＝，解得：a＝﹣2，
则N点坐标为(﹣2，﹣2)，
求得直线ND′的解析式为y＝eq \f(3,2)x＋1，当x＝﹣eq \f(3,2)时，y＝﹣eq \f(5,4)，
∴M点坐标为(﹣eq \f(3,2)，﹣eq \f(5,4))，
此时，DM＋MN的值最小为＝2．
解：(1)当x＝0吋，y＝x＋m＝m，
∴B (0，m)，
∵AB＝12，
∵A(0，﹣m)，
∴m﹣(﹣m)＝12，
∴m＝6，
∴抛物线L的解析式为：y＝x2＋6x，
∴抛物线L的对称轴x＝﹣3，D(﹣6，0)，
∴O、D两点关于对称轴对称，OP＝DP，
∴OB＋OP＋PB＝OB＋DP＋PB，
∴当B、P、D三共线时，△OBP周长最短，此时点P为直线a与对称轴的交点，
当x＝﹣3吋，y＝x＋6＝3，∴P(﹣3，3 )；
(2)y＝x2＋mx＝(x＋eq \f(1,2)m)2﹣eq \f(1,4)m2，
∴抛物线y＝x2＋mx的顶点C(﹣eq \f(1,2)m，﹣eq \f(1,4)m2)，
∵点C在l上方，
∴C与l的距离＝﹣eq \f(1,4)m2﹣(﹣m)＝﹣eq \f(1,4)(m﹣2)2＋1≤1)，
∴点C与l距离的最大值为1；
(3)当m＝2022时，抛物线解析式L：y＝x2＋2022x，直线解析式a：y＝x＋2022，
联立上述两个解析式，可得：x1＝﹣2022，x2＝1，
∴可知每一个整数x的值都对应的一个整数y值，且﹣2022和1之间(包括﹣2022和1)共有2024个整数；
∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，
∴线段和抛物线上各有2024个整数点，
∴总计4048个点，
∵这两段图象交点有2个点重复，
∴整点”的个数：4048﹣2＝4046(个)；
故m＝2022时“整点”的个数为4046个．
解：(1)函数的表达式为：y＝a(x﹣1)(x﹣3)＝a(x2﹣4x＋3)，
即：3a＝3，解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x＋3，
∵y＝x2﹣4x＋3＝(x﹣2)2﹣1，
∴顶点D(2，﹣1)；
(2)证明：∵OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴AM＝MB＝ABsin45°＝eq \r(2)，
∵AD＝BD＝eq \r(2)，
∴AM＝MB＝AD＝BD，
∴四边形ADBM为菱形，
∵AM⊥BC，
∴∠AMB＝90°，
∴四边形ADBM为正方形；
(3)解：存在，理由：
如图，过点C作与y轴夹角为30°的直线CH，作AH⊥CH，垂足为H，交OC于点Q，
则HQ＝eq \f(1,2)CQ，AQ＋eq \f(1,2)QC最小值＝AQ＋HQ＝AH，
∵∠HCQ＝30°，
∴直线HC所在表达式中的k值为eq \r(3)，
∴直线HC的表达式为：y＝eq \r(3)x＋3…①，
则直线AH所在表达式中的k值为﹣eq \f(\r(3),3)，
则直线AH的表达式为：y＝﹣eq \f(\r(3),3)x＋s，将点A的坐标代入并解得：s＝eq \f(\r(3),3)，
则直线AH的表达式为：y＝﹣eq \f(\r(3),3)x＋eq \f(\r(3),3)…②，
联立①②并解得：x＝，故点H(，)，
∵点A(1，0)，则AH＝eq \f(3,2)＋eq \f(\r(3),2)，
即：AQ＋eq \f(1,2)QC的最小值为 eq \f(3,2)＋eq \f(\r(3),2)．
解：(1)根据题意，设A(m，0)，B(3m，0)，
∴y＝(x﹣m)(x﹣3m)＝x2﹣4mx＋3m2，
∴3m2＝12，
解得：m＝±2，
∵m＞0，
∴m＝2，3m＝6，
∴b＝﹣4m＝﹣8，A(2，0)，B(6，0)，
故答案为：﹣8，(2，0)，(6，0)；
(2)由(1)知，抛物线解析式为y＝x2﹣8x＋12，OB＝6，
令x＝0，得y＝12，
∴C(0，12)，
∴OC＝12，
设D点运动时间为t秒，则OD＝2t，
①当t≤6时，点D在线段OC上，如图(1)，过点E作EK∥x轴交y轴于点K，
∵EK∥OB，
∴＝＝，
∵BE＝5DE，
∴BD＝DE＋BE＝6DE，
∴＝＝，
∴OD＝6DK，EK＝1，
∴DK＝eq \f(1,3)t，
∴OK＝OD﹣DK＝2t﹣eq \f(1,3)t＝eq \f(5,3)t，
∴E(1，eq \f(5,3)t)，
∴eq \f(5,3)t＝12﹣8×1＋12，
∴t＝3，
②当t＞6时，点D在线段OC的延长线上，如图(1′)，
过点E作EK∥OB交y轴于点K，
∵BE＝5DE，
∴BD＝BE﹣DE＝4DE，
∵EK∥OB，
∴＝＝，即＝＝＝，
∴EK＝eq \f(3,2)，DK＝eq \f(1,2)t，
∴OK＝OD＋DK＝2t＋eq \f(1,2)t＝eq \f(5,2)t，
∴E(﹣eq \f(3,2)，eq \f(5,2)t)，
∴eq \f(5,2)t＝(﹣eq \f(3,2))2﹣8×(﹣eq \f(3,2))＋12，解得：t＝eq \f(21,2)，
综上所述，D点运动时间为3秒或eq \f(21,2)秒；
(3)∵y＝x2﹣8x＋12＝(x﹣4)2﹣4，
∴顶点F(4，﹣4)，
∵MN∥x轴且经过点F(4，﹣4)，
∴直线MN为y＝﹣4，
∵P点在直线MN上运动，
∴设P(t，﹣4)，
∵△PAC为直角三角形，
∴∠APC＝90°或∠PAC＝90°或∠ACP＝90°，
①当∠APC＝90°时，设点C(m，n)，如图(2)，
过点A作AG⊥MN，过点C作CH⊥MN，
∴∠AGP＝∠CHP＝∠APC＝90°，
AG＝4，CH＝n＋4，PH＝m﹣t，PG＝t﹣2，
∴∠GAP＋∠APG＝∠APG＋∠CPH＝90°，
∴∠GAP＝∠CPH，
∴△APG∽△PCH，
∴＝，即＝，
整理得：t2﹣(m＋2)t＋2m＋4n＋16＝0，
∵恰好存在3个P点使得△PAC为直角三角形，而当∠PAC＝90°或∠ACP＝90°时，均有且仅有一个点P存在，
∴当∠APC＝90°时，有且只有一个点P存在，即关于t的一元二次方程有两个相等实数根，
∴△＝(m＋2)2﹣4(2m＋4n＋16)＝0，
∴n＝，
又∵点C(m，n)是对称轴右侧的抛物线上的一定点，
∴n＝m2﹣8m＋12，
∴m2﹣8m＋12＝，
整理得15m2﹣124m＋252＝0，
解得：m1＝eq \f(14,3)，m2＝eq \f(18,5)，
∵eq \f(18,5)＜4，m2＝eq \f(18,5)不符合题意，舍去，
∴m＝eq \f(14,3)，此时n＝(eq \f(14,3))2﹣8×eq \f(14,3)＋12＝﹣，
∴C(eq \f(14,3)，﹣)，
将m＝eq \f(14,3)，n＝﹣，代入t2﹣(m＋2)t＋2m＋4n＋16＝0，
整理得：t2﹣eq \f(20,3)t＋eq \f(100,9)＝0，解得：t1＝t2＝eq \f(10,3)，
∴P(eq \f(10,3)，﹣4)；
②当∠PAC＝90°时，如图(2)②，
过点C作CT⊥x轴于点T，过点P作PR⊥x轴于点R，
则AT＝eq \f(14,3)﹣2＝eq \f(8,3)，CT＝，PR＝4，AR＝2﹣t，
∠ATC＝∠PRA＝∠PAC＝90°，
∴∠PAR＋∠APR＝∠PAR＋∠CAT＝90°，
∴∠APR＝∠CAT，
∴△APR∽△CAT，
∴＝，即＝，
解得：t＝﹣eq \f(10,3)，∴P(﹣eq \f(10,3)，﹣4)；
③当∠ACP＝90°时，如图(2)③，
过点C作KH⊥x轴于点H，交直线MN于点K，
则∠AHC＝∠CKP＝∠ACP＝90°，
CH＝，AH＝，CK＝4﹣＝，PK＝﹣t，
∵∠ACH＋∠CAH＝∠ACH＋∠PCK＝90°，
∴∠CAH＝∠PCK，
∴△CAH∽△PCK，
∴＝，
∴AH•PK＝CK•CH，即(﹣t)＝×，
解得：t＝，∴P(，﹣4)；
综上所述，
C点坐标为(，﹣)，P点的坐标为(，﹣4)或(﹣，﹣4)或(，﹣4)．
解：(1)A(﹣2,3),a=1;
(2)M=﹣x+1(x≤﹣1);M=x2﹣2x﹣3(﹣14)；
(3)﹣4